初中数学关于“锐角三角函数”的知识梳理与习题分析
初中数学关于“锐角三角函数”的知识
梳理与习题分析
锐角三角函数是每年中考都会考到的内容，在考试中题目变化多样，问题新颖，同时也经常与勾股定理、四边形等数学知识相结合，关于锐角三角函数知识
的学习在初中数学教学中至关重要。本文首先对初中阶段的锐角三角函数相关知
识进行了简单的知识梳理，后就锐角三角函数常见的一些数学题型进行了整合与
分析，希望能够帮助教师更加具有针对性地展开锐角三角函数教学，进一步提升
学生关于这部分知识的学习效果。
锐角三角函数是苏教版九年级下册第七章的内容，也是初等数学中的基础知识，这部分内容的学习对于学生的知识应用与问题解决能力提升都起着重要的作用，同时也能有效增强学生的线性思维敏感度，为学生后续的三角函数学习打下
坚实的基础。
一、初中数学“锐角三角函数”的知识梳理
（一）锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c，那么：∠A的对边a与邻边b的比就叫做∠A的正切，也就是tanA，tanA==；
∠A的对边a与斜边c的比就叫做∠A的正弦，也就是sinA，sinA==；
∠A的邻边b与斜边c的比就叫做∠A的余弦，也就是cosA，cosA==。
关键点：1.在三角形中，锐角三角函数的数值与三条边的边长无关，而是与
三角形锐角的大小有关。
2.任何一个锐角都具有三角函数，并不因为这个角不在某个三角形中而不存在。
（二）特殊角的三角函数
1
01
关键点：锐角三角函数与锐角的角度可以互相推算，根据本表可以方便地了
解30°、45°、60°角的三角函数，反之也可以由锐角三角函数迅速得出这个角
的度数。
（三）锐角三角函数数值的变化
当∠A为锐角时，各三角函数的数值均为正数，当0°≤∠A≤90°时，sinA、tanA会随着角度的增大而增大，而cosA则会随着角度的增大而减小。
（四）三角函数之间的关系
1、互余角的三角函数关系
在Rt△ABC中，如果∠A与∠B互为余角，则Sin（90°-∠A）=cosA=sinB；cos（90°-∠A）=sinA=cosB。
2、平方关系
Sin²α+cos²α=1。
3、商数关系
Tanα=。
4、倒数关系
tanA*tan（90°-∠A）=1或tanA=。
二、初中数学“锐角三角函数”的习题分析
（一）锐角三角函数的定义
例1：如图，在网格中每一个小正方形的边长都为1，点A、B、C 都在格点上，则∠ABC的正切值为。
图一
解析：本题首先可以结合勾股定理进行计算，得出AC、AB的长，然后结合锐角三角函数的定义来进行作答。通过勾股定理的计算可以得知，AC=√2，
AB=2√2，BC=√10，又因为此三角形为直角三角形，所以tan∠B==。
变式：在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=。
答案：c=5，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=。
（二）特殊角的三角函数值的计算
例2：求下列式子的值。
（1）6tan²30°√3sin60°-2sin45°；
（2）√2sin60°-4cos²30°+sin45°*tan60°。
解析：这道题主要考查了三角形特殊角三角函数值相关的知识，学生需要对
特殊角三角函数的表格进行熟练记忆，并能够进行特殊角数值之间的推算与转换，遇到此类问题，学生可以先代入特殊角的三角函数数值，在进行化简计算。
（1）原式=6*（）²-√3* -2*=6* - -√2= -√2。
（2）原式=√2* -4*（）²+*√3= -3+=√6-3。
变式：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，
sinB=，cosB=。
答案：∠B=45°，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=。
（三）锐角三角函数之间的关系
例3：已知△ABC中的∠A与∠B满足（1-tanA）²+|sinB-|=0.
