无穷级数总结

一、概念与性质 1. 定义：对数列12,,

u u u ，1

n n u ∞

=∑称为无穷级数，n u 称为一般项；若部分和

数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞

=，称级数收敛，否则称为发散.

2. 性质

①设常数0≠c ，则∑∞

n n u 与∑∞

n n cu 有相同的敛散性；

②设有两个级数∑∞=1

n n u 与∑∞=1

n n v ，若∑∞==1

n n s u ，σ=∑∞=1

n n v ，则∑∞

=±=±1

)(n n n s v u σ；

若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1

n n v 发散，则∑∞

=±1

)(n n n v u 发散；

若∑∞

n n u ，∑∞=1

n n v 均发散，则∑∞

=±1

)(n n n v u 敛散性不确定；

③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；

④设级数∑∞

=1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．

注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；

②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数∑∞

=1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞

→n n u ；

注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；

②若0lim =∞

→n n u ，则∑∞

=1n n u 未必收敛；

③若∑∞

n n u 发散，则0lim =∞

→n n u 未必成立．

二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法

① 定义：若0n u ≥，则∑∞

=1n n u 称为正项级数.

② 审敛法：（i ）

充要条件：正项级数∑∞

=1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.

（ii ）

比较审敛法：设∑∞=1

n n u ①与∑∞

n n v ②都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=，

则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.

A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≤>成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≥>成立，则①发散；

B. 设∑∞

n n u 为正项级数，若有1p >使得1

(1,2,

)n p u n n ≤=，则∑∞

n n u 收敛；若

(1,2,

)n u n n

≥=，则∑∞

n n u 发散.

C. 极限形式：设∑∞

n n u ①与∑∞

n n v ②都是正项级数，若lim

(0)n

n n

u l l v →∞=<<+∞，则 ∑∞

n n

与∑∞

n n v 有相同的敛散性.

注：常用的比较级数： ①几何级数：∑∞

=-⎪⎩

⎪⎨⎧≥<-=11

11n n r r r a

ar 发散；

②-p 级数：∑

∞

=⎩⎨⎧≤>1

111n p p p n 时

发散

时收敛；

③ 调和级数：∑∞

=++++

2111n n

n 发散．（iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设∑+∞

n n a 是正项级数，若

①1lim

1<=++∞→r a a n n n ，则∑+∞=1n n a 收敛；②1lim 1

>=++∞→r a a n n n ，则∑

+∞

n n a 发散．注：若1lim 1=++∞→n n n a a

，或lim 1n =，推不出级数的敛散.例∑+∞=11n n 与∑

+∞=121

n n

，虽然1lim 1=++∞→n

n n a a

，lim 1n =，但∑+∞=11n n 发散，而∑+∞

=121n n 收敛. （iv ）根值判别法（柯西判别法）设∑+∞

n n a

是正项级数，lim n ρ=，若1<ρ，

级数收敛，若1>ρ则级数发散．

（v ）极限审敛法：设0n u ≥，且lim p n n n u l →∞

=，则①0lim >=∞

→l u n n p n 且1≤p ，则级

数∑+∞

n n u 发散；②如果1>p ，而)0(lim +∞<<=∞

→l l u n n p n ,则其收

敛．（书上P317-2-（1））

注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正

项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．

2.交错级数及其审敛法

①定义：设0(1,2,)n u n ≥=，则11(1)n n n u ∞

-=-∑称为交错级数.

②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数11

(1)n n n u ∞

-=-∑，若1+≥n n u u 且0lim =∞

→n n u ，

则11

(1)n n n u ∞

-=-∑收敛.

注：比较n u 与1+n u 的大小的方法有三种： ①比值法，即考察

n u u 1

+是否小于1； ②差值法，即考察1+-n n u u 是否大于0；

③由n u 找出一个连续可导函数)(x f ，使),2,1(),( ==n n f u n 考察)(x f '是否小于0． 3.一般项级数的判别法：

①若∑∞

n n u 绝对收敛，则∑∞

n n u 收敛.

②若用比值法或根值法判定||1

∑∞=n n u 发散，则∑∞

n n u 必发散.

三、幂级数

1. 定义：n n n x a ∑∞

=0称为幂级数.

2. 收敛性

① 阿贝尔定理：设幂级数∑+∞

=0n n n x a 在00≠x 处收敛，则其在满足0x x <的所

有x 处绝对收敛．反之，若幂级数∑+∞

n n n x a 在1x 处发散，则其在满足1

x x >的所有x 处发散． ② 收敛半径

（i ）定义：若幂级数在0x x =点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存

在一个正数R ，使得①当R x x <-0时，幂级数收敛；②当

R x x >-0时，幂级数发散；R 称为幂级数的收敛半径.

（ii ）求法：设幂级数

∑+∞

n n

n x

的收敛半径为R ，其系数满足条件

l a a n n n =++∞

→1lim

，或l a n n n =+∞→lim ，则当+∞<

R 1

=；当0

=l 时，+∞=R ，当+∞=l 时，0=R ．

注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．

（iii ）收敛半径的类型 A.0=R ，此时收敛域仅为一点； B.+∞=R ，此时收敛域为),(∞+-∞；

C.R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间． 3.幂级数的运算（略） 4.幂级数的性质

①若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞

==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内连续．

②若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0

)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可导，

且可逐项求导，即∑∑∑+∞=+∞

=-+∞=='='='0

)()()(n n n n n

n n n

n x na x a x a x S ，收敛半径不变．

③若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞

==0

)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可积，

且可逐项积分，即⎰⎰∑+∞

=x x

n n

n dt t a dt t S 0

)()(∑⎰

+∞

=-∈0

)),((n x

n n R R x dt t a ，收敛半径不

变．

5.函数展开成幂级数

①若)(x f 在含有点0x 的某个区间I 内有任意阶导数，)(x f 在0x 点的n 阶泰勒公式

为+-++-''+-'+=)(!

)()(!2)())(()()(00)(2

00000x x n x f x x x f x x x f x f x f n

)

1(0)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ，记)1(0)1()()!

1()()(++-+=

n n n x x n f x R ξ，ξ介于0,x x 之间，则)(x f 在I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为I x x R n n ∈∀=+∞

→,0)(lim .

②初等函数的泰勒级数)0(0=x （i ）∑

+∞

=∞+-∞∈=0),(,!

n n

x n x e ；（ii ）∑+∞

=--∞+-∞∈--=1

21),(,)!12()1(sin n n n x n x x ；（iii ）∑

+∞

=∞+-∞∈-=

2),(,)!2()1(cos n n

n x n x x ；（iv ）∑

+∞

=+-∈+-=+0

]1,1(,1)1()1ln(n n n x n x x ；（v ）∑

+∞

=∈-∈+--+=+1

)(),1,1(,!

