二元一次方程组知识点整理

实用标准文案

第五章

知识点1:二元一次方程（组）的定义

1、二元一次方程的概念

二元一次方程组知识点整理

含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程

注意：1、（1）方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数

（2）含有未知数的项的次数都是1.

（3）二元一次方程的左右两边都必须是等式?（三个条件完全满足的就是二元一次方程）

2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。即若ax m+by n=c是二元一次方程，则a丸,b工0

且m=1, n=1

例1 :已知（a —2）x- by|a|—1= 5是关于x、y的二元一次方程，则a = ___________ ,b = ______ .

例2 :下列方程为二元一次方程的有____________

① 2x 5 y，② x 4 1,③ xy2，④ x y3，⑤ x2

1

y 2，⑥ xy 2x y 2，⑦y7

x

⑧3x 2y，⑨a b c 1【巩固练习】

下列方程中是二元?次方程的是

（

)

21x 5

A. 3x-y 2=0

B. +—=1C y=6D. 4xy=3

x y 3 2

2、二元一次方程组的概念

由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组

注意：①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为

例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

1。③方程组中每个方程均为整式方程。

B. 2a 3b 11

C. x 2 9 5b 4c 6 y 2x

x y 4 2x 3y 7

x y 8 x 2 y 4

其中属于二元一次方程组的个数为（

） A . 1

B. 2

C . 3

1、若x 3m 1 5y 3n 3m 7是关于 X 、y 二元一次方程，则 m= __________________ , n= ________ 。

知识点2 :二元一次方程组的解定义

类型题1 根据定义判断 例：方程组 X y 2的解是（）

2x y 4

x 1 x 3

x 0

x 2

A .

B .

C .

D .

y 2

y 1

y 2

y 0

【巩固练习】1,当 ix m 1,

y m

1满足方程2x y m 3 0,则 m

2、下面几个数组中，

哪个是方程 7x+2y

= =19 的一个解（

）。

x 3

x 3

x

3

x 3

A 、

B 、

C 、

D 、

y 1

y 1

y 1 y 1

类型题2 已知方程组的解，而求待定系数。

此类题型只需将解代入到方程中，求出相应系数的值，从而求代数式的值

x __ 2 3mx 2 y 1

例1 :已知

是方程组

的解，贝U m 2_ n 2的值为

y 1

4x ny 7

2

例2:若满足方程组

3x 2y 4

的x 、y 的值相等，则k =

kx (2k 1)y 6

【巩固练习】

1、若方程组 2x y 3

的解互为相反数，则 k 的值为

2kx （k 1）y 10 ------------

【巩固练习】1，已知下列方程组：（1 ） X 3y ,（2）

y 2

1

x — 3

3x y 2

A , ( 3 )

y

,(4)

x y 3 0

，

y z 4

1 x —

x y

般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都 相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解

知识点

3:: 一兀一次方程组的解

方法一：代入消元法 【典型例题】 例

2x 7y 8 3x 8y 10

我们通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个 一元一次方程 来解，这种解法叫做 代入消元法。 用代入消元法解二元一次方程组的步骤:

(1) 从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来 (2 )把(1)中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数 (3) 解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值 (4) 把所求得的一个未知数的值代入(

1)中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解

【巩固练习】1，方程 x 4y 15用含y 的代数式表示，x 是(

)

2、若方程组

3x ax 4y 2 a

x

b 匚与3 2y 5 2x by 4

有相同的解，则 y 5

a= ,b= ___________

，类型3

列方程组求待定字母系数是常用的解题方法.

例:

1

1都是关于x 、y 的方程ax + by = 6的解，贝U a + b 的值为 _________________ 3

例:

x 1

关于x , y 的二元一次方程 ax + b = y 的两个解是

y 1

x 2

，则这个二元一次方程是

y 1

【巩固练习】 如果X y

21是方程组:: by

cy 0

的解,

1

那么, F 列各式中成立的是

A 、a + 4c = 2

B 、4a + c = 2

C 、a + 4c + 2 = 0

D 、4a + c + 2 = 0

A. x 4y 15

B. x 15 4y

C. x 4y 15

D. x 4y 15

2、把方程7x 2y 15写成用含x的代数式表示y的形式，得()

A ?先把①变形

方法二：加减消元法

x y 20

例：对于方程组：

2x y 40

解：②一①得，2x y x y 40 22 即 x 18,

x=18

把把 18代入①得y 4。

所以y 4

得到一个一元一次方程这种方法 叫做加减消元法，简称加减法。

2m 3n 1

例1、方程组

中，n 的系数的特点是 ___________ ，所以我们只要将两式 ___________ ,蹴可以消去未知数,

5m 3n 4

化成一个一元一次方程，达到消元的目的.

3x 4y 1

例2、用加减法解

时，将方程①两边乘以 __________ , ?把方程②两边乘以 __________ ，可以比较简便地消

2x 3y 6

去未知数 __________ . 【方法掌握要诀】

用加减法解二元一次方程组时，两个方程中同一个未知数的系数必须相同或互为相反数 ，？即它们的绝对值相等.当 未知数的系数的符号 相同时，用两式 相减；当未知数的系数的符号 相反时，用两式 相加。

①

方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的

整数乘方程两边，使

一个未知数的系数互为相反数或相等；

？

B.x

15x 2y 7

7x 15

C.y

15 7x

D.y

3、用代入法解方程组

2x 5y x 3y

21

较为简便的方法是（

）

C ?可先把①变形，也可先把②变形

D .把①、②同时变形

B ?先把②变形 分析：这个方程组的两个方程中,

y 的系数有什么关系?

