2017数学花园探秘初赛六年级讲义学生版

第一讲计算与计数

常用公式

1、()

1321+=++n n n 末项＝首项＋（项数一1)×公差；

数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；

项数=（末项-首项）÷公差＋1；

公差=（末项－首项）÷（项数－1）；

2、()()

12121222++=+++n n n n 3、()()4

121212

22333+=++=+++n n n n 4、131171001???=?=abc abc abcabc 6006610016131177877=?=???=??如：5、()()

b a b a b a -+=-226、()()2

12311321n n n n =+++++++-++++ 7、1211111=?12321111111=?1

12345654321111112=8、111111111

912345679=?9、()k

n n k n n k +-=+?1110、()()()

12231123n n n n n ?+?++?+=++ 11、完全平方和公式：()222

2b ab a b a ++=+12、完全平方差公式：()222

2b ab a b a +-=-循环小数

一、把循环小数的小数部分化成分数的规则

①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。

10015022541112224442010个个个…＋…＋…＋计算结果的数字和是．

【2】（2011年迎春杯初赛六年级第7题）定义运算：a b a b ??=

+，算式920102010201020102010?????? 共颗“”的计算结果是．

【3】（2009年迎春杯初赛六年级第6题）计算：89109101110111211121378910111178910

＋＋＋＋＋＋＋＋－－＋－________．【4】（2015年迎春杯初赛六年级第1题）算式2015143199163135115131???? ??+++++的计算结果是．

5717191155()234345891091011?+++????????…=．

【6】（2010年迎春杯初赛六年级第3题）满足图中算式的三位数abc 最小值是______．a b c

?【7】（2012年迎春杯初赛六年级第4题）

在右图中的除法竖式中，被除数为．

如图，一道除法竖式中已经填出了“2016”和“0”，那么被除数是．

【9】（2011年迎春杯初赛六年级第15题）已知算式19.1220102=-+-I GH

F DE ABC 中的A ,B ,C ,D ,E ,F ,

G ,

H ,

I 表示1～9中各不相同的数字．那么，五位数ABCDE ＝．

【10】（2013年迎春杯初赛六年级第6题）

在3×3的九宫格内填入数字1至9（每个数字都恰好使用一次），满足圆圈内的数恰好为它周围四个方格的数字之和，例如A +B +D +E =28，那么ACEGI 组成的五位数是．

跑跑家族七人分别要通过右图中7个门完成挑战；第一个人可以任选一个门激活，完成挑战后，将会激活左右相邻的门；下一个人可以在已激活的门中任选一个未被挑战的门挑战，完成挑战后将会激活左右相邻门中未被激活的门；以此类推.结果七人全部都完成了挑战，按照他们挑战的次序将7个门的编号排序将会得到一个七位数，这个七位数一共有种不同的可能。

【12】（2013年迎春杯初赛六年级第4题）

由2、0、1、3四个数字组成（可重复使用）的比2013小的四位数有个．

【13】（2015年迎春杯初赛六年级第8题）

甲、乙、丙三户人家打算订阅报纸，共有7种不同的报纸可供选择，已知每户人家都订三份不同的报纸，并且知道这三户人家每两户所订的报纸恰好有一份相同，那么三户人家共有种不同的订阅方式．

将5枚棋子放入下图编号的4×4表格的格子中，每个格子最多放一枚，如果要求每行，每列都有棋子，那么共有_____

种不同放法．

【15】（2011年迎春杯初赛六年级第10题）

如图，一个6×6的方格表，现将数字1~6填入空白方格中，使得每一行、每一列数字1~6都恰好出现一次；图中已经填了一些数字．那么剩余空格满足要求的填写方法一共有种．【16】（2009年迎春杯初赛六年级第12题）

对于由1--5组成的无重复数字的五位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的一次置换操作：记首位数字为K ，则将数字K 与第K 位上的数字对换。例如，24513可进行两次置换：24513→42513→12543．可以进行4次置换的五位数有多少个？12345

2654321

国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有△的位置），要走到第八行第五列（图2中标有★的位置），最短路线有______

条．

【18】（2012年迎春杯初赛六年级第8题）

有一个6×6的正方形，分成36个1×1的正方形．选出其中一些1×1的正方形并画出它们的对角线，使得所画出的任何两条对角线都没有公共点，那么最多可以画出_______

条对角线．

练习

【1】（2016年迎春杯初赛六年级第1题）算式321161814121112016+++++?的计算结果是．

【2】（2009年迎春杯初赛六年级第1题）

计算：25×（25

231...751531311?++?+?+?）=_______．

算式656177515143.45212.47.52013+?+??+??的计算结果是．

【4】（2011年迎春杯初赛六年级第1题）

今天是2010年12月19日，欢迎同学们参加北京第27届“数学解题能力展示”活动．那么，1027100121910002010++计算结果的整数部分是．

【5】（2012年迎春杯初赛六年级第1题）算式12301120131215617219???? ??++++的计算结果是．

【6】（2008年走进美妙的数学花园六年级第3题）

将循环小数??180.0与??683002.0相乘，小数点后第2008位是．

【7】（2011年迎春杯初赛五年级第7题）在如图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立。那么，两个乘数的和是．2

