2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试-数学
汕头市金山中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学科试卷
一、单项选择题 (本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．) 1．设集合{
}
{}
2
40,15A x x x B x x =-<=<<则A B =U （ ）
A ．()0,5
B ．()1,5
C ．()1,4
D ．()4,5
2．若向量a r ＝(1，－2)，b r ＝(x,2)，且a r ⊥b r
，则x ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．若幂函数
的图象过点
，则
的解析式为（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
4. 如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1000个点，其中落入黑色部分的有498个点，据此可估计黑色部分的面积约为（ ）
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
5．命题“x =π”是“sin x =0”的（ ）条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
6. 函数
的图象大致是（ ）
A B C D
7. 已知四棱锥
的三视图如图所示，则四棱锥
的体积是（ ）
A.
B.
C. D.
8. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，
使，则椭圆的离心率e的取值范围为（）
A. B. C. D.
9. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，．．．，9填入33
?的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）．将连续的正整数1，2，3，…，2n填入n n
?的方格内，使得每行、每列、
每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上数的和为
n
N(如：在3
阶幻方中，
315
N=)，则
10
N=（）
A．1020 B．1010 C．510 D．505
10.已知、分别为双曲线的左右焦点，左右顶点为、，是双曲线上任意一点，则分别以线段、为直径的两圆的位置关系为（）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 以上情况均有可能
二、多项选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）
11.
AQI指数值
空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
如图是某市12月1日日AQI指数变化趋势：
下列叙述正确的是（）
A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市12月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 12. 已知定义域为的奇函数
，满足
,下列叙述正确的是（ ）
A.存在实数，使关于x 的方程有7个不相等的实数根
B.当
时，恒有
C.若当(]0,x a ∈
时，
的最小值为，则51,2a ??∈????
D.若关于x 的方程
和
的所有实数根之和为零，则
三、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分．）
13.设直线310x y ++=与圆22410x y x +-+=相交于,A B 两点，则AB =___________.
14.若直三棱柱111ABC A B C -（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）的每个顶点都在球O 的表面上， 若1,3,4,2AB BC AB BC AA ⊥===,则球O 的表面积等于________.
15.如图，是一块半径为
的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去
一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形、、L 、、L ，记第块纸板的面积为，则（1）
_______,（2）如果对
恒成立，那么a 的取值范围是____________.
（本题第一个空2分，第二个空3分.）
16.已知函数，当时取得最小值，当时取得最大值，且在区间上单调．则当取最大值时的值为______ ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为3的等比数列，且．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
在中，内角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求内角的值；
（Ⅱ）若，，求的面积．
19. （本小题满分12分）
如图，中，，，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且．
（Ⅰ）证明：平面PBE；
（Ⅱ）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．
20. （本小题满分12分）
已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线320x y -+=均与圆相切. （Ⅰ）求圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设点P （0,1），若直线y x m =+与圆相交于M,N 两点，且∠MPN =90°，求m 的值.
21. （本小题满分12分） 已知函数
Ⅰ当时，求
的值域；
Ⅱ若方程有解，求实数a 的取值范围．
22. （本小题满分12分） 已知椭圆
的离心率为，且抛物线
的焦点恰好是椭圆的一个焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点
作直线与椭圆交于
两点，点满足
（为坐标原点），求四边形
面积
的最大值，并求此时直线的方程.
数学科参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B D A C B B D B ABD AC
13.__ __; 14.__29π__; 15._; ___; 16.______.
17.解：解：（1）设等差数列{}n a的公差为d．
由，，得，解得．………………………………1分
所以．………………………………2分
由于是公比为3的等比数列，且，………………………………3分
所以．………………………………4分
从而．………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）．
．……10分
18. 解：（Ⅰ）由余弦定理得…………………………1分
化简得，
∴. …………………………3分
∵，∴. ……………………………5分
（Ⅱ）由，得，……………………………6分
在中，∵，……8分
由正弦定理，得，……………………………10分
.………………………………12分
19. 解：（Ⅰ）证明：，F分别为AB，AC边的中点，
，…………………………1分，
，，…………………………3分又，BE、平面PBE，…………………………4分平面PBE，平面PBE；…………………………5分
（Ⅱ）解：取BE的中点O，连接PO，
由知平面PBE，平面BCFE，
平面平面BCFE，
，
，
又平面PBE，平面平面，
平面BCFE，
过O作交CF于M，则OB，OM，OP两两相互垂直.…………………………6分分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，F．
，，
设平面PCF的法向量为，
由，取，得，………8分
由图可知为平面PBE 的一个法向量， ………………………10分
， ………………………11分
平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值． ……………………12分
20. 解：(1)设圆心（,0a ）0a >∴ 圆的半径为r a =，所以
22
a a +=，解得：2a = ……2分
圆的标准方程是：2
2
(2)4x y -+= ………………………4分
(2)设1122(,),(,)M x y N x y .(
)22
24y x m
x y =+???-+=?? ， 消去y 得：2
2
22(2)0x m x m +-+= ……………………………6分
△=22
4(2)80m m -->，得：222222m --<<-+ ……………………………7分
121222
121222222x x m y y m
m m x x y y m +=-+=+????∴???=?=
+????
， ……………………………9分 因为∠MPN =90°，所以 ……………………………10分 又
……………………………11分
解得
或
. ……………………………12分
21. 解：（Ⅰ）当时，
……………………………1分 令，令
，
……………………………2分 二次函数
的图像开口向下，对称轴是
，
所以二次函数在上单调递增，在上单调递减. …………………………3分
又，，所以，…………………………4分所以的值域为……………………………5分（Ⅱ）法一：………………………6分令，令，…………………………7分
①当，即时，，且，解得……………………8分
②，即时，，无解………………………9分
③当，即时，且，解得…………………10分综上所述或…………………………12分法二：…………………………6分令，…………………………7分当，不合题意，∴………………………8分∴，………………………9分
∵在，递减………………………10分∴或………………………11分
∴或………………………12分22.解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，
∵离心率为，∴，
又点是抛物线的焦点，∴，
∴椭圆的方程为. ………………………………4分（Ⅱ）∵，∴四边形为平行四边形.
当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；………………………………5分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得.
由得. …………………………6分设，则，，…………………………7分∵，…………………………8分∴
，…………………………9分令，则（），
∴，…………………………11分当且仅当，即即时取等号，
∴当时，平行四边形的面积最大值为2.
此时直线的方程为. …………………………12分