?利用这种关系你能发现新的消元方法吗?

定义：两个二元一次方程中

同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别

相加减，就能消去这个未知数，

② 把两个方程的两边分别 相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③ 解这个一元一次方程；

④ 将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【巩固练习】

3x 2y 6

时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四

2x 3y 1

种变形正确的是（

）

⑴：x 6y 6

9x 6y 18 )

4x 6y 2

(3)

9x 6y 18 ⑷

6x 4y 12 6y 2

4x 6y 2

6x 9y 3

A . (1) (2)

B . (2) ( 3)

C .(3) (4)

D .

(4) (1)

对于方程组 2x 3y 5而言，你能设法让两个方程中

x 的系数相等吗？你的方法是 ；若让

3x 4y 33

2、两个方程中 y 的系数互为相反数，你的方法是 ___________________________

2x 3y 5

y

正确的方法是（）

x 3y 7

把y=2代入⑶得 x=1

所以:x=1, y=2

特点:两方程相加减，单个x 或单个y,这样就适用接下来的代入消元

1、用加减法解方程组

3、用加减消元法解方程组 A ?①②得2x 5 B .①②得3x 12

C .①②得3x 7 5

D ?先将②变为x 3y 7③，再① ③得x 2

以下教科书中没有的几种解法 （可以作为培优学生的拓展）

（一）加减-代入混合使用的方法 例 1, 13x+14y=41

(1) 14x+13y=40

(2)

解:(2)-(1)得 x-y=-1

x=y-1

(3)

把⑶代入(1)得 13(y-1)+14y=41

13y-13+14y=41 27y=54

y=2

（二）换元法

例2, (x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可写为m+n=8 m-n=4 解得m=6,n=2

所以x+5=6, y-4=2 所以x=1, y=6

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

（三）另类换元

例3，x:y=1:4

5x+6y=29

令x=t, y=4t 方程2 可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4

知识点4 :实际问题与二元一次方程组

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数;

（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（3 ）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案

列方程组解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题：

（1）追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段，用图便于理

（2） 相遇问题 相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图 帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和=总路程。 （3） 航行问题：①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；

② 船在静水中的速度-水速=船的逆水速度； ③ 顺水速度—逆水速度= 2X 水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2 .工程问题：工作效率X 工作时间=工作量. 3 .商品销售利润问题：

利润率=售忙愛介X1U0%

（1）利润=售价—成本（进价）;（2）

i —?

; （3）利润=成本（进价）X 利润率；

标价=成本（进价）X （1 +利润率）；（5）实际售价=标价X 打折率；

打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。 （例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）

4 ?储蓄问题：

① 利息=本金X 利率X 期数

② 本息和=本金+利息=本金+本金X 利率X 期数=本金X （1 +利率X 期数）

③ 利息税=利息X 利息税率=本金X 利率X 期数X 利息税率。 ④ 税后利息=利息X （1 —利息税率）。 5.配套问题：

解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例 =每一套各部分之间的比例。

6 .增长率问题：

解这类问题的基本等量关系式是：原量X

（1 +增长率）=增长后的量；原量X （1 —减少率）=减少后的量?

速度

解与分析。其等量关系式是：两者的行程差=开始时两者相距的路程;

路程

m s

时间

;

路程

7 .和差倍分问题：

解这类问题的基本等量关系是：较大量=较小量+多余量，总量=倍数X倍量

8 .数字问题:

解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n +1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字

9 ?优化方案问题：

在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一

般都要运用方程解答，得出最佳方案。

经典例题透析

类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题

例：甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机?这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

举一反三：【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发 2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

类型二：列二元一次方程组解决一一工程问题

例：一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？

举一反三：【变式3】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司

单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元?若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度

考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由

类型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题

例：有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率

为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？

举一反三：【变式4】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

（注：获利=售价一进价）

求该商场购进A、B两种商品各多少件;

类型四：列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题

例：小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25 %的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25 %的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税=利息金额X 20%，教育储蓄没有利息所得税）

举一反三：李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元?已知两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额X 20% ）

类型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题

例：某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米

这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

举一反三：【变式7】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

类型六：列二元一次方程组解决一一增长率问题

例：某工厂去年的利润（总产值一总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？

【变式10】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，

求这个城市的城镇人口与农村人口。

类型七：列二元一次方程组解决一一和差倍分问题

例：“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一

周内赶制出这批帐篷?为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6

倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务?求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？

举一反三：【变式11】（2011年北京门头沟区中考一模试题）“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一

项倡议?号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分一21时30分熄灯一小时，旨在通过一

个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活?中国内地去年和今年共有119个城市参加了

此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活

动.

类型八：列二元一次方程组解决一一数字问题

例：一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23 ;这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1 , 这个两位数是多少？

举一反三：【变式12】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位

置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？

类型九：列二元一次方程组解决一一浓度问题

例：现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是 3 ：7,乙种酒精溶液的酒精与水的比是 4 : 1，今要得到酒精与水的比为3 : 2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？

举一反三：【变式14】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？

类型十：列二元一次方程组解决一一几何问题

例：用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方

形的面积比矩形面积大多少？

举一反三：【变式16】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？

类型十一：列二元一次方程组解决一一年龄问题

例：今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？

举一反三：【变式17】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一?小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一

试求出今年小李的年龄?

类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：

例：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

(1) 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；

(2) 若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你

选择哪种进货方案？

举一反三：【变式18】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每

吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加

工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨.但两种加工方

式不能同时进行?受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加

工万案

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在

15天完成

你认为选择哪种方案获利最多？为什么?