常数项级数的概念和性质
§1 常数项级数的概念和性质
【目的要求】
1、能区分无穷项相加与有限项相加的区别；
2、了解无穷级数部分和与级数收敛及发散的关系、和的定义；
3、掌握用部分和的极限、收敛级数的必要条件来判别级数的敛散性． 【重点难点】
数项级数的概念与性质． 【教学内容】
一、常数项级数的概念
定义1.1 给定一个无穷实数列{}n u ：
12,,
,,
n u u u
则由这数列构成的表达式
12n u u u ++
++
叫做常数项无穷级数, 简称常数项级数, 记为∑∞
=1
n n u , 即
1231
n
n n u
u u u u ∞
==+++++
∑,
其中第n 项n u 叫做级数的一般项(或通项). 级数∑∞
=1n n u 的前n 项和
1231
n
n i n i s u u u u u ===+++
+∑
称为级数∑∞
=1
n n u 的前n 项部分和. 部分和构成的数列
12{}:,,,
n n s s s s
称为部分和数列.
定义 1.2 如果级数∑∞
=1
n n u 的部分和数列}{n s 收敛, 即
s s n n =∞
→lim , (s 为一实数)
则称无穷级数∑∞
=1
n n u 收敛, 并称s 为级数∑∞
=1
n n u 的和, 并写成
1231
n n n s u u u u u ∞
===+++
++∑;
如果}{n s 发散, 则称无穷级数∑∞
=1
n n u 发散. 级数的收敛和发散统称为敛散性.
当级数∑∞
=1
n n u 收敛时, 其部分和n s 是级数∑∞
=1
n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差
n n r s s =-
称为级数∑∞
=1
n n u 的余项. n s 和s 之间的误差可由||n r 去衡量, 由于s s n n =∞
→lim , 所以lim ||0n n r →∞
= 例1 讨论等比级数(几何级数)
20
n
n n aq
a aq aq aq ∞
==+++++
∑, (0a ≠)
的敛散性.
解 如果1q ≠, 则部分和
2
1
111n n n n a aq a aq s a aq aq aq
q q q
--=+++
+==----. 当||1q <时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞
=0
收敛, 其和为q a
-1. 当||1q >时, 因为lim n n s →∞
不存在, 所以此时级数n n aq ∑∞
=0
发散. 如果||1q =, 则当1q =时, 因为lim n n s →∞
不存在, 因此此时级数n n aq ∑∞
=0
发散;
当1q =-时, 级数n n aq ∑∞
=0
成为
a a a a -+-+
,
因为lim n n s →∞
不存在, 因此此时级数n n aq ∑∞
=0
发散. 综上所述, 如果||1q <, 则级数n n aq ∑∞
=0
收敛, 其和为
q a
-1;
如果||1q ≥, 则级数n n aq ∑∞
=0
发散.
例2 证明级数0
123n n n ∞
==+++
++
∑是发散的.
证 此级数的部分和为
2
)
1( 321+=
+⋅⋅⋅+++=n n n s n . 显然, ∞=∞→n n s lim , 因此该级数是发散的. 例3 判别无穷级数 0
1111
1
(1)122334(1)
n n n n n ∞
==++++
+
+⋅⋅⋅+∑ 的收敛
性.
解 部分和
11
1)1(1+-=+=
n n n n u n ,
由于
)
1(1
431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n
11
1)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n
从而
1)111(lim lim =+-=∞
→∞→n s n n n ,
所以该级数收敛, 其和是1.
以上几个例题, 都是先将部分和n s 的表达式算出, 然后讨论lim n n s →∞是否存在, 从而判断级数的敛散性. 然而对绝大多数级数来说, n s 的表达式难以计算, 而且
实际问题中往往只需知道一个级数是收敛还是发散, 并不奢望对每个级数都求出其和, 因此我们有必要研究某些直接从一般项n u 的形式就可以判断∑∞
=1n n u 敛散
性的简明法则. 为此, 先对级数的基本性质展开一些讨论.
二、收敛级数的基本性质
性质 1 如果级数∑∞
=1
n n u 收敛于和s , k 为任意常数, 则级数∑∞
=1
n n ku 也收敛,
且其和为ks .
证 设∑∞
=1
n n u 与∑∞
=1
n n ku 的部分和分别为s n 与σn , 则
) (lim lim 21n n n n ku ku ku ⋅⋅⋅++=∞→∞→σks s k u u u k n n n n ==⋅⋅⋅++=∞→∞→lim ) (lim 21. 所以级数∑∞
=1
n n ku 收敛, 且和为ks .
性质2 如果级数∑∞
=1
n n u 、∑∞
=1
n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1
n n n v u ±∑∞
=也收
敛, 且其和为s σ±.
证 设∑∞
=1
n n u 、∑∞
=1
n n v 、)(1
n n n v u ±∑∞
=的部分和分别为s n 、σn 、τn , 则
)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+⋅⋅⋅+±+±=∞→∞→τ )] () [(lim 2121n n n
v v v u u u +⋅⋅⋅++±+⋅⋅⋅++=∞→ σσ±=±=∞
→s s n n n )(lim . 所以级数)(1n n n v u ±∑∞
=收敛, 且和为s σ±.
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数
1
1111122334(1)
n n u n n ∞
==
+++++⋅⋅⋅+∑是收敛的, 级数
1
10000 n n u ∞=+∑也是收敛的, 级数3
n n u ∞
=∑也是收敛的.
性质 4 设级数∑∞
=1
n n u 收敛, 其和为s , 则保持级数原有顺序对其任意加括
号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.
注意 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数(11)(11) -+-+
收敛于0, 但级数1111-+-+
却是发散的.
推论 如果保持原有顺序添加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 性质5(级数收敛的必要条件) 如果∑∞
=1n n u 收敛, 则它的一般项n u 趋于零,
即0lim 0
=→n n u . 证 设级数∑∞
=1
n n u 的部分和为n s , 且s s n n =∞
→lim , 则 0lim lim )(lim lim 110=-=-=-=-∞
→∞→-∞→→s s s s s s u n n n n n n n n n . 注意 性质5只是级数收敛的必要条件, 而不是充分条件, 即一般项趋于零的级数不一定收敛. 但可以用性质5的逆否命题来判断一个级数的发散.
推论 若0
lim 0n n u →≠，则级数∑∞
=1
n n u 发散. 由此结论, 我们马上可知下列级数
:
1
(0)n a ∞
=>, 11(1)n n ∞
=-∑, 11(1)n
n n ∞=+∑, 1
(1)n n ∞
=-∑是发散的.
应当注意, 尽管有些级数的一般项趋向于零, 但仍是发散的. 例4 证明调和级数 1111
1
123n n
n
∞
==+++
+
+∑
是发散的.
证 假若级数∑∞
=11
n n
收敛且其和为s , n s 是它的部分和.
显然有s s n n =∞→lim 及s s n n =∞→2lim . 于是0)(lim 2=-∞
→n n n s s .
但另一方面, 2
1
21 212121 21112=+⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++++=
-n n n n n n s s n n ,
故0)(lim 2≠-∞
→n n n
s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑∞
=11n n 必定发散.