如图，一道除法竖式中已经填出了“2015”和“0”，那么被除数是．

【9】（2010年迎春杯初赛六年级第9题）

九个大小相等的小正方形拼成了右图，现从A点走到B店，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法），那么从A点走到B点共有_____种不同的走法．

【10】（2012年迎春杯初赛六年级第10题）

如果自然数a的各位数字之和等于5，那么称a为“龙腾数”。将所有的“龙腾数”从小到大排成一列，2012排在这一列数中的第________个．

第二讲数论专题

一、整除

【1】（2008年迎春杯初赛六年级第7题）

已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是．

【2】（2012年迎春杯初赛六年级第5题）

一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101。如果2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD，那么ABCD＝________．

【3】（2009年迎春杯初赛五年级第8题）

将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．

【4】（2016年迎春杯初赛六年级第6题）

对于自然数N，如果在1～9这九个自然数中至少有六个数可以整除N，则称N是一个“六合数”，则在大于2000的自然数中，最小的六合数是．

（2016年迎春杯初赛六年级B卷第4题）

对于自然数N，如果在1～9这九个自然数中至少有五个数是N的因数，则称N是一个“五顺数”，那么在大于2000的自然数中，最小的“五顺数”是.

二、质数与合数

111＝3×37；1001＝7×11×13；11111＝41×271；10001＝73×137；10101＝3×7×13×37；2011是质数；503220122?=；2013＝3×11×61；2014＝2×19×53；2015＝5×13×31；732201625??=；

2017是质数．

【5】（2010年迎春杯初赛六年级第5题）

用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是________．

【6】（2013年迎春杯初赛六年级第5题）

小于200且与200互质的所有自然数的和是．

三、因数与倍数

【7】（2010年迎春杯初赛六年级第7题）

有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值是______．

【8】（2015年迎春杯初赛六年级第5题）

一个正整数A 除以!3后所得结果的因数个数变为原来因数个数的

1，那么符合条件的A 最小是．

【9】（2011年迎春杯初赛六年级第9题）

一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个．那么，这个正整数是．

【10】（2013年迎春杯初赛六年级第7题）

四个不同的自然数和为2013，那么这四个自然数的最小公倍数最小是.

四、平方数

【11】（2008年迎春杯初赛六年级第11题）

有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数．那么这18个数的平均数是：．

五、位值原理

【12】（2009年迎春杯初赛六年级第9题）

如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍，那么，这个五位数的前两位的最大值是_______．

六、数论综合

【例13】（2012年迎春杯初赛六年级第6题）

一个n位正整数x，如果把它补在任意两个正整数的后面，所得两个新数的乘积的末尾还是x，那么称x是“吉祥数”．例如：6就是一个“吉祥数”；但16不是，因为116×216＝25056，末尾不再是16．所有位数不超过3位的“吉祥数”之和是________．

七、逻辑推理

【14】（2011年迎春杯初赛六年级第13题）

40根长度相同的火柴棍摆成右图，如果将每根火柴棍看作长度为1的线段，那么其中可以数出30个正方形来．拿走5根火柴棍后，A,B,C,D,E五人分别作了如下的判断：

A：“1×1的正方形还剩下5个．”

B：“2×2的正方形还剩下3个．”

C：“3×3的正方形全部保留下来了．”

D：“拿走的火柴棍所在直线各不相同．”

E：“拿走的火柴棍中有4根在同一直线上．”

已知这5人中恰有2人的判断错了，那么剩下的图形中还能数出个正方形．

【15】（2008年迎春杯初赛六年级第15题）

有10个整数克的砝码（允许砝码重量相同），将其中一个或几个放在天平的右边，待称的物品放在天平的左边，能称出1，2，3，…，200的所有整数克的物品来；那么，这10个砝码中第二重的砝码最少是克．

【16】（2009年迎春杯初赛六年级第15题）

小明和8个好朋友去李老师家玩．李老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个两位数，这9个两位数互不相同，且每个小朋友只能看见别人帽子上的数．老师在纸上又写了一个数A，问这9位同学：“你知不知道自己帽子上的数能否被A整除？知道的请举手．”结果有4人举手．老师又问：“现在你知不知道自己帽子上的数能否被24整除？知道的请举手．”结果有6人举手．已知小明两次都举了手，并且这9个小朋友都足够聪明且从不说谎，那么小明看到的别人帽子上的8个两位数的总和是_____.