)

1()1(1)1(n n R x x n n x ααααα

；

（vi ）

∑+∞=<=-01,11n n

x x x ；∑

+∞

=<-=+0

1,)1(11n n n x x x . 6. 级数求和

①幂级数求和函数解题程序

（i ）求出给定级数的收敛域；

（ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看

出其假设和函数)(x s 与其导数)(x s '的关系），从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代

数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数． ②数项级数求和

（i ）利用级数和的定义求和，即s S n n =∞

→lim ，则∑∞

==1n n s u ，其中

∑==

+++=n

k k

n n u

u u u s 1

21 ．根据n s 的求法又可分为：直接法、拆项法、递

推法．

A.直接法：适用于 ∑∞

=1k k u 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；

B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除首尾两项外其余各项对

消掉．

（ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）∑∑∞

→∞

==0

lim n n

n x n n x a a ，其中幂级数∑∞

n n n x a ，可通

过逐项微分或积分求得和函数)(x S ．因此)(lim 10

x s a x n n -

→∞

==∑．

四、傅里叶级数 1. 定义

①定义1：设)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-或]2,0[π上可积，则

)2,1,0(,cos )(1

cos )(1

===

⎰

⎰-

n nxdx x f nxdx x f a n π

ππ

π， ),2,1(,sin )(1

sin )(1

⎰

⎰-

n nxdx x f nxdx x f b n π

ππ，

称为函数)(x f 的傅立叶系数．

②定义2：以)(x f 的傅立叶系数为系数的三角级数∑∞

=++

0)sin cos (2

n n n

nx b nx a

a ．

称为函数)(x f 的傅立叶级数，表示为

∑∞

=++

0)sin cos (2

)(n n n

nx b nx a

a ～x f ．

③定义3：设)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则以 ⎰

-==

l n n xdx l

n x f l

a )2,1,0(,cos )(1 π

， ⎰

-==

n n xdx l

n x f l b )2,1(,sin )(1

为系数的三角级数 ∑

∞

=++1

0)sin cos

n n n x l

n b x l n a a ππ 称为)(x f 的傅立叶级数，表示为

∑∞

=++

0)sin cos

)(n n n

x l

n b x l n a

a ～x f ππ． 2.收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数)(x f 在区间],[ππ-上满足条件

①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，则)(x f 的傅立叶级数在],[ππ-上收敛，且有

∑

∞

=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎨⎧±=-++-++-=πππx f f ；x f x x f x f ；

x f x x f )],0()0([2

)()],0()0([21)(),(0

00的第一类间断点是的连续点是. 3.函数展开成傅氏级数 ①周期函数

（i ）以π2为周期的函数)(x f ：∑∞

=++

0sin cos 2

)(n n n

nx b nx a

～x f

⎰-

)(1

x f a n ),2,1,0(cos =n nxdx ，1

()n b f x π

ππ

⎰),2,1(sin =n nxdx ；

注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞

sin )(n n nx b ～x f (正弦级数)，0=n a ),2,1,0( =n

()sin n b f x nxdx π

⎰

),2,1( =n ；

②若)(x f 为偶函数，则∑∞

0cos 2

)(n n

nx a

～x f (余弦级数)，

()cos n a f x nxdx π

⎰

),2,1,0( =n ，0=n b ),2,1( =n .

（ii ）以l 2为周期的函数)(x f ：∑

∞

0cos

)(n n x l n a a

～x f π+)sin x l

n b n π ⎰

l n x f l

a )(1

),2,1,0(cos

=n xdx l n π，⎰

-=l l n x f l b )(1),2,1(sin =n xdx l

n π

；

注：①若)(x f 为奇函数，则∑

∞

sin )(n n x l n b ～x f π

(正弦级数)，0=n a ),2,1,0( =n 02()sin l n n b f x xdx l l

⎰ ),2,1( =n ； ②若)(x f 为偶函数，则∑

∞

0cos

)(n n x l

n a a

～x f π

，(余弦级数) 02()cos l n n a f x xdx l l

⎰),2,1,0( =n ，0=n b ),2,1( =n . ②非周期函数

（i ）奇延拓：

A.)(x f 为],0[π上的非周期函数，令⎩

⎨

⎧<≤---≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ

，则)(x F 除0=x 外在

],[ππ-上为奇函数，∑

∞

sin )(n n nx b ～x f (正弦级数)，0

()sin n b f x nxdx π

π=

⎰

),2,1( =n ；

B. )(x f 为],0[l 上的非周期函数，则令⎩

⎨⎧<≤---≤≤=0),(0),()(x l x f l

x x f x F ，则)(x F 除0=x 外

在],[ππ-上为奇函数，∑∞

=1sin

)(n n x l n b ～x f π

(正弦级数)，0

2()sin

l n n b f x xdx l

=⎰

),2,1( =n .

（ii ）偶延拓：

A.)(x f 为],0[π上的非周期函数，令⎩⎨

⎧<≤--≤≤=0

),(0),()(x x f x x f x F ππ

，

则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为偶函数，

∑∞

0cos 2

)(n n

a ～x f (余弦级数)，

()cos n a f x nxdx π

⎰

),2,1,0( =n .

B.)(x f 为],0[l 上的非周期函数，令⎩

⎨

⎧<≤--≤≤=0),(0),()(x l x f l

x x f x F ，则

∑

∞

0cos

)(n n x l n a a

～x f π

(余弦级数)，0

2()cos

l n n a f x xdx l

=⎰

),2,1,0( =n . 注：解题步骤：

①画出图形、验证狄氏条件．画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性； ②求出傅氏系数；

③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于)(x f ．

(完整版)无穷级数总结

n1 、概念与性质 1. 定义：对数列5,氏丄,U n L , U n 称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和 n1 数列｛S n ｝有极限S ，即lim S n S ，称级数收敛，否则称为发散? n 2. 性质 ① 设常数 c 0 ，则 U n 与 cU n 有相同的敛散性； n1 n1 ② 设有两个级数 U n 与 v n ，若 U n s ， v n ，则 (U n v n ) s ； n1 n1 n1 n1 n1 若 U n 收敛， v n 发散，则 (U n v n ) 发散； n1 n1 n1 若 U n ， v n 均发散，则 (U n v n ) 敛散性不确定； n1 n1 n1 ③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性； ④ 设级数 U n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和． n1 注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散； ② 一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 U n 收敛的必要条件： lim U n 0 ； n1 n 注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散； ③若 U n 发散，则 lim U n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法 ① 定义：若 U n 0 ，则 U n 称为正项级数 . n1 ② 审敛法： U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界无穷级数总结 ②若 lim U n n 0 ，则 U n 未必收敛； n1 充要条件：正项级数