§2 常数项级数的审敛法
【目的要求】
1、理解正项级数的定义、性质、收敛的充分必要条件；
2、掌握三种判别法使用区别．
3、了解绝对收敛与条件收敛等概念；
4、熟练掌握交错级数收敛的判别法；
5、熟练掌握绝对收敛与条件收敛的判别法． 【重点难点】
正项级数的特有性质及判别法． 区分绝对收敛与条件收敛． 【教学内容】
一般的常数项级数, 它的各项可以是正数、负数或者零. 现在我们先讨论各项都是非负的级数——正项级数. 这种级数特别重要, 以后将看到许多级数的敛散性问题可归结为正项级数的收敛性问题.
一、 正项级数及其审敛法
定义 2.1 若级数∑∞
=1n n u 的各项均非负, 即0n u ≥, 则称该级数为正项级数.
设级数
1231
n
n n u
u u u u ∞
==+++++∑ (1)
是一个正项级数, 它的部分和为n s . 显然, 数列{}n s 是一个单调递增数列. 如果数列{}n s 有界, 根据单调有界的数列必有极限的准则, 级数(1)必收敛于s . 反之,
如果正项级数(1)收敛于s , 即s s n n
=∞→lim , 根据有极限的数列是有界数列的性质可知, 数列{}n s 有界. 因此, 我们得到如下重要的结论.
定理2.1 正项级数∑∞
=1n n u 收敛的充分必要条件是它的部分和数列{}n s 有界.
由定理 2.1 可知, 如果正项级数
∑∞
=1
n n u 发散, 则它的部分和数列
n s →∞(n →∞), 即1
n n u ∞
==+∞∑
由此, 可得关于正项级数的一个基本的审敛法. 定理 2.2 (比较审敛法) 设
∑∞=1n n u 和∑∞
=1
n n v 都是正项级数, 且n n u v ≤
(1,2,
n =). 若级数∑∞
=1
n n v 收敛, 则级数∑∞
=1
n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞
=1
n n u 发散, 则级
数∑∞
=1
n n v 发散.
证 设级数∑∞
=1
n n v 收敛于和σ, 则级数∑∞
=1
n n u 的部分和
1212(
1,2,)
n n
n
s u u u v v v n σ=+++≤+++≤= 即部分和数列{}n s 有界, 由定理2.1 知级数∑∞
=1
n n u 收敛.
反之, 设级数∑∞
=1
n n u 发散, 则级数∑∞
=1
n n v 必发散. 因为若级数∑∞
=1
n n v 收敛, 由上已
证明的结论, 将有级数∑∞
=1n n u 也收敛, 与假设矛盾.
推论 设∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞
=1n n v 收敛, 且存在自然数
N , 使当n N ≥时, 有n n u kv ≤ (0k >)成立, 则级数∑∞
=1
n n u 收敛; 如果级数∑∞
=1
n n v 发
散, 且当n N ≥时, 有n n u kv ≥ (0k >)成立, 则级数∑∞
=1
n n u 发散.
例1 讨论p -级数
1
1111
1
1234
p p p p p
n n n ∞
==+++++
+
∑
的收敛性, 其中常数0p >.
解 设1p ≤. 这时n n p 1
1≥, 而调和级数∑∞=11n n
发散, 由比较审敛法知, 当1
p ≤时级数p
n n 1
1
∑
∞
=发散. 设1p >, 且1n x n -≤≤时. 有
11
11111111
d d []1(1)n n p p p p p n n x x n n x p n n ----=≤=
---⎰⎰(2,3,n =).
对于级数]1)1(1[
1
12
--∞
=--∑p p n n n , 其部分和
111111)1(1
1])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s .
因为1])1(11[lim lim 1
=+-=-∞→∞→p n n n n s . 所以级数]1)1(1[11
2--∞
=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论可知, 级数p n n
11∑∞
=当1p >时收敛.
综上所述, p -级数p n n
1
1∑∞
=当1p >时收敛, 当1p ≤时发散.
例2 证明级数∑
∞
=+1
)
1(1
n n n 是发散的. 证 因为11)1(1)1(12+=+>+n n n n ,
而级数
1
1 3121111
⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=+∑
∞
=n n n 是发散的,
根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.
定理 2.3 (比较审敛法的极限形式) 设∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 都是正项级数, 0n v ≠,
且l v u n
n
n =∞→lim
, 则
(1) 当0l ≤<+∞时, 级数∑∞=1
n n v 与∑∞
=1
n n u 同时收敛或同时发散;
(2) 当0l =时, 若级数∑∞
=1
n n v 收敛, 则级数∑∞
=1
n n u 收敛; 若∑∞
=1
n n u 发散, 则∑∞
=1
n n
v 发散.
(3) 当l =+∞时, 若级数∑∞
=1
n n v 发散, 则级数∑∞
=1
n n u 发散; 若∑∞
=1
n n u 收敛, 则∑∞
=1
n n
v 收敛.
例3 判别级数∑∞
=1
1
sin n n 的收敛性.
解 因为111sin lim
=∞→n
n n , 而级数∑∞
=11n n
发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞
=1
1
sin n n 发散.
例4 判别级数∑∞
=+
1
2
)
11ln(n n 的收敛性. 解 因为11)11ln(lim
22=+∞→n
n n , 而级数211n n ∑∞
=收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞
=+
1
2
)
11ln(n n 收敛. 定理 2.4 (比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 设∑∞
=1
n n u 为正项级数, 对任意
1n ≥, 有ρ=+∞→n
n n u u 1
lim
, 则
(1) 当01ρ≤<时, 级数∑∞
=1n n u 收敛;
(2) 当1ρ>时, 级数∑∞
=1
n n u 发散;
(3) 当1ρ=时, 级数∑∞
=1
n n u 可能收敛也可能发散.
例5 证明级数 )1( 3211 3211211111⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+
⋅++n 是收敛的. 解 因为101lim 321)1( 321lim lim 1<==⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→+∞→n
n n u u n n n n n , 根据比值审敛法可知所给
级数收敛.
例6 判别级数
10! 10321102110132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+n
n 的收敛性.
解 因为∞=+=⋅+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010
)!1(lim lim
11n n n u u n n
n n n n n ,
根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数
∑∞
∞
→⋅-n n n 2)12(1
的收敛性.
解 1)
22()12(2)12(lim lim
1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n n
n u u n n n n .
这时1ρ=, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.
因为212)12(1n n n <⋅-, 而级数211n
n ∑∞
=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.
定理 2.5 (根值审敛法, 柯西判别法) 设
∑∞
=1
n n u 是正项级数, 且
ρ=∞
→n n n u l i m , 则
(1) 当01ρ≤<时, 级数∑∞
=1n n u 收敛;
(2) 当1ρ>时, 级数∑∞
=1n n u 发散;
(3) 当1ρ=时, 级数∑∞
=1
n n u 可能收敛也可能发散.
例8 证明级数
1 3121132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++
n
n 是收敛的, 并估计以级数的部分和
n s 近似代替和s 所产生的误差.
解 因为01lim 1lim lim ===∞→∞→∞→n n u n n n n n n n , 所以根据根值审敛法可知所给级数收
敛.
以这级数的部分和n s 近似代替和s 所产生的误差为
)3(1)2(1)1(1||321⋅⋅⋅++++++=
+++n n n n n n n r )1(1)1(1)1(1321⋅⋅⋅++++++<+++n n n n n n + n n n )1(1
+=.
例9 判定级数∑∞
=-+1
2)1(2n n n
的收敛性.
解 因为
21
)1(221lim lim =-+=∞→∞→n n n n n n u ,
所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛.
