高中数学会考知识点总结(超级经典)
数学学业水平复习知识点
第一章 集合与简易逻辑
1、 集合
（1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。 （2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）；
（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作φ，φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）； （4）、元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ；
（5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N ；整数集：Z ；整数：Z ；有理数集：Q ；实数集：R 。 2、子集
（1）、定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ⊆B ， 注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ
（2）、性质：①、A A A ⊆⊆φ,；②、若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；③、若A B B A ⊆⊆,则A =B ； 3、真子集
（1）、定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂； （2）、性质：①、A A ⊆≠φφ,；②、若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；
4、补集
①、定义：记作：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；
②、性质：A A C C U A C A A C A U U U U
===）（，， φ； 5、交集与并集
（1）、交集：}|{B x A x x B A ∈∈=且
性质：①、φφ== A A A A , ②、若B B A = ，则A B ⊆ （2）、并集：}|{B x A x x B A ∈∈=或
性质：①、A A A A A ==φ , ②、若B B A = ，则B A ⊆
6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）
A
B
B
A
不等式解集的边界值是相应方程的解
含参数的不等式ax 2＋b x ＋c>0恒成立问题⇔含参不等式ax 2
＋b x ＋c>0的解集是R ； 其解答分a ＝0(验证bx ＋c>0是否恒成立)、a ≠0（a<0且△<0）两种情况。 7、绝对值不等式的解法：（“＞”取两边，“＜”取中间）
（1）、当0>a 时，a x >||的解集是},|{a x a x x >-<，a
x <||的解集是}|{a x a x <<- （2）、当0>c 时，c b ax c b ax c b ax >+-<+⇔>+,||， c b ax c c b ax <+<-⇔<+|| （3）、含两个绝对值的不等式：零点分段讨论法：例：2|12||3|>++-x x 8、简易逻辑：
（1）命题：可以判断真假的语句；逻辑联结词：或、且、非；
简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题； 三种形式：p 或q 、p 且q 、非p ； 判断复合命题真假：
[1]、思路：①、确定复合命题的结构， ②、判断构成复合命题的简单命题的真假， ③、利用真值表判断复合命题的真假； [2]、真值表：p 或q ，同假为假，否则为真； p 且q ，同真为真；非p （2）、四种命题：
原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若⌝p 则⌝q ； 逆否命题：若⌝q 则⌝p ；
互为逆否的两个命题是等价的。 原命题与它的逆否命题是等价命题。
（3）、反证法步骤：假设结论不成立→推出矛盾→否定假设。 （4）、充分条件与必要条件： 若q p ⇒，则p 叫q 的充分条件； 若q p ⇐，则p 叫q 的必要条件； 若q p ⇔，则p 叫q 的充要条件；
第二章 函数
1、映射：按照某种对应法则f ，集合A 中的任何一个元素，在B 中都有唯一确定的元素和它对应， 记作f ：A →B ，若B b A a ∈∈,，且元素a 和元素b 对应，那么b 叫a 的象，a 叫b 的原象。
2、函数：（1）、定义：设A ，B 是非空数集，若按某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，就称f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f （x ）， （2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量x 的取值范围叫函数的定义域，函数值f （x ）的范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；
（3）、函数的表示法常用：解析法，列表法，图象法（画图象的三个步骤：列表、描点、连线）； （4）、区间：满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫闭区间，表示为：[a ，b ] 满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫开区间，表示为：（a ，b ）
满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫半开半闭区间，分别表示为：[a ，b ）或（a ，b ]； （5）、求定义域的一般方法：①、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为R ； ②、分式：分母0≠，0次幂：底数0≠，例：|
3|21
x y -=
③、偶次根式：被开方式0≥，例：225x y -=
④、对数：真数0>，例：)11(log x
y a -
= （6）、求值域的一般方法：①、图象观察法：|
|2.0x y = ②、单调函数：代入求值法： ]3,3
1
[),13(log 2∈-=x x y ③、二次函数：配方法：)5,1[,42
∈-=x x x y ， 222++-=
x x y
④、“一次”分式：反函数法：12+=
x x
y ⑤、“对称”分式：分离常数法：x
x
y sin 2sin 2+-=
⑥、换元法：x x y 21-+= （7）、求f （x ）的一般方法：
