活用柯西不等式解题举例

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柯西不等式的应用(整理篇)

柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。关键词：柯西不等式柯西不等式变形式最值一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=）现将它的证明介绍如下：方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立方法2 证明:数学归纳法（1）当1n =时左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然左式=右式当2=n 时右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式故1,2n =时不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴

如何进行柯西不等式的教学(含答案)

如何进行柯西不等式的教学柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用. 在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了—个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式. 由上可见，教材编写者对这部分内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的基础，但这部分教与学的难度是显而易见的. 柯西不等式∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a 1 21 2 1 2 )(是柯西在1931年研究数学分析中的“留数” 问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式22222)())((bd ac d c b a +≥++，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在一起.柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式αβαβ≥?不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式

柯西不等式常见题型解法例说

上海中学数学2014年第3期柯西不等式常见题型解法例说315500浙江省奉化中学陈晴应向明柯西不等式≥：d；≥：研≥f≥]ni．6。1‘是基本百鬲、百7 而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且还具有非常重要的应用价值．它原先只在数学竞赛中出现，但在2003年颁布的高中数学课程标准选修系列(4—5)《不等式选讲》里，已经加进了柯西不等式，也就是说它将成为选修学生的日常教学要求．用柯西不等式解决某些不等关系问题时往往比较简捷明了，但求解时灵活性较大，技巧性较强．其中一些常见的问题，其解决策略往往与其呈现方式直接相关．笔者就以其在近几年高考中的常见三维类型进行分类，例析对应的解决策略．三维的柯西不等式(盘；+丑；+口；)(躇+6；+鹾)≥(n。6，+口：6：+a。63)2揭示了任意两组数组即(n。，n。，n。)、(6，，6。，63)的平方和之积与实数积之和的平方的大小关系．应用时要解决的核心问题就是如何通过变换不等式，向柯西不等式“逼近”，构造出不等式所需要的两组数组(乜，，乜。，以。)、(6。，6：，6。)，这也是运用柯西不等式解题的基本策略． 1一次与二次例1(2013湖南高考)已知口、6、c∈R，盘+26 +3c一6，则n2+462+9c2的最小值为——．解：n+26+3c一6，由柯西不等式得(n2+462 +9c2)(12+12+12)≥(n+26+3c)2，可知n。+462+9c。≥婺一12，即最小值为12．例2设．r，y，z∈R，且满足T2+y2+z2—5，则Lr+2y+3z之最大值为——．解：(．f r+2y+32)2≤(L z’2+y2+z2)(12+22+ 32)一70，．‘．Ir+2y+3z最大值为√而．例3如啪2∈R且与≯+≮型+竖j翌一1，求T+y+z的最大值、最小值．解：与竽+≮型+半一，，由柯西不等式得 [4z+渺+22]『c孚)2+c警)2+c字，2]≥…孚)惭(害)+z．(字)]2 号25×1≥b+y+z一2)2≥5≥l L r+y+z一2 ≥一5≤z+y+z一2≤5．．‘．一3≤T+y+z≤7．故T+y+z之最大值为7，最小值为一3．评注：这类题型的最大特征就是条件与结论中分别出现了一次式与两次式，而要实现一次与两次不等关系的关键就是根据柯西不等式的形态进行构造，让其中一个数组为常数组，这样问题往往可以奏效． 2整式与分式 2．1两组数组对应的数分别为倒数型例4(2012福建高考)已知函数厂(T)一m—z一2I，m∈R且，(z+2)≥o的解集为[一1，1]． (1)求m的值； (2)若口，6，c∈R，且丢+去+去一m，求证：n+26+3c≥9．解：(1)厂(．r+2)一m—f．r}，／(T+2)≥o等价于I T l≤m，由I T l≤m有解，得m≥O，且其解集为{丁l —m≤z≤m1)，又，(z+2)≥o的解集为[一1，1]，故m一1． (2)由(1)知丢+去+去一1，又＆，6，c∈R，由柯西不等式得 Ⅱ+26+3c一(n+26+3c)f丢+去+去)≥F‘去+何‘去+厄’去)2姐评注：这类题型从结构来讲，两组数组分别是整式类型(口，，n z，n。)与分式类型(署，昙，去)(其中夕，q，，一为常数)，其实属于对勾函数的范畴，运用均值不等式也能完成，但不如柯西不等式简洁、方便．2．2分式中分子的次数高于分母型例5(2009浙江高考)已知正数T，y，2，z+y 忙1．掘彘+毫+彘≥专． V十Z Z z十Z．r．r十二V0证法1：利用柯西不等式 (惫+矗+南)№他川z+ 2．十r)+(z+2v)]≥(．r+v+z)2．

