相似三角形与一次函数及动点问题

初中数学梦立方教育，圆你人生梦

1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,2B ，且与x 轴的正半轴相交

于点A ，点P 、点Q 在线段AB 上，点M 、N 在线段AO 上，且△OPM 与△QMN 是相似比为3∶1的两

个等腰直角三角形，90OPM MQN ∠=∠=。试求：

（1）AN ∶AM 的值；

（2）一次函数y kx b =+的图象表达式。

2.如图，在平面直角坐标系中，以点B （0，8）为端点的射线BG ∥x 轴，点A 是射线BG 上的一个动点（点

A 与点

B 不重合）．在射线AG 上取AD =OB ，作线段AD 的垂直平分线，垂足为E ，且与x 轴交于点F ，过

点A 作AC ⊥OA ，交射线EF 于点C ．连接OC 、CD ，设点A 的横坐标为t ．

（1）用含t 的式子表示点E 的坐标为_______；

（2）当t 为何值时，∠OCD =180°？

（3）当点C 与点F 不重合时，设△OCF 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式．

相似与一次函数相似及动点问题

初中数学梦立方教育，圆你人生梦

3.如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．

（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；

（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4.四边形OABC是放在直角坐标系中的矩形纸片，点A在X轴上，点C在Y轴上，将BC边折叠，使点B

落在边OA的点D处，已知CE=55，

4 AE DA

（1）判断△COD与△DAE是否相似？说明理由

（2）求直线CE与X轴的交点P的坐标

（3）是否存在过点D的直线，使得直线L与直线CE、x轴所围成的三角形和直线L，直线CE与y轴所围绕成的三角形相似？如果存在，请写出解析式，并画出相应的直线，如果不存在，试说明理由。

相似三角形的动点问题题型(整理).doc

相似三角形的动点问题题型( 整理)

例 2、如图，在矩形 ABCD 中， AB=12cm ，BC=8cm ．点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点 E、 G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个

点随之停止移动．设移动开始后第 t 秒时，△EFG 的面积为 S（cm2）（1）当 t=1 秒时， S 的值是多少？（2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围（3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．迁移应用 1、如图，已知△ ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时， P、 Q 两点都停止运动，设运动时间为 t （s），

二次函数与相似三角形综合

第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题? 二次函数中因动点产生的相彳以三角形问题一般有三个解题途径： ①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。例题1：已知抛物线的顶点为A （2, 1）,且经过原点O,与X轴的另一个交点为B. 1 2 y = --x~ +x （1）求抛物线的解析式：（用顶点式求得抛物线的解析式为 4 ）（2）连接OA、AB.如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得二OBP与二OAB 相似？若存在，求出P点的坐标：若不存在，说明理由。解：如图2,由抛物线的对称性可知:AO=AB二AOB=CABO. 若二BOP与匚A0B相似，必须有二POB = OBOA =匚BPO 设0P交抛物线的对称轴于A?点，显然AX2-1） 1 y = --x 二直线OP的解析式为2 一一x =一一x? + 由2 4 得x 1 = 0, x 2 =6 -JP(6,~3) 过P 作PE二x 轴，在RtZBEP 中,BE=2,PE=3, 二PB=厢拜. 二PB=OB,HBOP* 二BPO、 ZOPB0与匚BAO不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该抛物线上不存在点R使得ZBOP与ZAOB相似.

