【精品】级数审敛法小结

级数审敛法小结

不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容，希望大家能抽空看一下,谢谢。

首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数（其中，包含特殊的交错级数)。对于不同的级数,他们有不同的审敛法.

第一节:正项级数

（当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同，只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了)

（注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦,若Un的极限不为0，级数发散.）

A.定义法（注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出。):

Un收敛⇔部分和数列{Sn｝有界，针对这个东西，首先,了解一个充要条件：∑∞

用的地方不多后面会有介绍。

>>b a （这里主要是保证以下的多项式恒为正)是推导出级数

∑∞=--++++++1110110......n k k k m m m b n b n b a n a n a 收敛的充要条件。

解:设k

k k m m m n b n b n b a n a n a u ......110110+++++=--。取m k n n v -=1,因为00lim b a v u n n n =∞→,所以∑∑∞

=∞=1

1,n n n n v u 具有相同的敛散性，由Vn 收敛的充要条件是k —m 〉1，所以所求级数的收敛的充要条件是k-m 〉1。

（这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un 是有理分式的,我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数

∑∞=---+13235523)()12()1(n n n n n n 是收敛的,这因为分子的最高次幂是13,分母的是15，15—13=2〉1 ，故收敛。（至于解题时，我们可以模仿本题构造Vn 去做）2，这个例题的解法具有一般性.设0→n u ，我们只需要找到Un 的一个同阶无穷小或是等价无穷小Vn ，如果Vn 的敛散性我们已经掌握，问题解决。

大家可以试着用等价无穷小的方法接一下以下几题:

（1）);1tan()3(,,)cos 1(),2(,,sin )1(13222112-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∞=∞=∞

=n N n n a n n a n a n （通过上面的一点，大家感悟一下，有没有什么收获，这只是如何一眼看出敛散性的其中一个，接下来会继续介绍，但希望大家先消化一下刚刚说的内容。）

比值审敛法：比值审敛法的内容与书中所说并无差异。关键是我们要能够灵活运用,这需要我们能多做一些习题。

先看一下几个例子：判断下列级数的敛散性

∑∑∑∞=∞=∞

=111!)3(!)2()1(n n n n n n k n n n a a n 解答是利用比值审敛法即可，（由于这个公式好多有点难打就不打了啊,请原谅）大家应该都懂得就是n

n n u u 1lim +∞→判断其和1的关系。以上结果为全部收敛。（小结：1,在级数一般项Un 中，若含有!.,,n a n n n n k 的因子时，适用于比值审敛法，2，我们可以得到如下常用函数的级别大小（a>1，k>1，）n n k n n a n n n <<<<<<<<<

B. 根值审敛法。这里由于和书上无太多差别,就不多做介绍了。

根值判别法，主要适用于一般项中含有n 次方的时候.他与比值判别法属于同一类型的审敛法，当用根植判别法不行时，不要再去用比值判别法做了，效果一样。

对于根值判别法有一点需注意:当遇到一般项含n 次方时里应用根植判别法，而n n n u ∞

→lim 不存在时，可以改用如下的方法：若n 从某个标号起存在r 使得1<≤r u n n （注意此处并无极限符号），则级数必收敛。因为n n r u ≤,且∑∞

n n r 收敛。(简单地说就是进行一点放缩）

当比值审敛法,根植审敛法失效时，一般应考虑比较审敛法，寻找同阶或是等价的无穷小。另外，我们要积累一些简单的级数如几

何级数,调和级数，p-级数，以及∑∞

) (ln

(p〉1时收敛，p<=1

时发散，这个可以当做定理用的)

第二节交错级数

对于交错级数而言，它分为条件收敛和绝对收敛两类.对于判断绝对收敛时，我们可以利用正项级数的判别方法去判定。而对于条件收敛的判定课本上给出了一个方法（除此，并无其他较好的方法去解决此类问题)：莱布尼兹判别法。

A.莱布尼兹判别法：（注意运用此方法千万要慎重,注意观察An 的单调性是否递减,以及最终是否趋近于0等,一旦有一个条件不满足，我们便不能再去用此方法。而在我们做题时总会有那么几题不适用，这就要求我们要懂得一些小技巧）

一,泰勒公式（此法对于我们来说有一定的难度，建议不到万不得已不想此法）：利用泰勒展开式判断敛散性；

例判别级数：

()

