傅里叶变换与拉普拉斯变换的比较研究

目录

1 傅里叶变换与拉普拉斯变换简介 (1)

1.1 傅里叶变换 (1)

1.1.1 傅里叶变换的历史由来 (1)

1.1.2 傅里叶变换的定义 (1)

1.1.3 傅里叶变换与逆变换的性质 (2)

1.2 拉普拉斯变换 (3)

1.2.1 拉普拉斯变换的历史由来 (4)

1.2.2 拉普拉斯变换的定义 (4)

1.2.3 拉普拉斯变换与逆变换的性质 (5)

1.3 小结 (6)

2 傅氏变换与拉氏变换的比较研究 (6)

2.1 两种积分变换在求解广义积分中的应用 (6)

2.2 两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用 (9)

2.3 两种积分变换在求解偏微分方程中的应用 (11)

2.4 两种积分变换在电路理论中的应用 (15)

3 总结 (19)

附录：本文所用到的拉普拉斯变换简表 (22)

参考文献 (23)

1 傅里叶变换与拉普拉斯变换简介

人们在处理与分析工程实际中的一些问题时，常常采取某种手段将问题进行转换，从另一个角度进行处理与分析，这就是所谓的变换。在数学、物理、工程技术等领域中应用最多的是傅里叶变换与拉普拉斯变换。下面我们对傅氏变换与拉氏变换进行简单的介绍。 1.1 傅里叶变换

1.1.1 傅里叶变换的历史由来

17世纪和18世纪，在牛顿和莱布尼茨等科学巨人的推动下，数学获得了飞速的发展。随着函数、极限、微积分和级数理论的创立，法国数学家傅里叶在研究热传导问题时发表了《热的解析理论》的论文[1]，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶变换的理论基础。其后，泊松、高斯等人最早把这一成果应用到电学中去。时至今日，傅里叶分析法不仅广泛应用与电力工程、通信和控制领域中，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中都得到了广泛而普遍的应用。 1.1.2 傅里叶变换的定义

由《数学物理方法》课程的知识可知，对于(),-∞+∞上的非周期函数()f t 有如下的傅里叶积分定理[2]： 设()f t 在(),-∞+∞上有定义，且

①在任一有限区间上满足狄利克雷条件[3]（即连续或有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值点）；

②在无限区间(),-∞+∞上绝对可积，即

()f t +∞

-∞

<+∞?

则有傅里叶积分公式

1

()()2i i t f t f e d e d ωτωττωπ

+∞

+∞--∞

-∞??=

????

?

? (1-1) 在()f t 的连续点x 处成立，而在()f t 的第一类间断点0x 处，右边的积分应以

()001

0(0)2

f x f x ++-????代替。

在傅里叶积分公式(1-1)中，若令

()()i t F f t e dt ωω+∞

--∞

=?

(1-2)

则

1()()2i t f t F e d ωωωπ

+∞

-∞

=

?

(1-3)