柯西不等式的应用(整理篇).doc

柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。关键词：柯西不等式柯西不等式变形式最值一、柯西（ Cauchy ）不等式： a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n 2 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22 b n 2 a i ,b i R, i 1,2 n 等号当且仅当 a 1 a 2 a n 0 或 b i ka i 时成立（ k 为常数， i 1,2 n ）现将它的证明介绍如下：方法 1 证明：构造二次函数 f ( x) a x b 2 a x b 2 a x b 2 1 1 2 2 n n = a 12 a 22 a n 2 x 2 2 a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n x b 12 b 22 b n 2 由构造知 f x 0 恒成立又 Q a 12 a 22 L a n n 4 a 1b 1 a 2 b 2 a n b n 2 4 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22 b n 2 即 a 1b 1 a 2 b 2 a n b n 2 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22 b n 2 当且仅当 a i x b i 0 i 1,2 n 即 a 1 a 2 L a n 时等号成立 b 1 b 2 b n 方法 2 证明 :数学归纳法（ 1）当 n 1 时左式 = a 1b 1 2 2 右式 = a 1 b 1 显然左式 =右式当 n 2 时 a 12 a 22 b 12 b 22 a 1 b 1 2 a 2 b 2 2 a 12 b 22 右式 a 22 b 12 2 2 2a a bb 2 左式 a b a b 2 a b a b 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 故 n 1,2时不等式成立（ 2）假设 n k k, k 2 时，不等式成立即 a 1b 1 a 2 b 2 a k b k 2 a 12 a 22 a k 2 b 12 b 22 b k 2 当 b i ma i ， m 为常数， i 1,2 k 或 a 1 a 2 L a k 0 时等号成立设 A= a 12 a 22 a k 2 B= b 12 b 22 b k 2 C a 1b 1 a 2b 2 L a k b k AB C 2

Cauchy不等式的等价形式及其应用【开题报告】

毕业论文开题报告数学与应用数学 Cauchy 不等式的等价形式及其应用一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式在数学的各个分支里都有极其广泛的应用，它在不同的领域就有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样，无论是初等数学还是高等数学都有着极其不菲的价值，主要都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。从收集到的文献中发现国内外对柯西不等式的研究进展主要有对柯西不等式的证明，推广，以及对柯西不等式的应用举例。二、相关研究的最新成果及动态柯西不等式的证明主要可以从配方法、数学归纳法、?判别法、向量内积法等一些常规的方法加以证明。下面就用其中一种方法加以简单地证明。柯西不等式：设n n b b b a a a ,,,,,,,2121ΛΛΛΛ均为实数则 ()()()22221222212332211b n n n b b b a a a b a b a b a b a ++++++≤++++ΛΛΛΛΛΛ 当且仅当i i kb a =时（其中k 为常数，n i Λ3,2,1=）等号成立。证明：利用配方法证明 ,,,A 11212∑∑∑======n i i i n i i n i i b a C b B a 只需证明.2 B C A ≥由均值不等式有 .2;;2;22222222222221121222 1 n n n n b a B C b B C a b a B C B B C a b a B C b B C a ≥+≥+≥+Λn 个式子相加得