∑∞

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡-

的敛散性。

（对于这个交错级数，我们不能判定单调性,因此无法利用莱

布尼兹判别法。要掌握一般项

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡-

ln的级别，我们运

用泰勒公式.）

解:有泰勒公式：()()是收敛的发散，而级数级数∑∑∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+n 1-1n

21,2

11121lim 1211)1(1ln n 1n n o n

n o n n o n n n n n n 所以原级数发散。

二，这个技巧比泰勒公式弱了点,他是要求我们要懂得把一个交错级数(可能适用于多种级数,大家可以试一下)，拆成两项或是多项相加减的形式（这里，我们要懂得一些收收为收，收发为发，发发不确定（一旦有两个发散的级数在里面则拆分失败）的道理。）

例如，判别级数()()∑∞

=-+-111n n n n 的敛散性。（这是一个交错级数，尽管n 1n u u ,0≤→+但n u 不成立，莱布尼

兹失效。）

但我们可以这样解： []1

11)1(1)1(n )1()1()1(u -+--=--+-=-+-=

n n n n n n n n n n n 对于前一项利用莱布尼兹判别法可知其条件收敛，而后一项发散，可知其整体为发散。故原级数发散。

三,定义法（可能有些题，既不能运用莱布尼兹,也不好拆分，这就要求我们能回归原始，利用级数收敛的定义去解题）

一般此类题比较难出现的可能性较小，这里只举一例。例，判别级数∑-+-n N

n )1()1(的敛散性。首先，看其是否绝对收敛，设n n n u )1(1

-+=，这里我们直接可

以看出其发散,因为分母的最高次幂为1/2，接下来判断其是否条件收敛：

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n s n 21121...415121312此部分和 S2n 的各

项都是负数，因此其单调减少，又因为，

2122121212

21...416121412->++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛->n n n s n ,

所以数列s2n 有极限,设()s n s u s s s s N n n n n n n n n n n =-+++=+==∞→∞→+∞→+∞→∞→)

1(121lim lim lim lim lim 2122122 所以原级数收敛条件收敛。（这类题比较难做,出现的几率不大，但也希望大家能做一下了解）

Over

最后做一个补充：如何一眼看出一些级数的敛散性。针对正项级数而言:

设Un 和Vn 都是正项级数则有：(麻烦大家试着证明一下,

收敛都收敛，则和）若（）收敛。（收敛，收敛，收敛，则）若（n n n n a n n 1n k n v u v u 21a n u u u u u 1∑∑∑∑∑∑∑≥+n

试着用一下吧：已知正项级数收敛∑∞=1n n a 则λ+-∑∞=31

)1(n a n n n

...。要求直接不用计算说出答案。

谢谢大家

正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较

正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较摘要数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。关键词数学分析正项级数推广比值审敛法一.预备知识 1.正项级数的定义如果级数的各项都是非负实数，即则称此级数为正项级数 2..收敛定理正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到例级数是正项级数。它的部分和数列的通项

，所以正项级数收敛。在正项级数敛散性的各种审敛法中，达郎贝尔比值审敛法是最简单而又最常用的审敛法。二.常规审敛法： 1.达朗贝尔审敛法 …… …… ，若，当L<1，级数收敛，当L>1，级数发散，L=1，不能审敛。例 1 考虑级数则；

所以级数收敛 2.拉贝审敛法 …… …… ，若，则当L<1，级数收敛，L>1，级数发散，L=1，不能审敛。例 2 判断级数的敛散性解设则，（达朗贝尔审敛法不可用）所以级数

三.常规审敛法的比较由以上两种正向级数的审敛法我们不难看出，相对于达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法要更加精细，简洁，这两种审敛法中，达朗贝尔审敛法更为基础，拉贝审敛法的应用相比较之下更为广泛。但是以上两种审敛法只适用于那种收敛较快或发散较快的正项级数。但实际上，这个审敛法之可能对那些与几何级数的收敛速度或发散速度相当的正项级数有效，而对正项级数来说，如果时，则比值审敛法就无法对级数的敛散性作出审敛。例如，我们不难证明，当为n的有历史时，总有，也就是说此时比值判定法必定失效。这足以说明比值审敛法的应用范围很窄，因此需要建立一些更细致因而也就更复杂的审敛法。其中，比较常用的是下面的拉贝审敛法。拉贝审敛法：设是正项级数，如果那么，当p>1时级数收敛：而当p<1时级数发散。（此证明详见数学分析教材）但是使用拉贝审敛法的时候，求拉贝数串

