数项级数敛散性判别法(总结)
华北水利水电学院
数项级数敛散性判别法。（总结）
课程名称：高等数学（下）
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2012年5月18日
摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。
关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。
英文题目
Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them.
Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment.
引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。
以下介绍相关定义及定理
一、常数项级数的概念 定义：无穷多常数项累加求和
...............4321++++=∑a a a a a
n
常见的几类重要的常数项级数
正项级数：级数中所有项均大于等于零。 交错级数：级数中的项正负相间的级数。 等比级数
∑=++++++n n aq aq aq aq aq a (32)
调和级数
P--级数
在以下的判别中这几类级数将会有重要的运用
二、相关定理
定理一：如果0
lim ≠∞
→n n a ，则可判断该级数一定不收敛。
111123n
+++
++11n n
∞
==∑1111123p p p p n
+++++11p
n n
∞
==∑
定理二、等比级数判别法：)
0(1
1
≠∑∞
=-a ar
n n
当1 定理三、--p 级数判别法：)0(1 1>∑∞ =p n n p (1)当10≤ p 时，级数收敛 注：调和级数是特出的p 级数，这时p=1。 定理四、设∑n u 与∑n v 是两个正项级数，若 当n n v u ≤且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛； 当n n u v ≤且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散； 定理五、（极限形式）若∑n u 为正项级数，且lim q u u n n =+1 则 (1)当1 (2)当1>q 时，或+∞=q 时，级数∑n u 发散； 注：当1=q 时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断， 因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数∑21n 与∑ n 1 ，它 们的比式极限都是1lim 1=+∞→n n n u u 但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的. 注：对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时，需要构造一个级数，这个构造的过程就要求我们对一些常用的有特殊性质的级数有所了解。例如：调和级数，等比级数，p 级数。比较法虽然简单，但是需要构造新级数，所以比较麻烦。以下介绍一种方法用于自身比较。 定理六、（极限形式）若 ∑n u 为正项级数，且1 lim =∞ →n n n u 则 (1)当1 注：当1=l 时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如， 级数∑21n 与∑n 1，二者都有1lim =∞n n n u ，但∑21n 是收敛的，而∑n 1 是发散的.但∑21n 是收敛的，而∑n 1 是发散的. 定理七、 若交错级数n n n u ∑∞ =--1 1 ) 1(满足： （1）),2,1(1 =≥+n u u n n ； （2） lim =+∞ →n n u ． 则交错级数收敛 绝对收敛与条件收敛 对于一般项级数,21 ++++n u u u 其各项为任意实数，若级数 ∑∞ =1 n n u 各项的绝对值所构成的正项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则称级数 ∑∞ =1 n n u 绝对 收敛；若级数∑∞ =1 n n u 收敛，而级数 ∑∞ =1 n n u 发散，则称级数 ∑∞ =1 n n u 条件收敛．易 知21 1 1) 1(n n n ∑∞ =--是绝对收敛级数，而n n n 1)1(11∑∞ =--是条件收敛级数． 定理八、 若 ∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =1 n n u 必收敛． 对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数，可以通过取绝对值，转换为正项级数后，再利用定理八，进行判断。 以下介绍一种通过积分判断的方法。此方法的特点是利用非负函数的 单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。 