（1）是判断△ABC的形状；
（2）求（1+sinA）²-2√cosB*（3+tanC）º的值。
解析：本题主要考查学生对特殊角的三角函数值以及锐角三角函数之间关系
的掌握，熟记各特殊角度的三角函数值及各种关系是解决这类题目的关键。
（1）因为（1-tanA）²+|sinB-|=0，由此可以得出tanA=1，sinB=，因此，∠A=45°，∠B=60°，而∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°=60°=75°，△ABC为
锐角三角形。
（2）因为∠A=45°，∠B=60°，所以原式=（1+）²-2*√*1=。
（四）锐角三角函数的综合运用
例4：在△ABC中，∠B=45°，BA=10√2，CA=5√5，△ABC的面积为。
解析：本题考查学生对三角函数知识的综合运用情况，
可以通过画图建模来解决此类问题。
图二
结合已有的条件，可以将本题的图形绘制成图二，在图中可以过点A作
AD⊥BC（或BC的延长线），交BC（或BC的延长线）于点D。因为∠B为45°，
而sinB=，因此，AD=sinB*AB=*10√2=10，因为AD⊥BC，∠B=45°，由此可得△ADB为等腰三角形，AD=BD=10，而△ADC为直角三角形，因此DC=√（AC²-AD²）=5，接下来可以分为两种情况来分析。
①设△ABC为锐角三角形，那么△ABC的面积就等于*BC*AD=*（BD+DC）
*AD=*（10+5）*10=75；
②设△ABC为钝角三角形，那么△ABC的面积就等于*BC*AD=*（BD-DC）
*AD=*（10-5）*10=25。
三、结语
总而言之，学生在学习关于锐角三角函数相关的数学知识时，首先应该理解
本章教材中所提到的锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数数值以及三角函数
之间的关系，其次，学生需要结合数学问题对这部分知识进行知识的迁移与应用，将这部分的知识迁移到实际生活当中，将实际问题转化为数学问题，再进一步地
进行解决。
备战中考数学综合题专题复习【锐角三角函数】专题解析附答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案． 试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°， ∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==， ∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线． （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20 【解析】 试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可； （2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可． 试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB， ∵∠CAB=2∠BCP， ∴∠BCP=∠CAN， ∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°， ∵点D在⊙O上， ∴直线CP是⊙O的切线； （2）如图，作BF⊥AC ∵AB=AC，∠ANC=90°， ∴CN=CB=， ∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=， ∴sin∠CAN=，
初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案解析
初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为（） A．43B．12﹣43C．12﹣63D．63 【答案】B 【解析】 【分析】 过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，进而可得出答案． 【详解】 解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122， ∴BC＝AC＝122． ∵AB∥CF， ∴BM＝BC×sin45°＝ 2 12212 ?= CM＝BM＝12， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°， ∴∠EDF＝60°， ∴MD＝BM÷tan60°＝43， ∴CD＝CM﹣MD＝12﹣43． 故选B． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
2．菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=3 5 ,则下列结论正确的个数有（） ①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm2; ④BD=210cm． A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C 【解析】 【分析】 根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案 【详解】 ∵菱形ABCD的周长为20cm ∴AD=5cm ∵sinA=3 5 ∴DE=3cm（①正确） ∴AE=4cm ∵AB=5cm ∴BE=5﹣4=1cm（②正确） ∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确） ∵DE=3cm,BE=1cm ∴BD=10cm（④不正确） 所以正确的有三个． 故选C． 【点睛】 本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（） A．23B．3C．33D．3 【答案】A 【解析】 【分析】
初中数学关于“锐角三角函数”的知识梳理与习题分析
初中数学关于“锐角三角函数”的知识 梳理与习题分析 锐角三角函数是每年中考都会考到的内容，在考试中题目变化多样，问题新颖，同时也经常与勾股定理、四边形等数学知识相结合，关于锐角三角函数知识 的学习在初中数学教学中至关重要。本文首先对初中阶段的锐角三角函数相关知 识进行了简单的知识梳理，后就锐角三角函数常见的一些数学题型进行了整合与 分析，希望能够帮助教师更加具有针对性地展开锐角三角函数教学，进一步提升 学生关于这部分知识的学习效果。 锐角三角函数是苏教版九年级下册第七章的内容，也是初等数学中的基础知识，这部分内容的学习对于学生的知识应用与问题解决能力提升都起着重要的作用，同时也能有效增强学生的线性思维敏感度，为学生后续的三角函数学习打下 坚实的基础。 一、初中数学“锐角三角函数”的知识梳理 （一）锐角三角函数 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c，那么：∠A的对边a与邻边b的比就叫做∠A的正切，也就是tanA，tanA==； ∠A的对边a与斜边c的比就叫做∠A的正弦，也就是sinA，sinA==； ∠A的邻边b与斜边c的比就叫做∠A的余弦，也就是cosA，cosA==。 关键点：1.在三角形中，锐角三角函数的数值与三条边的边长无关，而是与 三角形锐角的大小有关。
2.任何一个锐角都具有三角函数，并不因为这个角不在某个三角形中而不存在。 （二）特殊角的三角函数 1 01 关键点：锐角三角函数与锐角的角度可以互相推算，根据本表可以方便地了 解30°、45°、60°角的三角函数，反之也可以由锐角三角函数迅速得出这个角 的度数。 （三）锐角三角函数数值的变化 当∠A为锐角时，各三角函数的数值均为正数，当0°≤∠A≤90°时，sinA、tanA会随着角度的增大而增大，而cosA则会随着角度的增大而减小。 （四）三角函数之间的关系 1、互余角的三角函数关系 在Rt△ABC中，如果∠A与∠B互为余角，则Sin（90°-∠A）=cosA=sinB；cos（90°-∠A）=sinA=cosB。 2、平方关系
人教版初中数学锐角三角函数的全集汇编含答案解析
人教版初中数学锐角三角函数的全集汇编含答案解析 一、选择题 1．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12 CD 为半径作弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则下列说法错误的是（ ） A ．60ABC ∠=︒ B ．2ABE ADE S S ∆=V C ．若AB=4，则7BE = D ．21sin 14 CBE ∠= 【答案】C 【解析】 【分析】 由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12 CE=1，337 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE= 21EH BE =． 【详解】 解：由作法得AE 垂直平分CD ， ∴∠AED=90°，CE=DE ， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD=2DE ， ∴∠DAE=30°，∠D=60°， ∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确； ∵AB=2DE ， ∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确； 作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，