7-2数项级数的审敛法

·复习 1 级数的概念。2 级数的敛散性。3 级数的性质。 ·引入正像数列一样，对于级数也有两个问题应当研究一是它是否收敛，二是如果收敛，它的和等于什么。一般情况下要判断一个级数的敛散性，只利用级数收敛和发散的定义和性质，常常是很困难的，因此需要建立判定级数敛散性的判别法。我们先来考察正项级数的敛散性。 ·讲解新课 7-2 常数项级数的审敛法（一）一正项级数及其审敛法定义如果级数∑∞ =1 n n u 的每一项都是非负数，即0n u ≥， (1,2)n = ，那么称级数∑∞ =1 n n u 为正项级数．如果级数∑∞ =1 n n u 是一个正项级数，那么它的部分和数列{}n S 是一个单调增加数列：12......n S S S ≤≤≤≤，如果数列{}n S 有界，即n S 总不大于某一个常数M ，根据单调有界数列必有极限的准则，正项级数 ∑ ∞ =1 n n u 必收敛于和S ，且n S S M ≤≤；反之，如果正项级数∑∞ =1 n n u 收敛于和S ，即lim n x S S →∞ =，根据有极限的数列必是有界数列的性质可知： ∑ ∞ =1 n n u 有界，因此可得如下结论：

定理正项级数∑∞ =1 n n u 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列单调有界。由此定理可知：如果正项级数∑∞ =1 n n u 发散，则当n →∞时，它的部分和数列n S →∞，即：1 n n u ∞ ==+∞∑ 1 比较审敛法设有两个正项级数1 n n u ∞ =∑和1 n n v ∞ =∑，如果n u ≤n v ),3,2,1( =n 成立，那么（1）若级数1 n n v ∞ =∑收敛，则级数∑∞ =1 n n u 也收敛. （2）若级数1 n n u ∞=∑发散，则级数1 n n v ∞ =∑也发散．用比较判别法时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数作为比较的基准，最常被选用作基准级数的是等比级数和p －级数。定义当0p >时，1 111112 3 L L p p p p n n n ∞ ==+ + ++ +∑ . 称为 p －级数特别地：当1p =时，p －级数是调和级数1 1n n ∞ =∑ 。

数项级数审敛法例题及知识点总结

数项级数的审敛法方法分别有根据级数性质判断、比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法、交错级数审敛法（莱布尼茨定律）、判断绝对收敛和条件收敛。方法一根据级数性质判断等比级数 Sn =a +aq +?+aq n?1 =a(1?q n ) 当|q|<1时，级数收敛当|q|>1时，级数发散当|q|=1时，讨论 P 级数 1+1p +1p +?+1p 当P>1时，级数收敛当P<=1时，级数发散调和级数级数∑1n ∞n=1发散例题：根据级数性质判断级数收敛性 1、 ∑(1 2n +13n )∞n=1 解：由∑12∞n=1 为首项为12，q=12的等比级数因为|12|<1,所以级数收敛由∑13∞n=1 为首项为13，q=13的等比级数因为|13|<1,所以级数收敛

由收敛+收敛=收敛，所以原级数收敛 2、 ∑1 n 2∞n=1 解：由∑1 n 2∞n=1为p=2的P 级数因为p>1,所以原级数收敛 3、 ∑3n ∞n=1 解：由∑3n ∞n=1，知级数为调和级数，所以收敛方法二比较审敛法如果级数∑Un ∞n=1=U 1+U 2+?+U n +?满足条件Un ≥0(n =1、2、…),则称为正项级数如果∑Un ∞n=1和∑Vn ∞n=1满足正项级数，在0≤Un ≤Vn 的情况下，若级数∑Vn ∞n=1收敛，则级数∑Un ∞n=1收敛，若级数∑Un ∞n=1发散，则级数∑Vn ∞n=1发散。比较审敛法步骤（1）如果还需写通项公式写出通项公式（2）找出小于谁或大于谁（3）比较大小例题：根据比较收敛法求其收敛性 1、12+15+110+1n +?+1n +1 解：通项公式为 1 n +1 由0≤1 n +1≤1 n 因为∑1 n ∞n=1为p=2>1的P 级数，所以级数收敛所以原级数收敛