定理 2.6 (极限审敛法) 设∑∞
=1n n u 为正项级数,
(1) 当lim 0(lim )n n n n nu l nu →∞→∞
=>=+∞包括时, 则级数∑∞
=1
n n u 发散; (2) 当1ρ>, 而)0( lim +∞<≤=∞
→l l u n n p
n
时, 则级数∑∞
=1
n n u 收敛. 例10 判定级数∑∞
=+
1
2
)
11ln(n n 的收敛性. 解 因为)
(1~)11ln(2
2∞→+
n n n , 故
11
lim )11ln(lim lim 22222=⋅=+=∞→∞→∞→n n n n u n n n n n ,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
例11 判定级数)cos 1(11n n n π
-+∑∞
=的收敛性.
解 因为
2222
3232
1)(211lim )cos 1(1lim
lim
πππ=⋅+=-+=∞→∞
→∞
→n n n n n n n u n n n n
n ,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
定理 2.7 (积分审敛法) 设∑∞
=1n n u 为正项级数, ()f x 是[1,)+∞上的单调递减
连续函数, 且对任意自然数1n ≥有,
()n f n u =
则级数∑∞
=1
n n u 收敛的充分必要条件是广义积分1()d f x x +∞
⎰收敛.
例12 判定级数2
1
ln n n n ∞
=∑的收敛性. 解 设1
(),[2,)ln f x x x x
=
∈+∞,
在此定义区间中, ()f x 单调递减连续, 且1
(),(2,3,)ln n f n u n n n
===, 由于2
2
1
d ln |ln |ln ln 2ln x x x x
+∞
+∞==+∞-=+∞⎰,
即广义积分21
d ln x x x +∞
⎰发散, 所以原级数21ln n n n
∞
=∑发散.
二、交错级数及其审敛法
定义 2.2 常数项级数的各项依次正负相间, 就称该级数为交错级数. 它的一般形式如下:
∑∞
=--1
1)1(n n n u , 其中0>n u .
例如,
1
)
1(1
1∑∞
=--n n n 是交错级数, 但 cos 1)1(1
1∑∞
=---n n n n π不是交错级数.
下面给出关于交错级数的一个审敛法.
定理 2.8 (莱布尼茨定理) 如果交错级数∑∞
=--11)1(n n n u 满足条件:
(1) 1n n u u +≥, (,1,2,
n =);
(2) 0lim =∞
→n n u , 则级数收敛, 且其和1s u ≤, 其余项满足1||n n r u +≤.
例13 证明级数 1
)1(1
1∑∞
=--n n n 收敛, 并估计其和及余项.
证 这是一个交错级数. 而且该级数满足
(1)1
111+=+>=n n u
n n u (,1,2,
n =), (2)0
1lim
lim ==∞→∞
→n
u n n n ,
由莱布尼茨定理, 该级数是收敛的, 且其和s
1||1+=≤+n u r n n .
三、绝对收敛与条件收敛
现在我们讨论一般的级数
121
n
n n u
u u u ∞
==++++
∑,
它的各项为任意实数.
定义 2.3 若级数1n n u ∞
=∑各项的绝对值所构成的级数∑∞
=1
||n n u 收敛, 则称级数
∑∞=1
n n u 绝对收敛; 若级数∑∞=1
n n u 收敛, 而级数∑∞=1
||n n u 发散, 则称级∑∞
=1
n n u 条件收敛.
例14 级数∑∞
=--1
21
1)
1(n n n 是绝对收敛的,
而级数∑∞
=--111)1(n n n 是条件收敛的. 定理 2.9 如果级数∑∞
=1
n n u 绝对收敛, 则级数∑∞
=1
n n u 必定收敛.
注意 如果级数∑∞
=1
||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞
=1
n n u 也发散. 但是, 如果我们
用比值法或根值法判定级数∑∞
=1
||n n u 发散, 则我们可以断定级数∑∞
=1n n u 必定发散. 这
是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞
=1
n n u 也是发散的.
例15 判别级数∑
∞
=1
2sin n n na
的收敛性. 解 因为|221|sin n n na ≤, 而级数211n n ∑∞=是收敛的, 所以级数∑∞
=1
2|sin |n n na 收敛, 从而级数∑
∞
=1
2sin n n na
绝对收敛. 例16 判别级数∑∞
=+-1
2
)11(21)1(n n n
n
n 的收敛性. 解 由2
)11(21||n n n n u +=,
有11lim(1)122
n n n e n →∞=+=>, 可知0lim ≠∞→n n u , 因此级数∑∞
=+-12
)11(21)1(n n n
n
n 发散.
§3 幂级数
【目的要求】
1、了解幂级数的基本概念；收敛域的定义；
2、理解 Abel 定理、会求（缺项与不缺项）幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域．
【重点难点】
缺项与不缺项幂级数收敛半径的求法． 【教学内容】
一、函数项级数的概念
前面讨论的是数项级数, 它的每一项都是常数, 当级数的通项是在某一区间
I 上的函数时, 就称为函数项级数, 即
1
2
1
()()()()n
n n u x u x u x u x ∞
==++
++
∑
其中()n u x , 1,2,
n =是定义在区间I 上的函数.
定义 3.1 对于区间I 内的一定点0x , 若常数项级数∑∞
=1
0)(n n x u 收敛, 则称点
0x 是函数项级数∑∞
=1
)(n n x u 的收敛点; 若常数项级数∑∞
=1
0)(n n x u 发散, 则称点0x 是级
数∑∞
=1
)(n n x u 的发散点. 函数项级数∑∞
=1
)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域,
所有发散点的全体称为它的发散域.
定义 3.2 在函数项级数∑∞
=1)(n n x u 的收敛域上, 其和是关于x 的函数()s x ,
把()s x 称为函数项级数∑∞
=1
)(n n x u 的和函数, 并写成1
()()n n s x u x ∞
==∑.
定义 3.3 把函数项级数∑∞
=1
)(n n x u 的前n 项的部分和记作()n s x , 即
12()()()()n n s x u x u x u x =+++.
在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞
→. 函数项级数∑∞
=1)(n n x u 的和函数()s x 与部分和()n s x 的差()()()n n r x s x s x =-叫做函数项级数∑∞
=1
)(n n x u 的余项. 在函数项级数∑∞
=1
)(n n x u 的
收敛域上有0)(lim =∞→x r n n . 例如, 幂级数1
211n n n x
x x x ∞
-==+++++
∑可以看成是公比为x 的几何级数.
当||1x <时, 该级数是收敛的; 当||1x ≥时, 该级数是发散的. 因此, 该级数的收敛域为(1,1)-, 在收敛域内有和函数
11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x
.
二、幂级数及其收敛域
我们不讨论一般的函数项级数, 而是就()n u x 为0()n n a x x -的情形, 即下面要定义的幂级数来展开讨论. 幂级数在函数逼近理论及数值计算中有广泛的应用. 定义 3.4 形如
0100
1
()()
()
n n
n n n a x x
a a x x a x x
∞
=-=+-++-+∑ (1)
的级数称为0()x x -的幂级数, 其中0x R ∈为常数, 012,,,,,
n a a a a 均为实常数,
称为幂级数的系数.