定理九 设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则正项级数∑)(n f 与反常 积分⎰ +∞1 )(dx x f 同时收敛或同时发散。 证明：由假设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则对任何正数A ，)(x f 在 [1，A]上可积，从而有 ⎰ --≤≤n n n f dx x f n f 1 ) 1()()(， ,3,2=n 依次相加，得 ∑⎰ ∑∑-====-≤≤11 1 2 2 ) ()1()()(m n m m n m n n f n f dx x f n f 若反常积分收敛，则对m ∀，有 ⎰ ⎰∑+∞=+≤+≤=1 1 1 )()1()()1()(dx x f f dx x f f n f S m m n m 。 于是，知 级数 ∑)(n f 收敛。 反之，若级数∑)(n f 收敛，则对任意正整数)1(>m ，有 ∑∑⎰ =≤=≤-=-S n f n f S dx x f m n m m )()()(11 11 。 又因)(x f 为[),1+∞上非负减函数，故对任何1>A ，有 S S dx x f n A <≤≤⎰1 )(0, 1+≤≤n A n 。 故知，反常积分⎰ +∞ 1 )(dx x f 收敛。 同理可证它们同时发散。 三、以下给出例题做具体分析 例题1、判断级数∑ ∞ =+11100n n n 是否收敛 解：0 1001 1100lim ≠=+∞→n n n ，所以此级数发散。 但是当0lim =∞→n n u 时，不能判断该级数是否收敛。例如∑∞ =11n n 。因此0lim =∞ →n n u 只是一个必要条件，而非充分条件。 例题2、0>k ,且∑∞ =1 2 n n a 收敛,证明k n a n n n +-∑∞ =21 )1(绝对收敛? (此题正是利用了比较法,轻松地证明了此题.) 解：)1 (2 2 212k n a k n a n n ++ ≤+ 又 ∑∞ =12 n n a 、∑∞ =+12 1n k n 收敛,则 k n a n n +∑ ∞ =21 收敛, 故k n a n n n +-∑∞ =21 )1(绝对收敛. 例题3、 判别级数∑∞ =+⋅1)1ln 1(n n n n 的敛散性. 解：利用不等式x x 11 11ln 11ln 1+⋅-<+⋅-=+⋅= n n n n n n n n u n 因为∑∞ =+⋅1)111(n n n 收敛,故∑∞=+⋅1)1ln 1(n n n n 收敛. 例题4 、断调和级数1111123n n ==++++∑∞ 1 ……n 的敛散性。 解 因为 1111123n n ==++++∑∞ 1 ……n 可以按如下加括号，得，级数 .... )161 15114113112111110191()81716151()4131()211(++++++++++++++++ 而上述加括号后的级数的各项大于级数 (21) 2121.......)161161161161161161161161()81818181()4141(21+++=+++++++++++++++ 的对应项，又后一级数112n =∑∞ 是发散的，所以原调和级数11n n =∑∞ 是发散的。 注:在级数敛散性判断时，对于某些一般项处理起来比较困难时，可以通过合并或拆分来使一般项变得方便处理。 例题5、判断级数∑∞ =12 2sin n n n 是否收敛 解：因2221 sin n n n ≤，且∑∞=121n n 为p=2时的p 级数，此级数收敛。所以 ∑∞=122sin n n n 也收敛。 注：如果级数中不是所有的项都满足n n u v ≤，而是从有限项开始才满足。也可以用比较法判断敛散性。因为改变级数的前有限项不改变级数的敛散性。 例题6、 证明级数 +++++ !1 !31!211n 收敛． 证 n n u n ⨯⨯⨯⨯== 3211!1满足121!10-< =∑n n 是等比级数)121 (<=q ，由比较判别法可知，级数∑∞ =1!1n n 收敛． 本题应用比较法虽然可以解决，但是比较繁琐。以下用比值法解该题。 解法二、因 1 lim lim 1==∞→+∞→n a a n n n n ，所以判断该级数收敛。 例题7、 判别级数 ∑n 1 sin 的敛散性 解：它不是等比级数也不是--p 级数，也无法用比式判别法和根式判 别法来解题。由于 1 11sin lim =∞ →n n n ，根据比较原则，及调和级数∑ n 1发 散，所以级数 ∑n 1 sin 也发散. 注：这是比较法的极限形势。是比较法的更深度的运用。 例题8、 判断正项级数∑∞ =1 31 sin n n n 的敛散性． 解 因为 ) 3131 1(lim 31sin 31sin )1(lim lim 111n n n n n n n n n n n n n u u ++∞→++∞ →++∞→⋅+=+= 131 1lim 31<=+= +∞→n n n ，所以该级数收敛． 注：本题是比值法的应用，从中可以看出，比值法是通过比值的方法消去某些因子，以达到简化运算的目的。所以运用比值法时，应注意观察通过比值能否消去某些项，能否达到简化的目的。 例题9、 判断级数 ∑∞ =+1121n n 的敛散性． 