齐民友高数下册上课第13章01常数项级数概念及性质(1)
- 269 -
第13章 无穷级数
这章基本上不需要上册的知识。想及格吗？绝不能放过这一章！ 凡是以后要经常用的例子，我们提醒“记住”。
第1节 常数项级数的概念与性质
1.1 基本概念
定义1.1 给定一个数列{}n u ，用“+”号形式地连起来构成的表达式
121
n n n u u u u ¥
==++++å
L L (1.1)
称为常数项无穷级数，简称级数，其中每个12,,u u L 都称为级数(1.1)的一项，n u 称为级数(1.1)的通项（一般项）．
级数（1.1）只能是形式的，因为我们不懂无穷个数相加；其中¥是指+?，因为n 不会往-?跑。
作级数(1.1)的前n 项之和
12n n s u u u =+++L ， (1.2)
称n s 为级数(1.1)的部分和()1,2,3,n =L ．它们构成一个新数列{}n s ，称为级数(1.1)的部分和数列．
定义1.2 设{}n s 是级数（1.1）的部分和数列。
1.1
lim 1.1 1.1n n
s s s ìïïí
=ïïî
不存在，（）；存在散收和，（），是（）的，即则称级数则称级数级数发敛 123n s u u u u =+++++L L 1
n n u ¥
==
å
．
题目：给定了级数（1.1），（1）断定级数（1.1）是收敛的还是发散的——
高 等 数 学
- 270 -
称为审敛；（2）求级数（1.1）的和——称为求和。
解法：（i ）求级数（1.1）的部分和数列{}n s ；（ii ）如果{}n s 发散，则级数（1.1）发散，如果{}n s 收敛，则级数（1.1）收敛，级数（1.1）的和lim n n
s s =。
“敛散性”=“收敛性”=“是收敛的还是发散的”．
设级数111(1)1(1)1(1)(1)n n n ¥
--=-=+-++-++-+åL L 的部分和n s ，因
n 为奇数时1n s =，n 为偶数时0n s =，故n s 不存在极限，级数11
(1)n n ¥
-=-å发
散．
思考题:
1.怎样讨论级数的收敛性?
2.数项级数与数列之间有怎样的关系?
第13章 无穷级数
- 271 -
【例1.1】 讨论等比级数（也称为几何级数）
210
k n k aq a aq aq aq ¥
-==+++++å
L L （0a ¹）
的敛散性．
解 若1q ¹，则部分和为
1
2
1
1n n k n n k a aq s aq a aq aq aq
q
--=-=
=++++=-å
L
(1)当1q <时，lim 0n n
q =，故lim 1n n
a
s q
=
-，等比级数收敛，且和为1a
q
-； (2)当1q >时，lim n n
q =?，从而lim n n
s =?，等比级数发散．
(3)当1q =时，部分和为1
n n k s a na -===å
或1
10
(1)n n n k s a --==-å无极限，等
比级数发散．
综合有
∞
=⎧=<⎪
-⎨⎪≥⎩
∑发散，0,111
k k a q aq q q ．
高 等 数 学
- 272 -
【例1.2】 证明调和级数
11111
123n n
n ¥
==+++++å
L L
是发散的.
证1 要证1
1
n n ¥
=å
发散，即证其部分和数列{}n s 发散．用反证法证明． 若{}n s 收敛即lim n n
s 存在，设lim n n
s s =，则2lim n n
s s =．由于
21111111(1)22234212n s n n
-
+=-+++++++-L 111111(1)()()2234212n n =-+++++++-L
11111()()4422n n >+++++L
11
12n s n
=+++=L ，
从而有
12s s -+?，即1
02-?， 此结论说明假设不真，故1
1
n n ¥
=å发散．
证2 仍证其部分和数列{}n s 发散．注意到第3章中已得到的不等式:
ln(1)(0)x x
x +<>
因此有
11ln 1n n 骣÷ç÷>+ç÷ç÷桫．又1ln 1ln(1)ln n n n 骣÷ç÷+=+-ç÷ç÷
桫，从而有 11
1ln 2(ln 3ln 2)[ln(1)ln ]ln(1)2n s n n n n
=+
++>+-+++-=+L L 由于lim ln(1)n n +=+?，得lim n n s =+?，故1
1
n n ¥
=å发散．
必须记住一百年的例子： 1．11(1)n n ¥
-=-å发散；
2．调和级数1
1
n n ¥
=å
发散； 3．∞
=⎧=<⎪
-⎨⎪≥⎩
∑发散，0,111
k k a q aq q q 。
第13章无穷级数- 273 -
高 等 数 学
- 274 -
1.2 基本性质
固定n ，如果在级数(1.1)去掉前n 项，则得一级数:
121
n n n k k k n u u u u ¥
+++=+++++=
å
L L ， (1.3)
级数(1.3)叫做级数(1.1)的n 项后的余项．
级数(1.1)的余项(1.3)的前m 项部分和m
m n n s s s +¢=-，所以 lim lim m
m n n m
m
s s s +¢=-． 结论：级数(1.3)收敛Û级数(1.1)收敛；收敛时
1
1
1
n
k k k k k k n u u u ゥ===+=
+
邋?