从(1-2)、(1-3)两式可以看出()f t 和()F ω可以通过积分运算相互表达。(1-2)式叫做()f t 的傅里叶变换式，可记为：

(ω)=[(t)]F f F

(ω)F 叫做()f t 的像函数。(1-3)式叫做(ω)F 的傅里叶逆变换式，可记为

1

()[(ω)]f t F -=F

()f t 叫做(ω)F 的像原函数。

1.1.3 傅里叶变换与逆变换的性质

下面来介绍傅里叶变换的几个基本性质(假定在这些性质中，凡是需要求傅里叶变换的函数都满足傅里叶积分定理中的条件)： 1) 线性性质：

设11(ω)[()]F f t =F ，22(ω)[()]F f t =F ，,αβ是常数，则

121212[()()][()][()](ω)(ω)f t f t f t f t F F αβαβαβ+=+=+F F F

同样，对傅里叶逆变换也有类似的线性性质，即

11212[(ω)(ω)]()()F F f t f t αβαβ-+=+F

2) 位移性质 设0t 为任意常数，则

0ω0[()][()]i t f t t e f t ±±=F F

同样，傅里叶逆变换也具有类似的位移性质，即

0ω10[(ωω)]()i t F f t e ±-= F

3) 延迟性质 设0ω为任意常数，则

0ω0[()](ωω)i t e f t F =-F

4) 微分性质 若lim ()0t f t →+∞

=则

[()]ω[()]f t i f t '=F F

一般地，若()lim ()0k t f t →+∞

= (0,1,2,1)k n =- ，则

()[()](ω)[()]n

n f t i f t =F F

同样，像函数的导数公式为

(ω)[()]ω

d

F i tf t d =-F ， 一般地，有

(ω)()[()]ω

n n n

n

d F i t f t d =-F 5) 积分性质 设()()t g t f t dt -∞

=?

，若t →+∞时()0g t =，则

1

[()][()]ω

g t f t i =

F F 6) 卷积定理

已知函数1()f t 和2()f t ，则定义积分12()()f f t d τττ+∞

-∞

*-?为函数1()f t 和2()

f t 的卷积，记为12()()f t f t *，即

1212()()()()f t f t f f t d τττ+∞

-∞

*=*-?

假定1()f t ，2()f t 都满足傅里叶积分定理中的条件，且11(ω)[()]F f t =F ，

22[()](ω)f t F =F ，则有

12121212[()()](ω)(ω)1

[()()](ω)(ω)2f t f t F F f t f t F F π*=???

??=*??

F F 上式称之为卷积定理[4]。 1.2 拉普拉斯变换

1.2.1 拉普拉斯变换的历史由来

19世纪末，英国工程师赫维赛德发明了“运算法”（算子法）[5]解决电工程计算中遇到的一些基本问题。他所进行的工作成为拉普拉斯变换方法的先驱。赫维赛德的方法很快地被许多人采用，但是缺乏严密的数学验证，曾经受到某些数学家的谴责。而赫维赛德以及另一些追随他的学者（例如卡尔逊、布罗姆维奇……等人）坚信这一方法的正确性，继续坚持不懈地深入研究。后来，人们终于在法国数学家拉普拉斯的著作中为赫维赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给予严密的数学定义，为之取名拉普拉斯变换（简称拉氏变换）方法。 1.2.2 拉普拉斯变换的定义

从《数学物理方法》课程中我们知道，任意函数()f t （在0t <时()0f t ≡），的拉普拉斯变换为[6]：

()[()]()st F s f t f t e dt +∞

-==?

L （1-4)

其逆变换为：

11()[()]()2βi st

βi f t F s F s e ds i

π+∞--∞==

?L （1-5） 函数()F s 称为()f t 的像函数，()f t 称为()F s 的像原函数。函数() (t 0)f t ≥的拉普拉斯变换实际上是一种特殊的傅里叶变换[7]。

拉氏变换的存在条件，要满足下述拉普拉斯变换的存在定理[8]： 若函数()f t 满足下列条件： 1) 当0t <时，()0f t =；

2) 当0t ≥时，()f t 及()f t '除去有限个第一类间断点以外，处处连续； 3) 当t →+∞时， ()f t 的增长速度不超过某一个指数函数，亦即存在常数

M 及00β≥，使得

0() (0)βt f t Me t ≤<<+∞

其中，0β称为()f t 的增长指数。则()f t 的拉氏变换()F s 在半平面0Re s β>上

存在、解析，且当arg 2

s π

δ≤

- （δ是任意小的正数）时，有

lim ()0s F s →∞

=

1.2.3 拉普拉斯变换与逆变换的性质 1) 线性性质

设1122[()](),[()]()f t F s f t F s ==L L ，若α、β是常数，则有

121212111

121212[()()][()][()]()()

[()()][()][()]()()

f t f t f t f t F s F s F s F s F s F s f t f t αβαβαβαβαβαβ---+=+=+??+=+=+?L L L L L L 2) 位移性质