(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄), n 1 n 1 则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散? A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有U n kvjk 0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当n N时有U n kv n(k 0)成立，则 ①发散； B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n2(n 1,2,L )，贝U U n收敛；若 n 1 n n 1 1 U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散? n n 1 C.极限形式：设U n①与V n②都是正项级数，若limb |(0 | )，则 n 1 n 1 n V n U n与V n有相同的敛散性. n 1 n 1 注：常用的比较级数： a 1 1 . ①几何级数：ar n 1 1 r r 1? n 1发散r 1 ②p级数：［收敛P1时. n p发冃攵P1时， n r ③调和级数：1111发散. n 1 n2n (iii)比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若 n 1 ①lim r 1，则a n收敛；②lim r 1，则发散. n a n n 1 n a n n 1 注：若lim 1，或lim a n1，推不出级数的敛散.例丄与厶，虽然 n a n n n 1 n n 1 n lim 1，|im n a n1，但 -发散，而 & 收敛? n a n n■n 1 n n 1 n

无穷级数总结

无穷级数总结一、概念与性质 1.定义：对数列U1,U2^|,U^| , U n称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和数列｛S n｝有极限S，即lim S n S，称级数收敛，否则称为发散? n 2?性质 ①设常数C 0,贝U U n与CU n有相同的敛散性； n 1 n 1 ②设有两个级数U n与V n，若U n S，V* ，则（U n V n） S ； n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 若U n收敛，V n发散，则（片V n ）发散； n 1 n 1 n 1 若U n，V n均发散，则（U n冷）敛散性不确定； n 1 n 1 n 1 ③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性； ④设级数U n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和. n 1 注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散； ②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤级数U n收敛的必要条件：lim U n 0 ； n 1 n 注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散； ②若lim U n 0，则U n未必收敛； n n 1 ③若U n发散，则lim U n 0未必成立. n n 1 二、常数项级数审敛法 1.正项级数及其审敛法

①定义：若U n 0，则U n称为正项级数? n 1 ②审敛法：

（ii ）比较审敛法：设 U n ①与 V n ②都是正项级数，且U n %（n 1,2,）， n 1 n 1 川则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散? A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N 时有U n k%（k 0）成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当n N 时有U n kv n （k 0）成立，则 ①发散； 1 B. 设 U n 为正项级数，若有 p 1使得U n 帀（n 1,2,川），则 U n 收敛；若 n 1 1 （ U n （n n C. 极限形式： U n 与 V n 有相同的敛散性. n 1 n 1 注：常用的比较级数： ①几何级数： n 1 ar r 1 1 r ? n 1 发散 r 1 ②p 级数： 1收敛 P 1时 n 1 n p 发散 P 1时， ③调和级数: 1 1 1 1 发散. n 1 n 2 n （iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设 a n 是正项级数，若 n 1 1，或iim; a n 1，推不出级数的敛散.例丄与2，虽然 n n 1 n n 1 n 充要条件：正项级数 U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界），贝U Un 发散. n 1 1,2, U n ①与 V n ②都是正项级数，若lim 也1（0丨），则 1 n V n ①lim n a n 1 a n r 1，则 a n 收敛；②lim 也 n 1 n a n r 1，则 a n 发散. n 1 注：若lim n a n 1 a n

微积分中常见的无穷级数求和

微积分中常见的无穷级数求和无穷级数是一个非常重要的数学概念，它由无限多个数相加而成。在微积分中，无穷级数求和是一个很常见的问题，因为很多函数的展开式就是一个无穷级数。 1. 无穷级数的定义对于一个数列{an}，我们可以将其相邻两项之差写成一个新的数列{bn}，即bn=an+1-an。如果这个数列收敛到0，即 lim(n→∞)bn=0，那么我们称原序列{an}为一个收敛的级数，记作∑an。如果级数收敛，那么它的和为S=lim(n→∞)Sn，其中Sn为前n项的和。 2. 无穷级数的求和方法对于一些特殊的级数，我们可以使用一些技巧来求和。以下是一些比较常见的方法。 2.1 等比数列求和法

等比数列指的是一个数列的相邻两项之比为一个常数q，即 an=aq^(n-1)。对于这种数列，我们可以使用以下公式来求和： ∑aq^(n-1) = a/(1-q)，其中|q|<1 比如，如果我们要求1/2+1/4+1/8+...的和，那么这个数列就是一个等比数列，q=1/2，a=1。根据公式，它的和为： 1/(1-1/2) = 2 2.2 幂级数求和法幂级数是一种形如∑anx^n的无穷级数，其中n可以是任意自然数或0。同样的，我们也可以使用一些技巧来求幂级数的和。对于一个形如∑anx^n的幂级数，如果|q|<1，那么它的和可以用以下公式计算： ∑anx^n = 1/(1-x)，其中|x|<1

比如，如果我们要求1+x+x^2+x^3+...的和，那么这个幂级数的收敛半径为1，因此当|x|<1时它是收敛的。根据公式，它的和为：1/(1-x) = 1/(1-(-1)) = 1/2 2.3 泰勒级数求和法泰勒级数是一种将一个函数展开成无穷级数的方法。对于一个具有无限阶导数的函数f(x)，它的泰勒级数可以表示为：f(x) = ∑(n=0)∞f^(n)(a)/(n!) * (x-a)^n 其中f^(n)(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数。比如，如果我们要将函数f(x)=e^x在x=0处展开成泰勒级数，那么它的式子为： e^x = ∑(n=0)∞x^n/n! 展开式的前几项为：1+x+x^2/2!+x^3/3!+...