，
即n n s s r =+，其中s 是（1.1）的和，n r 是（1.3）的和．
性质1.1 级数中去掉或加上有限多项后不改变级数的收敛性． 当级数收敛时，其部分和()n
s s n
，
于是固定n 将n s 作为级数和s 的近似值时，其误差为:
n n r s s =-．
推论：级数的收敛性与前面固定的一大段无关，只决定于它的尾巴。
与极限运算的线性性质相似，收敛级数有下列运算性质:
（经）性质1.2 (1) 若级数1n n u ¥
=å收敛，其和为s ，则对任意常数k ，级
数1
n n ku ¥
=å也收敛，且其和为k s ×．
(2) 设有级数1
n n u ¥=å，1
n n v ¥=å分别收敛于s 与s ，即1
n n u s ¥==å，1
n n v s ¥
==å，
则级数1
()n n n u v ¥
=±å也收敛，且其和为s s ±．
证 (1) 设1
n n u ¥=å与1
n n k u ¥
=×å的部分和分别为n s ，n s ，则
1
2n n k u k u k u s =??+?L 12()n n k u u u k s =?++=?L ,
于是lim lim lim n n n
n
n
n
k s k s k s s =???，故级数1
n n k u ¥=×å收敛且和为k s ×．
第13章 无穷级数
- 275 -
(2) 设级数1
n n u ¥=å，1
n n v ¥=å的部分和分别为n s ，n s ，则1
()n n n u v ¥
=±å的部
分和
1122()()()n n n z u v u v u v =??+?L
1212()()n n u u u v v v =+++?++L L
n n s s =?，
故lim lim ()
lim lim n n n n n
n
n
n
n
z s s s s s s =???，
这表明级数1
()n n n u v ¥
=±å收敛且其和为s s ±．
由上面的推导很容易得到如下重要结论：
级数的每一项同乘一个不为零的常数后，其收敛性不变；三个级数
1
1
1
,
,()n n n n n n n u v u v ゥ
?
===±邋?，如果其二收敛则第三个也收敛（不可能只有一个发
散）。
思考题:
3.若1n n u ¥
=å收敛，1
n n v ¥
=å发散，问1
()n n n u v ¥
=±å收敛还是发散?又如果所给
两个级数均发散，那么1
()n n n u v ¥
=±å是否必发散?
性质1.3 将收敛级数的项任意加括号之后所成新级数仍收敛，且其和不变． 证 设有收敛级数
12n s u u u =++++L L ，
任意加括号后所成的级数为
11121212()()n n n n u u u u u u ++++++++++L L L ，
用m
s ¢表示该新级数的前m 项之和，则显然数列{}m s ¢是原级数部分和{}n s 的子数列．因此，由{}n s 收敛，则其子数列{}m
s ¢也收敛，且两者极限相同，故结论得证．
性质1.3的逆命题不成立，即加括号之后的级数收敛不能保证原级数收敛．例如，级数(11)(11)-+-+L 收敛于零，但去括号之后所得级数
11111(1)(1)n n --+-++-+-+L L
高 等 数 学
- 276 -
却是发散的．
性质1.3的逆否命题是
推论1.1 如果级数加括号之后所形成的级数发散，则原级数发散． 性质1.4 级数收敛的必要条件是它的一般项趋于零，即lim 0n n
u =．
证 对于级数1
n n u ¥
=å，它的一般项n u 与部分和1
n
n k k s u ==
å
之间有关系式
1n n n u s s -=-．假设该级数收敛于和s ，则
11lim lim ()lim lim 0n n n n n n
n
n
n
u s s s s s s --=-=-=-=．
性质1.4的逆否命题是：
推论1.2 如果级数的一般项n u 不趋于零即lim 0n n
u ¹，则此级数发散．
性质1.4最常用的是它的逆否命题推论1.2（用来断定级数发散）。 思考题:
4.对级数的一般项n u ,若lim 0n n
u =，则此级数收敛吗?（不一定。例如调
和级数。）
*因级数的收敛是由部分和数列的收敛来定义的，因此由判断数列极限的Cauchy 收敛原理，可得到如下判别级数收敛性的Cauchy 收敛原理．
*定理1.1*(Cauchy 收敛原理) 级数1n n u ¥
=å收敛的充分必要条件是:
0,N e +
">$?Z
，使得当n N >时，p N +"?，总有
1
n p
k k n u e +=+<å
．
思考题:
*5.借助于Cauchy 收敛原理，讨论级数211n n
¥
=å与11
n n ¥
=å的收敛性．
第13章 无穷级数
- 277 -
习题13-1
A 类
1.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和．
(1)1
e (1)5n
n
n n ¥
=-å；
(2)11(54)(51)n n n ¥
=-+å； (3)111
()2
3n n n ¥
=+å；
(4)11(1)(2)n n n n ¥
=++å； *(5)1(1)!