正项级数的审敛法--

1 / 20 第二节正项级数的审敛法教学目的:弄清正项级数的定义；熟练掌握正项级数敛散性的常用判别法，灵活运用判别法判断所给级数的敛散性. 重难点: 灵活运用判别法判断所给级数的敛散性. 教学方法:启发式讲授与指导练习相结合. 教学过程: 一、正项级数及其审敛法 1.正项级数：若级数 ∑∞ =1 n n u 的各项0≥n u , 则称级数 ∑∞ =1 n n u 为正项级数. 2.【定理1】(基本定理): 正项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛⇔}{n S 有界. 且此时 S S n ≤ 说明：因0≥n u ,于是11--≥+=n n n n S u S S ,可见}{n S 单调递增. 故 ∑∞ =1 n n u 收敛 ⇔}{n S 收敛 ⇔}{n S 有界. 此时显然有S S n ≤. （注意：单调有界数列收敛） 3.【定理2】(比较判别法): 设 ∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 均为正项级数, 且 n n v u ≤, ,2,1=n , 则 (1) ∑∞ =1n n v 收敛⇒ ∑∞ =1 n n u 收敛; (2) ∑∞ =1 n n u 发散⇒ ∑∞ =1 n n v 发散. 证明: 由条件知, n n k k n k k n T v u S =≤= ≤∑∑==1 1 0, 那么 (1) ∑∞ =1n n v 收敛⇒}{n T 有界⇒}{n S 有界⇒∑∞ =1n n u 收敛; (2) ∑∞=1 n n u 发散⇒}{n S 无界⇒}{n T 无界⇒ ∑∞ =1n n v 发散.

2 / 20 另证：若 ∑∞ =1 n n v 收敛，由（1）证明知 ∑∞ =1 n n u 必收敛，此与题设 ∑∞ =1 n n u 发散矛盾，所以假设不成立，即∑∞ =1 n n v 发散. 4.【推论】(1) 若级数 ∑∞ =1 n n v 收敛且存在0N >,.. s t n N >时恒有: n n cv u ≤, (0>c 为常数),则级数∑∞ =1 n n u 收敛. （2）若级数 ∑∞ =1 n n v 发散且存在0N >, .. s t n N > 时恒有: n n u cv ≥,(0>c 为常数),则级数∑∞ =1 n n u 发散. 例1 讨论-p 级数 ++++++ p p p p n 1 4131211的敛散性.)0(>p 解: ① 若,1≤p 由于n n p 1 1≥ ⇒-p 级数发散. ② 若,1>p 由 11 01p p n x n n x ≤-≤≤⇒≤ 所以 ⎰⎰--≤=n n p n n p p x dx n dx n 111 (2,3,4,)n =, 那么 ⎰⎰⎰-++++≤++++=n n p p p p p p n x dx x dx x dx n S 1322111 31211 11111111111 111--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+≤+=+∞ -∞+⎰⎰p p p x p x dx x dx p p n p ＝＝, 可见}{n S 有界⇒-p 级数收敛. 综上知：-p 级数 ∑∞ =11 n p n 收敛 ⇔ 1>p .（此结论当定理使用） [由-p 级数得结论]：设 ∑∞ =1 n n u 为正项级数, 那么

级数敛散性总结分解

级数敛散性总结分解级数的敛散性是数学中一个非常重要的概念。一个级数可以是收敛的，也可以是发散的。在实际应用中，我们经常需要判断一个级数的收敛性，以便评估和控制数学模型的可行性。本文将从级数的定义出发，详细介绍级数的概念和性质，并总结级数收敛和发散的判定方法，最后对级数进行分解。一、级数的定义和性质级数是把一列数相加所得到的数列的和。一个级数可以表示为 a_1+a_2+a_3+...+a_n+...，其中a_n是第n个项。级数收敛的定义是存在一个实数S，使得对于任意给定的正数ε，存在N，当n>N时，级数的部分和与S之间的差的绝对值小于ε。级数发散的定义是对于任意实数S，存在一个正数ε，使得对于任意的N，存在n>N，使得级数的部分和与S 之间的差的绝对值大于ε。级数的性质有以下几点： 1.级数的和具有唯一性。如果级数收敛，则其和唯一；如果级数发散，则无和。 2.级数的部分和序列是有界的。对于一个收敛的级数，其部分和序列是一个有界序列，即所有部分和的绝对值皆小于一些数M。 3.级数的收敛和发散与项的次序无关。级数收敛的话，其项的次序可以任意调整，收敛性不变；级数发散的话，其项的次序调换也不能使其变为收敛。