无穷级数知识点总结专升本

无穷级数知识点总结专升本一、概念无穷级数是由无限多个项组成的级数，其中每个项都是一个数字或者变量的表达式。无穷级数通常用符号∑表示，其中∑表示总和，表示对所有项进行求和。无穷级数可以是收敛的，也可以是发散的。对于收敛的无穷级数，其和可以用极限来表示；对于发散的无穷级数，其和不存在。二、级数的性质 1.级数的部分和级数的部分和是指级数前n项的和，用Sn表示。当n趋向无穷大时，级数的部分和就是级数的和。当级数的部分和的极限存在时，级数收敛；当级数的部分和的极限不存在时，级数发散。 2.级数的收敛与发散级数的收敛指的是级数的部分和的极限存在，也就是级数的和存在；级数的发散指的是级数的部分和的极限不存在，也就是级数的和不存在。 3.级数的敛散性级数敛散性指的是级数的收敛性或发散性。级数的敛散性可以通过级数的部分和的极限是否存在来判断。 4.级数的比较性级数的比较性是指通过级数的部分和与其他级数的部分和进行比较来判断级数的敛散性。可以通过比较原则、比值原则、根值原则等方法来比较级数的敛散性。 5.级数的运算性质级数满足加法、数乘、绝对收敛、收敛性与级数重新排列等运算性质。三、收敛级数 1.正项级数对于所有项均为非负数的级数，称为正项级数。正项级数通常采用单调有界数列的性质来判断是否收敛。 2.幂级数

幂级数是形式为∑an*x^n的无穷级数，其中an为常数系数，x为自变量。幂级数通常需要通过收敛半径来判断其收敛性。 3.级数的收敛判别法级数的收敛判别法是用来判断级数是否收敛的方法，包括比较法、审敛法、根值法、比值法、积分法等。 4.级数收敛性的应用无穷级数的收敛性可以应用于数学和物理等领域，如泰勒级数、傅立叶级数等。四、发散级数 1.发散级数的定义对于发散级数而言，其和不存在，无法通过有限项之和来表示。发散级数可能是几何级数、调和级数、交错级数等。 2.级数的发散判别法级数的发散判别法是用来判断级数是否发散的方法，例如：项数发散法、数值发散法、微分法等。 3.发散级数的应用发散级数也常常存在于数学和物理问题中，需要进行分析和处理。五、收敛级数的收敛域 1.幂级数的收敛域对于幂级数而言，其收敛域可以通过求解收敛半径来确定。 2.收敛级数的收敛域收敛级数的收敛域是指级数的收敛范围，也可以通过级数收敛的定理和方法来求解。 3.收敛级数的收敛域应用收敛级数的收敛域在数学和物理问题中有着重要的应用，如傅立叶级数在信号处理中的应用等。六、无穷级数的应用 1.泰勒级数与幂级数

数列的极限与无穷级数知识点总结

数列的极限与无穷级数知识点总结数学中的数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。数列的极限与无穷级数是数学中重要的概念，对于理解和应用数学具有重要作用。本文将对数列的极限与无穷级数的知识点进行总结和讲解。一、数列的极限 1. 数列的定义：数列是一种按照规律排列的数的序列。数列可以用一般形式表示为 {an} = a1, a2, a3, ..., an, ...，其中 an 表示第 n 个数。 2. 数列的极限定义：若数列 {an} 中的数随着 n 的增大趋向于一个确定的数 L，即lim(n→∞) an = L，我们称数列 {an} 的极限为 L。 3. 数列极限的性质： a) 如果数列 {an} 的极限存在且为 L，则数列 {an} 是有界的，即存在常数 M，使得|an| ≤ M 对于所有 n 成立。 b) 数列的极限存在的充分必要条件是其数列是收敛的。 4. 数列的常见极限： a) 等差数列的极限：对于公差为 d 的等差数列 {an} = a1, a1 + d, a1 + 2d, ..., a1 + (n-1)d, ...，其极限为无穷。 b) 等比数列的极限：对于公比为 q 的等比数列 {an} = a1, a1q, a1q^2, ..., a1q^(n-1), ...，若 |q|<1，则极限为 0。二、无穷级数

1. 无穷级数的定义：无穷级数是数列中所有项的和，通常用∑ 表示。无穷级数可以表示为 S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中 an 表示第 n 项。 2. 无穷级数的收敛与发散： a) 若无穷级数的部分和数列 {Sn} 收敛于一个确定的数 S，则称该无穷级数为收敛级数，记作∑ an = S。 b) 若无穷级数的部分和数列 {Sn} 发散，则称该无穷级数为发散级数。 3. 无穷级数的收敛性测试： a) 正项级数收敛性测试：若对于正数项级数∑ an，当且仅当∑ an 的部分和数列 {Sn} 有界时，该级数收敛。 b) 比较判别法：若对于级数∑ an 和∑ bn，存在正数 M，使得 |an| ≤ M |bn| 对于所有 n 成立，则若∑ bn 收敛，则∑ an 收敛；若∑ bn 发散，则∑ an 发散。 c) 比值判别法：若对于级数∑ an，存在正数 q，使得lim(n→∞) |(an+1/an)| = q，则若 q < 1，则∑ an 收敛；若 q > 1，则∑ an 发散；若 q = 1，则无法确定级数的收敛性。 d) 积分判别法：若对于连续非负函数 f(x)，其在[1, ∞) 上单调递减且有界，且 f(x) = an，则级数∑ an 和不定积分∫ f(x)dx 具有相同的收敛性。

无穷级数收敛与发散分析

无穷级数收敛与发散分析在数学中，无穷级数是由无穷多个数相加或相乘而成的表达式。了解无穷级数的收敛与发散性质对于理解数学和应用中的许多问题都至关重要。本文将详细讨论无穷级数的收敛与发散，并对其中的关键概念和定理进行解释。无穷级数收敛概念首先，我们来定义无穷级数的收敛性。设有一个无穷序列 {a_n}，则对应的无穷级数可以表示为： S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + ... 若存在一个数 S，使得对于任意给定的ε > 0，总存在正整数 N，使得当 n > N 时，部分和 S_n 与 S 的差的绝对值小于ε，则该无穷级数被称为收敛的，即S_n → S 当n → ∞ 。无穷级数发散概念与收敛相对的是发散。当无穷级数不存在收敛的情况时，我们称其为发散的。也就是说，无穷级数的部分和随着项数的增加而无限增大或无限震荡。常见的无穷级数接下来，我们将讨论几个常见的无穷级数，并分析它们的收敛性。

1. 等比级数：由等比数列构成的无穷级数。例如：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 通过求和公式，我们可以得知这个级数的和为 2。因此，这个等比级数是收敛的。 2. 调和级数：由调和数列构成的无穷级数。调和数列的通项为1/n。例如：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 经过研究，我们可以证明这个级数是发散的。 3. 幂级数：由幂函数构成的级数。幂级数可以写作∑(a_n)*(x^n)，其中 a_n 是常数，x 是变量。幂级数的收敛性与变量 x 的取值范围有关。根据幂级数的收敛半径定理，我们可以确定幂级数的收敛区间。 4. 绝对收敛和条件收敛级数：在讨论无穷级数的收敛性时，还有一个重要的概念是绝对收敛和条件收敛。如果无穷级数的绝对值级数收敛，那么我们称该级数为绝对收敛级数。如果无穷级数本身是收敛的，但其绝对值级数发散，那么我们称该级数为条件收敛级数。收敛与发散的判定方法判断无穷级数的收敛与发散可以使用多种方法，包括比较法、比值测试法、根值测试法等。下面简要介绍其中两种常用的方法： 1. 比较法：对于一个正项级数，如果存在另一个已知的收敛级数或发散级数，与之进行比较，可以判断出待定级数的收敛性。常见的比较对象有调和级数和等比级数。