n n
n ¥
=+å；
(6)11
5n n
¥
=å
；
(7)1
sin 3n np
¥
=å；
(8)n ¥
=å；
(9)n ¥
=å
．
2．利用级数的性质判断下列级数的收敛性：
(1) (
)
1
112
n n n ¥
=-å
(2) 221
ln 1n x n n ¥
=骣÷
ç+÷ç÷桫å 3. 若级数1
(0)n n n a a ¥
=³å收敛，试讨论下列级数的收敛性：
*n ¥
=å
1
n n ca ¥=å，21
()n n a c ¥=+å，1
()n n a c ¥
=+å．
*4.应用Cauchy 收敛准则，讨论下列级数的收敛性：
(1) 1sin 22
n
n
n ¥
=å； (2) 1
(1)n
n n ¥
=-å．
5.若1
n n a ¥
=å及1
n n c ¥
=å都收敛，n n n a b c ＃证明1
n n b ¥
=å收敛．
6.若数列{}n b 有lim n n
b =+?
(1) 证明:级数11
()n n n b b ¥
+=-å发散．
(2) 证明:当0n b ¹时， 级数1
1
11(
)n n n b b ¥
+=-å收敛，并求其和．
B 类
1. 根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和．
(1) 22
21
ln
n n n ¥
=-å；
(2) 1
21
2n
n n ¥
=-å
． *2. 若数列{}n na 与级数11
()n n n n a a ¥
-=-å收敛，证明1
n n a ¥
=å收敛．
3. 设1
n n a ¥=å收敛，证明11
()n n n a a ¥
+=+å也收敛，但其逆不真．又，若0n a >，则逆命题
也成立．
高 等 数 学
- 278 -
*4. 证明: 若级数211
k n u ¥-=å与21
k n u ¥=å都收敛，则1
n n u ¥
=å收敛．
*5. 试求在第i 点钟到第1i +点钟的什么时间，时钟上的分针恰好与时针重合．
大一下高数下册知识点资料
大一下高数下册知识 点
高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量线性运算 定理1：设向量a ≠0，则向量b 平行于a 的充要条件是存在唯一的实数λ，使 b ＝λa 1、 线性运算：加减法、数乘； 2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 3、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ； 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 4、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 222z y x r ++= ； 2） 两点间的距离公式：2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a
z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //?0 =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 3、 柱面： 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面
齐民友高数下册上课第13章01常数项级数概念及性质(1)
- 269 - 第13章 无穷级数 这章基本上不需要上册的知识。想及格吗？绝不能放过这一章！ 凡是以后要经常用的例子，我们提醒“记住”。 第1节 常数项级数的概念与性质 1.1 基本概念 定义1.1 给定一个数列{}n u ，用“+”号形式地连起来构成的表达式 121 n n n u u u u ¥ ==++++å L L (1.1) 称为常数项无穷级数，简称级数，其中每个12,,u u L 都称为级数(1.1)的一项，n u 称为级数(1.1)的通项（一般项）． 级数（1.1）只能是形式的，因为我们不懂无穷个数相加；其中¥是指+?，因为n 不会往-?跑。 作级数(1.1)的前n 项之和 12n n s u u u =+++L ， (1.2) 称n s 为级数(1.1)的部分和()1,2,3,n =L ．它们构成一个新数列{}n s ，称为级数(1.1)的部分和数列． 定义1.2 设{}n s 是级数（1.1）的部分和数列。 1.1 lim 1.1 1.1n n s s s ìïïí =ïïî 不存在，（）；存在散收和，（），是（）的，即则称级数则称级数级数发敛 123n s u u u u =+++++L L 1 n n u ¥ == å ． 题目：给定了级数（1.1），（1）断定级数（1.1）是收敛的还是发散的——
高 等 数 学 - 270 - 称为审敛；（2）求级数（1.1）的和——称为求和。 解法：（i ）求级数（1.1）的部分和数列{}n s ；（ii ）如果{}n s 发散，则级数（1.1）发散，如果{}n s 收敛，则级数（1.1）收敛，级数（1.1）的和lim n n s s =。 “敛散性”=“收敛性”=“是收敛的还是发散的”． 设级数111(1)1(1)1(1)(1)n n n ¥ --=-=+-++-++-+åL L 的部分和n s ，因 n 为奇数时1n s =，n 为偶数时0n s =，故n s 不存在极限，级数11 (1)n n ¥ -=-å发 散． 思考题: 1.怎样讨论级数的收敛性? 2.数项级数与数列之间有怎样的关系?