4.乘以常数之后的级数具有相同的敛散性。一个级数经过乘以一个常数后依然保持收敛或发散。二、级数收敛的判定方法判定一个级数收敛的方法有以下几种： 1.比较判别法。对于一个正项级数（即所有的a_n都是非负的），如果存在一个级数b_n，使得对于所有的n，a_n≤b_n成立，则有以下两个结论： ①如果级数∑b_n收敛，则级数∑a_n收敛； ②如果级数∑a_n发散，则级数∑b_n发散。 2.比值判别法。对于一个正项级数，计算其相邻两项 a_n 和 a_n+1 之比的极限值lim(n→∞) (a_n+1 / a_n)。如果这个极限值存在，且小于1，则级数收敛。如果这个极限值大于1或不存在，则级数发散。 3.根值判别法。对于一个正项级数，计算其各项 a_n 的 n 次方根lim(n→∞) ∛(a_n)。如果这个极限值存在，且小于1，则级数收敛。如果这个极限值大于1或不存在，则级数发散。 4.绝对收敛和条件收敛。如果一个级数∑a_n的所有项的绝对值∑，a_n，收敛，则称级数∑a_n是绝对收敛的。如果级数∑a_n是收敛的，但绝对收敛的级数∑，a_n，发散，则称级数∑a_n是条件收敛的。 5.级数收敛的充要条件。级数收敛的充要条件是级数的部分和序列有界，即存在一个数M，使得对于任意给定的正数ε，存在N，当n>N时，级数的部分和的绝对值小于M。三、级数发散的判定方法

无穷级数的审敛法与收敛性判别

无穷级数的审敛法与收敛性判别无穷级数是数学中的一个重要概念，利用无穷级数可以逼近函数的值。但无穷级数是一个无限求和的概念，有可能会出现发散的情况，因此就有了收敛性判别和审敛法这两种方法来判定无穷级数是否收敛。首先，让我们来看一下什么是无穷级数。无穷级数是由无限多个数相加或相减所得到的一种数列求和方式，可以表示为以下形式： $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots$$ 其中，$a_n$ 表示第 $n$ 个数。接下来，我们来介绍几种判定无穷级数收敛的方法。一、正项级数判别法如果一个无穷级数的每一项都是非负数，即 $a_n\geq 0$，那么我们可以使用正项级数判别法来判断无穷级数是否收敛。正项级

数判别法的结果是，如果级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛，那么 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n=0$。这个结论非常重要，因为如果 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n\neq 0$，那么级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 一定发散。这是因为无穷级数的每一项都是非负数，如果 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n\neq 0$，那么随着$n$ 的增大，$a_n$ 的大小也会越来越大，因此级数就会发散。二、比较判别法比较判别法是一种常用的判定无穷级数收敛性的方法。比较判别法的基本思想是，将待判定的级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较，从而得出原级数的收敛性。比较判别法分为两种情况：比较判别法一和比较判别法二。比较判别法一表述如下：对于两个正项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 和 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$，如果存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，有 $a_n\leq kb_n$，其中 $k$ 是一个正常数，那么有以下结论：