注意 当00x =时, 幂级数的一般形式(1)就称为
011
()
n
n n
n n a x x a a x a x ∞
=-=++
++
∑, (2)
式(2)称为x 的幂级数. 因为只要令0t x x =-, 就可把式(1)化为式(2), 所以不失一般性, 我们讨论幂级数(2)的收敛性问题.
定理 3.1 (阿贝尔定理) 若幂级数∑∞
=0n n n x a 在0(0)x x =≠处收敛, 则对满足
不等式0||||x x <的任何x , 该幂级数绝对收敛. 反之, 若幂级数∑∞
=0
n n n x a 在0x x =处
发散, 则对满足不等式0||||x x >的任何x , 该幂级数发散.
定理 3.1 告诉我们, 如果幂级数在0x x =处收敛, 则它在开区间00(||,||)x x -内都收敛, 且绝对收敛; 如果幂级数在0x x =处发散, 则它在区间0(,||)x -∞-和
0(||,)x +∞上都发散. 这表明, 幂级数在收敛域中除了零点外, 还有非零的收敛点
时,发散点不可能处在零点和非零收敛点之间. 也就是说, 幂级数的收敛域一定是个包含0x =的连续区间, 且除了端点之外, 这个区间是关于原点对称的. 从而, 我们得到如下重要的推论: 推论 如果幂级数
∑∞
=0
n n n x a 不是仅在点0x =一点收敛, 也不是在(,)
-∞+∞上都收敛, 则必存在一个完全确定的正数R , 使得 (1) 当||x R <时, 幂级数绝对收敛; (2) 当||x R >时, 幂级数发散;
(3) 当||x R =时, 幂级数可能收敛, 也可能发散. 正数R 通常叫做幂级数
∑∞
=0
n n n x a 的收敛半径. 开区间(,)R R -叫做幂级数
∑∞
=0
n n n x a 的收敛区间. 再由幂级数在x R =±处的敛散性就可以决定它的收敛域.
幂级数∑∞
=0
n n n x a 的收敛域为(,)R R -, [,)R R -, (,]R R -, [,]R R -四种形式之一.
注意 若幂级数∑∞
=0
n n n x a 仅在0x =处收敛, 此时收敛域中只有一点0x =, 规
定此时幂级数的收敛半径0R =, 若幂级数∑∞
=0
n n n x a 对一切x 都收敛, 则规定收敛
半径R =+∞, 收敛域为(,)-∞+∞.
关于幂级数收敛半径的求法, 有如下定理:
定理 3.2 如果幂级数0
(0)n
n n n a x a ∞
=≠∑相邻两项的系数满足
ρ=+∞
→||
lim 1
n
n n a a , 则该幂级数的收敛半径
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 1
0 R .
证 考察幂级数的各项绝对值所构成的级数
0||n
n n a x ∞
=∑, 因为 || ||||lim ||lim 1
11x x a a x a x a n n n n
n n n n ρ=⋅=+∞→++∞→. 所以由正项级数比值审敛法, 可知
(1) 若0ρ<<+∞, 则当||1x ρ<时, 幂级数∑∞
=0
n n n x a 绝对收敛; 当||1x ρ>时,
幂级数∑∞
=0
n n
n x a 发散, 所以幂级数∑∞
=0
n n n x a 的收敛半径ρ1
=
R .
(2) 若0ρ=, 则对任何0x ≠, 有||01x ρ=<,幂级数∑∞
=0
n n n x a 在(,)-∞+∞绝对
收敛, 所以幂级数∑∞
=0
n n n x a 的收敛半径R =+∞.
(3) 若ρ=+∞, 则对除0x =外的其它一切x , ||1x ρ=+∞>,幂级数∑∞
=0
n n
n x a 都发散,所以幂级数∑∞
=0
n n n x a 的收敛半径0R =.
例1 求幂级数
)1( 32)1(1321
1⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞
=-∑n x x x x n x n n n n
n 的收敛半径与收敛域.
解 因为1111
lim ||lim 1=+==∞→+∞→n
n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为11
==ρ
R .
当1x =时, 幂级数成为∑∞
=--1
11
)1(n n n , 是收敛的;
当1x =-时, 幂级数成为∑∞
=-1)1
(n n , 是发散的.
因此, 该幂级数的收敛域为(1,1]-. 例2 求幂级数23011111!
2!3!!
n n
n x x x x x n n ∞
==++++
+
+∑
的收敛域.
解 因为11
!(1)!
lim || lim lim 01(1)!
!n n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+,
所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(,)-∞+∞. 例3 求幂级数0!n
n n x ∞
=∑的收敛半径.
解 因为1(1)!
lim || lim !
n n n n a n a n ρ+→∞
→∞+===+∞, 所以收敛半径为0R =, 即级数
仅在0x =处收敛.
例4 求幂级数22
0(2)!(!)
n
n n x n ∞
=∑的收敛半径. 解 由于该级数缺少奇次幂的项, 定理3.2 不适用. 我们可直接根据比值审敛法来求收敛半径:
幂级数的一般项记为22
(2)!()(!)n n n u x x n =
. 且21()
lim 4||()
n n n u x x u x +→∞=, 于是当24||1x <即21||
||>x 时, 原级数发散, 所
以收敛半径为21
=R .
例5 求幂级数∑∞
=-12)1(n n n
n
x 的收敛域.
高中数列与高等数学的关系
高中数列与高等数学的关系 高中数学中的数列内容与高等数学学习的内容联系密切，大学数学中的极限、级数与数列内容联系紧密，所以数列的学习是高中学习与大学学习的桥梁，对学生进入高等院校的学习至关重要，起到一个良好的铺垫作用。学习好数列是使学生进一步深造和继续学习的基础。 4.1 数列与极限 1、数列典例回顾 数列的例子： 例1、11111:,,,, (3392781) n n y = 例2、4:4,8,12,16,20,24,...n y n = 例3、11231:0,,,234 n y n =- 这三个例子都是：随着n 逐渐增大，()f n 有着变化趋势。 2、数列的极限 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。 数列的极限的定义： 设{}n a 为数列, a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a ,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a →∞ =或()n a a n →→∞。 (读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a )。由于n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a →∞ =或()n a a n →→∞.