若[()]()f t F s =L ，00t >，则

000[()][()]()st st f t t e f t e F s ---==L L

3) 延迟性质

若[()]()f t F s =L ，则有

[()](), Re()at e f t F s a s a c =-->L

4) 微分性质

若[()]()f t F s =L ，则有

2

['()]()(0)[''()]()(0)'(0)

f t sF s f f t s F s sf f =-=--L L

5) 积分性质

若[()]()f t F s =L ，则有

01

[()]()t

f t dt F s s

=?L

此外，由拉普拉斯变换存在定理，还可以得到像函数的积分性质： 若

[()]()f t F s =L ，则有

()[]()s f t F s ds t

+∞=?L

6) 卷积定理

拉氏变换中的卷积还存在着如下的卷积定理[9]：假定1()f t 、2()f t 满足拉普

拉斯变换存在定理中的条件，且1122[()](),[()]()f t F s f t F s ==L L ，则12()()f t f t *的拉氏变换一定存在，且

1212[()()]()()f t f t F s F s *=?L

一般地，有

1212[()()()]()()()n n f t f t f t F s F s F s **=??? L

1.3 小结

由以上可以看出，傅氏变换与拉氏变换有许多相似之处。但从（1.2）中我们也可以看出，用傅里叶变换在求解问题时，要求所出现的函数必须在(,)-∞+∞内满足绝对可积（()f t +∞

-∞

<+∞?

）这个条件。该条件的限制是非常强的，以致于

常见的函数，如常数、多项式以及三角函数等，都不能满足这个条件。另一方面，从（2.2）的拉氏变换存在定理可以看出，拉氏变换所要求的条件是很弱的，常见的函数都能进行拉氏变换，这使得拉氏变换在许多领域中的应用极其广泛。下文我们将对两种变换的应用做一介绍。

2 傅氏变换与拉氏变换的比较研究

傅立叶变换与拉普拉斯变换在数学、物理以及工程技术等领域中有着极其广泛的应用。由（一）可知两种变换的性质有很多相似之处，故两者在求解问题时也会有许多类似。另外，由于傅氏变换的积分区间为()+∞∞-,，拉氏变换的积分区间为()+∞,0，两者又会在不同的领域中有着各自的应用。下面我们通过一些具体的例子对两种变换的应用做一些比较研究。 2.1 两种积分变换在求解广义积分中的应用

傅氏变换与拉氏变换都可以用来求解一些用普通方法难以求解的广义积分，下面举例说明：

例1 求函数1 1

()0 t f t ?≤?=???其它

的傅里叶积分表达式。

解：由（1-1）式有

ωω1ωω1ωωω1()[()]ω21 =[()]ω21 =ω2ω1sin ω =(cos ωt +isin ωt)d ω

ω

1sin ωcos ωt =ω

ω

2sin ωcos ω =ω ,ωi i t

i i t

i i i t

f t f e d e d f e d e d e e e d i d t d ττττπ

ττπ

ππππ+∞+∞--∞-∞+∞--∞--+∞-∞+∞-∞+∞-∞=

-???????0 (t 1)

+∞≠±?

当1t =±时，傅里叶积分收敛于(10)(0)1

22

f f ±++±-=，根据以上的结果可以写

成

(), t 1

2

sin ωcos ωω= 1ω, t=12

f t t d π

+∞

≠±??

?±???

即

, 12sin ωcos ωt ω, 1ω4

0, 1t d t t π

π

+∞?

?==???>??

? 由此可以看出，用傅里叶积分表达式可以推证一些广义积分的结果。本题中，取

0t =则有

sin ωωω2

d π

+∞

=?

， 这个就是著名的狄利克雷积分。

同样，拉普拉斯变换也可以用来求解狄利克雷积分。 例2 求狄利克雷积分[10]

0sin t t t d +∞

? 解：引进参变量x ，设0s i n ()

()xt f x dt t

+∞=?，对其求拉普拉斯变换并交换积分次序，得

sin [()][]1

=[sin()]sx sx xt

f x dt e dx t

xt e dx dt t +∞+∞

-+∞

+∞

-=??