数项级数的概念与基本性质
8.1数项级数的概念与基本性质 教学目的 理解级数的概念和基本性质 教学重点 级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数 教学难点 有穷项相加与无穷项相加的差异 教学过程 1.导入 以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课 2.1常数项级数的概念 定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞ == ++++1 21n n n a a a a （8.1.1） 的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数 ∑∞ =1 n n a 的通项（或一般项）． 如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数. 例如， 等差数列各项的和 +-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数． 等比数列各项的和 +++++-1 12 111n q a q a q a a 称为等比级数，也称为几何级数． 级数 1 1n n ∞ =∑ =111123n +++++ 称为调和级数． 级数（8.1.1）的前n 项和为： 121 n n k k k S a a a a ===+++∑ ，
称n S 为级数 ∑∞ =1 n n a 的前n 项部分和，简称部分和． 2.2常数项级数收敛与发散 定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在， 即 S S n n =∞ →lim (常数) 则称极限S 为无穷级数 ∑∞ =1n n a 的和．记作 ++++==∑∞ =n n n a a a a S 211 此时称级数 ∑∞ =1 n n a 收敛；如果数列}{n S 没有极限，则称级数 ∑∞ =1 n n a 发散，这时级数没有和． 显然，当级数收敛时，其部分和n S 是级数和S 的近似值，它们之间的差 ++=-=++21n n n n a a S S r 叫做级数的余项．用近似值n S 代替S 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为||n r ． 例１ 讨论几何级数 +++++=∑∞ =-n n n aq aq aq a aq 21 1 的敛散性，其中0≠a ，q 是公比． 结论：几何级数 ∑∞ =-1 1 n n aq ，当1|| 110 第十三章 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ） §1 一致收敛性（ 6 时 ） 一 函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ,介绍概念:收敛点， 收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 逐点收敛(或称为“点态收敛”)的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x ,用“N -ε”定义验证其收敛域为] 1 , 1 (-,且 ∞→n l i m )(x f n = ∞→n lim n x =?? ?=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n = n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞ →n lim )(x f n =0. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) (∞→n . ⑴ )(x f n =x x x x n n n n --+-. )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑵ )(x f n =1 21+n x . )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑶ 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =???≠∈=. ,,, ] 1 , 0 [ , 0, ,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且 )(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [. ⑷ )(x f n =2 2 22x n xe n -. )(x f n →0, R ∈x . ⑸ )(x f n =?? ? ? ? ? ???≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,41 11x x x x x n n n n n n n 有)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n . （ 注意?≡1 1)(dx x f n .） 级数的概念及其性质 我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。 无穷级数的概念 设已给数列a1,a2,…,a n,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+a n+…称为无穷 级数，简称级数.记作：或，即：=a1+a2+…+a n+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，a n称为级数的通项. 取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，S n=a1+a2+…+a n，… 这个数列的通项S n=a1+a2+…+a n称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。 如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。 例题：证明级数：的和是1. 证明： 当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1. 级数的性质 1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项a n当n→∞时趋于零，即： 注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。 例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。 此级数为调和级数，在此我们不加以证明。 2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛 的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。 3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。 4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。 注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。 