例题2：如图所示，已知抛物线与兀轴交于A、B两点，与y轴交于点c. （1）求A、B、C三点的坐标. （2）过点A作APZCB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积. （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点过M作MG丄兀轴于点G, 使以A、M. G 三点为顶点的三角形与APCA相似.若存在，请求岀M点的坐标; 解：（1）令尸°,得?-1=0 解得“±1 令x=o,得〉‘=一1 二A（70）B（I，°）c（°，j）（2）匚OA=OB=OC= 1 □ ZBAC=厶ACO= ZBCO= 45 ZAPZCB, E Z PAB=45 过点P作PE丄x轴于E,则△ APE为等腰直角三角形令OE=" > 贝iJPE=Q + l + 0 ::点p在抛物线上“+1=/_i 解得5=2,心=一1 （不合题意，舍去）二PE=3 1 1 1 「1 ———x2xl + —x2x3 = 4 二四边形ACBP的而积S = 2 A B?OC+ 2 A B?PE=2 2 (3).假设存在二Z PAB= Z BAC =45 匚PA 丄AC ZMG丄 * 轴于点G, □ Z MGA= Z PAC = 90 在Rt 二AOC 中，OA=OC= 1 二AC=Q 在Rt 二PAE 中， AE=PE= 3 ZAP= 3^2 设M点的横坐标为m ,则M(加，m~ -1) □点M在y轴左侧时，贝0VT 图2

(完整版)相似三角形的动点问题题型(整理)

相似三角形的动点问题一、动点型例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

迁移应用 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0

二次函数与相似三角形问题(含答案)

y x E Q P C B O A 综合题讲解函数中因动点产生的相似三角形问题练习1、如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。练习2、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？

练习3 、如图所示，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．练习4、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点 A 在点 B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，．（1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．得抛物线的解析式为2 23y x x =-++）（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，，（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．

相似三角形与动点问题

. . . . 相似三角形与动点问题 1、将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝23，P是AC上的一个动点．（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积． 2、（2011浙江省舟山）已知直线3??kxy（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x 轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．（1）当1??k时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）． ①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标； ②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值． BAOPCxy11D（第24题图1） BAOPCQxy11 3、（2011江苏扬州，）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AB0）（1）△PBM 与△QNM相似吗？以图1为例说明理由； D A C B

. . . . yEQB（2）若∠ABC=60o，AB=43厘米。 ①求动点Q的运动速度； ②设Rt△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ 2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。 4、（2011四川重庆）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P 在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设动动的时间为t秒(t≥0)． (1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值； (2)在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

相似三角形综合题练习

相似三角形综合题练习类型一相似三角形中动点问题例1:如图正方形ABCD的边长为2，AＥ=EＢ，线段ＭN的两端点分别在CB、CＤ上滑动,且MN=1,当ＣＭ为何值时△AED与以Ｍ、Ｎ、C为顶点的三角形相似? 变式：如图，在△ABC中,AＢ=８,BＣ=7，ＡＣ=6,有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为２单位／秒，有一动点Q从C沿CA移动到A,移动速度为1单位/秒,问两动点同时移动多少时间时,△PQA与△BCＡ相似. 例２：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点Ｐ、Q同时从A、Ｂ两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是１cm/s，点Q运动的速度是2cm/ｓ,当点Q到达点Ｃ时,P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s）,解答下列问题：（1）当t=２时，判断△ＢPQ的形状，并说明理由; （２）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交ＡC于点Ｒ，连结PＲ,当t为何值时，△AＰR∽△PRQ? A B D C E N

N C M B 变式:如图，在矩形ABC Ｄ中,AB=1２cm,BC=8ｃｍ．点E 、Ｆ、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2c ｍ/s ，点F 的速度为4ｃm/ｓ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t 秒时,△ＥFG 的面积为S(c ｍ２） (1）当t ＝1秒时，S 的值是多少？ (2)写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围. （3）若点F 在矩形的边B Ｃ上移动,当t 为何值时,以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、Ｇ为顶点的三角形相似？请说明理由. 例3：如图,在梯形ABC Ｄ中，AD ∥ＢC,AD ＝3，ＤC=５,BC=10，梯形的高为４.动点M 从Ｂ点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动N 同时从C 点出发沿线段C Ｄ以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t(秒). （１）当MN/／AB 时，求t 的值；（2)试探究：t 为何值时,△ＭN Ｃ为直角三角形．