?

?L

由附录的积分表可知22

sin st a

at e dt s a +∞

-?=

+?，则 220220020

1[()]1

=11 =()1()1 =arctan()1 =2

t

f x dt t s t dt

s t t

d s s

s

t s s s π

+∞

+∞+∞+∞

=?+++?

?

??L

即

1[()] =2f x s π

?L ，

1111()[][]222f x s s πππ

--=?==L L

0sin()2

xt dt t π

+∞=? 取1x =，则有

sin t t t 2

d π+∞

=?

这与（例1）中的结果是完全相同的。

例3 求欧拉-泊松积分2

x e dx +∞

-?

分析：该积分的积分区间是()+∞,0，用拉普拉斯积分变换求解会更加便利 解：由达朗贝尔判别法可知欧拉-泊松积分收敛[11]。

引进参变量t ，使其成为t 的函数，设2

0()tx f t e dx +∞

-=?。对()f t 取拉氏变换并交

换积分次序的，得

2

2

()0

20

02

[()][] =[]1

11

2

tx st x

s t

f t e dx e dt

e dt dx

dx x s d π

+∞+∞

--+∞+∞

-++∞

+∞+∞

==+=

+==

?????L

因为1

2

1()

[]t -Γ==L

11()[2f t π--===

L

取1t =，则有

2

x e dx +∞

-=

?

由以上几个例子可以看出，两种变换都可以用来求解广义积分，和普通方法相比[12]该方法简单明了，具有很大的优越性。 2.2 两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用

例4 求解积分方程

()()()()g t h t f g t d τττ+∞

-∞

=+-?

其中(),()h t f t 都是已知的函数，且()g t 、()h t 和()f t 的傅里叶变换都存在。

分析：该积分方程中的积分区间是()+∞∞-,，故首先应考虑用傅里叶积分变换法求解。积分项内是函数()f t 与()g t 的卷积，对方程两边取傅氏变换，利用卷

积性质便可以很方便的求解该问题。

解：设[()](),[()](ω),[()](ω)g t G w f t F h t H ===F F F 由卷积定义可知

()()()()f g t d f t g t τττ+∞

-∞

-=*?

。因此对原积分方程两边取傅里叶变换，可得

(ω)(ω)(ω)(ω)G H F G =+?

因此有

(ω)

(ω)1(ω)

H G F =

-

由傅里叶逆变换求得原积分方程的解为

ωt

ωt

1()(ω)ω21(ω) =ω21(ω)i i g t G e d H e d F ππ+∞-∞

+∞-∞=

-??

同样，应用拉普拉斯变换的卷积性质也可以用来求解积分方程。 例5 求积分方程

2

()()sin t

y t t y t td ττ=+-?

的解。

分析：该积分方程中的积分区间是()t ,0，考虑到拉氏变换卷积性质中函数的积分区间是()t ,0[13]，故对原方程两边取拉普拉斯变换，应用相应的卷积性质便可求出该积分方程的解。

解：设[()]()y t Y s =L ，则有，232[]t s =L ，2

1

[sin ]1

t s =+L 。对原方程两边取拉普拉斯变换，由卷积定理得

3221

()()1

Y s Y s s s =

++ 整理得

3

522()Y s s s

=

+ 取其逆变换可得

24

24

()2()2()

2!4!112

t t y t t t =+=+， 此即原积分方程的解。

例6 求解线性方程组[14]

322(0)(0)1t

t x x y e y x y e x y '?+-=?'+-=??==?

分析：利用傅氏变换与拉氏变换性质中的微分性质，可以将微分方程转换为像函数的代数方程，使得问题得以解决。但是用傅里叶变换求解问题时，要求所出现的函数必须在(,)-∞+∞内满足绝对可积（()f t +∞

-∞

<+∞?

）这个条件。但是本

题中的t

e 、x 、y 都不满足这个条件，故不能用傅氏变换进行求解。我们采用拉氏变换对该方程组进行求解。

解：设[()](),[()]()x t X s y t Y s ==L L ，对方程组进行拉氏变换得到

1()1()()1

1()13()2()2

1sX s X s Y s s sY s X s Y s s ?