正项级数审敛法的应用探析

正项级数审敛法的应用探析正项级数审敛法是数学中重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。正项级数审敛法是指对于一个正项级数，通过求其部分和序列的极限来确定级数的敛散性的方法。在实际问题中，我们经常会遇到一些涉及级数的情况，利用正项级数审敛法可以方便快捷地确定级数的敛散性，从而对问题进行分析和求解。本文将对正项级数审敛法在实际问题中的应用进行探析。我们来了解一下正项级数审敛法的基本原理。对于一个正项级数\sum a_n，如果其部分和序列\{S_n\}收敛，即\lim_{n\to\infty} S_n = S存在，那么级数\sum a_n必定收敛；反之，如果部分和序列\{S_n\}发散，即\lim_{n\to\infty} S_n = \infty，那么级数\sum a_n必定发散。这就是正项级数审敛法的基本原理。通过对部分和序列进行分析，我们可以确定级数的敛散性。正项级数审敛法在实际问题中有着广泛的应用。下面，我们将结合几个具体的例子，来探讨正项级数审敛法在实际问题中的应用。例1. 齐次线性递推数列考虑一个齐次线性递推数列\{a_n\}，满足递推关系a_{n+2} = a_{n+1} + a_n，且初值a_0 = 1，a_1 = 1。我们希望求解该数列的前n项和a_0 + a_1 + \cdots + a_n的极限。我们可以利用递推关系得到数列\{a_n\}的前几项：1, 1, 2, 3, 5, 8, \cdots，可以猜测这是一个著名的斐波那契数列。事实上，通过数学归纳法可以证明，这个数列就是斐波那契数列，满足a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right)。计算部分和S_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_n，有： S_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^0 - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^0 \right) + \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^1 - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^1 \right) + \cdots + \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right) 利用等比数列求和公式，可以得到：接下来，我们计算\lim_{n\to\infty} S_n的极限。由于\frac{1-\sqrt{5}}{2} < 1，因此\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} = 0，代入上式得到：

对数审敛法

对数审敛法一、概述对数审敛法是一种用于求解无穷级数的方法，它利用了对数函数的特殊性质，能够快速地判断级数的收敛性。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，在实际应用中得到了广泛的应用。二、基本思路对数审敛法的基本思路是将原级数化为一个形式相似但更易判断收敛性的级数，然后利用对数函数的单调性或者极限值来判断原级数的收敛性。具体来说，可以分为以下几个步骤： 1. 对原级数进行变形，使其形式与某个已知收敛或发散的级数相似。 2. 利用对数函数的单调性或者极限值来判断新级数的收敛性。 3. 根据新级数和原级数之间的关系，得出原级数是否收敛。三、具体方法

比较审敛法是对数审敛法中最常用的一种方法。它将原级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较，从而得出原级数是否收敛。具体来说，可以分为以下两种情况：（1）若存在正整数 N 使得a_n ≤ b_n (n ≥ N)，且级数∑b_n 收敛，则级数∑a_n 也收敛。（2）若存在正整数 N 使得a_n ≥ b_n (n ≥ N)，且级数∑b_n 发散，则级数∑a_n 也发散。 2. 极限审敛法极限审敛法是对数审敛法中另一种常用的方法。它利用对数函数的极限值来判断原级数的收敛性。具体来说，可以分为以下两种情况：（1）若存在正整数 N 使得lim(n→∞) n·ln(a_n) = L，其中 L 是一个有限的实数，则级数∑a_n 收敛。（2）若存在正整数 N 使得lim(n→∞) n·ln(a_n) = +∞，则级数∑a_n 发散。

积分审敛法是对于一类特殊的无穷级数而言的。它是将原级数转化为一个函数的积分形式，然后利用积分的性质来判断原级数的收敛性。具体来说，可以分为以下两种情况：（1）若函数 f(x) 在[1, +∞) 上单调递减且非负，则原级数收敛当且仅当积分∫[1, +∞) f(x)dx 收敛。（2）若函数 f(x) 在[1, +∞) 上单调递减且非负，则原级数发散当且仅当积分∫[1, +∞) f(x)dx 发散。四、应用举例下面以一些典型的例子来说明对数审敛法的应用： 1. 比较审敛法判断级数∑(n^2)/(3^n+1) 的收敛性。解：由于 3^n+1 > 3^n，因此有 (n^2)/(3^n+1) < (n^2)/(3^n)，即 a_n < b_n，其中 b_n = (n^2)/(3^n)。由于级数∑b_n 收敛（可以利用比值审敛法证明），因此根据比较审敛法，级数∑a_n 也收敛。

无穷级数审敛法汇总(一)