在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°， CH=1 2 CE=1，EH=3CH=3， 在Rt△BEH中，BE=22 (3)527 +=，所以C选项的说法错误； sin∠CBE= 321 14 27 EH BE ==，所以D选项的说法正确． 故选C． 【点睛】 本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形． 2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tan ABC ∠=（） A 3 B 3 C 3 D 3 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用EC tan ABC BE ∠=得出答案． 【详解】
中考数学锐角三角函数综合题含答案解析
中考数学锐角三角函数综合题含答案解析 一、锐角三角函数 1．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数： （1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为； （2）如图2，若k=3，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数． （3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由． 【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析. 【解析】 分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； （2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； （3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； 详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF， ∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形， ∴BD=AF，BF=AD． ∵AC=BD，CD=AE， ∴AF=AC． ∵∠FAC=∠C=90°，
∴△FAE ≌△ACD ， ∴EF=AD=BF ，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°． ∵EF=BF ， ∴∠FBE=45°， ∴∠APE=45°． （2）（1）中结论不成立，理由如下： 如图2，过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BF ∥AD 相交于F ，连接EF ， ∴∠FBE=∠APE ，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF 是平行四边形， ∴BD=AF ，BF=AD ． ∵3BD ，3AE ， ∴ 3AC CD BD AE ==． ∵BD=AF ， ∴ 3AC CD AF AE ==． ∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE ∽△ACD ， ∴ 3AC AD BF AF EF EF ===，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°． 在Rt △EFB 中，tan ∠FBE=3 EF BF = ∴∠FBE=30°， ∴∠APE=30°， （3）（2）中结论成立，如图3，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，EH ，DH 相交于H ，连接AH ，
精品解析2022年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数难点解析试题(含答案及详细解析)
人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟 2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上 3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。 第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、如图，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则cos ∠ACB 的值为（ ） A ．12 B C D 2、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线14y k x =+与y 轴交于点C ，与反比例函数2k y x = 在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ，若2OBC S ∆=，1 tan 5 BOC ∠=，则2k 的值是（ ） A ．-20 B ．20 C ．－5 D ．5
3、如图，在33 ⨯的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则tan BAC ∠的值是（） A．1 2B．25 5 C．5 3 D． 2 3 4、如图，过点O、A(1，0)、B(0作⊙M，D为⊙M上不同于点O、A的点，则∠ODA的度数为（） A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150° 5、如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0＜α＜120°）得到 △AB'C'，B'C'与BC、AC分别交于点D、点E，设CD+DE＝x，△AEC'的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》单元复习及典型例习题(含答案)
锐角三角函数 第一部分同角三角函数 “做一做” 从表中不难得出： 130cos 30sin 0 2 2 =+ ， 00 30tan 30 cos 30sin = 145cos 45sin 0 2 2 =+ ， 0 045tan 45 cos 45sin = 160cos 60sin 0 2 2 =+ ， 00 60tan 60cos 60sin = 那么，对于任意锐角A ，是否存在1cos sin 2 2 =+B A ，A A A tan cos sin =呢？ 事实上，同角三角函数之间，具有三个基本关系： 如图，在0 90,=∠∆C ABC Rt ，C B A ∠∠∠,,所对的边依次为a ，b ，c 则 ①1cos sin 2 2 =+B A （平方关系） ②A A A cos sin tan = ，A A A sin cos cot = （商的关系） ③1cot tan =⋅A A （倒数关系） 证明：①222,cos ,sin c b a c b A c a A =+==
1cos sin 222 222 22 2==+=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∴c c c b a c b c a A A 即 1cos sin 2 2 =+A A ②a b A b a A c b A c a A ==== cot ,tan ,cos ,sin A b a b c c a c b c a A A tan cos sin ==⋅==∴ A a b a c c b c a c b A A cot sin cos ==⋅== 即 A A A cos sin tan =，A A A sin cos cot = ③a b A b a A ==cot ,tan 1cot tan =⋅=⋅∴a b b a A A 即 1cot tan =⋅A A 通过以上证明，可以得出以下结论： ①对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的平方和等于1，即1cos sin 2 2 =+A A ． ②对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的商等于A ∠的正切，即A A A cos sin tan =． ③对于任意锐角A ，A ∠的余弦与正弦的商等于A ∠的余切，即A A A sin cos cot =． ④对于任意锐角A ，A ∠的正切和余切互为倒数，1cot tan =⋅A A ． 运用以上关系，在计算、解题的过程中，可以简化计算过程． 例1 已知A ∠为锐角，,5 3 cos =A 求A A tan sin ，． 解：A ∠ 为锐角 1sin 0<<∴A 又 ,1cos sin 2 2 =+A A 5 3cos = A 542516531cos 1sin 2 2 ==⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=-=∴A A