-+-=??-?

?-+-=?-?

解得

1

()()1

X s Y s s ==

-， 拉氏逆变换11

[

]1

t e s -=-L ，故 ()()t

t

x t e

y t e

?=??=?? 即为原方程组的解。

2.3 两种积分变换在求解偏微分方程中的应用

利用傅里叶变换和拉普拉斯变换可以用来求解偏微分方程，下面以《数学物理方法》课程中常常碰到的几种方程进行举例说明。

例7 求解无界弦的自由振动2

000 (-)

|(), |()

tt xx t t t u a u x u x u x ?ψ==?-=∞<<+∞??==??

分析：对于无界区域的定解问题，傅里叶变换是一种普遍使用的求解方法。本题中由于弦的区域是()+∞∞-,，可以用分离变量发进行求解，也可以用傅里叶变换发进行求解。

解：对于(,)u t x 将时间t 看作参数，对x 进行积分，求其傅氏变换并应用傅里叶变换的性质得到

ω[(,)](,)(,ω)i x u t x u t x e dx U t +∞

--∞

==?F

ωω[](,)(,ω)i x

i x u u d d e dx u t x e dx U t t t dt dt

+∞+∞---∞-∞??===????F

22

22[](,ω)u d U t t dt

?=?F ω[

]ω[(,)]ω(,ω)i x u u e dx i u t x i U t x

x +∞--∞??===???F F

2222[](ω)(,ω)ω(,ω)u

i U t U t x

?==-?F 另设[()](ω),[()](ω)x x ?ψ=Φ=ψF F ，对原定解问题作傅里叶变换得到

222

2

(,ω)ω(,ω)0(,ω)(ω),(,ω)

(ω)

t t U t a U t t U t U t t ==??+=????

??=Φ=ψ???

方程的通解为

ωω(,ω)(ω)(ω)ia t ia t U t A e B e -=+，

将初始条件代入可求得

11(ω)

(ω)(ω)22ω

11(ω)

(ω)(ω)22ωA a i B a i ψ=

Φ+ψ=Φ-

即

ωωωω

11(ω)(,ω)=

(ω)22ω

11(ω) +(ω)22ω

iat iat iat iat U t e e a i e e

a i --ψΦ+ψΦ-

再对(,ω)U t 作傅里叶逆变换，应用傅里叶变换的性质可得方程的解为

11(,)[()()]()22z at

x at

u t x x at x at d a ??ψττ+-=++-+?

这正是《数学物理方法》课程用行波法求解无界弦运动的达朗贝尔公式[15]。

对于半无界弦的振动，一般来说用拉普拉斯变换法求解往往比较方便，下面举例说明：

例8 求解半无界弦的振动问题：

2000 (00)

(), lim (,)0 (0)0, 0, (0)

tt

xx x x t t t u a u u x u x t t u u x ?=→+∞

==?=∞??

==≥??==≤<+∞?? 解：对方程两边关于变量t 作拉氏变换， 记[(,)](,),[()]()u x t U x s t s ?==ΦL L ，利用拉普拉斯变换的微分性质及初始条件可得

22222222220[

](,)(,0)(,)[](,)(,0)(,0)(,)[](,)t st

u

sU x s u x sU x s t u

s U x s su x u x s U x s t

u u d e dt U x s x x dx +∞-?=-=??=--=???==???L L L 这样，原定解问题转化为求解含有参数s 的常微分方程的边值问题

2

222

0(,)(,)(), lim (,)0

x x d s U x s a U x s dx U s U x s =→+∞?=??

?=Φ=?