解 因为n n 211210<+< ，而12121<=n n ，所以∑∞ =121n n 收敛．再根据比较 判别法，原级数 ∑∞ =+1121 n n 收敛． 注：本题是比较法和根植法的联合应用，所以有时应用单一的方法无法解决某些问题时，可以应用多种方法，逐步达到简化的目的。 例题10、 设0 >n a ，且a a n n =+∞ →lim ，试判断级数) 0()( 1 >∑∞ =x a x n n n 的敛 散性． 解 因为 n n n n n n a x a x a x =<)( ,)( 0，而 a x a x a x n n n n = =+∞→+∞→1lim lim ；所以，根据根值判别法有 （1）当a x <时，级数收敛； （2）当a x >时，级数发散； （3）当a x =时，级数可能收敛也可能发散． 注：根植法对于处理通项中罕有n 次方的级数时，有着特别方便的应用。 例题11、 判断级数 +-+-+- -!1 )1(!31!2111n n 的敛散性. 解 因为（1）1)!1(1!1+=+>= n n u n n u ),2,1( =n ； （2）0!1lim lim ==+∞→+∞ →n u n n n ． 所以它是收敛的． 例题12、 判断级数∑∞ =12 sin n n nx 的敛散性． 解 因为 2 21 sin n n nx ≤． 而级数∑∞ =121n n 收敛．由比较判别法知，级数∑ ∞ =1 2sin n n nx 收敛，所以级数∑∞ =12sin n n nx 绝对收敛． 例题13、 证明级数 +--++-+-=-----∞ =-∑1 111 1 212)1(8745231212)1(n n n n n n n 绝对收敛． 证 因为 121212212lim lim 11 <=-+=-+∞→++∞→n n n n n n n n u u ，根据比值判别法，级数 ∑∑∞ =-∞=-=111212n n n n n u 收敛，从而，此交错级数绝对收敛． 例题14、判断级数∑∞=11n p n 的敛散性。 解：此题为p 级数，但是也可以用积分判断法解决。 函数()p x x f 1 =，当0>p 时在[]+∞,1上是非负减函数。知道反常积分 ⎰+∞ 1p x dx 在1>p 时收敛，1≤p 时发散．故由定理4得∑p x 1去当1>p 时收敛，当10≤ 四、 结束语：在以上的例题中，可以看出，每一个题，可能有多种方法处理。但是总有一种比较适合且简便的方法。而且不同的方法有不同的适用范围。在某些领域可能有着特别方便的应用，但是在另一些领域内可能毫无用处。所以我们需要选择合适的方法。对于有些题目，可能需要多种方法共同处理。对于正项级数首先观察其通项是否趣于零，如果通项不趣于零，则级数发散。如果通项趣于零，可根据级数通项的特点，考虑用比较审敛法、比值审敛法或根值审敛法。如果不是正项级数，可以通过加绝对值使其变为正项级数。 参考文献 [1]华东师范大学数学系编《数学分析》（第三版）北京大学高等教育出版社，1991 [2]《数学分析习题解析》下册，陕西师范大学出版社，1993 数列与级数的收敛判定方法数列和级数是数学中的重要概念，它们在实际问题分析及数学推导中起着重要作用。在数学中，我们经常需要确定一个数列或者级数是否收敛，即其是否趋于一个有限的值。本文将介绍一些常见的数列和级数的收敛判定方法。 一、数列的收敛判定方法 1. 有界数列的收敛判定 一个数列若是有界的，即存在一个上界和下界，我们可以通过确界定理判定该数列的收敛性。确界定理指出，如果一个数列存在上界和下界，且该上界和下界是该数列的极限值，那么该数列就是收敛的。 2. 单调有界数列的收敛判定 如果一个数列单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列必定是收敛的。这是单调有界数列的收敛性定理。 3. 递推数列的收敛判定 递推数列是通过递推公式确定的数列，一般形式为 $a_{n+1}=f(a_n)$，其中$f(x)$是一个已知函数。对于递推数列，我们可以通过求解递推公式的不动点，即$f(x)=x$的解，来判断数列的收敛性。如果不动点存在且稳定，即$f'(x)$的绝对值小于1，那么该递推数列就是收敛的。 二、级数的收敛判定方法 1. 正项级数的收敛判定 如果一个级数的每一项都是非负数且单调递减的，那么我们可以使用比较判别法来判定其收敛性。比较判别法指出，如果存在一个收敛的级数和一个大于等于该级数的级数，那么原级数也是收敛的。 2. 交错级数的收敛判定 交错级数是一个符号交替出现的级数，其通项形式一般为$(-1)^{n-1}a_n$，其中$a_n$是一个正数数列。对于交错级数，我们可以使用莱布尼茨判别法进行判定。莱布尼茨判别法指出，如果交错级数的通项$a_n$是单调递减趋于零的数列，那么该级数是收敛的。 3. 绝对收敛级数的收敛判定 绝对收敛级数是指级数的每一项都取绝对值后构成的级数。如果绝对收敛级数收敛，那么原级数一定收敛。对于绝对收敛级数，我们可以使用柯西判别法进行判定。柯西判别法指出，如果级数的柯西列收敛，即$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L < 1$，那么该级数是绝对收敛的。 总结： 数列的收敛判定方法主要有有界数列判定、单调有界数列判定和递推数列判定。