1、函数的极限：如果对于给定的正数ε，总存在一个正数M ，使得当一切x M >时， ()f x A ε-<恒成立，则称当x 趋于无穷大时，函数()f x 以常数A 为极限。 例1、 设数列}{}{,n n a b 满足1,1,2,3,...,n n n b a a n -=-=如果010,1,a a ==且}{n b 是公 比是公比为2的等比数列，又123...n n s a a a a =++++，则lim n n s a 的值（ ） A 、0 B 、-1 C 、1 D 、2 解：112,1,2,3,...,n n n n b a a n n --=-==式子累加得： 1112...221,22n n n n n a s n -+=+++=-∴=-- 1222222lim lim lim 222112 n n n n n n n s n n +----∴===--，所以选D 4.2 数列与级数 级数是大学数学的重要内容，在大一的数学学习中占有重要的地位和作用。数列是级数学习的基础，下面引入级数的定义，以及引入例题对数列与级数的关系进行概括。 1、常数项级数 如果给定一个数列 1u ,2u ,3u , …,n u ,…,则表达式 1u +2u +3u +…+n u +… 叫(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为∑∞ =1n n u 即 ∑∞=1n n u =1u +2u +3u +…+n u +… 其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2.级数的部分和： 前n 项的和)2(121∑==+++=n i i n n u u u u s Λ 部分和数列{n s }:11u s = 12u s =+2u 1u s n =+2u +3u +…+n u
常数项数的概念和性质
1．写出下列级数的一般项： ⑴ 13572468 ++++； 【解】分析级数各项的表达规律： 分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为21 2n n u n -=，1,2,3,....n =。 ⑵ 1111112349827 ++++++； 【解法一】分析级数各项的表达规律： 分子不变恒为1， 分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即12 2n +，偶数项为3 的乘幂，幂指数为项数的一半，即2 3n ， 于是有12 22, 21 3, 2n n n n k u n k +?=-?=??=? ，k J ∈，1,2,3,....n =。 也可为1 221(1)1(1)2322 n n n n n u +--+-= ?+?，1,2,3,....n =。 【解法二】分析级数各项的表达规律： 分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个 级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成， 若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有 111 23 u = +， 21149u =+221123=+， 311827u =+331123=+， ...... 于是得11 23n n n u = +，1,2,3,....n =。 ⑶3456 22345 -+-+-。 【解】分析数列各项的表达规律：
各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1(1)n +-， 从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n 于是得1 1 (1) n n n u n ++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1) 21 u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律， 从而得 11(1)n n n u n ++=-，1,2,3,....n =。 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴ 1 1 (21)(21)n n n ∞ =-+∑； 【解】级数前n 项和为 11(21)(21)n n i S i i ==-+∑1111()221 21n n i i ==--+∑1111 ()22121n n i i ==--+∑ 11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+11 (1)221 n =-+， 由于lim n n S →∞11 lim (1)221 n n →∞=- +12=，知级数收敛，收敛于12。 ⑵ 1 1 1n n n ∞ =++∑ ； 【解】级数前n 项和为 1 11n n i S i i ==++∑ 2211(1)()n i i i i i =+-=+-∑ 1 (1)n i i i ==+-∑ (1)()(123)2n n =-+-+ ++-11n =+-， 由于lim n n S →∞ lim(11)n n →∞ =+-=∞，知级数发散。 ⑶ 1 1 ln n n n ∞ =+∑； 【解】级数前n 项和为 11ln n n i i S i =+=∑1 [ln(1)ln ]n i i i ==+-∑ ln 2ln 2ln3ln (ln1)()[ln(1)]n n =-+-+ ++-ln(1)ln1n =+-ln(1)n =+，
常数项级数的概念和性质
§1 常数项级数的概念和性质 【目的要求】 1、能区分无穷项相加与有限项相加的区别； 2、了解无穷级数部分和与级数收敛及发散的关系、和的定义； 3、掌握用部分和的极限、收敛级数的必要条件来判别级数的敛散性． 【重点难点】 数项级数的概念与性质． 【教学内容】 一、常数项级数的概念 定义1.1 给定一个无穷实数列{}n u ： 12,, ,, n u u u 则由这数列构成的表达式 12n u u u ++ ++ 叫做常数项无穷级数, 简称常数项级数, 记为∑∞ =1 n n u , 即 1231 n n n u u u u u ∞ ==+++++ ∑, 其中第n 项n u 叫做级数的一般项(或通项). 级数∑∞ =1n n u 的前n 项和 1231 n n i n i s u u u u u ===+++ +∑ 称为级数∑∞ =1 n n u 的前n 项部分和. 部分和构成的数列 12{}:,,, n n s s s s 称为部分和数列.
定义 1.2 如果级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列}{n s 收敛, 即 s s n n =∞ →lim , (s 为一实数) 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 收敛, 并称s 为级数∑∞ =1 n n u 的和, 并写成 1231 n n n s u u u u u ∞ ===+++ ++∑; 如果}{n s 发散, 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 发散. 级数的收敛和发散统称为敛散性. 当级数∑∞ =1 n n u 收敛时, 其部分和n s 是级数∑∞ =1 n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差 n n r s s =- 称为级数∑∞ =1 n n u 的余项. n s 和s 之间的误差可由||n r 去衡量, 由于s s n n =∞ →lim , 所以lim ||0n n r →∞ = 例1 讨论等比级数(几何级数) 20 n n n aq a aq aq aq ∞ ==+++++ ∑, (0a ≠) 的敛散性. 解 如果1q ≠, 则部分和 2 1 111n n n n a aq a aq s a aq aq aq q q q --=+++ +==----. 当||1q <时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞ =0 收敛, 其和为q a -1. 当||1q >时, 因为lim n n s →∞ 不存在, 所以此时级数n n aq ∑∞ =0 发散. 如果||1q =, 则当1q =时, 因为lim n n s →∞ 不存在, 因此此时级数n n aq ∑∞ =0 发散;
齐民友高数下册上课第13章01常数项级数概念及性质(1)
- 269 - 第13章 无穷级数 这章基本上不需要上册的知识。想及格吗？绝不能放过这一章！ 凡是以后要经常用的例子，我们提醒“记住”。 第1节 常数项级数的概念与性质 1.1 基本概念 定义1.1 给定一个数列{}n u ，用“+”号形式地连起来构成的表达式 121 n n n u u u u ¥ ==++++å L L (1.1) 称为常数项无穷级数，简称级数，其中每个12,,u u L 都称为级数(1.1)的一项，n u 称为级数(1.1)的通项（一般项）． 级数（1.1）只能是形式的，因为我们不懂无穷个数相加；其中¥是指+?，因为n 不会往-?跑。 作级数(1.1)的前n 项之和 12n n s u u u =+++L ， (1.2) 称n s 为级数(1.1)的部分和()1,2,3,n =L ．它们构成一个新数列{}n s ，称为级数(1.1)的部分和数列． 定义1.2 设{}n s 是级数（1.1）的部分和数列。 1.1 lim 1.1 1.1n n s s s ìïïí =ïïî 不存在，（）；存在散收和，（），是（）的，即则称级数则称级数级数发敛 123n s u u u u =+++++L L 1 n n u ¥ == å ． 题目：给定了级数（1.1），（1）断定级数（1.1）是收敛的还是发散的——
高 等 数 学 - 270 - 称为审敛；（2）求级数（1.1）的和——称为求和。 解法：（i ）求级数（1.1）的部分和数列{}n s ；（ii ）如果{}n s 发散，则级数（1.1）发散，如果{}n s 收敛，则级数（1.1）收敛，级数（1.1）的和lim n n s s =。 “敛散性”=“收敛性”=“是收敛的还是发散的”． 设级数111(1)1(1)1(1)(1)n n n ¥ --=-=+-++-++-+åL L 的部分和n s ，因 n 为奇数时1n s =，n 为偶数时0n s =，故n s 不存在极限，级数11 (1)n n ¥ -=-å发 散． 思考题: 1.怎样讨论级数的收敛性? 2.数项级数与数列之间有怎样的关系?