5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。 正项级数的收敛问题 对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。 我们先来考虑正项级数(即每一项a n≥0的级数）的收敛问题。 判定正项级数敛散性的基本定理 定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和S n上有界.如果S n上无界，级数发散于正无穷大。 例如：p级数：，当p>1时收敛，当p≤1时发散。 注意：在此我们不作证明。 正项级数的审敛准则 准则一：设有两个正项级数及，而且a n≤b n(n=1,2,…）.如果收敛，那末也 收敛；如果发散，那末也发散. 例如：级数是收敛的，因为当n>1时，有≤，而等比级数是收敛的 准则二：设有两个正项级数与，如果那末这两个级数或者同时收敛，或者同时发散。 关于此准则的补充问题 如果，那末当收敛时，也收敛；如果，那末当发散时， 也发散. 例如：是收敛的.因为，而是收敛的. 第十章无穷级数 【考试要求】 1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性． 4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法．5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间． 6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐 项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法． 【考试内容】 一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义 一般地，如果给定一个数列 1u ，2u ，，n u ，，则由这数列构 成 的 表 达式123n u u u u +++ ++ 叫做常数 项无穷级数，简称常数项级数或级 数 ， 记 为 1 n n u ∞ =∑，即 123 1 n n n u u u u u ∞ ==+++++ ∑， 其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念 作常数项级数1 n n u ∞ =∑的前n 项和121 n n n i i s u u u u ==++ +=∑，n s 称为级数1 n n u ∞ =∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的 数列 11 s u =， 212s u u =+，3123s u u u =++，， 1 n s u =， ． 如果级数 1n n u ∞ =∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞ =，则称无 穷级数 1 n n u ∞ =∑收敛，这时极限s 叫做 这级数的和，并写成 123n s u u u u =+++++或者 1 n n u s ∞ ==∑；如果{}n s 没有极限，则 称无穷级数 1 n n u ∞ =∑发散． 3．收敛级数的基本性质 高等数学（第七版·下册）同济大学知识点 一、多元函数微分学 多元函数微分学是高等数学中的一个重要分支，研究的是多元函数的导数、微分以及应用。在本章中主要介绍了以下几个知识点： 1. 偏导数与全微分 •偏导数：多元函数的偏导数是指函数在某一点上某个自变量的变化率。 •全微分：多元函数的全微分是在某一点上，函数值关于自变量的微小变化量。 2. 高阶偏导数与多元函数的泰勒展开式 •高阶偏导数：多元函数的高阶偏导数是指对多个自变量进行重复求导的结果。 •多元函数的泰勒展开式：用多项式逐次逼近函数的方法，可以近似表示函数在某一点附近的取值。 3. 隐函数与参数方程的求导 •隐函数求导：对于由方程定义的函数，可以通过偏导数求导的方法来求解其导数。 •参数方程求导：对于由参数方程定义的函数，可以通过链式法则将参数的导数转化为函数关于参数的导数。 4. 方向导数与梯度 •方向导数：多元函数在某一点沿着给定方向的变化率。 •梯度：多元函数的梯度是一个向量，它的方向指向函数值增加最快的方向，模表示变化率最大的值。 5. 多元函数的极值与条件极值 •多元函数的极值：函数取得的最大值或最小值。 •条件极值：在满足一定条件下，函数取得的最大值或最小值。 6. 格林公式与高斯公式 •格林公式：二维平面上的曲线积分与这个曲线所围成的区域上的面积分之间的关系。 •高斯公式：三维空间中，某个闭合曲面上的散度与这个曲面所围成的空间区域内的体积分之间的关系。 二、多元函数积分学 多元函数积分学是研究多元函数的积分以及应用的学科。本章介绍了以下几个知识点： 1. 二重积分 •二重积分的概念：二重积分是将二元函数沿着某一平面区域上的小面积元素进行累加得到的量。 •二重积分的性质：二重积分具有线性性、可加性、保号性等性质。 2. 二重积分的计算方法 •基本的计算方法：可以通过把二重积分化为累次积分的形式进行计算。 同济第六高等数学教案版第章无穷级数 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT- 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 第十一章 无穷级数 § 11.1 常数项级数 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数123,,,,, n u u u u 依次相加所得到的表达式1231 n n n u u u u u ∞ ==+++ ++ ∑称为数项级数（简称级数）。 1 n n k k S u ===∑123n u u u u +++ + （1,2,3, n =）称为级数的前n 项 的部分和，{}(1,2,3,)n S n =称为部分和数列。 1 1 lim (),,n n n n n n S S u S u S ∞ ∞ →∞ ====∑∑若存在则称级数是收敛的,且其和为记以 lim n n S →∞ 若不存在，则称级数1 n n u ∞ =∑是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （ 1） 如 果 1 1 1 1 1 ,()n n n n n n n n n n n u v a b au bv a u b v ∞ ∞∞ ∞ ∞ =====++∑∑∑∑∑和皆收敛,为常数,则收敛,且等于 （2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数1 n n u ∞ =∑收敛的必要条件是lim 0n n u →∞ = （注：引言中提到的级数11 (1),n n ∞ +=-∑具有lim n →∞ () 1 1n +-不存在，因此收敛 级数的必要条件不满足，1 n ∞ =∑ () 1 1n +-发散。