(整理)常数项级数的审敛法

§11-2 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数：∑∞

=1n n u 0≥n u (1)

显然，部分和数列{}n s 单调增加：.21ΛΛ≤≤≤≤n s s s {}↑n s

1.收敛准则

定理1 正项级数∑∞

=1n n u 收敛?部分数列{}n s 有界.

例1判别正项级数∑

∞

=1

2

2sin n n

n π

的收敛性 解 n

n n s 22sin

2

2sin 2

12

2π

π

+++=

Λn 2121212+++<Λ

12

1121121<-???

??-=n 有上界 级数收敛

2.比较审敛法

定理2 设∑∞

=1

n n u 和∑∞

=1

n n v 都是正项级数，且.),2,1(Λ=≤n v u n

n 若∑∞

=1

n n v 收敛,

则∑∞=1

n n u 收敛；反之，若∑∞=1

n n u 发散，则∑∞

=1

n n v 发散．

分析：σ=∑∞=1

n n v ，则∑∞

=1

n n u 的部分和

,),2,1(2121ΛΛΛ=≤++≤+++=n v v v u u u s n n n σ

即{}n s 有界,由TH1知∑∞=1

n n u 收敛。反之，设∑∞=1

n n u 发散，则∑∞

=1

n n v 必发散.因为若

∑∞

=1

n n

v

收敛,由上面已证结论知∑∞

=1

n n u 也收敛，与假设矛盾.

推论 设∑∞

=1

n n u 和∑∞

=1

n n v 都是正项级数,如果级数∑∞

=1

n n v 收敛，且存在自然数N ，使

当N n ≥时有)0(≥≤k kv u n n 成立,则级数∑∞=1

n n u 收敛；如果级数∑∞

=1

n n v 发散，且当N

n ≥时有)0(≥≥k kv u n n 成立, 则级数∑∞

=1

n n u 发散.

分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k ，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性.

例2 讨论p —级数 )2(1

1∑∞

=n p

n

的收敛性，其中常数p >0．

解 设1≤p ，则

,1

1n n

p

≥但调和级数发散，故级数(2)发散． 设1>p ，当n x n ≤≤-1时，有,1

1p p x

n ≤所以

??

?

???---=≤=----??11111)1(111111p p n n n n p p p n n p dx x dx n n ，Λ,3,2=n 考虑级数)3(,1)1(1111∑∞

=--??

?

???--n p p n n 级数(3)的部分和

??????+-++??????-+??????

-=-----11111)1(113121211p p p p p n n n s Λ=.)1(111-+-p n 因 .1=n s 故级数(3)收敛．由推论1知，级数(3)当p >1时收敛.

总之：p —级数(2)当≤p 1时发散，当p >1时收敛．

注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数，p —级数（调级数） 例3 判别下列级数的敛散性.

211(1).52

n n n n ∞

=+++∑ n n n n n u n 81

252

22=++> ∑∞

=11n n 发散, 原级数发散 1

11(2).sin

11n n n ∞

=++∑ 21n u n < ∑∞=121

n n 收敛, 原级数收敛 练习 ()∑∞

=-+13

1sin 212.n n

n

n

()n n n

3131sin 112≤≥-+

3.比较审敛法的极限形式

定理3 设∑∞

=1

n n u 和∑∞

=1

n n v 都是正项级数,

(1)如果lim (0),n n n

u

l

l v →∞=≤<+∞且级数∑∞=1

n n v 收敛，则级数∑∞

=1

n n u 收敛；

(2)如果lim 0n n n u l v →∞=>或lim n

n n

u v →∞=+∞，且级数∑∞=1n n v 发散，则级数∑∞

=1n n u 发散

例4 判别下列级数的敛散性.

(1)∑∞

=1

1

sin n n 1

sin lim

10,1

n n n

→∞=>

∑∞

=1

1

n n 发散 原级数发散 ∑∞

=1

3

1

tan

2)2(n n n ,

13231

tan

2lim =??

?

??∞→n

n n n ∑∞=??? ??132n n 收敛 收敛 4．比值审敛法 定理4 设

1

n n u ∞

=∑为正项级数，如果 ,lim 1

ρ=+∞

→n

n n u u

则当1<ρ级数收敛; 1>ρ(或∞=+∞→n

n n u u 1

lim

)时级数发散; 1=ρ时级数可能收敛也可

能发散．（证略，可参考教材）

例5 判别下列级数的敛散性：

(1)∑∞

=133n n n ,131

lim 1<=+∞→n

n n u u 级数收敛

(2)∑

∞

=12

!