而级数的收敛判定方法主要有正项级数判定、交错级数判定和绝对收敛级数判定。通过运用这些判定方法，我们能够快速准确地判断一个数列或者级数的收敛性，从而在数学推导中能够更加高效地进行计算和分析。 摘要 级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。 基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。 本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。 最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。 关键词：级数敛散性方法 Abstract Progression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis. Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series. And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the method’s definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, D'Alembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method. Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem. Key words: Series Convergence Mathod 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1 )(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛. 关于正项级数敛散性判定方法的总结比较 摘要：本文将对正项级数的敛散性问题进行研究，引入常用的比较判别法和比值判 别法，而后再给出相应的级数作为比较尺度后，得到了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式 判别法，并给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。在采用更加精细的级数作为比 较尺度后，引出了拉贝尔判别法，并对上述的几种方法进行了总结和分析。 关键词：正项级数敛散性达朗贝尔判别法柯西根式判别法拉贝尔判别法 引言 随着正负无穷的引入，人们对于数字的理解不再拘泥于传统意义上的有限数字。此时，关于一列已知序列求和的敛散性问题便应运而生。如何判断一列序列求和是有限的还是发 散的，成为数学分析中的一个重要问题，受到了很多的关注和研究，产生了诸如比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西根式判别法等等。本文将对目前常用的一些判定方法进行归纳，并对它们的适用性和局限性进行分析。 一、比较判别法、比值判别法及达朗贝尔判别法 我们在本节中将介绍三种常用的判别方法——比较判别法、比值判别法和达朗贝尔判 别法，在引入序列的上下极限以后，给出极限形式和上下极限形式下的达朗贝尔判别法， 从而使得达朗贝尔判别法得到很好的总结和完善。而后改变比较级数的尺度，对达朗贝尔 判别法进行推广，引入拉贝尔判别法，使得比较变得更加的精细和准确[1]。 1.比较判别法和比值判别法 当我们遇到一个未知的序列以后，我们可以将它与已知的收敛或者发散的序列进行比较，进而来判断它的敛散性，从而诞生了比较判别法和比值判别法。为了下文的行文的简 单性，我们用符号来表示[2]。 定理1（比较判别法）假设级数和均为正项级数，那么我们有： （1）如果收敛且存在和，使得，，那么也收敛; （2）如果发散且存在和，使得，，那么也发散。 为了方便使用，我们这里引入极限形式的比值判别法. 推论1设级数和均为正项级数 令则有： （1）如果收斂，且，那么也收敛; （2）如果发散，且，那么也发散。 第六讲 数项级数的敛散性判别法 §1 柯西判别法及其推广 比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设 1 n n u ∞=∑，1 n n v ∞ =∑都是正项级数，存在0c >，使 （i ） 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑也收敛；（ii ） 若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑也发散． 比较原理II （极限形式）设 1 n n u ∞ =∑，1 n n v ∞ =∑均为正项级数，若 则 1 n n u ∞ =∑、1 n n v ∞ =∑同敛散． 根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设 1 n n u ∞ =∑为正项级数， （i ）若从某一项起（即存在N ，当n N > 1q ≤<（q 为常数） ， 则 1 n n u ∞ =∑收敛； （ii 1≥，则1 n n u ∞ =∑发散． 