调和级数1 n ∞ =∑ 1 n 满足lim n →∞10,n =但1 n ∞ =∑1 n 却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件lim n →∞0n u =，而1 n ∞ =∑n u 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数）：0 n n ar ∞ =∑ ()0a ≠ 当1r <时，0n n ar ∞ =∑1a r =-收敛；当1r ≥时，0 n n ar ∞ =∑发散 （2）p--级数：11p n n ∞ =∑ 当p>1时，11p n n ∞=∑收敛， 当p ≤1时11 p n n ∞=∑发散 （注：p>1时，11 p n n ∞ =∑ 的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知1 n ∞ =∑ 2 216 n π=） 二、正项级数敛散性的判别法 () 01,2,3,n u n ≥=若则 1 n n u ∞ =∑称为正项级数，这时 (){}11,2,3, n n n S S n S +≥=所以是单调 加数列，它是否收敛就只取决于n S 是否有上界，因此1 n ∞=∑n n u S ⇔收敛 第十一章无穷级数 教学内容目录： §1—§8 本章主要内容： 常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数,P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。 幂级数：幂级数概念,阿贝尔(Abel)定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算,和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、 e x cos sin ln（1+x）、（1+x）m等）的幂级数展开式,幂级数在近似计算中的应用举例，“欧、x 、 x 拉（Euler）公式。 函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数. 教学目的与要求： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法,掌握正项级数的比值审敛法。 4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。 5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念. 7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。 8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10、掌握应用e x，sinx，cox,en(1+x）和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。 11、了解函数展开为傅里叶（Fourier)级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π，π)上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在(—π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。 第十二章无穷级数【本章网络构造图】 第一节常数项级数概念与性质 一、常数项级数收敛与发散 给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数一般项,级数前项与称为级数局部与。假设存在，那么称无穷级数收敛，并称为级数与,记作；假设不存在，那么称无穷级数发散。 当级数收敛时, 称差值为级数余项。显然。 【例1】〔93三〕级数与为 . 【答案】 结论：等比〔几何〕级数：收敛当时 发散当时 二、收敛级数与 假设收敛，那么其与定义为。三、无穷级数根本性质 学习笔记： 〔1〕假设级数收敛于，即，那么各项乘以常数所 得级数也收敛，其与为。 注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 （2）设有两个收敛级数，，那么级数也收敛, 其与为。 注：该性质说明收敛级数可逐项相加或相减 相关结论：〔1〕假设两级数中一个收敛一个发散,那么必发散。 〔2〕假设二级数都发散，不一定发散。【例】取，，而。 〔3〕在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数敛散性。〔4〕收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数与。 推论：假设加括弧后级数发散，那么原级数必发散。 注：收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。 【例】，但发散。 【例2】判断级数敛散性： 【解析与答案】 学习笔记： 不存在 故原级数发散 四、级数收敛必要条件 必要条件：假设收敛，那么。 逆否命题：假设级数一般项不趋于0，那么级数必发散。【例】，其一般项为 ，当时，不趋于0，因此这个级数发散。注：并非级数收敛充分条件 【例】调与级数，虽然 ，但是此级数发散。事实上，假设调与级数收敛于，那么， 但，矛盾！所以假设不真。【例3】判断以下级数敛散性，假设收敛求其与： 〔1〕〔2〕 【答案】〔1〕发散；〔2〕发散 五、两个重要级数：几何级数与p级数敛散性 学习笔记： 〔1〕几何级数：，当时收敛；当时发散. 〔2〕级数(或对数级数)：，当时收敛，当时发散。 【重点小结】 第十二章 无穷级数 § 1 常数项级数的概念和性质 1、 设级数∑∞ =053n n n ，则其和为（ ） A 21 B 53 D 35 2、 若0lim =∞ →n n a ，则级数∑∞ =1n n a （ ） A 收敛且和为 C 发散可能收敛也可能发散 3 、若级数∑∞ =1 n n u 收敛于S ，则级数)(1 1∑∞ =++n n n u u （ ） A 收敛于2S B 收敛于2S+1 u 2S-1u D 发散 4、若+∞=∞→n n b lim ，0≠n b ,求 )1 1(11+∞ =-∑n n n b b 的值 解： (=n S 1 114332211 1)11......()11()11()11( ++- =-+-+-+-n n n b b b b b b b b b b 所以1 1 lim b S n n = ∞ → 5、若级数∑∞ =1 n n a 收敛，问数列{n a }是否有界 解：由于0lim =∞ →n n a ，故收敛数列必有界。 6、若a a n n =∞ →lim ，求级数)(1 1∑∞ =+-n n n a a 的值 解：=n S 1113221)......())(()(++-=-+-+-n n n a a a a a a a a 故a a a a a a n n n n n -=-=-+∞ →∞ =+∑1111 1)(lim )( 7、求)(12121 -+∞ =-∑n n n a a 的值 解：=n S + -)(3a a a a a a a a n n n -=-+-+-+12121235)......()( 故)(12121 -+∞=-∑n n n a a =a a a n n -=-=+∞ →1)(lim 12 8、求 ∑ ∞ =++1) 2)(1(1n n n n 的和 ()41 § 2 常数项级数的审敛法 一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性 数项级数的概念与基本性质 8.1 数项级数的概念与基本性质 教学目的：理解级数的概念和基本性质。 教学重点：级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数。 教学难点：有限项相加与无穷项相加的差异。 教学过程： 1.导入 我们以前研究的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要。