高数无穷级数知识点总结

高数无穷级数知识点总结一、引言无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学和其他学科的研究中有着广泛的应用。在高等数学中，无穷级数是一个重要的知识点。本文将从无穷级数的基本概念、收敛性与发散性、常见的收敛判别法和应用等方面，对高数无穷级数进行总结。二、无穷级数的基本概念无穷级数是指由一个数列的项求和而得到的数值。具体地说，对于一个实数数列{an}，其无穷级数可以表示为∑an。其中，an表示数列的第n项，∑表示对数列的所有项进行求和。三、收敛性与发散性 1. 收敛性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时存在有限极限L，即lim (n→∞) Sn = L时，称该无穷级数收敛，L称为该无穷级数的和。 2. 发散性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时不存在有限极限，即lim (n→∞) Sn不存在或为无穷大时，称该无穷级数发散。四、常见的收敛判别法 1. 正项级数判别法

对于无穷级数∑an，若该级数的每一项an都是非负数，并且该级数的部分和Sn有上界，则该级数收敛；若Sn没有上界，则该级数发散。 2. 比值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an+1/an| = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。 3. 根值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an|^1/n = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。 4. 整项判别法对于无穷级数∑an，若存在另一个级数∑bn，使得|an|≤bn，且∑bn 收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。五、应用无穷级数在数学和其他学科中有广泛的应用，下面举几个例子进行说明。 1. 泰勒级数泰勒级数是一种用无穷级数表示函数的方法。根据泰勒级数，我们

无穷级数的求和方法及实际应用

无穷级数的求和方法及实际应用无穷级数是数学中的一个重要概念，其是指由无限个项所组成的数列之和。在数学领域中，无穷级数的求和方法及实际应用具有很高的研究价值。本文将为您全面介绍无穷级数的求和方法及实际应用。一、无穷级数的表示方法无穷级数的表示方法有数列求和法和函数求和法两种。数列求和法是指将每个项加起来得到的和。可以表示为 S=a1+a2+...+an+...。当数列有收敛的极限值时，就称这个级数收敛，当数列的极限值不存在或无穷大时，就称这个级数发散。函数求和法则是用函数的形式来表示无穷级数。对于动态无穷级数来说，函数求和法较为常见，它可以表示为S=f(n)。在函数求和法中，一个级数的求和值被等价于它所描述的函数之和在某个范围内的极限值。当函数收敛到一个固定的值时，就可以说这个无穷级数收敛。如果函数的极限不存在或分明无反应，则称级数发散。

二、无穷级数的求和方法 1、和式变换法和式变换法是一种求解级数和的方法。它的主要思想是将原来的级数转化为一个更熟悉的级数，以便更容易解决。比如，将级数S=1+1/2+1/4+1/8+...转换为S=2，从而快速得出级数S的和。 2、换序求和法如果一个级数的每个数列都是绝对收敛的，那么它是允许换序的。换序求和法是指通过交换级数中每个项的位置，从而使级数的求和更具效率。但是，当级数不绝对收敛时，换序不会得到正确的求和结果。 3、比较判别法比较判别法是一种判断无穷级数收敛与发散的方法，其基本思想是将一个无穷级数与另一个已知的级数进行比较。如果已知的

级数是收敛的，那么它就可以作为一个新的级数的上界或下界。如果新的级数的和小于已知级数的和，那么新的级数也会收敛。 4、积分判别法积分判别法是一种判断无穷级当前后发散的方法之一。它建立在函数积分的基础之上，通过计算两个函数之间的积分，然后将结果与一个已知级数比较，从而得出级数的收敛与发散。三、无穷级数的实际应用无穷级数在很多实际应用中都有广泛的应用。下面我们将介绍一些主要应用。 1、泰勒级数泰勒级数是通过级数求和的方法来近似表示函数的方法。泰勒级数的应用非常广泛，涉及到很多领域，如工程、经济学、物理学等。比如，我们可以通过泰勒级数求和的方法来计算e、sin、cos等函数的值，从而更加精确地解决实际问题。

大学数学无穷级数的收敛性与求和

大学数学无穷级数的收敛性与求和大学数学：无穷级数的收敛性与求和无穷级数是数学中一个重要的概念，它由一系列无穷多项的代数和组成。在数学中，我们对于一个无穷级数的收敛性和求和有着浓厚的兴趣和研究。本文将讨论无穷级数的基本概念、收敛性判定方法以及求和公式。一、无穷级数的概念无穷级数的概念可表示为： S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ... 其中，a₁，a₂，a₃，...，aₙ代表级数的每一项。根据级数的无穷性质，我们可以看到级数的项数n无限大。因此，无穷级数可以看作是无限多项求和的结果。二、无穷级数的收敛性对于无穷级数的研究，我们最关注的问题之一就是它的收敛性。在数学中，无穷级数可能出现以下三种情况： 1. 收敛：如果一个无穷级数的部分和数列存在有限的极限值，即Sₙ的极限存在，则称该级数是收敛的。我们可以用符号表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ... = lim Sₙ (n→∞)

2. 发散：如果一个无穷级数的部分和数列没有有限的极限值，即Sₙ的极限不存在，则称该级数是发散的。 3. 不确定：在某些情况下，我们无法判断一个无穷级数的收敛性，这种情况被称为不确定。三、无穷级数的收敛性判定为了确定一个无穷级数的收敛性，数学家们发展了许多判定方法。下面介绍其中几种主要的方法： 1. 正项级数判别法：如果一个无穷级数的每一项都是非负数，并且部分和数列有界，则该级数是收敛的。 2. 比较判别法：如果一个无穷级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，而另一个级数是收敛的，则该级数也是收敛的。类似地，如果一个无穷级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，而另一个级数是发散的，则该级数也是发散的。 3. 比值判别法：对于一个无穷级数，如果存在一个正常数r，使得级数的项的绝对值与n的幂次之比的极限为r，则有以下结论： - 当r<1时，级数收敛； - 当r>1时，级数发散； - 当r=1时，判定不确定。四、无穷级数的求和公式