归纳柯西不等式的典型应用

归纳柯西不等式的典型应用【摘要】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。【关键词】：柯西不等式；证明；应用【引言】：本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时，老师给出了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以节省很多宝贵时间，而且得分率高。因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集及整理资料，得到四类的典型题。【正文】： 1.柯西不等式的一般形式为：对任意的实数 n n b b b a a a ,,,,,,2121?????? ()( ) 222112 22212 222 1 )(n n n n b a b a b a b b b a a a ??????++≥+??????+++??????++

其中等号当且仅当λ=== n n b a b a b a 2211时成立,其中R ∈λ 变式：()()222112121)(n n n n y x y x y x y y y x x x ??????++≥+??????+++??????++ 2. 柯西不等式的证明：证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法： 1）配方法：作差：因为22211 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑ 221 1 1 1 ()()()()n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 2211 11 n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 2222 111111 1(2)2n n n n n n i j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑ 2222 11 1(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑ 211 1()02n n i j j i i j a b a b ===-≥∑∑ 所以222 1 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即2221 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===≥∑∑∑ 即222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… 当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==…… 即(1,2,,;1,2,,;0)j i j i j a a i n j n b b b ===≠…………时等号成立。 2）用数学归纳法证明 i ）当1n =时，有2221112()a b a b =，不等式成立。

柯西不等式的应用篇

柯西不等式的应用篇 The following text is amended on 12 November 2020.

柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。关键词：柯西不等式柯西不等式变形式最值一、柯西（Cauchy ）不等式：等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下：方法1 证明：构造二次函数 =()()()22221221122 22 212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ 由构造知 ()0≥x f 恒成立又22 12 0n n a a a +++≥ 即()()() 2 2221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当且仅当()n i b x a i i 2,10==+ 即12 12 n n a a a b b b === 时等号成立方法2 证明:数学归纳法（1）当1n =时左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然左式=右式当2=n 时右式 ()()()()2 2 22 222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()222 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式故1,2n =时不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()() 22221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当 i i ma b =，m 为常数，k i 2,1= 或120k a a a ====时等号成立设A=2 2221k a a a +++ B=22221k b b b +++ 1122k k C a b a b a b =++ + 则()()2 12121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A 当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i 或121+===k a a a 时等号成立即 1n k =+时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立

归纳柯西不等式的典型应用

归纳柯西不等式的典型应用【摘要】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。【关键词】：柯西不等式；证明；应用【引言】：本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时，老师给出了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以节省很多宝贵时间，而且得分率高。因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集及整理资料，得到四类的典型题。【正文】： 1.柯西不等式的一般形式为：对任意的实数 n n b b b a a a ,,,,,,2121?????? ()()2 221 12 222 1 2 2221 ) (n n n n b a b a b a b b b a a a ??????++≥+??????+++??????++

其中等号当且仅当λ== = n n b a b a b a 2 21 1时成立,其中R ∈λ 变式：()()2 2211212 1) (n n n n y x y x y x y y y x x x ? ?????++ ≥+??????+++??????++ 2. 柯西不等式的证明：证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法： 1）配方法：作差：因为222 11 1 ()()() n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑ 221 1 1 1 ()()()()n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 221 1 1 1n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b ===== -∑∑∑ ∑ 2222111 1 1 1 1(2) 2n n n n n n i j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b ======= + -∑ ∑∑∑∑ ∑ 22 2 2 1 11 (2)2 n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b === -+∑∑ 2 1 11 ()0 2 n n i j j i i j a b a b === -≥∑∑ 所以2 22 1 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑0 ≥，即222 1 1 1 ()()() n n n i j i i i j i a b a b ===≥∑∑∑ 即2 2 2 2 2 2 2 11 221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… 当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==…… 即 (1,2,,;1,2,,;0)j i j i j a a i n j n b b b = ==≠…………时等号成立。 2）用数学归纳法证明 i ）当1n =时，有2 22 11 12 () a b a b =，不等式成立。