在许多技术问题中，常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数。无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具。无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础。 2.讲授新课 2.1 常数项级数的概念 定义8.1：设给定数列{an}，我们把形如 a1+a2+。+an+。=∑an (n=1,2.) 的式子称为一个无穷级数，简称级数。其中第n项an称 为级数∑an的通项（或一般项）。如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数。 例如，等差数列各项的和a1+(a1+d)+(a1+2d)+。+[a1+(n-1)d]+。称为算术级数。等比数列各项的和XXX.称为等比级数，也称为几何级数。级数2n-1+。+1111+。=∑(2n-1)/(3n) (n=1,2.)称为调和级数。 级数(8.1.1)的前nXXX： XXX，k=1,2.n 称Sn为级数∑an的前n项部分和，简称部分和。 2.2 常数项级数收敛与发散 定义8.2：若级数(8.1.1)的部分和数列{Sn}的极限存在，即 limSn=S (常数) n→∞ 则称极限S为无穷级数∑an的和。记作 S=∑an=a1+a2+。+an+。 此时称级数∑an收敛；如果数列{Sn}没有极限，则称级数∑XXX发散，这时级数没有和。显然，当级数收敛时，其部分和Sn是级数和S的近似值，它们之间的差rn=S- Sn=an+1+an+2+。叫做级数的余项。用近似值Sn代替S所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为|rn|。 例1：讨论几何级数∑aq^(n-1)=a+aq+aq^2+。+aq^n+。的敛散性，其中a≠0，q是公比。 正项级数是指所有项都是非负实数的级数，即对于所有的n，有un≥0. 2.2正项级数的性质 正项级数有以下性质： 册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 (一)向量线性运算 定理1：设向量az0,则向量b 平行于a 的充要条件是存在唯一的实数 入， 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式; 利用坐标做向量的运算：设a = ( a x ,a y ,a z ), b = (b x ,b y ,b z )； a ± b = (a x ± b x , a y ± b y ,a z ± b z ),几 a = a a x " a y " a z )； / 2 2 2 AB| = U(X 2-X 1)中(『2-%) +(Z 2-Z 1) 4、 向量的模、方向角、投影: 1) 向量的 模: r 卜 J x 2 + y 2+z 2 3) 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 4) x 方向余弦：co 歹二 5) 投影：PHua = a cos® 1、 数量积：a b = cosP = y , cosY r ,其中w 为向量a 与U 的夹角。 b cos 1、 线性运算：加减法、数乘; 2、 3、 2) 两点间的距离公式: 2 1) 2) a 丄 b = a b = 0 2 、 向量积：C = a X b 大小: b sin 0，方向：a,b,c符合右手规则 2)a // b 二 a 咒 b 运算律：反交换律b咒 （三）曲面及其方程 1、曲面方程的概念：S : f(X, y, z) = 2、旋转曲面: yoz面上曲线C : f (y,z)= 0, 绕y轴旋转一周: f (y,± J x2+ z2) 绕z轴旋转一周: f (- V x2+ y2,z) 3 、 柱面: [F(x,y) = 0 F （X, y） = 0表示母线平行于z 轴’准线为〔z=0 的柱面 4、二次曲面 X2 1）椭圆锥面：a2 b2 z2 高等数学课后习题解读 总习题一： 1是填空题，是考察与极限有关的一些概念，这个是很重要的，要掌握好。而且几乎每章的总习题都设了填空题，均与这些章节的重要概念有关。所以每章的总习题里的填空题所涉及的知识点，比如谁是谁的什么条件之类，务必要搞清楚。 2是无穷小的阶的比较 3、4、5、6是与函数有关的题目，这个是学好高数的基础，但却不是高数侧重的内容，熟悉即可 7用定义证明极限，较难，一般来说能理解极限的概念就可以了 8典型题，求各种类型极限，重要，6个小题各代表一种类型，其实求极限的题目基本跳不出这六种框架了 9典型题，选择合适的参数，使函数连续，用连续的定义即可 10典型题，判断函数的间断点类型，按间断点的分类即可 11较难的极限题，这里是要用到夹逼原理，此类题目技巧性强，体会一下即可 12证明零点存在的问题，要用到连续函数介值定理，重要的证明题型之一，必需掌握 13该题目给出了渐近线的定义以及求法，要作为一个知识点来掌握，重要 综上，第一章总习题要着重掌握的是1、2、8、9、10、12、13题 总习题二： 1填空题，不多说了，重点 2非常好的一道题目，考察了与导数有关的一些说法，其中的干扰项(B)(C)设置的比较巧妙，因为平时我们一般只注意到导数在某点存在的条件是左右导数都存在且相等，容易忽视另一个重要条件：函数必须要在该点连续，否则何来可导?而(B)(C)项的问题正是在于即使其中的极限存在，也不能保证函数在该点连续，因为根本就没出现f(a)，所以对f(x)在a 处的情况是不清楚的。而对(A)项来说只能保证右导数存在。只有(D)项是能确实的推出可导的 3物理应用现在基本不要求了 4按定义求导数，不难，应该掌握 高数教案模板 高数级数的教案第7 5、76课时： 【目标与要求】 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；2．熟练掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；2．掌握几何级数收敛与发散的条件。 【教学重点】 1、常数项级数收敛、发散的概念及几何级数； 2、级数的基本性质及收敛的必要条件。 【教学难点】 级数的基本性质及收敛的必要条件。 §121常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 1．常数项级数的定义 给定一个数列 u1u2u3un则由这数列构成的表达式u1u2u3un叫做常数项)无穷级数简称常数项)级数记为un即n1 n1un u1u2u3un 其中第n项un叫做级数的一般项 2．级数的部分和作级数un的前n项和sn ui u1u2u3un n1i1n称为级数un的部分和 n1 3．级数敛散性定义如果级数un的部分和数列{sn}有极限s即limsn s n1n则称无穷级数un收敛这时极限s叫做这级数的和 n1并写成 s un u1u2u3un n1如果{sn}没有极限则称无穷级数un发散 n1 余项当级数un收敛时其部分和sn是级数un 的和s的近似值它们之间的差值 n1n1 rn s sn un1un2叫做级数un的余项 n1 例1讨论等比级数(几何级数) n0aqn a aq aq2aqn 的敛散性其中a0q叫做级数的公比 解如果q1则部分和 sn a aq aq aq2n1a aqnaqna 1q1q1q aa 当|q|1时因为limsn所以此时级数aqn收 敛其和为 1q1qn n0 当|q|>1时因为limsn所以此时级数aqn发散 n n0 如果|q|1则当q1时sn na因此级数aqn发散 n0 当q1时级数aqn成为 n0 a a a a 当|q|1时因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零 所以sn的极限不存在从而这时级数aqn也发散 n0a,|q|1综上所述，级数aqn1 q n0|q|1提醒学生一定要熟练记住上述结论！ 