级数的概念及其性质
级数的概念及其性质 我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。 无穷级数的概念 设已给数列a1,a2,…,a n,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+a n+…称为无穷 级数，简称级数.记作：或，即：=a1+a2+…+a n+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，a n称为级数的通项. 取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，S n=a1+a2+…+a n，… 这个数列的通项S n=a1+a2+…+a n称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。 如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。 例题：证明级数：的和是1. 证明： 当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1. 级数的性质 1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项a n当n→∞时趋于零，即： 注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。 例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。 此级数为调和级数，在此我们不加以证明。 2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。
3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。 4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。 注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。 5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。 正项级数的收敛问题 对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。 我们先来考虑正项级数(即每一项a n≥0的级数）的收敛问题。 判定正项级数敛散性的基本定理 定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和S n上有界.如果S n上无界，级数发散于正无穷大。 例如：p级数：，当p>1时收敛，当p≤1时发散。 注意：在此我们不作证明。 正项级数的审敛准则 准则一：设有两个正项级数及，而且a n≤b n(n=1,2,…）.如果收敛，那末也收敛；如果发散，那末也发散. 例如：级数是收敛的，因为当n>1时，有≤，而等比级数是收敛的 准则二：设有两个正项级数与，如果那末这两个级数或者同时收敛，或者同时发散。 关于此准则的补充问题 如果，那末当收敛时，也收敛；如果，那末当发散时，也发散. 例如：是收敛的.因为，而是收敛的.
第16讲 数学：无穷级数(一)(2010新版)
第四节 无穷级数 一、数项级数 （一）常数项级数的概念和性质 1 ．常数项级数的概念 数列 u n （ n = 1 , 2 , …）的各项依次相加的表达式1n n u ∞ =∑称为无穷级数，第n 项u n 称为级数的一般项或 通项，前n 项之和 S n =1 n i i u =∑称为级数1 n n u ∞=∑的部分和。若 lim n n s →∞ = S 存在．则称级数1 n n u ∞ =∑收敛，并称级数 1 n n u ∞ =∑的和为S ; 若lim n n s →∞ 不存在，则称级数1n n u ∞=∑发散 。 当级数1n n u ∞=∑收敛时， r n =1 i i n u ∞ =+∑称为级数的余 项，有lim n n r →∞ = 0 。 2 ．常数项级数的性质 （ 1 ）若1n n u ∞ =∑ = S,则1n n ku ∞ =∑= k 1 n n u ∞ =∑=ks （ k 为常数)； （ 2 ）若1 n n u ∞ =∑=S ，则1 n ∞ =∑v n =T, 则 1 n ∞ =∑ （u n ±v n ) =1 n n u ∞ =∑± 1 n ∞ =∑ v n =S ± T; （ 3 ）收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和； （ 4 ）在级数中改变有限项，不影响其收敛性； （ 5 ）若级数1 n n u ∞ =∑收敛，则lim n n u →∞ ＝ 0；反之，不一定成立。 3 ．典型级数 （ l ）几何级数1n ∞ =∑aq n-1，当q < 1 时，收敛于 1a q -，当q ≥ 1 时，级数发散； （ 2 ） p-级数1 n ∞ =∑ 1 p n （p > 0 ) ，当p > 1 时，级数收敛，当0＜p ≤1 时，级数发散.
数项级数的概念与基本性质
8.1数项级数的概念与基本性质 教学目的 理解级数的概念和基本性质 教学重点 级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数 教学难点 有穷项相加与无穷项相加的差异 教学过程 1.导入 以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课 2.1常数项级数的概念 定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞ == ++++1 21n n n a a a a （8.1.1） 的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数 ∑∞ =1 n n a 的通项（或一般项）． 如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数. 例如， 等差数列各项的和 +-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数． 等比数列各项的和 +++++-1 12 111n q a q a q a a 称为等比级数，也称为几何级数． 级数 1 1n n ∞ =∑ =111123n +++++ 称为调和级数． 级数（8.1.1）的前n 项和为： 121 n n k k k S a a a a ===+++∑ ，
称n S 为级数 ∑∞ =1 n n a 的前n 项部分和，简称部分和． 2.2常数项级数收敛与发散 定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在， 即 S S n n =∞ →lim (常数) 则称极限S 为无穷级数 ∑∞ =1n n a 的和．记作 ++++==∑∞ =n n n a a a a S 211 此时称级数 ∑∞ =1 n n a 收敛；如果数列}{n S 没有极限，则称级数 ∑∞ =1 n n a 发散，这时级数没有和． 显然，当级数收敛时，其部分和n S 是级数和S 的近似值，它们之间的差 ++=-=++21n n n n a a S S r 叫做级数的余项．用近似值n S 代替S 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为||n r ． 例１ 讨论几何级数 +++++=∑∞ =-n n n aq aq aq a aq 21 1 的敛散性，其中0≠a ，q 是公比． 结论：几何级数 ∑∞ =-1 1 n n aq ，当1|| 第七章 级数 7.1 常数项级数的概念与性质 7.1.1 常数项级数的概念 常数项级数： 一般的，设给定数列 12,,,,n a a a 则该数列所有项相加所得的表达式 12n a a a ++++ 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数； 其中第n 项n a 叫做级数的一般项或通项。 级数简记为： 1 n n a ∞ =∑，即 121 n n n a a a a ∞ ==++++∑ 部分和： 作（常数项）级数12 n a a a ++++ 的前n 项的和121 n n n i i S a a a a ==+++=∑ ， n S 称为级数（1）的前n 项部分和。 当n 依次取1，2，3，… 时，它们构成一个新的数列{}n S ，称为部分和数列。 级数收敛与发散： 如果级数 1 n n a ∞ =∑的部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞ =（有限值），则称无穷级数 1 n n a ∞ =∑收敛，极限S 叫做该级数的和，并写成12n S a a a =++++ 。 如果{}n S 没有极限（lim n n S →∞ 不存在或为±∞），则称无穷级数 1 n n a ∞ =∑发散。 常用级数： （1）等比级数（几何级数）： n n q ∞ =∑ 1 11q q - 当时收敛于 1q ≥当发散 （2）p 级数: 11p n n ∞ =∑ 11p p ≤ 当时收敛当时发散 级数的基本性质： 性质1： 若级数 1n n a ∞ =∑收敛于和S ，则级数 1 n n Ca ∞ =∑（C 是常数）也收敛，且其和为CS 。 性质2： 若级数 1 n n a ∞ =∑和级数 1 n n b ∞ =∑分别收敛于和S 、σ，则级数 ()1 n n n a b ∞ =±∑也收敛，且其和为 S σ±。 注意：如果级数 1n n a ∞ =∑和 1 n n b ∞ =∑都发散，则级数 ()1n n n a b ∞ =±∑可能收敛也可能发散；而如果两个级数 1 n n a ∞ =∑和 1 n n b ∞ =∑中有且只有一个收敛，则 ()1 n n n a b ∞ =±∑一定发散。 