无穷级数定积分后面学

无穷级数定积分后面学一、什么是无穷级数无穷级数是数学中一个非常重要的概念，它是由一列无穷多个数相加而成的。通常情况下，无穷级数可以用形如${ n=1 }^{ }{ a { n } } 来表示，其中a_{ 1 },a_{ 2 },a_{ 3 },…$是一个数列。例如，∑12n ∞n=1=12+14+18+...就是一个无穷级数。二、无穷级数的收敛性对于一个无穷级数，我们希望知道它是否收敛，即是否存在一个有限的和。对于上述的例子∑12n ∞n=1，我们可以发现，这个级数的前n 项和为 1−12n 1−12，当n 趋向于无穷大时，这个和趋近于1 2−12=1。因此，我们可以得到结论，∑12n ∞n=1是一个收敛的无穷级数，并且它的和为1。那么如何判断一个无穷级数是否收敛呢？我们可以通过一些判别法来进行判断。 1. 正项级数判别法如果一个级数的每一项都大于等于0，那么我们只需要判断这个级数的部分和是否有上界即可。如果部分和有上界，那么这个级数就是收敛的；反之，如果部分和无上界，那么这个级数就是发散的。 2. 比较判别法对于两个无穷级数${ n=1 }^{ }{ a { n } } 和{ n=1 }^{ }{ b { n } } ，如果对于所有的n ，都有a_{ n }b_{ n } $，那么有以下结论： • 如果∑b n ∞n=1收敛，那么∑a n ∞n=1也收敛。 • 如果∑a n ∞n=1发散，那么∑b n ∞n=1也发散。

这个判别法的意义在于，我们可以找到一个已知的级数作为参照，从而得出待判断级数的性质。 3. 极限判别法如果存在正数函数f (n )，使得a n ≥f (n )≥0，并且lim n→∞a n f (n )=c ，那么有以下结论： • 如果$c<，那么{ n=1 }^{ }{ a { n } }和_{ n=1 }^{ }{ f(n) }$都收敛或都发散。 • 如果c =0，那么∑f (n )∞n=1收敛，则∑a n ∞n=1也收敛。这个判别法的思想是通过比较级数的一部分与函数的关系，从而判断级数的性质。三、无穷级数的定积分在学习了无穷级数的收敛性后，我们可以进一步探讨无穷级数的定积分。对于一个收敛的无穷级数∑a n ∞n=1，我们可以定义其定积分为： ∫∑a n ∞ n=1dn b a =∑∫a n b a dn ∞n=1=lim N→∞∑∫a n b a dn N n=1 其中a 、b 为积分上下限。这个定积分的意义在于，将无穷级数中的每一项进行积分，并求出这些积分值的和。需要注意的是，这里的无穷级数必须是收敛的，否则整个定积分也没有意义。四、无穷级数定积分的应用无穷级数定积分在数学中有着广泛的应用，下面我们分别介绍一些常见的应用情景。 1. 函数的展开式对于一些函数，我们可以将其展开为无穷级数的形式，进而可以通过对这个无穷级数进行定积分来求函数的一些性质。例如，e x 可以展开为∑x n n!∞n=0，我们可以通过对这个无穷级数进行定积分来求e x 的不定积分，并获得一系列新的函数。

无穷级数基本概念

无穷级数基本概念在数学中，无穷级数是一种由无限多个项组成的数列求和形式。它是数学分析的重要概念之一，有着广泛的应用和研究。本文将介绍无穷级数的基本概念和相关定义，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。一、无穷级数的定义与形式无穷级数的定义如下：设给定一个实数序列{a_n}，则称 S_n=a_1+a_2+...+a_n为该序列的部分和，如果该部分和的极限存在，即lim(n→∞)S_n=S，那么S就是该无穷级数的和，记作 ∑(n=1→∞)a_n=S。其中∑表示求和符号，n=1表示从n=1开始求和，∞ 表示求和到无穷大。无穷级数的一般形式为∑(n=1→∞)a_n，其中a_n表示该序列的第n 个项。例如，∑(n=1→∞)2^n就是一个以2为公比的等比数列的无穷级数。二、收敛和发散对于无穷级数，我们可以将其分为两类：收敛和发散。如果一个无穷级数的部分和S_n在n趋于无穷大时存在有限极限S，即 lim(n→∞)S_n=S，那么该无穷级数称为收敛的；反之，如果该无穷级数的部分和S_n在n趋于无穷大时不存在有限极限，那么该无穷级数称为发散的。

例如，无穷级数∑(n=1→∞)1/n是一个著名的调和级数。经过数学推导可知，该级数是发散的，即部分和S_n在n趋于无穷大时趋于正无穷。三、收敛性的判定对于给定的无穷级数，判断其收敛性是数学中的一个重要问题。有许多判定条件可以用来判断无穷级数的收敛性，常见的有比较判别法、比值判别法、根值判别法等。下面简要介绍两个常用的判定法。 1. 比较判别法比较判别法是判断无穷级数收敛性的常用方法之一。设有两个数列{a_n}和{b_n}，满足当n趋于无穷大时，对于所有的n，有0 ≤ a_n ≤ b_n。若级数∑(n=1→∞)b_n收敛，则级数∑(n=1→∞)a_n也收敛；若级数∑(n=1→∞)a_n发散，则级数∑(n=1→∞)b_n也发散。 2. 比值判别法比值判别法也是常用的判断无穷级数收敛性的方法之一。设给定一个无穷级数∑(n=1→∞)a_n，如果存在一个正数q，使得当n趋于无穷大时，有|(a_(n+1))/a_n| ≤ q，那么该级数收敛；如果对于所有的n，都有 |(a_(n+1))/a_n| > 1，那么该级数发散。四、常见的无穷级数在数学中，一些常见的无穷级数被广泛研究和应用。 1. 等比数列的无穷级数

无穷级数与收敛性

无穷级数与收敛性无穷级数是数学中的重要概念之一，也是数学分析的基础。本文将从深入浅出的角度，介绍无穷级数的概念、常见性质以及收敛性的讨论。一、无穷级数的概念与表示方式无穷级数是由无数个数的和组成的数列。一般形式表示为： S = a₁ + a₂ + a₃ + ... 其中，a₁, a₂, a₃, ... 是级数的各项，而 S 是级数的和。无穷级数可以理解为无限个数的无限求和。二、常见性质与分类 1. 部分和数列无穷级数的部分和数列是指级数的前 n 项和，表示为 Sₙ = a₁ + a₂+ ... + aₙ。通过求解部分和数列可以研究无穷级数的收敛性。 2. 收敛与发散