无穷级数审敛法汇总（一） \sum_{n=1}^\infty a_n 收敛 \Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,n>m>N 时\Big|\sum_{k=m+1}^n a_k\Big|=|a_{m+1}+\cdots+a_n|<\varepsilon 。证：\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛 \Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,n>m>N 时,\exists \ a, \Big|\sum_{k=1}^m a_k- a\Big|<\frac{\varepsilon}{2},\Big|\sum_{k=1}^n a_k- a\Big|<\frac{\varepsilon}{2} \implies\Big|\sum_{k=m+1}^n a_k\Big|=|a_{m+1}+\cdots+a_n|=\Big|\sum_{k=1}^n a_k-\sum_{k=1}^m a_k\Big| \leq\Big|\sum_{k=1}^n a_k\Big|+\Big|\sum_{k=1}^m a_k\Big|<\varepsilon.\qquad \qquad \square 二.比较判别法（正项级数）正项级数 \sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n ,若 \exists N\in \mathbb{N},c_1>0,c_2>0, 且 n>N,c_1a_n\leq c_2b_n ，则 \sum_{n=1}^\infty b_n 收敛 \implies\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛； \sum_{n=1}^\infty a_n 发散 \implies\sum_{n=1}^\infty b_n 发散。

根式审敛法

根式审敛法根式审敛法是在高等数学中经常使用的一种重要的求极限方法。作为学习者，我们需要了解根式审敛法的定义、适用范围、使用步骤等相关知识。在本篇文章中，我们将一步一步地探讨这些内容，帮助大家更好地掌握根式审敛法。首先，我们来了解一下根式审敛法的定义。根式审敛法是一种判断无穷级数的敛散性的方法。对于一个无穷级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$，如果它满足 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n^{\alpha}|a_n|=L$，则该级数的敛散性可以由$\alpha$的大小关系来决定。当$\alpha>1$时，该级数绝对收敛；当$0<\alpha\leq1$时，该级数条件收敛；当 $\alpha<0$时，该级数发散。其次，我们来讨论一下根式审敛法的适用范围。一般情况下，根式审敛法适用于正项级数。对于一般的级数，我们可以通过正项级数和来进行处理，从而应用根式审敛法。此外，在一些特殊情况下，根式审敛法也可以用于复杂的级数，如幂级数等。接下来，我们来详细介绍一下根式审敛法的使用步骤。一般情况下，我们需要先算出$n^{\alpha}|a_n|$的极限$L$，然后再判断级数的敛散性。当$n^{\alpha}|a_n|$的极限$L$存在且有限时，该级数可以通过根式审敛法来判断收敛性。当$L\neq0$时，级数必定发散；当$L=0$时，级数可能收敛或发散，还需要进行进一步的判断。

最后，我们需要注意一些常见误区。首先，根式审敛法只是一种判断敛散性的方法，不能直接得出级数的和。其次，不要忘记加上 $n^{\alpha}$的绝对值，有时候忽略这个绝对值符号会导致结果错误。最后，需要注意一些特殊情况，如级数中出现无穷小量或泰勒公式等，这些情况需要结合具体问题进行判断。通过本篇文章的学习，相信大家已经对根式审敛法有了更深入的了解。掌握了根式审敛法的定义、适用范围和使用步骤，我们可以更加轻松地应对高等数学中的各种敛散性判断问题，为今后的学习打下坚实的基础。

级数审敛法

级数审敛法介绍级数是数学中重要的概念，它是由一系列数相加得到的。级数的审敛法是用来判断一个级数是否收敛或发散的方法。在实际的数学应用中，我们经常需要判断级数的收敛性，以便得到准确的结果或做出正确的推理。基本概念在讨论级数审敛法之前，我们首先需要了解一些基本概念。级数的定义给定一个数列 {an}，我们将其求和得到的数列称为级数，表示为 S = a1 + a2 + a3 + … + an + … 部分和级数的部分和是指从第一项到第 n 项的和，表示为Sn = a1 + a2 + a3 + … + an 收敛和发散如果级数的部分和 {Sn} 极限存在，那么我们称该级数收敛，并将收敛的值作为该级数的和。如果级数的部分和没有极限或极限为无穷大，那么我们称该级数发散。级数审敛法级数审敛法是一组用于判断级数收敛性的方法，不同的方法适用于不同的情况。下面将介绍几种常用的级数审敛法。