①、待定系数法：一次函数f （x ），且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求f （x ） ②、配凑法：,1
)1(22x
x x x f +=-
求f （x ） ③、换元法：x x x f 2)1(+=+，求f （x ）
④、解方程（方程组）：定义在（-1，0）∪（0，1）的函数f （x ）满足x
x f x f 1
)()(2=-，求f （x ） 3、函数的单调性：
（1）、定义：区间D 上任意两个值21,x x ，若21x x <时有)()(21x f x f <，称)(x f 为D 上增函数； 若21x x <时有)()(21x f x f >，称)(x f 为D 上减函数。（一致为增，不同为减） （2）、区间D 叫函数)(x f 的单调区间，单调区间⊆定义域；
（3）、判断单调性的一般步骤：①、设，②、作差，③、变形，④、下结论 （4）、复合函数)]([x h f y =的单调性：内外一致为增，内外不同为减； 4、反函数：函数)(x f y =的反函数为)(1
x f y -=；函数)(x f y =和)(1x f y -=互为反函数；
反函数的求法：①、由)(x f y =，解出)(1
y f x -=，
②、y x ,互换，写成)(1x f y -=，③、写出)(1
x f y -=的定义域（即原函数的值域）；
反函数的性质：函数)(x f y =的定义域、值域分别是其反函数)(1
x f y -=的值域、定义域；
函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1
x f
y -=的图象关于直线x y =对称；
点（a ，b ）关于直线x y =的对称点为（b ，a ）；
5、指数及其运算性质：（1）、如果一个数的n 次方根等于a （*
,1N n n ∈>），那么这个数叫a 的n 次方根；
n
a 叫根式，当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)
0()
0(||a a a a a a n n
（2）、分数指数幂：正分数指数幂：n m n
m a a
=；负分数指数幂：n
m n
m
a
a
1=
-
0的正分数指数幂等于1，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）； （3）、运算性质：当Q s r b a ∈>>,,0,0时：r r r rs s r s
r s
r
b a ab a a a
a a ===⋅+)(,)(,，r
r
a a 1
=；
6、对数及其运算性质：（1）、定义：如果)1,0(≠>=a a N a b
，数b 叫以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，其中a 叫底数，N 叫真数，以10为底叫常用对数：记为lgN ，以e=2.7182828…为底叫自然对数：记为lnN
（2）、性质：①：负数和零没有对数，②、1的对数等于0：01log =a ，③、底的对数等于1：1log =a a ，④、积的对数：N M MN a a a log log )(log +=， 商的对数：N M N
M
a a a
log log log -=， 幂的对数：M n M a n a log log =， 方根的对数：M n
M a n a log 1
log =，
7、指数函数和对数函数的图象性质
第三章 数列
（一）、数列：（1）、定义：按一定次序排列的一列数叫数列；每个数都叫数列的项； 数列是特殊的函数：定义域：正整数集*
N （或它的有限子集{1，2，3，…，n}），
值域：数列本身，对应法则：数列的通项公式；
（2）、通项公式：数列{n a }的第n 项n a 与n 之间的函数关系式；例：数列1，2，…，n 的通项公式n a = n 1，-1，1，-1，…，的通项公式n a =1
)
1(--n ； 0，1，0，1，0，…，的通项公式n a 2
)1(1n
-+=
（3）、递推公式：已知数列{n a }的第一项，且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系用一个公式表示，这个公式叫递推公式；例：数列{ n a }：11=a ，1
1
1-+
=n n a a ，求数列{ n a }的各项。 （4）、数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321； 数列前n 项和与通项的关系：⎩⎨
⎧≥-===-)2()
1(111n S S n S a a n n
n
（二）、等差数列 ：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
（2）、通项公式：d n a a n )1(1-+= （其中首项是1a ，公差是d ；整理后是关于n 的一次函数）， （3）、前n 项和：1．2
)(1n n a a n S +=
2. d n n na S n 2)
1(1-+=（整理后是关于n 的没有常数项的二次函数） （4）、等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2
b
a A +=
或b a A +=2 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 （5）、等差数列的判定方法：
①、定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 ②、等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 （6）、等差数列的性质：
①、等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有
d m n a a m n )(-+=
②、等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。
也就是： =+=+=+--2
3121n n n a a a a a a ，如图所示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ++---11
2,,,,,,12321
③、若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*
N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。
如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++
④、设数列
{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，
则有：前n 项的和偶