三角函数和相似三角形综合题

三角函数和相似三角形综合题 1、（2017?哈尔滨）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB 的值为（） A ．14 D 2、（2017?金华）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA 的值是（） A ．34 B.43 C.35 D.45 3、（2017?聊城）在Rt △ABC 中，cosA=12 ，那么sinA 的值是（） A ．2 B ．2 C ．3 D ．12 4、（2017?安顺）如图，⊙O 的直径AB=4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC=5，则AD 的长为（） A ．65 B ．85 C ．5 D ．5 5、（2017?滨州）如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC=30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD=BA ，则tan ∠DAC 的值为（） A ． B ． C ． D ． 6、（2017?白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A ，B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

7、（2017?淮安）A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km, ，） 8、（2017?常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414） 9（2017?张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）

相似三角形专题动点问题

相似三角形应用专题（二）动态几何中的相似三角形例题讲解一：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点 M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段 CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形．变式练习1-1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当 3 1 = ??ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ??的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由。 N C M B

变式练习1-2：如图，已知直线l 的函数表达式为4 83 y x =-+，且l 与x 轴，y 轴分别交于A B ，两点，动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q P ，移动的时间为t 秒．（1）求出点A B ，的坐标；（2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？（3）求出（2）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ 所在直线的函数表达式． O P A Q B y x O P A Q B y x

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ；其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ，语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =

相似三角形动点问题题型归纳

相似中动点问题题型一位似图形例1如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)． (1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形； (2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标； (3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．例2如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点0；（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．题型二动点存在问题 1如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为2单位/秒，有一动点Q从C沿CA移动到A，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA与△BCA相似。 2、如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．(1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ (3) 当t为何值时，△APQ的面积为 5 24 个平方单位？ 3、如图所示，在矩形ABCD中， AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB 边从点A开始向点B以2厘米/ 秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t ≤6），那么： ⑴当t为何值时，⊿QAP为等腰直角三角形？ A B C D Q P y x O P Q A B

二次函数与相似三角形综合

第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径：例题1：已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。（1）求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为x x 41 y 2+-=）（2）连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。解：如图2，由抛物线的对称性可知:AO ＝AB,△AOB ＝△ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有△POB ＝△BOA ＝△BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1) △直线OP 的解析式为x 21y -= 由 x x 41 x 212+-=- , 得6x ,0x 21== .△P(6,－3) 过P 作PE△x 轴,在Rt△BEP 中,BE ＝2,PE ＝3, △PB ＝13≠4. △PB≠OB,△△BOP≠△BPO, △△PBO 与△BAO 不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP 与△AOB 相似. 例1题图图1 O A B y x O A B y x 图2 E A' O A B P y x 图2 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ② 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③ 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

函数与相似三角形

函数与相似三角形一、（2013陕西）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过A （1,0）B （3,0）两点. （1）写出这个二次函数图像的对称轴；（2）设这个二次函数图像的顶点为D,与y 轴交与点C ，它的对称轴与x 轴交与点E ，连接AC 、DE 和DB.当△AOC 与△DEB 相似时，求这个二次函数的表达式. [提示：如果一个二次函数的图像与x 轴的交点为A 1(,0)x B 2(,0)x ，那么它的表达式可表示为 12()()y a x x x x =-- .] 二、（2013上海）如图9，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线2 (0y ax bx a =+>）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO OB == 2，0 120AOB ∠=．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM ，求AOM ∠的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． M A B O x y 图9

三、（2013凉山州）如图，抛物线22y ax ax c =-+（0a ≠）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，4），以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G 。（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 在边OA （不包括O 、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E ，交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线于点P ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示PM 的长。（3）在（2）的条件下，连结PC ，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ，使得以P 、C 、 F 为顶点的三角形和AEM △相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断PCM △的形状；若不存在，请说明理由。 A B C l P M F G D O E x y （第28题图）

相似三角形与动点问题

相似三角形与动点问题 1、将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝23，P是AC上的一个动点．（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上求出此时□DPBQ的面积． D A C B