证（i ）若当n N > 1q ≤<，即n n u q ≤，而级数 1 n n q ∞ =∑收敛， 根据比较原理I 知级数 1 n n u ∞ =∑也收敛． （ii ） 1≥，则1n u ≥，故lim 0n n u →∞ ≠，由级数收敛的必要条件知1 n n u ∞ =∑发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2） 设 1 n n u ∞ =∑ 为正项级数，n r =，则：（i ）当1r <时，1 n n u ∞ =∑ 收敛；（ii ） 当1r >（或r =+∞）时，1 n n u ∞ =∑发散； （iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性 23123(1)()()()35721n n n ++++++L L ；n n n e ∞ -∑n=1 (2) n n x α∞ ∑n=1(3)（α为任何实数，0x >）． 解 (1) 因为1 12 n r == <，所以原级数收敛． (2) 因为lim n n n r e →∞===∞，所以原级数发散． (3) 对任意α ，n r x ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时， 此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1 α-≤时，即1α ≥-时发散． 例2 判别级数 11[(1)]3 n n n n ∞ =+-∑的敛散性． 解 由于 不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛． 例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)n n n a ∞ =-∑发散，试问级数111n n n a ∞ =?? ? +?? ∑是否收敛？并说明理由． 解 答案：级数111n n n a ∞ =?? ? +?? ∑收敛，证明如下： 由于{}n a 单调减少且0,n a ≥根据单调有界准则知极限lim n n a →∞ 存在．设lim ,n n a a →∞ =则 0a ≥．如果0,a =则由莱布尼兹判别法知 1 (1)n n n a ∞ =-∑收敛，这与 1 (1)n n n a ∞ =-∑发散矛盾， 故0a >．再由{}n a 单调减少，故0,n a a >>取1 11 q a = <+， 根据柯西判别法1知111n n n a ∞ =?? ? +?? ∑收敛． 无限级数的收敛性和敛散判别法无限级数是指将一系列数相加所得到的和，可以表示为 ∑n=1∞an。其中，an代表每一项的值。如果这个和存在，我们就称它为收敛，如果不存在，我们就称它为发散。因此，研究无限级数的收敛性以及敛散判别法具有重要的理论和实际意义。 一、收敛和发散的概念 先来看一下一个简单的例子：1+2+3+4+…+n=∑n=1∞n。如果我们将这个无限级数进行求和，得到的结果为正无穷，也就是说，它是发散的。而如果我们考虑另一个无限级数： 1+1/2+1/4+1/8+…+1/2n=∑n=1∞1/2n。我们继续进行求和，当n越来越大的时候，每一项的值越来越小，最终趋近于0。因此，这个无限级数是收敛的。 从这个例子中，我们可以看出，无限级数的收敛性和每一项的值、次数以及其它因素有着密切关系。在精确地掌握这些关系之前，我们要先理解收敛和发散的概念，并学会用它描述不同的情况。 二、敛散判别法 判别一组数列是发散还是收敛，是数学中的一个基本问题。对 于无限级数，也可以使用不同的方法来判别其是否收敛，这就是 敛散判别法。下面，我们来介绍几种常见的敛散判别法： 1.比值判别法 比值判别法也叫做达朗贝尔判别法，它是判别无限级数收敛的 一种重要方法。对于一般的级数∑a(n)，设ba(n)=|a(n+1)/a(n)|，则： - 当0≤limn→∞ba(n)<1时，级数收敛； - 当limn→∞ba(n)>1时，级数发散； - 当limn→∞ba(n)=1时，级数可能收敛，也可能发散。 比值判别法的核心是比较数列的相邻两项的比值与1的大小， 从而来判断级数的敛散性。需要注意的是，这个法则不一定适用 于所有的级数，应该针对不同的级数进行具体的分析。 2.根值判别法 八个常见级数的敛散性2篇 第一篇：八个常见级数的敛散性（一） 级数是数学中一个非常重要的概念，它是由一列数相加而得到的 结果。在实际应用和数学理论中，人们经常需要研究级数的敛散性。 散指的是级数的和无穷大，而敛则是指的是级数的和有一个有限的极 限值。本文将讨论八个常见级数的敛散性。 1. 等比级数 等比级数是指项之间的比例是一个常数的级数，比如 1+1/2+1/4+1/8+…。对于等比级数来说，当公比绝对值小于1时，级 数是收敛的，当公比绝对值大于等于1时，级数是发散的。 2. 调和级数 调和级数是指级数的项是调和数的级数，比如 1+1/2+1/3+1/4+…。对于调和级数来说，它是发散的，因为随着项数 的增加，每一项都趋近于无穷大，所以级数的和也趋近于无穷大。 3. 幂级数 幂级数是指级数的项是幂函数的级数，比如1+x+x^2+x^3+…。 