奇S S S n +=， 当n 为偶数时，d
2n S =
-奇偶S ，其中d 为公差；
当n 为奇数时，则
中
偶奇a S =-S ，
中奇a 21n S +=
，中
偶a 21
n S -=（其中中a 是等差数列的中间一项）。
⑤、等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'
12-n S ，则
'1
2
1
2--=n n n n S S b a 。 （三）、等比数列：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。 （2）、通项公式：11-=n n q a a （其中：首项是1a ，公比是q ）
（3）、前n 项和] ⎪⎩⎪⎨⎧
≠--=--==)
1(,1)1(1)1(,111q q q a q
q a a q na S n
n n （推导方法：乘公比，错位相减）
说明：①)1(1)
1(1≠--=q q
q a S n n ○2)1(11
≠--=q q q a a S n n ○
3当1=q 时为常数列，1na S n =，非0的常数列既是等差数列，也是等比数列 （4）、等比中项：
如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。 也就是，如果是的等比中项，那么G
b a G =，即ab G =2
（或ab G ±=，等比中项有两个）
（5）、等比数列的判定方法： ①、定义法：对于数列{}n a ，若
)0(1
≠=+q q a a n
n ，则数列{}n a 是等比数列。
②、等比中项：对于数列{}n a ，若2
12++=n n n a a a ，则数列{
}n a 是等比数列。 （6）、等比数列的性质：
①、等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等比数列的第m 项，且n m ≤， 公比为q ，则有m n m n q a a -=
②、对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅
也就是： =⋅=⋅=⋅--2
3121n n n a a a a a a 。如图所示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---11
2,,,,,,12321
③、若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。
如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++
（7）、求数列的前n 项和的常用方法：分析通项，寻求解法
2)1(321+=
++++n n n ，2)12(531n n =-++++ ，
)12)(1(6
1
3212222++=++++n n n n ①公式法：“差比之和”的数列：=⨯-++⨯-+⨯----)532()532()532(21n ②、并项法： =-++-+--n n 1)1(4321 ③、裂项相消法：=-++++
n n )1(161211 =+++
+++
++
+1
14
313
212
11n n
④、到序相加法：
⑤、错位相减法：“差比之积”的数列：=++++-1
2
321n nx x x
第四章 三角函数
1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角； （2）、与α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360| αββ}
（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。
2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 （2）、度数与弧度数的换算：π=
180弧度，1弧度
)180
( =π
（3）、弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数） 扇形面积：2||2
1
21r lr S α===
3、三角函数 （1）、定义：（如图） （2）、各象限的符号：
y
r y x r x x
r
x y r y ======ααααααcsc cot cos sec tan sin
（3）、 特殊角的三角函数值
αsin
x
y
+ +
_ _
O
x
y
+
+
_
_ αcos
O
αtan
x
y
+ +
_
_
O
=
r
4、同角三角函数基本关系式
（１）平方关系： （２）商数关系： （３）倒数关系：
1cos sin 22=+αα αααc o s
s i n
t a n =
1c o t t a n =αα
αα22sec tan 1=+ αααs i n
c o s
c o t =
1c s c s i n =αα
αα22csc cot 1=+ 1sec cos =αα
（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”）
①、αα22cos 1sin -=， αα2cos 1sin -±=；αα2
2sin 1cos -=， αα2sin 1cos -±=；
②θ
θθθθθθ2sin 2cos sin sin cos cot tan 22=+=+，ααα
ααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-
③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， |cos sin |2sin 1ααα±=± 5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
公式一： ααααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(=︒⋅+=︒⋅+=︒⋅+k k
k
公式二： 公式三： 公式四： 公式五：
ααααααtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(-=-︒-=-︒=-︒ α
αααααtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(=+︒-=+︒-=+︒ ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- α
αααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(-=-︒=-︒-=-︒
补充：ααπααπααπ
cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(=-=-=- ααπ