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)
锐角三角函数 我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、 c ，则有：sin cos a A B c = =，cos sin b A B c ==，tan a A b =，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系． 一、余角关系 由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ． 因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换． 例１ 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1 sin 2 A =，BD ＝2，求BC 的长． 解：由于∠A ＋∠B ＝90°， 所以1 cos sin(90)sin 2 B B A =-==． 在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以21 2BC =． 所以BC ＝4． 二、平方关系 由定义知sin a A c = ，cos b A c =， 所以22222 2 222 sin cos a b a b A A c c c ++=+=（sin 2A 、cos 2 A 分别表示sin A 、cos A 的平方）． 又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2， 所以sin 2 A +cos 2 A =2 2c c =1． 应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算． 例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．
【新】九年级下册数学 人教版 锐角三角函数重要考点(分类知识点讲解+练习题)
锐角三角函数重要考点 知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，222c b a =+。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要，一定要背！) 5、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大 7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 8、应用举例： （1）仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 对边 b a c
（2）坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即 h i l =。坡度一般写成 1:m 的形式，如1:5 i=等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α ==。 （3）从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。 （4）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向），南偏东45°（东南方向）， 南偏西45°（西南方向），北偏西45°（西北方向）。 题型一直角三角形求值 例题： 1、已知Rt△ABC中，, 12 , 4 3 tan , 90= = ︒ = ∠BC A C求AC、AB和cosB． 2、已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，⋅ = ∠ 4 3 sin AOC求：AB及OC的长．仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角
(易错题精选)初中数学锐角三角函数的知识点总复习附答案解析(1)
（易错题精选）初中数学锐角三角函数的知识点总复习附答案解析(1) 一、选择题 1．如图，△ABC 的外接圆是⊙O ，半径AO=5，sinB=25 ，则线段AC 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．5 【答案】C 【解析】 【分析】 首先连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O 的半径是5，sinB= 25 ，即可求得答案． 【详解】 解：连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ， 由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°， ∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧AC ， ∴∠B=∠D ，即sinB=sinD= 25， ∵半径AO=5， ∴CD=10， ∴2sin 105 AC AC D CD = ==， ∴AC=4， 故选：C. 【点睛】 本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键. 2．如图，在ABC ∆中，4AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ）
A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD−DE 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90︒ 在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45︒ ∴AD=CD=22在Rt △ADB 中，AD=22ABD=60︒ ∴326． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠EBD=30°． 在Rt △EBD 中，BD=263 ，∠EBD=30° ∴3223 ∴AE=AD −DE=22223=23 故选：C 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形． 3．如图，在ABC ∆中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且12 MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ∆的面积减去CNE ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
九年级数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案
九年级数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案 一、锐角三角函数 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ︒ =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答：从无人机'A 上看目标D 2 35
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，. （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形 （2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP 试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC ∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF ∵AD//BC ∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF ∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF ∴AB=BE AB=AF ∴AF=AB=BE ∵AD//BC ∴ABEF为平行四边形 又AB=BE ∴ABEF为菱形 （2）作PH⊥AD于H
锐角三角函数的计算——特殊角的三角函数值(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册知识讲练