对于幂级数来说，它的敛散性取决于幂函数的底数 x 的取值范围。当 x 的绝对值小于1时，幂级数是收敛的，当 x 的绝对值大于等于1时，幂级数是发散的。 4. 几何级数 几何级数是指级数的项是等比数列的级数，比如 1+x+x^2+x^3+…。对于几何级数来说，当公比绝对值小于1时，级数 是收敛的，当公比绝对值大于等于1时，级数是发散的。 5. 斯特林级数 斯特林级数是一种逼近阶乘函数的级数，它的公式为：n! ≈ √(2πn) (n/e)^n，其中 n 是一个正整数。斯特林级数收敛非常快， 可以用来估计阶乘函数的值。 6. 莱布尼茨级数 莱布尼茨级数是指级数的项是交替数列的级数，比如 1- 1/2+1/3-1/4+…。莱布尼茨级数是发散的，但是它是交替发散的，也 就是说，它的和会在一定范围内波动，但不会趋于无穷大或负无穷大。 7. 邹次定理 邹次定理是一个判断级数敛散性的定理，它的原理是通过比较级 数的项与调和级数的项的大小来判断。如果级数的项大于等于调和级 数的项，那么级数一定是散的；如果级数的项小于调和级数的项，那 么级数的敛散性就不确定，需要进一步研究。 8. 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛是指级数的所有项都是正数，并且级数收敛；条件收敛 是指级数的项无论正负，级数都收敛。绝对收敛的级数一定是收敛的，而条件收敛的级数有可能是发散的。 这些是八个常见级数的敛散性，通过对这些级数的研究，我们可 以更好地理解级数的特点和性质，并且可以在实际应用中灵活运用。 对于数学的研究者和爱好者来说，级数的敛散性是一个非常有趣和重 要的课题，希望本文能对读者有所帮助。 第二篇：八个常见级数的敛散性（二） 在上一篇文章中，我们介绍了八个常见级数的敛散性，本文将继 续讨论一些与级数敛散性相关的概念和定理。 9. 洛朗级数 洛朗级数是一种用来展开复变函数的级数。它的形式为 ∑(a_n(z-z_0)^n)，其中 a_n 是常数，z 和 z_0 是复数。洛朗级数 的敛散性与展开点 z_0 的选取相关，对于某些 z_0，洛朗级数可以收 敛于一个复变函数。 10. 绝对收敛收敛域 对于幂级数来说，存在一个区间，使得当指数在这个区间内变化时，幂级数绝对收敛。这个区间称为幂级数的收敛域。对于一个幂级数，如果指数在其收敛域外变化，幂级数一定是发散的。 11. 交错级数收敛定理 交错级数收敛定理是一个用来判断交错级数敛散性的定理。根据 交错级数的项的绝对值递减且趋于零，以及满足项之间绝对值递减的 数项级数敛散性判别法。(总结) 数项级数是一类由无穷多个项组成的数列，它们的和是一个数。在数学中，我们通常利用一些方法来判断数项级数的收敛性和发散性。 以下是数项级数敛散性判别法的总结： 1. 正项级数收敛判别法：如果数列中的每一项都是非负数，且后一项大于等于前一项，那么这个数项级数收敛。 2. 比较判别法：如果一个数项级数的绝对值序列能够被一个已知的收敛数项级数和一个已知的发散数项级数所夹逼，那么这个数项级数与已知的收敛数项级数具有相同的收敛情况，与已知的发散数项级数具有相同的发散情况。 3. 极限比值判别法：对于一个数项级数，如果存在一个常数 $q$，使得 $0\leq q<1$，并且对于充分大的 $n$，有 $|\frac{a_{n+1}}{a_n}| 5. 积分判别法：对于一个递减的正项函数 $f(x)$，如果数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 可以表示成积分 $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ 的形式，且该积分收敛，那么数项级数也收敛。如果积分发散，那么数项级数也发散。 数列与级数的收敛判别法 数列与级数是数学中常见的概念，它们在数学分析、微积分等领域 有着广泛的应用。在研究数列与级数时，我们常常需要判断它们是否 收敛，即是否存在有限的极限值。本文将介绍几种经典的数列与级数 的收敛判别法。 一、数列的收敛判别法 1. 有界性判别法 对于数列{an}，如果存在一个实数M，使得对于所有的n，都有 |an|≤M成立，那么数列{an}是有界的。根据实数的确界原理，有界的 数列必定存在收敛子列，因此可以推断该数列也是收敛的。 2. 单调性判别法 对于数列{an}，如果对于所有的n，都有an≤an+1或an≥an+1成立，即数列{an}单调递增或单调递减，那么该数列收敛的充分必要条件是{an}单调有界。 3. 夹逼定理 夹逼定理是判别数列收敛性的重要工具。设数列{an}、{bn}和{cn} 满足an≤bn≤cn，并且lim(an)=lim(cn)=a。如果数列{bn}收敛，那么它 的极限必定是a。 二、级数的收敛判别法 1. 正项级数判别法 若级数Σan收敛，且对于任意的n，都有an≥0成立，则该级数是正项级数。正项级数的收敛判别法有以下几个重要的定理：（1）比较判别法：若对于所有的n，都有0≤an≤bn成立，且级数Σbn收敛，则级数Σan也收敛；若级数Σan发散，则级数Σbn也发散。 （2）极限判别法：若存在正数c，使得lim(an/bn)=c，则有以下几种情况： 当0 数项级数敛散性判别法 数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。 