2、（2011浙江省舟山）已知直线3+=kx y （k ＜0）分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动，速度为每秒1个单位长度，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，设运动时间为t 秒．（1）当1-=k 时，线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动，它与点P 以相同速度同时出发，当点P 到达点A 时两点同时停止运动（如图1）． ① 直接写出t ＝1秒时C 、Q 两点的坐标； ② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求t 的值． B A O P C x y 11 D （第24题图1）

3、（2011江苏扬州，）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AB0）（1）△PBM与△QNM相似吗以图1为例说明理由；（2）若∠ABC=60o，AB=43厘米。 ①求动点Q的运动速度； ②设Rt△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。

相似三角形中的动点问题

相似三角形中的动点问题例1.5.1在△ABC 中，6AB =cm ，12AC =cm ，动点D 以1cm/s 的速度从点A 出发到点B 止，动点E 以2cm/s 的速度从点C 出发到点A 止，且两点同时运动，当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求运动的时间t ．例1.5.2如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8cm ，AD=12cm ，BC=18cm ，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿A →D →C 运动，点P 从点A 出发的同时点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度向点B 运动，当点P 到达点C 时，点Q 也停止运动．设点P ，Q 运动的时间为t 秒．（1）从运动开始，当t 取何值时，PQ ∥CD ？（2）从运动开始，当t 取何值时，△PQC 为直角三角形？ A B C D E

例1.5.3如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB 边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0≤t≤2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；

例1.5.4已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

相似三角形综合题精选

相似三角形综合题精选 1、在Rt ABC ?中, ∠ACB =90°, CD AB ⊥,垂足为D . E 、F 分别是AC 、BC 边上一点, 且CE = 13AC ,BF =1 3BC . (1 )求证∶AC BC =CD BD . (2 )求EDF ∠的度数. 2、在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP =x ，CE =y ．（1）如图，当点P 在边BC 上时（点P 与点B 、C 都不重合），求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当x =3时，求CF 的长；（3）当EP/AP=2 1 时，求BP 的长． F F E D C B A

3、（1）在ABC ?中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠. ①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长； ②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD 的边长为5（如图2），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持?=∠90APQ .当1=CQ 时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）. 图1 A B C 备用图 A B C P Q A B C D 图2

※ 课堂练习： 1、在ABC ?和AED ?中, AB ·AD ＝AC ·AE ,CAE ∠＝BAD ∠,ADE S ?＝4ABC S ?. 求证∶DE ＝2BC . 2、如图1,在平行四边形ABCD 中,CD AC =. （1）求证：ACB D ∠=∠；（2）若点E 、F 分别为边BC 、CD 上的两点,且CAD EAF ∠=∠.(如图2) ① 求证:ADF ?∽ACE ?； ② 求证:EF AE =. （图1）（图 2） E D C B A

相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)

第2讲相似三角形中的辅助线及动点在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：、作平行线例1.如图，.VABC 的AB 边和AC 边上各取一点 ” BF BD 求证： CF CE 例2.如图，△ ABC 中，AB

例4.如图从—ABCD 顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证: 2 AB AE AD AF =AC2。三、作延长线例5.如图，在梯形ABCD中，AD // BC,若/ BCD的平分线CH丄AB于点H , BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21,求厶HBC的面积。例6?如图，https://www.360docs.net/doc/d54378380.html,BC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC 于F, FG _ AB于G, 求证：FG2=CF *BF

四、作中线例 7 如图，. ：ABC 中，AB 丄AC , AE 丄 BC 于 E , D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求 AC 。 2、如图，正方形 ABCD 勺边长为2, AE = EB MN= 1,线段MN 的两端在CB CD 上滑动，当CM 为何值时，△ AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？动点题型 1、如图正方形ABCD 的边长为2, AE=EB ，线段MN 的两端点分别在 MN=1，当CM 为何值时厶AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ CB 、CD 上滑动，且 u c D N C