收敛是指无穷级数的部分和数列 Sₙ 当 n 趋于无穷大时趋于一个有限的值。而发散则是指 Sₙ 在 n 趋于无穷大时无极限，即无法得到一个有限的和。 3. 绝对收敛与条件收敛若无穷级数的各项都是正数，并且无论项的排列如何，部分和数列的极限都存在，则称该级数为绝对收敛。若无穷级数既不是绝对收敛也不是发散，则称之为条件收敛。三、收敛性判别法为了确定一个无穷级数是否收敛，数学家提出了多种判别法。下面给出其中几个常见的收敛性判别法： 1. 有界性判别法若无穷级数的各项满足 |aₙ| ≤ M，其中 M 是一个常数，则该级数绝对收敛。 2. 比较判别法

若存在一个绝对收敛的级数∑|bₙ|，使得 |aₙ| ≤ |bₙ| 对于所有 n 成立，则级数∑aₙ 也是绝对收敛的。 3. 比值判别法若存在一个常数 L，使得当 n 足够大时，有 |aₙ₊₁ / aₙ| ≤ L 成立，则级数∑aₙ 是绝对收敛的。四、经典无穷级数的收敛性讨论 1. 调和级数调和级数是最简单的无穷级数之一，其一般形式为∑1/n。根据调和级数的收敛性判别法可知，当 n 趋于无穷大时，调和级数发散。 2. 几何级数几何级数的一般形式为∑aₙ = a + a² + a³ + ...，其中 a 是常数。当 |a| < 1 时，几何级数绝对收敛；当|a| ≥ 1 时，几何级数发散。 3. 幂级数

极限与无穷级数

数学中的极限和无穷级数是重要的概念，它们在各个领域都得到广泛应用，如物理学、工程学、经济学等。极限可以用来描述趋近某个数值的过程，而无穷级数则是一系列无穷多项相加的结果。首先，我们来了解一下极限的概念。在数学中，极限可以用来描述某个函数或数列在接近某个数值时的行为。例如，当我们说函数f(x)在x趋近于一个数a 时的极限是L，表示随着x无限接近a，函数的取值无限接近L。数列的极限也类似，如果数列a₁，a₂，a₃，……在n无限增大时，数列的值无限接近一个数L，那么我们可以称L为该数列的极限。极限的概念可以帮助我们研究一些无法直接计算的数学问题，并且在微积分中有重要的应用。接下来，我们来介绍一下无穷级数。无穷级数是由无穷多项相加而得到的结果。例如，1+1/2+1/4+1/8+……是一个无穷级数，每一项都是前一项的一半，无穷级数的和又被称为级数的极限。有些无穷级数的和是可以精确计算的，如等差数列的和，而有些无穷级数的和则需要通过一些特定的方法来求解，如几何级数的和。几何级数是一种特殊的无穷级数，它的每一项都是前一项乘以一个相同的公比。例如，1+1/2+1/4+1/8+……就是一个公比为1/2的几何级数。若公比小于1，几何级数的和是有限的，可以通过求和公式得到。例如，对于公比为1/2的几何级数，它的和可以表示为S=1/(1-1/2)=2。而对于公比大于等于1的几何级数，它的和则是无穷大。无穷级数的收敛性是一个重要的概念。如果一个无穷级数的和是有限的，我们称它是收敛的；如果和是无穷大，我们称它是发散的。判断一个无穷级数的收敛性可以通过求和公式、判别法或特殊的方法来进行。如果一个无穷级数的部分和在无限增加时趋近于一个有限的极限，那么这个无穷级数是收敛的；如果部分和在无限增加时无穷增大或者没有极限，那么这个无穷级数是发散的。总结一下，极限和无穷级数是数学中的重要概念，它们帮助我们描述趋近于某个值的过程和一系列无穷多项相加的结果。通过对极限和无穷级数的研究，我们可以解决许多实际问题，并且推动数学的发展。无穷级数的收敛性也是非常重要的，它决定了无穷级数是否有有限的结果。因此，对于数学学习者来说，了解和掌握极限和无穷级数的概念和性质是非常有益的。

无穷级数总结

无穷级数总结无穷级数是数学中的重要概念，常出现在分析学、代数学、数论等领域。它的形式为一列数相加的无穷和。无穷级数的研究对于了解数学的发展历程和数学的基本思想方法具有重要意义。本文将对无穷级数的定义、性质、收敛与发散的判定方法以及一些典型的无穷级数进行介绍和总结。无穷级数的定义意味着 \[S_n=a_1+a_2+...+a_n\] \[S=a_1+a_2+a_3+...\] 其中，$S_n$表示级数的前n项和，S表示整个级数的和，$a_n$表示级数的第n项。我们称一个无穷级数收敛或发散取决于它的部分和序列。具体来说，如果存在一个有限的实数 S，使得对于任意给定的正数 $\varepsilon $，当 n 大于一些自然数 N 时，总有 \[ ，S-S_n，< \varepsilon \] 那么我们说该级数是收敛的，并把这个实数S叫做级数的和，记做 \[ S=\sum_{n=1}^{+ \infty } a_n\] 如果上述性质不成立，即对于任意给定的正数S，当n大于一些自然数N时，总存在 \[ ，S-S_n， \geq \varepsilon \] 那么我们说该级数是发散的。

在判断无穷级数是否收敛时，可以运用收敛的充分条件。其中，比较判别法、比值判别法、根值判别法是最常用的方法之一 1.比较判别法：如果存在一个收敛的级数 $\sum b_n$，使得对于所有的正整数 n，有 $，a_n， \leq b_n$，那么级数 $\sum a_n$ 收敛。反之，如果级数$\sum a_n$ 发散，那么对于所有的正整数 n，必有 $，a_n， \geq b_n$ 对一些发散的正项级数 $\sum b_n$ 成立。 2.比值判别法：对于正项级数 $\sum a_n$，如果存在一个常数 L，使得当 n 大于一些正整数 N 时，总有 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq L < 1$，那么级数 $\sum a_n$ 收敛。如果存在一个常数 L，使得当 n 大于一些正整数 N 时，总有 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1$，那么级数 $\sum a_n$ 发散。 3.根值判别法：对于正项级数 $\sum a_n$，如果存在一个常数 L，使得当 n 大于一些正整数 N 时，总有 $\sqrt[n]{a_n} \leq L < 1$，那么级数 $\sum a_n$ 收敛。如果存在一个常数 L，使得当 n 大于一些正整数 N 时，总有 $\sqrt[n]{a_n} \geq 1$，那么级数 $\sum a_n$ 发散。除了以上常用的收敛判别法外，还有其他一些判别法，如积分判别法、收敛级数的性质判别法等。无穷级数在实际问题的建模和解决中有广泛的应用。典型的无穷级数有等比数列级数、调和级数等。