性质3： 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。 性质4： 若级数 1 n n a ∞ =∑收敛，则对该级数的项任意加括号后所构成的新的级数 1121111()()()n n k k k k k a a a a a a -++++++++++++ 仍收敛，且其和不变。 注意：该性质的逆命题不成立。即，若一个级数加括号后的新级数收敛，则不能推出原级数收敛。 推论1： 若加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。 性质5： 若级数 1 n n a ∞ =∑收敛，则 lim 0n n a →∞ =。 注意：lim 0n n a →∞ =仅仅是级数1 n n a ∞ =∑收敛的必要条件，而非充分条件。 第十一章 无穷级数 § 11.1 常数项级数 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数123,,,,, n u u u u 依次相加所得到的表达式1231 n n n u u u u u ∞ ==+++ ++ ∑称为数项级数（简称级数）。 1 n n k k S u ===∑123n u u u u +++ + （1,2,3, n =）称为级数的前n 项 的部分和，{}(1,2,3,)n S n =称为部分和数列。 1 1 lim (),,n n n n n n S S u S u S ∞ ∞ →∞ ====∑∑若存在则称级数是收敛的,且其和为记以 lim n n S →∞ 若不存在，则称级数1 n n u ∞ =∑是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （ 1） 如 果 1 1 1 1 1 ,()n n n n n n n n n n n u v a b au bv a u b v ∞ ∞∞ ∞ ∞ =====++∑∑∑∑∑和皆收敛,为常数,则收敛,且等于 （2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数1 n n u ∞ =∑收敛的必要条件是lim 0n n u →∞ = （注：引言中提到的级数11 (1),n n ∞ +=-∑具有lim n →∞ () 1 1n +-不存在，因此收敛 级数的必要条件不满足，1 n ∞ =∑ () 1 1n +-发散。调和级数1 n ∞ =∑ 1 n 满足lim n →∞10,n =但1 n ∞ =∑1 n 却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件lim n →∞0n u =，而1 n ∞ =∑n u 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数）：0 n n ar ∞ =∑ ()0a ≠ 当1r <时，0n n ar ∞ =∑1a r =-收敛；当1r ≥时，0 n n ar ∞ =∑发散 （2）p--级数：11p n n ∞ =∑ 当p>1时，11p n n ∞=∑收敛， 当p ≤1时11 p n n ∞=∑发散 （注：p>1时，11 p n n ∞ =∑ 的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知1 n ∞ =∑ 2 216 n π=） 二、正项级数敛散性的判别法 () 01,2,3,n u n ≥=若则 1 n n u ∞ =∑称为正项级数，这时 (){}11,2,3, n n n S S n S +≥=所以是单调 加数列，它是否收敛就只取决于n S 是否有上界，因此1 n ∞=∑n n u S ⇔收敛 第十一章无穷级数 教学内容目录： §1—§8 本章主要内容： 常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数,P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。 幂级数：幂级数概念,阿贝尔(Abel)定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算,和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、 e x cos sin ln（1+x）、（1+x）m等）的幂级数展开式,幂级数在近似计算中的应用举例，“欧、x 、 x 拉（Euler）公式。 函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数. 教学目的与要求： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法,掌握正项级数的比值审敛法。 4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。 5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念. 7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。 8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10、掌握应用e x，sinx，cox,en(1+x）和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。 11、了解函数展开为傅里叶（Fourier)级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π，π)上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在(—π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。 级数理论及其在初等数学中的应用 级数理论是大学数学分析这门课程中的一部分，也是在许多相关数学分支与自然科学领域和生产实际中有着十分重要应用的基础知识。如果能将级数知识的各部分内容有机的整合，领会知识的背景和作用，不仅能延伸到后续的其他内容或课程中，提高数学思维能力和数学方法的应用能力，还能从更深处解决初等数学中的部分问题。 1 级数理论部分 1.1 级数的基本概念 定义1（级数定义） 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式 ++++n u u u 21 （1） 称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为∑∞ =1n n u ，其中n u 称为数项（1）的通 项． 数项级数（1）的前n 项之和，记为∑==n k k n u S 1，称之为（1）的前n 项部分和， 简称为部分和． 定义2 （级数收敛、发散定义） 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即 S S n n =∞ →lim ），则称级数（1）收敛，并称S 为（1）的和，记为∑∞ ==1 n n u S ．若{} n S 是发散数列，则称级数（1）发散． 1.2 级数理论的知识体系 级数理论包括常数项级数和函数项级数两大部分知识. 1.2.1常数项级数 包括：概念、性质、收敛性判别法、绝对收敛与条件收敛。其中在收敛性判别法中，根据常数项级数的不同类型又有相应的不同的判别方法。详见附录1《常数项级数收敛性判别法》。 1.2.2 函数项级数. 包括：概念、收敛域、一致收敛、幂级数、傅里叶级数。下面重点谈一下幂级数及其收敛域。因为基本初等函数在一定范围内都可展成幂级数，幂级数有许多方便的运算性质，在研究初等函数方面成为一个很有力的工具。利用幂级数的展开式来表示函数，利用幂级数和函数. 的分析性质等，常常能解决许多初等数学中的疑难问题。 数项级数的概念与基本性质 8.1 数项级数的概念与基本性质 教学目的：理解级数的概念和基本性质。 教学重点：级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数。 教学难点：有限项相加与无穷项相加的差异。 教学过程： 1.导入 我们以前研究的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要。在许多技术问题中，常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数。无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具。无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础。 2.讲授新课 2.1 常数项级数的概念 定义8.1：设给定数列{an}，我们把形如 a1+a2+。+an+。=∑an (n=1,2.) 的式子称为一个无穷级数，简称级数。其中第n项an称 为级数∑an的通项（或一般项）。如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数。 例如，等差数列各项的和a1+(a1+d)+(a1+2d)+。+[a1+(n-1)d]+。称为算术级数。等比数列各项的和XXX.称为等比级数，也称为几何级数。级数2n-1+。+1111+。=∑(2n-1)/(3n) (n=1,2.)称为调和级数。 级数(8.1.1)的前nXXX： XXX，k=1,2.n 称Sn为级数∑an的前n项部分和，简称部分和。 2.2 常数项级数收敛与发散 定义8.2：若级数(8.1.1)的部分和数列{Sn}的极限存在，即 limSn=S (常数) n→∞ 则称极限S为无穷级数∑an的和。记作 S=∑an=a1+a2+。+an+。 