n n n +∞=+=∞→+∞→21lim lim 1n u u n n n n 级数发散 (3)()01

1

>∑∞

=-x nx n n

x u u n

n n =+∞→1

lim

10<x 发散 1=x 发散

5. 根值审敛法----柯西判别法

定理5 设∑∞

=1

n n u 为正项级数，如果,lim ρ

=∞

→n n n u 则当1<ρ时级数收敛，1>ρ(或

∞=∞

→n n n u lim )时级数发散，1=ρ时级数可能收敛也可能发散. （证略，可参考教材）

例6判别下列级数的敛散性 (1)∑

∞

=11n n

n

,1)(011<∞→→==n n n u n n n n 级数收敛 ∑∞

=??? ??+1135)2(n n

n n ,135lim >=∞→n n

n u 级数发散 6 根限审敛法（与p —级数作比较） 定理6 设∑∞

=1n n u 为正项级数，

(1)如果()

lim 0

lim ,n n

n n nu l nu

→∞

→∞

=>=+∞或则∑∞

=1

n n u 发散；

(3)如果1>p ，而(),0lim +∞<≤=∞

→l l

u n n p

n 则级数∑∞

=1

n n u 收敛。

例7 判别下列级数的敛散性 （1）∑∞

=1sin

n n

π

,1

sin

lim

lim π

π

==∞

→∞

→n

n nu n n n 发散.

（2）∑∞

=1

2

tan

n n π

,1tan

lim

lim 2

22

ππ

==∞

→∞

→n n u n n n n 收敛

二、交错级数及其审敛法

交错级数： )4(,

4321Λ+-+-u u u u

或 ,4321Λ-+-+-u u u u 其中Λ,,21u u 都是正数． 定理7 (莱布尼兹定理) 如累交错级数∑∞

=--11)1(n n n u 满足条件:

,0lim )2(;

),3,2,1()1(1

==≥∞

→+n n n n u n u u Λ

则级数收敛，且其和1u S ≤,其余项n r 的绝对值.1+≤n n u r

分析：先证明S 2n 的极限存在,为此把S 2n 写成两种形式:

)()()(21243212n n n u u u u u u s -++-+-=-Λ

及 .)()()(21222543212n n n n u u u u u u u u s --------=--Λ

根据条件(1)知所有括弧中的差非负的.由第一种形式可见{}n s 2单调增，由第二种形式可见12u s n < ，因单调有界数列必有极限，当∞→n , n s 2趋于一个极限s ，且

.lim 12u s s n n ≤=∞

→

再证明前12+n 项的和s 2n+1的极限也是s,事实上，.12212+++=n n n u s s 由条件(2)知

,0lim 12=+∞

→n n u 因此.)(lim lim 12212s u s s n n n n n =+=+∞

→+∞

→

由于,lim lim 212s s s n n n n ==∞

→+∞

→故∑∞

=--11)1(n n n u 收敛于和s ,且.1u s ≤

最后 )(21Λ+-±=++n n n u u r , ,21Λ+-=++n n n u u r

上式右端是一个交错级数，它满足收敛的两个条件，所以.1+=n n u r 证毕．

例8 判别级数∑∞

=--1

1

)1(n n n 的敛散性。

解 ),2,1(1

1

11Λ==+>=

+n u n n u n n ， ,01

lim

lim ==∞→∞

→n

u n n n 所以它是收敛的，且其和1

三、绝对收敛与条件收敛

任意项级数：,4321Λ++++u u u u 它的各项为任意实数

绝对值级数：∑∞

=1

n n u 为正项级数，如果∑∞

=1

n n u 收敛, 则称级数∑∞

=1

n n u 绝对收敛；

如果级数∑∞=1

n n u 收敛, 而∑∞=1

n n u 发散，则称∑∞

=1

n n u 条件收敛。

如 ∑∞

=--12

1)1(n n n 绝对收敛 ∑∞

=--1

1

)1(n n n 条件收敛

定理8 如果级数∑∞

=1

n n u 绝对收敛, 则级数∑∞

=1

n n u 必定收敛.

分析：∑∞

=1

n n u 收敛，令),,2,1()(2

1

Λ=+=

n u u v n n n 显然0≥n v 且

.),2,1(Λ=≤n u v n n 由比较审敛法知∑∞=1

n n v 收敛，从而∑∞

=1

2n n v 也收敛.

而,2n n n u v u -= ,21

1

1

∑∑∑∞=∞=∞=-=n n n n n n u v u 所以∑∞

=1

n n u 收敛。

注意 上述定理的逆定理并不成立.

TH8说明,对∑∞=1

n n u ,若用正项级数的审敛法判定∑∞=1

n n u 收敛。一般地，若∑∞

=1

n n u 发

散不能断定∑∞=1

n n u 也发散，但是若用比值审敛法或根值审敛法判定∑∞

=1

n n u 发散，则可断

定∑∞=1

n n u 发散，因为从这两个审敛法的证明知,上述两种审敛法判定∑∞

=1

n n u 发散的依据

是n u 不趋于0(,)∞→n 故∑∞

=1

n n u 发散。

例9判别下列级数的敛散性：

（1）∑∞

=--1

2

1

6cos )1(n n n

n π

绝对收敛 1

1

1

(2)(1)n p n n

∞

-=-∑ 0≤p 发散 10≤

p 绝对收敛 小结：

本节介绍了常数项级数(五个定义)的审敛法，要熟练掌握比较审敛法、比值审敛法、莱布尼兹判别法等(八个定理)，会利用级数收敛的必要条件判别发散级数。