专题1.5 锐角三角函数的计算——特殊角的三角函数值 （专项练习） 一、单选题 1．tan45°＝（ ） A ．1 B ． 22 C 3 D 323 ）． A ．cos30︒ B ．tan30︒ C ．cos45︒ D ．sin30︒ 3．点()sin60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（ ）． A ．132⎛- ⎝⎭ B ．13,2⎛ ⎝⎭ C ．33⎛ ⎝⎭ D ．33⎝⎭ 4．已知()3tan 903α︒-=α的度数是（ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．75° 5．在△ABC 中，∠C =90°，AB 2BC =1，则∠A 的度数为（ ） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．75︒ 6．关于三角函数有如下的公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-，由该公式可求得 sin15︒的值是（ ） A 62 +B 62 -C 32 -D 31 -7．若 ) 2 3A 3 2cos B 30-+=，则ABC 的形状是（ ） A ．含有60°直角三角形 B ．等边三角形 C ．含有60°的任意三角形 D ．等腰直角三角形 82x 0（x ≠0），cos30°38 ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．如图，30BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DF AB ⊥交AB 于F ，DE DF ⊥交AC 于E ．若 8AE =，则DF 等于（ ）
A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 10．如果∠A 为锐角，cos A 3 ∠A 取值范围是（ ） A ．0°＜∠A ≤30° B ．30°＜∠A ≤45° C ．45°<∠A<60° D ．60°＜∠A ＜90° 二、填空题 11．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos∠AOB 的值等于______ 12．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则AOB ∠的正切值是______． 13．两块全等的等腰直角三角形如图放置，90,A DE ∠=︒交AB 于点P ，E 在斜边BC 上移动，斜边EF 交AC 于点Q ，32,10BP BC ==，当BPE 是等腰三角形时，则AQ 的长为___________． 14．如图，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴正半轴上，5BC =，4 sin 5 CBA ∠= ，一次
中考数学提高题专题复习锐角三角函数练习题及答案解析
中考数学提高题专题复习锐角三角函数练习题及答案解析 一、锐角三角函数 1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为»AC 上的动点，且 10 cos B =. (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•A E 的值；若变化，请说明理由. (3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+. 【答案】(1) 10AB (2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长； （2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG= 1 3 ，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ， ∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=1 2BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10 cos 10 BF B == （2）连接DG ， ∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD•AE=AF•AG ， 连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ， ∵22AB BF -=3， ∴FG= 13 ，
江西九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合知识点总结(答案解析)
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，延长PO 交⊙O 于点C ，若 60APB ∠=︒，6PC =，则AC 的长为（ ） A ．4 B ．22 C ．23 D ．33 2．已知如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=23，AB=4，连接AC ，若∠CAD=30°，则CD 为（ ） A ．223+ B ．27 C ．1033 D ．123+ 3．在Rt ABC 中，90,C a b c ∠=︒、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，如果3,4a b ==，那么下列等式中正确的是( ) A ．4sin 3A = B ．4cos 3A = C ．4tan 3A = D ．4cot 3A = 4．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明先将PB 拉到'PB 的位置，测得(''PB C a B C ∠=为水平线），测角仪/B D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为（ ） A ．11sin a +米 B ．11cos a -米 C ．11sin a -米 D ．11cos a +米 5．如图，△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为（ ）
A ．12 B ．55 C ．2 D ．255 6．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，tan ∠B ＝2，则AC 的长为 （ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．25 7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，点E 是边BC 上一动点，B 关于AE 的对称点为B ′，过B ′作B ′F ⊥DC 于F ，连接DB ′，若△DB ′F 为等腰直角三角形，则BE 的长是（ ） A ．6 B ．3 C ．32 D ．62﹣6 8．某兴趣小组想测量一座大楼 AB 的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC ，已知 BC 的长为 12 米它的坡度1:3i = ．在离 C 点 40 米的 D 处，用测量仪测得大楼顶端 A 的仰角为 37度，测角仪D E 的高度为 1.5米，求大楼AB 的高度约为（ ）米 （sin 370.60,cos370.80,tan 370.75,3 1.73︒=︒=︒==） A ．39.3 B ．37.8 C ．33.3 D ．25.7 9．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，延长CA 到点D ，使AD AB =，连接BD .根据此图形可求得tan15︒的值是( )
北师大版九年级下册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(提高版)(家教、补习、复习用)
北师大版九年级下册数学 全册知识点梳理及重点题型巩固练习 锐角三角函数—知识讲解 【学习目标】 1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义； 2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边． 锐角A 的对边与斜 边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边； 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b A c ∠= =的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，， ，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成 “tanAEF ”；另外， 、 、 常写成 、 、 ． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0． 要点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° B C a b c