金优课高中数学北师大选修22课时作业：2 类比推理 含解析
选修2-2第一章§1课时作业2
一、选择题
1．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()
A．三角形B．梯形
C．平行四边形D．矩形
解析：只有平行四边形与平行六面体较为接近．
答案：C
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A．①B．①②
C．①②③D．③
解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：C
3．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是()
A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交．
B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直．
C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行．
D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．
解析：推广到空间以后，对于A，还有可能异面，对于C还有可能异面，对于D，还有可能异面．
答案：B
4．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC边的中点，G是三角形ABC的重心，
则AG
GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A－BCD中，若ΔBCD
的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AO
OM＝()
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：面的重心类比几何体重心，平面类比空间， AG GD ＝2类比AO OM ＝3，故选C. 答案：C 二、填空题
5．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O －xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示__________________．
解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O －xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面
6．[2014·潍坊质检]在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝1
4.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A －BCD 的内切球
体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1
V 2
＝________.
解析：平面几何中，圆的面积与圆半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，设正四面A －BCD 的棱长为a ，可得其内切球的半径为6
12
a ，外接球的半径为
64a ，则V 1V 2＝127
. 答案：1
27
7．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)·180°， 四边形的内角和为(4－2)·180°， 五边形的内角和为(5－2)·180°， …
所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°；
(2)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数；
(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．
其中属于合情推理的是__________．(填序号)
解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案：(1)(3)(4) 三、解答题
8．在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为300.类比上述结论，相应的在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是b n 的前n 项积，试得出类似结论并证明．
解：类比等差数列可得等比数列对应性质：
在公比为4的等比数列{b n }中，T n 表示b n 的前n 项积，则T 20T 10，T 30T 20，T 40
T 30
也成等比数列且
公比为4100.
证明如下：T n ＝b 1b 2…b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2…b 1q n －
1
＝b n 1q
0＋1＋2＋…＋(n －1)
＝b n 1q n (n －1)2＝b n 1·4n (n －1)
2
， ∴T 10＝b 101·445，T 20＝b 2014190，T 30＝b 3014435，T 40＝b 401
4780. ∴
T 20T 10＝b 101·4145，T 30T 20＝b 1014245，T 40T 30
＝b 1014345
. 而b 1014245b 1014145＝4100
，b 1014345b 1014
245＝4100， ∴
T 20T 10，T 30T 20，T 40
T 30
是以4100为公比的等比数列． 9．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．
解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双
曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．
证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )． 因为点M (m ，n )在已知的双曲线上， 所以n 2
＝b 2a 2m 2－b 2，同理，y 2
＝b 2a
2x 2－b 2
.
y－n x－m ·
y＋n
x＋m
＝
y2－n2
x2－m2
＝
b2
a2·
x2－m2
x2－m2
＝
b2
a2(定值)．
则k PM·k PN＝