数列极限与无穷级数

数列极限与无穷级数在数学中，数列极限与无穷级数是非常重要的概念。数列极限是指当序列中的每一项趋近于某个确定的值时，该值被称为数列的极限。而无穷级数则是由数列的项依次相加所得到的数学结构。一、数列极限数列是由一系列按照某种规律排列的数所组成的序列。例如，自然数序列1、2、3、4、...就是一个数列。而数列极限则是该数列中的项趋近于某个特定的值。假设有一个数列{an}，该数列中的每一项都表示为an。当n无限增加时，如果存在一个实数A，使得对于任意给定的ε>0，都存在一个正整数N，使得当n>N时，有|an-A|<ε成立，那么我们说数列{an}的极限是A，记作lim(n→∞)an=A。数列极限的计算可以借助一些基本的极限性质和定理，例如夹逼定理、唯一性定理等。通过对数列的观察和分析，我们可以求得数列极限的具体值。二、无穷级数无穷级数是将数列中的项按照一定的规则相加得到的数学结构。例如，1/2+1/4+1/8+1/16+...就是一个无穷级数。一个无穷级数可以表示为S=a1+a2+a3+...，其中每一项an都是数列{an}的项。如果该无穷级数的部分和序列{Sn}的极限存在，且极限是

一个有限的数值S，那么我们说该无穷级数是收敛的，记作 lim(n→∞)Sn=S。无穷级数的求和问题涉及到部分和序列的极限计算。对于某些特定的数列，我们可以通过求和公式或者递推公式得到无穷级数的和。但有时候，无穷级数可能是发散的，即部分和序列的极限不存在或者是无穷大。在这种情况下，无穷级数的和被认为是无穷大或者不存在。三、数列极限与无穷级数的关系数列极限与无穷级数是密切相关的。事实上，一个无穷级数的和存在，当且仅当该无穷级数的通项数列收敛。设{an}为一个数列，考虑无穷级数S=a1+a2+a3+...，如果该无穷级数收敛于S，则数列{an}的极限必须是0。反之亦然，如果数列{an}的极限不存在或者不为0，那么该无穷级数必定是发散的。这种数列极限与无穷级数的关系为我们分析和判断数列和级数的性质提供了一定的依据。通过对数列极限和无穷级数的研究，我们可以深入理解数学中的一些重要思想和方法。总结数列极限与无穷级数是数学中的重要概念。数列极限是数列中的项趋近于某个特定值的情况，而无穷级数是由数列的项按照一定规则相加得到的数学结构。两者之间存在着密切的关系，通过对它们的研究，我们可以更好地理解数学中的一些基本原理和思想。

无穷级数与绝对收敛

无穷级数与绝对收敛无穷级数是数学中一个重要的概念，它在许多领域中有着广泛的应用。本文将讨论无穷级数的概念以及它与绝对收敛的关系。一、无穷级数的定义在数列中，我们可以将一系列的数按照一定的规律排列起来形成一个无穷序列，例如：a₀，a₁，a₂，a₃，……，aₙ，…… 而无穷级数则是将这些无穷序列的项按照一定的顺序求和得到的结果，即： S = a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + …… 其中，S表示无穷级数的和。二、绝对收敛的定义当一个无穷级数的所有项都是正数时，如果这个级数的部分和数列是有上界的，即存在一个常数M，使得对于所有的正整数n，我们有：a₁ + a₂ + a₃ + …… + aₙ ≤ M 那么我们称该无穷级数是绝对收敛的。三、绝对收敛的性质对于绝对收敛的无穷级数，有以下重要性质： 1. 绝对收敛的级数是收敛的。即如果一个级数是绝对收敛的，那么它一定是收敛的。

2. 绝对收敛的级数的和与项的排列顺序无关。即无论我们如何调整级数中的项的顺序，只要级数绝对收敛，其和都是固定的。 3. 绝对收敛的级数可以进行项的加减和数的乘除运算。即如果两个级数都是绝对收敛的，那么它们的和、差、积和商都是绝对收敛的。 4. 绝对收敛的级数的部分和数列是有界的。即部分和数列是有上界的。 5. 绝对收敛的级数的任意子系列也是绝对收敛的，且其和相同。四、绝对收敛与条件收敛除了绝对收敛之外，还有一种情况是条件收敛。条件收敛是指一个无穷级数是收敛的，但它的相反数级数也是收敛的。五、绝对收敛的判别法我们有理由相信，对于一个无穷级数是否是绝对收敛的，应该有一些判别法则。以下是一些常见的判别法： 1. 比较判别法：若对于所有的正整数n，都有|aₙ|≤ bₙ，且级数 Σbₙ是收敛的，则级数Σaₙ绝对收敛。 2. 比值判别法：若对于所有的正整数n，都有|aₙ₊₁/aₙ| ≤ L，其中L < 1，则级数Σaₙ绝对收敛。 3. 根值判别法：若对于所有的正整数n，都有|aₙ|¹/n ≤ L，其中L < 1，则级数Σaₙ绝对收敛。六、应用举例

无穷级数知识点汇总

无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质 1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. 2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛） 3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散. 4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么（i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛；（ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 推论：设两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ，且自某项以后有 n n n n v v u u 1 1++≤，那么（i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛；（ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. （3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ，若0lim >=∞→l v u n n n ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若0=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散.

(完整版)无穷级数总结

(完整版)无穷级数总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

无穷级数总结一、概念与性质 1. 定义：对数列12,, ,n u u u ，1 n n u ∞ =∑称为无穷级数，n u 称为一般项；若部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞ =，称级数收敛，否则称为发散. 2. 性质 ①设常数0≠c ，则∑∞ =1 n n u 与∑∞ =1 n n cu 有相同的敛散性； ②设有两个级数∑∞=1 n n u 与∑∞=1 n n v ，若∑∞==1 n n s u ，σ=∑∞=1 n n v ，则∑∞ =±=±1 )(n n n s v u σ；若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =±1 )(n n n v u 发散；若∑∞ =1 n n u ，∑∞=1 n n v 均发散，则∑∞ =±1 )(n n n v u 敛散性不确定； ③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性； ④设级数∑∞ =1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散； ②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数∑∞ =1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞ →n n u ；注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散； ②若0lim =∞ →n n u ，则∑∞ =1n n u 未必收敛； ③若∑∞ =1 n n u 发散，则0lim =∞ →n n u 未必成立．二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法