例2证明级数 123n是发散的 证此级数的部分和为 sn123n n n(n1) 2显然limsn因此所给级数是发散的 例3判别无穷级数 第十一章 无穷级数 §11.1 常数项级数的概念与性质 一、判断题 1． ∑∞ =1 n n u 收敛，则3)3(lim 2 =+-∞ →n n n u u （ ） 2．若0lim ≠∞→n n u ， ∑∞ =1 n n u 发散。 （ ） 3. ∑∞ =1 n n u 收敛,则 ∑∞ =+1)10(n n u 收敛。 （ ） 4． ∑∞ =1 n n u 发散， ∑∞ =1 n n v 发散，则 )(1 n n n v u -∑∞ =也发散。 （ ） 5．若 ∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =+1 2 n n u 也收敛。 （ ） 二、填空题 1．∑∞ =⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(642)12(531n n n 该级数的前三项是 。 2．级数⋅⋅⋅-+-+-5 64 53 42 31 2的一般项是 。 3．级数⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ ⋅⋅+⋅+8 6426424 22 2 x x x x x 的一般项为 。 4．级数)2 1 )1(1( 1 n n n n -+∑∞ =的和为 。 三、选择题 1． 下列级数中收敛的是（ ） （A ） ∑∞ =+1 884n n n n （B ） ∑∞ =-1 848n n n n （C ） ∑∞ =+1 842n n n n （D ）∑∞ =⋅1 842n n n n 2． 下列级数中不收敛的是（ ） （A ）)11(ln 1 n n +∑∞ = （B ）∑∞ =131n n （C ）∑∞=+1)2(1n n n （D ）∑∞=-+1 4)1(3 n n n n 3． 如果 ∑∞ =1 n n u 收敛，则下列级数中（ ）收敛。 （A ）∑∞ =+1 )001.0(n n u （B ）∑∞ =+1 1000n n u （C ）∑∞=12n n u (D) ∑∞=11000n n u 4． 设∑∞ =1 n n u =2，则下列级数中和不是1的为（ ） 高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘；),,(z y x b b b b = 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 222z y x r ++= ； 2） 两点间的距离公式：B A = 3） 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =⋅ 1）2a a a =⋅ 2）⇔⊥b a 0=⋅b a z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅ 2、 向量积：b a c ⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =⨯a a 2）b a //⇔0 =⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b ⨯-=⨯ （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(2 2=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f 3、 柱面： 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0 0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 22 22z b y a x =+ 高等数学（下）知识点 高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =ρ ，),,(z y x b b b b =ρ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρ ρ, ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ； 5、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++=ρ ； 2） 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：ϕcos Pr a a j u ρρρ=，其中ϕ为向量a ρ与u ρ的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a ρ ρρρ=⋅ 1）2 a a a ρρρ=⋅ 2）⇔⊥b a ρρ0=⋅b a ρ ρ z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅ρ ρ 2、 向量积：b a c ρ ρρ⨯= 大小：θsin b a ρρ，方向：c b a ρ ρρ,,符合右手规则 1）0ρρρ=⨯a a 高等数学（下）知识点 2）b a ρρ//⇔ 0ρρρ=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a ρρρρ ρ=⨯ 运算律：反交换律 b a a b ρ ρρρ⨯-=⨯ （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念： 0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面：（旋转后方程如何写） yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 3、 柱面：（特点） 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0 0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面（会画简图） 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 2222=++c z b y a x 旋转椭球面：122 2222=++c z a y a x 3） *单叶双曲面：122 2222=-+c z b y a x《数学分析》第十三章 函数列与函数项级数
级数的概念及其性质
(高数详解1-10章全部)10第十章无穷级数
高等数学(第七版·下册) 同济大学知识点
同济第六高等数学教案版第章无穷级数
大学数学微积分第十一章 无穷级数常数项级数知识点总结
(完整版)级数的概念与性质
考研高数讲解新高等数学下册辅导讲解第十二章
(整理)第十二章级数
数项级数的概念与基本性质
大一下高数下册知识点0001
考研数学必做课后习题(同济)
高数教案模板
无穷级数常数项级数的概念与性质题目
大一高数下册知识点
高数下册知识点