ααπααπ
cot )2
tan(sin )2
cos(cos )2
sin(-=+-=+=+ α
απααπααπcot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(=--=--=- ααπααπααπcot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(-=+=+-=+
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
)(βα+S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ )(βα-S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-
)(βα+C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a )(βα-C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a
αsec αsin
αtan αcot
)(βα+T ：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+ )(βα-T ：β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
- )(βα+T 的整式形式为：)tan tan 1()tan(
tan tan βαβαβα-⋅+=+ 例：若︒=+45B A ，则2)tan 1)(tan 1(=++B A ．（反之不一定成立）
7、辅助角公式：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 2
22222 )sin()sin cos cos (sin 2222ϕϕϕ+⋅+=⋅+⋅+=x b a x x b a
（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点),(b a ，a
b =
ϕtan ） （多用于研究性质） 8、二倍角公式：（1）、α2S ： αααcos sin 22sin =
（2）、降次公式：（多用于研究性质）
α2C ： ααα2
2sin cos 2cos -= ααα2sin 21
cos sin =
1cos 2sin 212
2-=-=αα 2
12cos 2122cos 1sin 2+-=-=
ααα α2T ： ααα
2t a n
1t a n 22t a n -= 212cos 2122cos 1cos 2
+=+=ααα （3）、二倍角公式的常用变形：①、|sin |22cos 1αα=-， |cos |22cos 1αα=+；
②、
|sin |2cos 2121αα=-， |cos |2cos 2
121αα=+
③、2
2sin 1cos sin 21cos sin 22
2
4
4
ααααα-=-=+； ααα2cos sin cos 4
4=-；
④半角：2cos 12
sin
αα
-±
=，2cos 12cos αα+±=，α
ααcos 1cos 12tan +-±=αααα
cos 1sin sin cos 1+=-=
9、三角函数的图象性质
（1）、函数的周期性：①、定义：对于函数f （x ），若存在一个非零常数T ，当x 取定义域内的每一个值时，都有：f （x +T ）= f （x ），那么函数f （x ）叫周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期；
②、如果函数f （x ）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f （x ）的最小正周期。 （2）、函数的奇偶性：①、定义：对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，
都有：f （-x ）= - f （x ），则称f （x ）是奇函数，f （-x ）= f （x ），则称f （x ）是偶函数
②、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称； ③、奇函数，偶函数的定义域关于原点对称； （3）、正弦、余弦、正切函数的性质（Z k ∈）
x y sin =图象的五个关键点：（0，0），（
2
，1），（π，0），（2，-1），（π2，0）；
x y cos =图象的五个关键点：（0，1），（π
，0），（π，-1），（3π，0），（π2，1）；
x y sin =的对称中心为（0,πk ）；对称轴是直线2
π
π+
=k x ； )s i n (ϕω
+=x A y 的周期ω
π
2=T ；
x y cos =的对称中心为（0,2ππ+k ）；对称轴是直线πk x =； )c o s (ϕω+=x A y 的周期ω
π
2=T ；
x y tan =的对称中心为点（0,πk ）和点（0,2ππ+k ）； )tan(ϕω+=x A y 的周期ω
π
=T ；
(4)、函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的相关概念：
)sin(ϕω+=x A y 的图象与x y sin =的关系：
①振幅变换：x y sin = x A y sin =
②周期变换：x y sin = x y ωsin =
③相位变换：x y sin =
)sin(ϕ+=x y 当A 1>时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A 倍
当<0A 1<时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A 倍 当1>ω
时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的
ω
1
倍
当<01<ω时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的ω
1倍 当0>ϕ时，图象上的各点向左平移ϕ个单位倍
当0<ϕ时，图象上的各点向右平移||ϕ个单位倍 当0>ϕ时，图象上的各点向左平移
ωϕ
个单位倍
当0<ϕ
时，图象上的各点向右平移||
ϕ
个单位倍
④平移变换：x A y ωsin = )sin(ϕω+=x A y
常叙述成： ①把x y sin =上的所有点向左（0>ϕ时）或向右（0<ϕ时）平移|ϕ|个单位得到
)sin(ϕ+=x y ；
②再把)sin(ϕ+=x y 的所有点的横坐标缩短（1>ω）或伸长（<01<ω）到原来的ω
1
倍（纵坐标不变）
得到)sin(ϕω+=x y ；