正项级数审敛法如果级数的每一项都是非负的（即 an >= 0），并且级数的部分和是有界的，那么该级数收敛。比较审敛法比较审敛法是通过与已知级数进行比较来判断级数的收敛性。 1.如果级数的每一项都大于（或等于）一个收敛的级数的对应项，那么该级数发散。 2.如果级数的每一项都小于（或等于）一个发散的级数的对应项，那么该级数收敛。 3.如果级数的每一项与一个收敛级数的对应项同阶无穷（即两个项的比的极限为正无穷或负无穷），那么该级数与这个收敛级数的收敛性相同。比值审敛法比值审敛法（又称达朗贝尔审敛法）是通过计算级数中相邻两项的比值或比值的极限来判断级数的收敛性。 1.如果存在一个常数 r，使得级数的相邻两项的比值的绝对值小于 r，那么该级数收敛。 2.如果级数的相邻两项的比值的绝对值大于 1，那么该级数发散。 3.如果级数的相邻两项的比值的绝对值等于 1，那么比值审敛法无法确定级数的收敛性，可能收敛，也可能发散。根值审敛法根值审敛法（又称柯西审敛法）是通过计算级数中项的根值或根值的极限来判断级数的收敛性。 1.如果存在一个常数 r，使得级数的项的根值小于 r，那么该级数收敛。 2.如果级数的项的根值大于 1，那么该级数发散。 3.如果级数的项的根值等于 1，那么根值审敛法无法确定级数的收敛性，可能收敛，也可能发散。积分审敛法积分审敛法是将级数与函数的积分进行比较来判断级数的收敛性。

级数敛散性判别方法的归纳-级数的敛散性

级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。关键词：级数；收敛；判别；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。

定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。二正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则（i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛；（ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n + 易知：∑∞ =22ln 1n n n 收敛（积分判别法），又∑∞=22n n a 收敛，所以)ln 1 212 2 2 n n a n n +∑∞ =（收敛。由比较判别法知∑ ∞ =2ln n n n n a 收敛（n a >0）.

【精品】级数审敛法小结

级数审敛法小结不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容，希望大家能抽空看一下,谢谢。首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数（其中，包含特殊的交错级数)。对于不同的级数,他们有不同的审敛法. 第一节:正项级数（当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同，只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了) （注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦,若Un的极限不为0，级数发散.） A.定义法（注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出。): Un收敛⇔部分和数列{Sn｝有界，针对这个东西，首先,了解一个充要条件：∑∞ n =1 用的地方不多后面会有介绍。

比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针对正项级数而言,不能滥用）.对于比较审敛法,也许不要按书上的用起来会更方便一点。简单一句话：我们的目的就是要找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可.(当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性）例1：设k ，m 为正整数，.0,000 >>b a （这里主要是保证以下的多项式恒为正)是推导出级数 ∑∞=--++++++1110110......n k k k m m m b n b n b a n a n a 收敛的充要条件。解:设k k k m m m n b n b n b a n a n a u ......110110+++++=--。取m k n n v -=1,因为00lim b a v u n n n =∞→,所以∑∑∞ =∞=1 1,n n n n v u 具有相同的敛散性，由Vn 收敛的充要条件是k —m 〉1，所以所求级数的收敛的充要条件是k-m 〉1。（这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un 是有理分式的,我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数 ∑∞=---+13235523)()12()1(n n n n n n 是收敛的,这因为分子的最高次幂是13,分母的是15，15—13=2〉1 ，故收敛。（至于解题时，我们可以模仿本题构造Vn 去做）2，这个例题的解法具有一般性.设0→n u ，我们只需要找到Un 的一个同阶无穷小或是等价无穷小Vn ，如果Vn 的敛散性我们已经掌握，问题解决。

级数敛散性判别方法的归纳-级数的敛散性

级数敛散性判别方法的归纳之阿布丰王创作（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难掌控，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮忙。关键词：级数；收敛；判别；发散一. 级数收敛的概念和基赋性质称为无穷级数(常简称级数),n项之和，记为称它为无穷级数的第n个部分和，也简称部分和。若无穷级数② s. 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 c和d，级定理 2 去掉、增加或改变级数的有限个项其实不改变级数的

敛散性定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。定理 4 0，总存在自然数 N，使得当m＞N 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不敷的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。二正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正整数M，对一切正整数 n M。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 ,如果存在某正数N，对一切n＞ N （i （ii 例 1 . ）. 证明：因为

）.例 2 . 证：无妨设x>0, ，当此时且。而当例 3. 证：