这里，方程是(,)U x s 关于x 的一个二阶常系数齐次线性微分方程，该微分方程的通解为

()()12(,)s s x x a

a

U x s c e

c e

-=+，

由其边界条件可得

12(), 0c s c =Φ=

故

()(,)()s x a

U x s s e

-=Φ

对上式去拉普拉斯逆变换，利用拉氏变换的延迟性质，得到原定解问题的解为

()1

(,)[(,)][()]

0 (t<)() (t ) s

x a

u x t U x s s e

x a x x t a a ?--==Φ?

??=?

?-≥??

L L

例9 利用傅里叶变换求解上半平面无源静电场内电势的定解问题

222222

00 (-0)(), lim 0y x y u u

x y u f x u =+→+∞???+=∞∞?????

?==??

分析：本题中的偏微分方程称为二维拉普拉斯方程，它是用来描述稳恒过程的，函数(,)u x y 与时间t 无关。由于x 的变化范围是 (-

解：对方程和边界条件关于x 取傅氏变换，记

22222

22[(,)](ω,)[]ω(ω,)[](ω,)[()](ω)

u x y U y u

U y x

u d U y y dy f x =?=-??=?=F F F F F

这样就把求解原定解问题转化为求解含有参数ω的常微分方程的边值问题

22222

0ωω0(ω), lim lim 0y y y d U

U dy

U U U =→+∞+→+∞?-=???

?===??

F 此二阶常系数线性齐次微分方程通解为

ωω12(ω,y)=c (ω)c (ω)y

y

U e

e

-+

代入边界条件有12(ω)(ω)(ω)c c F +=，由l i m 0y U →+

∞=得1(ω)0c =，

因此2(ω)(ω)c F =。故边值问题的解为

ω(ω,y)=F(ω)y

U e

-

再对上式两端取傅里叶逆变换，借助于傅里叶积分公式

ω221[

], Re()0

a e a a t a

π=-<+F [16]，可知ω1221[]y

y e x y π--=?+F 。再利用傅里叶变换的卷积性质，可得原定解问题的解为

12222

(,)[(ω,)]()()

1

()

=

()y u x y U y f x x y yf d x y

πττπ

τ-+∞

-∞

==*+-+?

F

由以上几个例题可以看出，傅里叶变换与拉普拉斯变换都可以用来求解偏微分方程，由于在求解偏微分方程时两者都可以将方程化为某个变量的代数方程，使得问题得以简化，故两种积分变换法在求解偏微分方程时有着重大的意义。 2.4 两种积分变换在电路理论中的应用

例10 如图所示的RL 电路中，t u e V -=，1R =Ω，1L H =，求开关S 闭合后回路中的电流()i t 。

图1

解：由基尔霍夫电压定律[17]可得回路方程为

()

()()di t L

Ri t u t dt

-+= 代入数值，化简为

()()t i t i t e -'-=-

① 该方程是一阶非齐次线性微分方程，用高等数学的知识进行求解的话，要先求出与之对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解。求解步骤比较繁琐，这里我们先采用傅里叶变换法进行求解。设[()]()i t I ω=F ，由傅氏变换的微分性质可得[()]()i t i I ωω'=F 。又1

[()]1u t i ω

=-+F （在0t <时电压为0）[18]，代入上述方程中得

1

()()1i I I i ωωωω

-=-

+ 整理得

111()()211I i i ωωω

=-+-+

对上式取傅氏逆变换得

1

()()2

t t I e e ω-=-

此即电路中的电流。

② 该方程也可以用拉氏变换法进行求解。设[()]()i t I s =L ，同理由拉氏变换的微分性质可得[()]()i t sI s '=L （0t =时电流()0i t =）。对化简后的方程两边去拉氏变换，得到

1

()()1

sI s I s s -=-

+ 整理得

111()[]2(1)1

I s s s =----

再对上式取拉氏逆变换，得到电路中的电流为

1

()()2

t t i t e e -=-

可以看出用傅氏变换与拉氏变换两种方法求解的结果是完全相同的。

《信号与系统》、《电路分析》等课程中常常会碰到各种信号的问题，一般来说傅里叶变换法适用于对连续时间系统的分析，这种方法也被称为频域分析法；而拉普拉斯变换法被称为系统的复频域分析[19]，这种方法的适用范围更加广泛，以致于在相当长的时期内，人们几乎无法把电路理论与拉普拉斯变换分开来讨

论。下面我们再举两个用拉氏变换法解决电路问题的例子：

例11 如图所示，电路为完全耦合互感电路，互感量H L L M 121===，电阻Ω==121R R ,电压V E 1=，开关S 闭合前0)0()0(21==--i i 。求开关闭合后电路中的电流)()(21t i t i 和。

图2

解：由基尔霍夫电压定律可列出电路的微分方程如下：

???