1.正项级数判别法（比较判别法）： 对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且 an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。 2.比值判别法： 如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。具体判别如下： -如果r<1，那么级数收敛； -如果r>1，那么级数发散； -如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。 3.根值判别法： 如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。具体判别如下： -如果r<1，那么级数收敛； -如果r>1，那么级数发散； -如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。 4.绝对收敛与条件收敛： 如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝 对收敛的。如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则 称该级数是条件收敛的。 5.莱布尼茨判别法： 对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该 级数收敛： - bn>0，即各项都是正数； - bn≥bn+1（递减趋势）； - lim(n→∞)bn=0。 6.积分判别法： 如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。具体判别如下： - 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛； - 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。 7.收敛级数的性质： -有限项相加不会改变一个收敛级数的敛散性； 级数收敛的判别方法 级数理论在数学分析中占有很重要的一席之地,而级数理论中,研究无穷级数的收敛性则相当的重要。仅由收敛原理来判别级数的敛散性,在实际问题中,往往是不可行的。本文中,主要介绍了比较判别法,柯西判别法,达朗贝尔判别法,拉阿比判别法,对数判别法,双比值判别法,高斯判别法,柯西积分判别法,对于常用的判别法,本文对其有效性做了简单的比较,从而能够使读者更加深入的了解和熟悉各种判别法的使用范围。 标签：级数收敛发散判别法有效性 1 级数的收敛性及其基本性质 我们知道,一系列无穷多个数u1,u2,u3,…un,…,写成和式u1+u2+u3+…+un…就称为无穷级数,记为un,且若级数un的部分和数列{Sn}收敛于有限值S,即则称级数un收敛,记为,un=S,也称此值S为级数的和数。若部分和数列{Sn}发散,则称un发散。 研究无穷级数的收敛问题,首先我们给出大家熟悉的收敛级数的一些基本性质[1]: 性质1 若级数un收敛,a为任意常数,则aun亦收敛,且有aun=aun。 性质2 若两个级数un和vn都收敛,则(un±vn)也收敛,且有(un±vn)=un±vn。 性质 3 一个收敛级数un,对其任意项加括号后所成级数(u1+u2+…ui )+(ui +1+…ui )+…仍为收敛,且其和不变。 性质4 (收敛的必要条件)若级数un收敛,则un→0(n→∞)。 以上是收敛级数的一些最基本的性质,要指出的是,在实际问题中仅利用收敛原理来判断级数的收敛性,往往是相当困难的,所以在级数的理论中还必须建立一系列的判别法,利用它们就可以简便地来判别相当广泛的一类级数的收敛性,建立和总结这些判别法,就是本文的中心任务。 2 正项级数的收敛性判别 一般的数项级数,它的各项可以是正数,负数或零。现在我们讨论各项都是正数或零的级数,这种级数称为正项级数。本文将就正项级数的收敛判别方法做一总结, 若级数un=u1+u2+…+un…是一个正项级数(uk>0),它的部分和数列{sn}是一个单调增加的数列,即s1≤s2≤…≤sk≤…。如果数列{sn}有界,即存在M>0使 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二 正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则 （i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n + 易知：∑∞ =22ln 1n n n 收敛（积分判别法），又∑∞=22n n a 收敛，所以)ln 1 212 2 2 n n a n n +∑∞ =（收敛。 由比较判别法知∑ ∞ =2ln n n n n a 收敛（n a >0）. 