高考最新-2018---2018年广东省高考数学卷 精品

2018年高考数学试题（广东卷）

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：共12小题，每小题5分。

(1) 已知平面向量(3,1),(,3)a b x ==-，且a b ⊥，则x = (A)3-

(B)1-

(C)1

(D)3

(2) 已知{}

{

}

2

|21|3,60A x x B x x x =+>=+-≤，则A B =

(A)[3,2)

(1,2]--

(B)(3,2](1,)--+∞ (C)(3,2][1,2)--

(D)(,3]

(1,2]-∞-

(3) 设函数2

32

2,2()42,2x x f x x x x a

+⎧>-⎪=--⎨≤⎪⎩在2x =处连续，则a =

(A)1

2

-

(B)14

-

(C)

14

(D)

13

(4)

1232121

1111lim n n n n n n n n →∞-⎛⎫

-+-+

- ⎪+++++⎝⎭的值为 (A)1-

(B)0

(C)

12

(D)1

(5) 函数2

2()sin ()sin ()44

f x x x π

π

=+

--是 (A)周期为π的偶函数 (B)周期为π的奇函数

(C)周期为2π的偶函数 (D)周期为2π的奇函数

(6) 一台X 型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号

的自动机床各自独立工作，则一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是 (A)0.1536 (B)0.1818 (C)0.5632 (D)0.9728 (7) 在棱长为1的正方体上，分别过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三

棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 (A)

23

(B)

67

(C)

45

(D)

56

(8) 若双曲线22

2(0)x y k k -=>的焦点到它相应的准线的距离是2，则k =

(A)6

(B)8

(C)1

(D)4-

(9) 当04x π

<<时，函数22cos ()cos sin sin x

f x x x x

=-的最小值是

(A)4

(B)

12

(C)2

(D)

14

(10) 变量,x y 满足下列条件：

212293623240,0

x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪

⎨

+=⎪⎪≥≥⎩ 则使得32z x y =+的值最小的(,)x y 是 (A)(4.5,3)

(B)(3,6)

(C)(9,2)

(D)(6,4)

(11) 若()tan()4

f x x π

=+

，则

(A)(1)(0)(1)f f f ->> (B)(0)(1)(1)f f f >>- (C)(1)(0)(1)f f f >>-

(D)(0)(1)(1)f f f >->

(12) 如右下图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线

0ax by c ++=与直线10x y -+=的交点在

(A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象限 (D)第一象限 二、填空题：共4小题，每题4分

(13) 某班委由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长。其中至少有一名女

生当选的概率是 。（用分数作答） (14) 已知复数z 与2

(2)8z i +-均是纯虚数，则z = 。 (15) 由图(1)有关系''''

PA B PAB S PA PB S PA PB ⋅=

⋅，则由图(2)有关系'''P A B C P ABC

V V --= 。

(1)

(2)

(16) 函数()1),(0)f x x =>的反函数1

()f x -=

。

三、解答题：共6小题，74分 (17) 本小题12分

已知角,,αβγ成公比为2的等比数列（α ∈ [0，2π]），sin ,sin ,sin αβγ也成等比数列，求,,αβγ的值。

(18) 本小题12分

如右下图，在长方体1111ABCD A BC D -中，已知14,3,2AB AD AA ===，,E F 分别是线段,AB BC 上的点，且1EB FB == (I)求二面角1C ED C --的正切值 (II)求直线1EC 与1FD 所成角的余弦值

A 1

(19) 本小题12分 设函数1

()1,0f x x x

=-

> (I)证明：当0a b <<且()()f a f b =时，1ab >

(II)点00(,)P x y （0

向所围成的三角形面积的表达式。（用0x 表示）

(20) 本小题12分

某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340/m s ，各相关点均在同一平面上）

(21) 本小题12分

设函数()ln()f x x x m =-+，其中常数m 为整数 (I)当m 为何值时，()0f x ≥

(II)定理：若函数()g x 在[,]a b 上连续，且()g a 与()g b 异号，则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()0g x =

试用上述定理证明：当整数1m >时，方程()0f x =在2,m

m e m e m -⎡⎤--⎣⎦内有两个实根

(22) 本小题14分

设直线l 与椭圆

22

12516x y +=相交于,A B 两点，l 又与双曲线221x y -=相交于C 、D 两点，,C D 三等分线段AB ，求直线l 的方程。

2018年普通高等学校招生全国统一

考试

广东数学标准答案

一、 选择题：

二、 填空题：

（13）75 （14）－2i (15)PC

PB PA PC PB PA ⋅⋅⋅⋅'