【17】（2009年迎春杯初赛六年级第10题）

请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入下图的表格中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A，B，C，D，E，F，G各不相同；那么，七位数ABCDEFG是______．

【18】（2012年迎春杯初赛六年级第12题）

用横向或纵向的线连接所有的黑点和白点并形成自身不相交的回路．这个回路在黑点处必须拐直角弯，且前一格和后一格都必须直行通过；在白点处必须直行通过，且在前一格或者后一格(至少一处)拐直角弯．例如，图2的画法是图1的唯一解．如果按照这个规则在图3中画出回路，那么这条回路一共拐了次弯．

练习

【1】a，b，c都是质数，并且a＋b＝33，b＋c＝44，c＋d＝66，那么d＝___________．

【2】六位数20□□08能被99整除，□□是．

【3】（2009年迎春杯初赛六年级第8题）

在算式（A□B）△（C○D）中，□，△，○代表的是三个互不相同的四则运算符号（即加、减、乘、除），A，B，C，D是4个互不相同的非零阿拉伯数字．如果无论□，△，○具体代表的是哪三

个互不相同的四则运算符号，（A□B）△（C○D）的计算结果都是整数。那么，四位数ABCD是_____.

【4】一个自然数的末两位数字为17，它的数字和为17，且能被17整除．请你写出满足条件的最小五位自然数．

【5】如果1，2，3…n可以这样重排，使得每个数加上它的序号的和都是平方数，那么n就称为“迎春数”．例如，自然数1，2，3，4，5可以重新排列为3，2，1，5，4；这时每个数加上它的序号的和都是平方数，那么5就是一个“迎春数”．问：在6，7，8，9，10，11中哪几个是“迎春数”?

【6】（2013年迎春杯初赛六年级第2题）

某日，小明和哥哥聊天，小明对哥哥说：“我特别期待2013年的到来，因为，2、0、1、3是四个不同的数字，我长这么大，第一次碰到这样的年份．”哥哥笑道：“是呀，我们可以把像这样的年份叫做‘幸运年’，这样算来，明年恰好是我经历的第2个‘幸运年’了．”那么，哥哥是年出生的．

【7】（2013年迎春杯初赛六年级第10题）

老师从写有1~13的13张卡片中抽出9张，分别贴在9位同学的额头上.大家能看到其他8人的数但看不到自己的数.（9位同学都诚实而且聪明，且卡片6、9不能颠倒）

老师问：现在知道自己的数的约数个数的同学请举手.有两人举手.手放下之后，有三个人有如下对话：

甲：我知道我是多少了.

乙：虽然我不知道我的数是多少，但我已经知道自己的奇偶性了.

丙：我的数比乙的小2，比甲的大1.

那么，没有被抽出的四张牌上数的和是.

第三讲几何专题一、基础知识

①勾股定理及逆定理：

（1）直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方。即a2+b2=c2

（2）如果三角形的三边长a、b、c满足以下关系

a2+b2=c2

那么这个三角形是直角三角形

②共高定理

结论：

用途：线段比与面积比之间的相互转化。

③鸟头模型

结论：

用途：根据大面积求小面积。

④蝴蝶模型

结论：1．

2．S1×S3＝S2×S4

用途：借助面积比来反求线段比。

⑤梯形蝴蝶

结论：1．S2＝S3

2．S1×S4＝S22＝S32

3．

4．S1＝a2份，S4＝b2份，

S2＝S3＝ab份；S＝(a＋b)2份

用途：梯形中的面积比例关系。

⑥燕尾定理

结论：

用途：推面积间的比例关系。

金字塔模型与沙漏模型

E D

二、典型例题

板块一、平面图形

【1】（2010年迎春杯初赛六年级第6题）

梯形的上底为5，下底为10，两腰分别为3和4，那么梯形的面积为_____．

【2】（2016年迎春杯初赛六年级第4题）

下图六角星的6个顶点恰好是一个正六边形的

6个顶点．那么阴影部分面积是空白面积的倍．

【3】（2013年迎春杯五年级初赛）

如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边AB 上有一点D ，已知5,2CD BD AD =-=，那么三角形ABC 的面积是__________

．

【4】（2008年迎春杯初赛六年级第10题）

一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积比依次为1:4:41．那么，④、⑤这两块的面积比是．

⑤

④③

②

①【5】（2011年迎春杯初赛六年级第8题）

在△ABC 中，BD ＝DE ＝EC ，CF :AC ＝1:3，△ADH 的面积比△HEF 多24平方厘米．那么，△ABC 的面积是

平方厘米．

在等腰直角三角形ABC 中， 90=∠A ，AB 的长度是60，D 是AB 的中点，且CDE ∠为直角，那么三角形BDE 的面积是．

【7】（2013年迎春杯六年级初赛第3题）

如图，分别以正八边形的四个顶点A 、B 、C 、D 为圆心，以正八边形的边长为半径画圆。圆弧的交点分别为E 、F 、G 、H ．如果正八边形边长为100厘米，那么，阴影部分的周长是厘米．（π取3.14）

【8】（2011年迎春杯初赛六年级第4题）

右图为某婴幼儿商品的商标，由两颗心组成，每颗心都是由一个正方形和两个半圆拼成．若两个正方形的边长分别为40mm ,20mm ，那么，阴影图形的面积是mm 2．（π取3.14）