华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日 摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛⇔数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个收 敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=151n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 3 1(n n n 收敛. 淮北师范大学信息学院 2012 届学士学位论文 级数敛散性的判别方法 系别:数学系 专业:数学与应用数学 学号: 20081884083 姓名: 赵高 指导教师: 陈冬君 指导教师职称: 讲师 2012年 5 月10 日 级数敛散性的判别方法 赵高 (淮北师范大学信息学院，淮北，235000) 摘要 级数有很多重要的性质，其中敛散性是级数的一个非常重要的性质，敛散性的判别方法也一直是人们研究的热点.通过判别级数的敛散性进一步了解级数的性质.本文探论了正项级数、交错级数以及任意项级数敛散性的判别方法，正项级数、交错级数、任意项级数通项的多变性,决定了判别正项级数、交错级数、任意项级数敛散性的方法会有多种，主要有达朗贝尔判别法、柯西判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法.当然由于通项的特殊性也会有特殊的方法判别.本文通过归纳一些判别正项级数与交错级数敛散性的方法,让人们在学习过程中对级数敛散性的判别能够很好的把握，并掌握这些判别法成立的条件. 关键词：正项级数、交错级数、敛散性、判别法. The Convergence of the Series of Discriminant Method Zhao Gao College of Information Technology Huaibei Normal University, Huaibei,235000 Abstract The series has a lot of important properties, which is the series convergence and divergence of a very important properties, criteria for convergence and divergence has been the focus of study. Through judging the convergence of series to further understand the series nature. This article of the series of positive terms, staggered series as well as any series convergence and divergence sexual discriminant method, a series of positive terms, staggered series, series of any general variability, determines the identification of series of positive terms, staggered series, any of the convergence of the series will have a variety of methods, mainly the d'Alembert discriminant method, Cauchy method, Leibniz method, di Like dilichlet discriminance. Of course due to the particularity of the general will also have the special methods of discriminant. This paper summarized some criteria for positive term series and the convergence of alternate series method, let people in the learning process of convergence of series of discriminant can be a very good grasp of, and grasp the discriminant conditions. Key words: Series of positive terms，Alternating series，Convergence and divergence，Discriminant analysis method数列与级数的收敛判定方法
级数敛散性总结
(完整版)关于数项级数敛散性的判定
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
数项级的敛散性判别法
无限级数的收敛性和敛散判别法
八个常见级数的敛散性2篇
数项级数敛散性判别法。(总结)
数列与级数的收敛判别法
数项级数敛散性判别法
级数收敛的判别方法
级数敛散性判别方法的归纳-级数的敛散性
数项级数敛散性判别法(总结)
关于数项级数敛散性的判定
数学毕业论文级数敛散性的判别方法