此时称级数∑an收敛；如果数列{Sn}没有极限，则称级数∑XXX发散，这时级数没有和。显然，当级数收敛时，其部分和Sn是级数和S的近似值，它们之间的差rn=S- Sn=an+1+an+2+。叫做级数的余项。用近似值Sn代替S所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为|rn|。 例1：讨论几何级数∑aq^(n-1)=a+aq+aq^2+。+aq^n+。的敛散性，其中a≠0，q是公比。 正项级数是指所有项都是非负实数的级数，即对于所有的n，有un≥0. 2.2正项级数的性质 正项级数有以下性质： 第一节 常数项级数的概念与性质 一、选择题 1. 记S n = ∑=n i i u 1 , 则S S n n =∞ →lim 存在是级数 ∑∞ =1 n n u 收敛的 ( ) A . 充要条件; B . 充分条件; C . 必要条件; D . 既非充分又非必要条件. 2. 若级数∑∞ =1n n u 收敛, 则下列级数中不收敛的是 ( ) A . ∑∞ =1 2n n u ; B . ∑∞ =+1)2(n n u ; C . 2 + ∑∞ =1 n n u ; D . ∑∞ =k n n u . 3. 0lim =∞ →n n a 是无穷级数 ∑∞ =1 n n a 收敛的 ( ) A . 充分而非必要条件; B . 必要而非充分条件;C . 充分必要条件; D . 既非充分也非必要条件. 4. 设a 是非零常数, 则当|q |<1时, 级数∑∞ =-0 ) 1(n n n aq 收敛于 ( ) A . q -11 ; B . q +11; C . q a +1 ; D . q a -1. 5. 设S n = a 1 + a 2 + … + a n , 而无穷级数∑∞ =1 n n a 收敛, 则下列说法正确的是 ( ) A . 0lim =∞ →n n S ; B . n n S ∞ →lim 存在; C . n n S ∞ →lim 可能不存在; D . {S n }为单调数列. 二、填空题 1. 设常数项级数∑∞ ==1,2002n n a 则=∞ →n n a lim . 2. 已知无穷级数 ∑∞=1 ! n n n n 收敛, 则n n n n !lim +∞ →=__________ . 3. 若a u n n =∞ →lim , 则级数 ∑∞ =+-1 1)(n n n u u = . 三、解答题 1. 判断下列级数的敛散性. (1) ∑ ∞ =++111n n n ; (2) +-++-+-n n n 9 8)1(9898983322; (3) ∑∞=+ 1 )312 1 (n n n ; (4) ∑∞ =++-+1 )122( n n n n . 2. 已知级数∑ ∞ =1 n n u 的前n 项和1 2+= n n S n , 写出此级数, 并求和. 四、证明题 已知 ∑∞ =1 n n na 和 ∑∞ =--1 1)(n n n a a n 均收敛, 证明 ∑∞ =1 n n a 收敛. “常数项级数的概念和性质”教学设计 作者：关文吉 来源：《学习周报·教与学》2020年第22期 摘要：介绍了“常数项级数的概念和性质”教学过程，帮助学生更好地理解常数项级数的概念和性质，为后续课程的学习打下坚实基础。 关键词：无穷级数;常数项级数;教学设计 一、教材分析 高等数学是理工科各专业的重要基础理论课。通过该课程的学习，学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为今后学习各类后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要努力培养学生进行抽象思维和逻辑推理的思维能力、综合运用所学知识分析问题解决问题的能力和较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力。无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的最有力的工具，同时也是后续数学课程的理论基础，因而在实际问题和理论研究中有着广泛的应用. 二、教学目标 （一）知识与技能目标 1.使学生深刻理解常数项级数敛散性的概念，会用定义判别一些级数的敛散性，熟知等比级数及其敛散性的条件。 2.使学生熟练掌握级数的基本性质。 （二）过程与方法目标 1.培养学生的观察、比较、类比、分析、总结和抽象概括的能力和数学思维方法，使学生掌握常数项级数的概念与性质。 2.提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。 （三）情感与态度目标 1.通过解决圆的面积这个实际问题，激发学生的求知欲，进而激发学生的学习兴趣，提高学生的学习热情。 2.培养学生自主学习的能力，提高学生的创新意识和勇于探索的精神。 三、教学重点、难点 （一）教学重点：常数项级数的概念及性质。 （二）教学难点：用常数项级数的定义法求级数的和。 四、学情分析 常数项级数是无穷级数的一个重要组成部分，它的判敛在实际问题中有广泛的应用。学生已经学习了数列求和及数列求极限的方法，学会了运用有限去探求无限的方法，已经具备了进行“翻转课堂教学法”的知识储备和分析抽象的思维能力。 五、教学方法和手段 （一）教学方法：翻转课堂教学法 （二）教学手段：教学视频、导学案 六、教学设计思路 （一）课前—学生依导学案自学 教师设计问题型导学案，使学生带着问题进行学习，解决导学案中的问题。 （二）课中—学生展示师生交流 分配任务。将导学案中的问题分配给各个小组。 交流讨论。进行小组交流讨论，每个小组交流各自所分配的导学案问题，达成共识。 教师点评。教师进行点评、总结、提炼、升华。 效果检测。让学生当堂完成检测题目，检测是否掌握所学内容。 （三）课后—学生总结巩固提升 经过课前、课中学生自学、师生探讨，学生熟练掌握常数项级数的概念及性质。会用无穷级数敛散性的定义来求级数的和，会用无穷级数的性质来判断级数的敛散性。 参考答案与提示 第11章 无穷级数 §11.1 常数项级数的概念与性质 1.(1) ⋅⋅⋅++ + + 7 5 3 !71 !51 !31 x x x x (2) ⋅⋅⋅+-+-4 32413121x x x x 2(1) n 2 1 (2) n n 1)1(1-- 3(1)发散 (2) 收敛 4(1)收敛 (2)发散 (3) 收敛 §11.2 正项级数及其审敛法 1.(1) 1 5. 26, )4)(3 12 1( 1 1 -<<-+- ∑∞ =++x x n n n n 6. ∑∞ =++- ++-0 21 2])! 2() 3(3 )! 12() 3([ )1(2 1 n n n n n x n x π π ,+∞<<∞-x 总习题十一 1.(1) ) 1(2+n n ,收敛,2 (2)3- (3)DFI (4)8 (5)2 (6) e 2 2(1)A (2)C (3)C (4)B (5)C 3(1)发散 (2)收敛 (3)收敛 (4) 发散 (5)时且10≠>a a ,级数收敛;时1=a ，级数发散. (6)当0< a <1时级数收敛; 当a >1时级数发散; 当a =1时，s > 1级数收敛，0< s ≤1级数发散. 4(1)绝对收敛 (2)条件收敛 (3)条件收敛 (4)发散 (5)时1>a ,级数绝对收敛；时1=a ，级数条件收敛； 当0< a <1时级数发散. (6)条件收敛 5(1)]21 ,21[- (2))2 1,21(- 6(1) )1ln(122 2 2x x x +++, )1,1(-∈x (2) 3 ) 1(2x x -, )1,1(-∈x 7. 2ln 4 385- 8(1) ∑∞ =-+ 1 2)! 2(2) 2() 1(1n n n n x , +∞<<∞-x (2)⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅-+ - ++1 2) 1(5 13 14 1 253 n x x x x n n π , 11<<-x (3)∑ ∞ =---1 1 1 2)1(n n n n x n , 2 12 1≤<- x 9(1) 53,) 1() 1(4 1) 1(4ln 01 1 ≤<--+-+ ∑∞ =++x x n n n n n (2) 31, )1)(2 12 1( )1(0 3 22 <<--- -∑∞ =++x x n n n n n 10.提示：利用不等式)1(2 102 2 2 λ λ ++ ≤ +≤ n a n a n n 11.提示：利用不等式n n n n a c a b -≤-≤0高数知识汇总之级数
大学数学微积分第十一章 无穷级数常数项级数知识点总结
(完整版)级数的概念与性质
级数理论及其在初等数学中的应用正文
数项级数的概念与基本性质
第一节 常数项级数的概念与性质
“常数项级数的概念和性质”教学设计
《高数B》同步练习册(下)答案(第11章及后)
p ,1≤p 2(1)发散 (2)收敛 (3)收敛 (4)收敛 (5)发散 3(1)收敛 (2)收敛 (3)收敛 4(1)发散 (2)收敛 (3)收敛 §11.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 1.(1)条件收敛 (2)绝对收敛 (3)绝对收敛 (4)条件收敛 (5)条件收敛 §11.4 泰勒级数与幂级数 1.(1)A (2)C (3)D (4)A 2(1)),(+∞-∞ (2))3,3[- (3))0,2[- (4)]1,1[- 3(1))1,1(,)1(22 2 -∈-x x x (2))1,1(,11ln 4 1arctan 2 1-∈--++ x x x x x 4(1) ∑∞ =+++-01 21 22 )!12() 1(n n n n n x ,+∞<<∞-x (2) ∑ ∞ =++0 1 2)! 12(n n n x ,+∞<<∞-x (3) ∑∞ =--+ 2 )1() 1(n n n n n x x ,11≤<-x (4) ∑∞ =+-0 )1()1(n n n x n ,11<<-x