???

?=++=++0)()()()()()

(2212211211t i R dt t di M dt t di L E t i R dt t di M dt t di L 代入数据，得

??????

?=++=++0

)()()(1)()

()(212121t i dt t di dt

t di t i dt

t di dt t di 此方程组为二元一阶微分方程组，采用高等数学的知识很难得出结果来，这里采用拉氏变换法求解。令11[()]()i t I s =L ，22[()]()i t I s =L ，对上述微分方程组两边取拉氏变换，考虑到初始条件0)0()0(21==--i i ，可得

????

?

=++=

++0

)()()(1)()()(212121s I s sI s sI s s I s sI s sI 解得

????

????

?

---=+-=--?-=++=)21(121

121)()

21(1211)12(1)(21

s s s I s s s s s s I 对其取拉氏逆变换，得到电路中的电流为

1()12

111

()12221()[()]121()[()]2

t t i t I s e i t I s e ----?==-????==-??L L 例12 求如图所示的电路的零状态响应（即(0)0c u V -=,(0)0L i A -=）的电流1()i t 。其中10E V =，121R R ==Ω，1C F =，1L H =。

图3

解：由基尔霍夫电压定律可得到回路方程为

112102121221(0)()[()()]()[()()]()t c E u i d i t i t R C

di t i t i t R i t R L dt ττ-?=++-???

?-=+??

? 代入数据，整理后得到

1

12

0212()()()10

()

()2()0t i d i t i t di t i t i t dt

ττ?+-=???-+=?? 此方程组中既有积分项又有微分项，若用一般的方法进行求解会很难得出结果，此处采用拉氏变换法进行求解。设11[()]()i t I s =L ，22[()]()i t I s =L 。对上述方程组两边取拉氏变换，整理得

112

212()

10()()()()2()0

I s I s I s s

s sI s I s I s ?+-=???-+=? 解得

1

22222

11()=10[](1)1(1)11011()[]2(1)1(1)1s I s s s s I s s s s +??+?++++?

?

+?=?+?+++++?

对1()I s 取拉氏逆变换可得到电路的零状态响应电流为

1()10(sin cos ) t i t t t e A -=?+

由以上两个例题可看出，用拉普拉斯变换法解决电路问题简洁、明了，和一般方法相比显得十分便捷。

3 总结

本文以上内容举例分析了傅里叶变换与拉普拉斯变换在解决问题中的应用，两种变换存在许多相似的地方，也存在一些不同的地方。从（1.2）中我们可以看出，用傅里叶变换在求解问题时，要求所出现的函数必须在(,)-∞+∞内满足绝对可积（()f t +∞

-∞

<+∞?

）这个条件。该条件的限制是非常强的，以致于常见的函

数，如常数、多项式以及三角函数等，都不能满足这个条件。我们按如下方式对傅氏变换进行改造：

对于任何函数()f t ，我们假定在0t <时()0f t ≡，联想到指数衰减函数

(0)t e ββ->所具有的特点，那么，只要β足够的大，函数()t f t e β-的傅氏变换就

有可能存在，即

ω(ω0

[()]()()i t

βt

βt

β+i )t F f t e

f t e e

dt f t e dt -+∞

+∞

----∞

==?

?

根据傅氏逆变换得到

ω1

()[()]ω2βt βt i t f t e F f t e e d π

+∞

---∞

=

?

记 ω,()[()]βt s βi F s F f t e -=+= 并注意到 ωds id =