'' (16))(22R x e e x

x ∈+

三、 解答题

17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α ∵sin α,sin β,sin γ成等比数列

2

1

cos ,1cos 01cos cos 21cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 22-

===---=⇒=⇔=∴

ααααααα

αααβγαβ或解得即

当cos α=1时，sin α=0,与等比数列的首项不为零，故cos α=1应舍去，

3

16,38,3438,34,32,

3

432,]2,0[,21cos π

γπβπαπγπβπαπ

απαπαα=

=======∈-=或所以或时当

18．解：（I ）以A 为原点，1,,AA 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有

D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2) 于是，)2,2,4(),2,3,1(),0,3,3(11-==-=FD EC 设向量),,(z y x n =与平面C 1DE 垂直，则有

2

2tan 3

64

00411220101||||cos ,

)2,0,0(,),2,1,1(0

),2,1,1(2),2,2(210230

33101011011001=

∴=++⨯++⨯+⨯-⨯-=

⨯=--∴=--=>--=--=∴-==⇒⎭⎬⎫=++=-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥θθθAA n C DE C AA n CDE AA DE C n n z z

z z z z y x z y x y x EC 的平面角为二面角所成的角与垂直与平面向量垂直的向量是一个与平面则取其中

（II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则

14

2122)4(2312223)4(1|

|||cos 2

222221111=++-⨯++⨯+⨯+-⨯=

⨯=

FD EC β 19.证明：（I ）

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+∞∈-∈-=-=),1(,1

1]

1,0(,11

|11|)(x x

x x

x x f 故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0

a b a 22211,1111

>+=⇒=+-=-即 故1,1>>ab ab 即

（II ）0

)(,11|11|)(020

0'<<-=∴-=-==x x f x

x x f y x

曲线y=f(x)在点P （x 0，y 0）处的切线方程为：

2

02

02),(1

x x x

y x x y y x x -+-=--

=-即 ∴切线与x 轴、y 轴正向的交点为)2(1

,0()0),2((00

00x x x x --和 故所求三角形面积听表达式为：

2000000)2(2

1

)2(1)2(21)(x x x x x x A -=-⋅-=

20．解：如图，

y x

o

A

B C P

以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1180，0），B （1180，0），C （0，1180）

设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-b

y a x 上，

依题意得a=680, c=1180，

1340

5680340568010202

2

22222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为

用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,

10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 21.（I ）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x ∈(-m,+∞)连续，且

m x x f m

x x f -==+-

=1,0)(,1

1)(''得令 当x ∈(-m,1-m)时,f ’（x ）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m) 当x ∈(1-m, +∞)时,f ’（x ）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且 对x ∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数m ≤1时，f(x) ≥1-m ≥0

(II)证明：由（I ）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0, 函数f(x)=x-ln(x+m),在]1,[m m e m --- 上为连续减函数.

,

)1()(,10)ln()(异号与时当整数m f m e

f m e m m e m e m e f m

m m m m -->>=+---=------

由所给定理知，存在唯一的0)(),1,(11=--∈-x f m m e x m 使 而当整数m>1时，

),1121(0

32

)

12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学>-⇒>>--+

+>-+>-=-m m m m m m m m e m e f m m m 类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在],1[m e m m --- 上为连续增函数且 f(1-m)与)(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的

0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使

故当m>1时，方程f(x)=0在],[2m e m e m m ---内有两个实根。 22．解：首先讨论l 不与x 轴垂直时的情况，设直线l 的方程为 y=kx+b ，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为：

),(),,(),,(),,(44332211y x D y x C y x B y x A

y

x o

l A

B

C D

依题意有3,==，由

)2...(0)1(2)1(1

251650)1...(0)40025(2)2516(116

252222

22

2122222=+---⎩⎨⎧=-+=+-=+∴=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+

+=b bkx x k y x b kx y k

bk

x x b bkx x k y

x b kx y 得由得 若1±=k ，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故1±≠k

2

4312k

bk

x x -=

+∴ 由43214213x x x x x x x x +=+⇒-=-⇒=

1316

1616410),(331

)2(,164

5

)1(,0)(0001225165022341224,322,12

2±

=⇒+=--=-⇒=+±=-±====⇒=⇒-=+-

⇒b b b x x x x CD AB b x b x k i b k bk k

bk

k bk 即由得由得由时当或 故l 的方程为13

16

±

=y (ii)当b=0时，由(1)得

2

4,32

2,111)2(,251620k

x k

x -±

=+±

=得由

由25

1616251640

)(332

2

3412±

=⇒-=

+-=-⇒=k k k x x x x CD AB 即

由

故l 的方程为x y 25

16±

= 再讨论l 与x 轴垂直的情况.

设直线l 的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，

241

241

25241

24125162558|

|3||||3||1,255

4

2

2341224,322,1±

=±=⇒-=--=-⇒=-±=-±

=x l c c c y y y y CD AB c y c y 的方程为故即由 综上所述，故l 的方程为1316±=y 、x y 2516±=和241

24125±=x