相似三角形和三角函数

1. 相似三角形的判定定理: 推论一一直角三角形相似： (1) 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。 2. 性质定理： (1) 对应角相等。 (2) 对应边成比例。 (3) 对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4) 周长比等于相似比。 (5) 面积比等于相似比的平方。 3. 相似三角形的传递性如果△ABC S ^I B I C I ,M I B I C I s 公2B 2C 2，那么△ ABC "A 2B 2C 2 精选文档相似三角形考点 4、比例的性质 a c (1) 比例的基本性质： =— b d a c a b (2) 合比性质： =- b d b (3) 等比性质：a =- = L =m b d n ad 二be (bd H 0) e d d a e L m a 八 b d L (b d L n u) n b

精选文档如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。对应边的比叫做位似比，位似比等于相似比。锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a 2 b 2 c 2 2、如下图，在 Rt △ AB （中，/ C 为直角，则/ A 的锐角三角函数为（ZA 可换成/B ）: 3、特殊角的三角函数值（重要）三角函数 30 ° 45 ° 60 ° \ 疋义表达式正弦 sin A - A 的对边斜边 a sin A — c 余弦 cosA - A 的邻边斜边 .b cos A - c 正切 tan A - A 的对边 A 的邻边 tan A — b

中考数学专题复习相似三角形与函数的综合

相似三角形与函数的综合相似三角形与一次函数、二次函数等知识结合的试题，常作为压轴题出现。解决此类问题的关键是以两个三角形相似作为突破口，灵活运用相似三角形的性质，列出比例关系式，进而构建函数关系式。典例：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，BC=30，AB=50，点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或 BC 相交于点E 。点M 在线段AP 上。点N 在线段BP 上，EM=EN ，sin ∠EMP=13 12. (1) 如图①，当点E 与点C 重合时，求CM 的长； (2) 如图②，当点E 与边AC 上，且不与点A 、C 重合时，设AP=x ，BN=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数自变量的取值范围。考点11、相似三角形中的探索型问题相似三角形中的探索型试题，具体来说有探索条件型——结论明确，探索结论成立的条件；探索结论型——给定条件，但无明确的结论或结论不唯一，探索与之相应的结论；探索规律型——在一定条件下，探索有关数学对象所具有的规律性或不变性；探索存在型——在一定的条件下，探索某种数学关系的存在性。典例：已知：△ABC 是等腰三角形，∠A ＝900 ，D 是腰AC 上的一个动点，过C 作CE 垂直BD 或BD 的延长线，垂足为E ，如图①。（1）若BD 是AC 的中线，如图②，求 CE BD 的值。（2）若BD 是∠ABC 的平分线，如图③，求 CE BD 的值。 ① ②

（3）结合（1）（2），请你推断 CE BD 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究CE BD 的值能等于 3 4 吗？若能，求出满足条件的D 点的位置；若不能，请说明理由。练习：某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形。结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结论：甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、______个、______个大小不同的内接正方形。乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上得内接正方形的面积较大。丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小任务：（1）填充甲同学结论中的数据。（2）乙同学的结论正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明；若正确，请给出证明。 (3)请你结合（2）中的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明（如下图，设锐角三角形ABC 的三条边上的对应高分别为c b a ,,不妨设c b a >>，三条边上的对应高分别为c b a h h h 、、，两个顶点分别都在 c b a ,,上的内接正方形的边长分别为c b a x x x 、、，若你对本小题证明有困难，可直接用 “ c b a h c h b h a +<+<+1 11”这个结论）。 B B C B ① ② ③ A B H E C F G

二次函数与相似三角形结合问题

琢玉教育个性化辅导讲义教师姓名学科上课时间年月日学生姓名年级讲义序号课题名称教学目标1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度； 2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式； 3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题；教学重点难点1.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法； 2.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□建议_______________________________ 教学内容知识结构：一.二次函数知识点梳理：下图中0 a≠二.特殊的二次函数：下图中0 a≠

3 4 y x =与BC边交于D点．（1）求D点的坐标；（2）若抛物线2 y ax bx =+经过A、D两点，求此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出符合条件的点P．方法总结： 1.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数c bx x y+ + - =2 3 1 的图像经过点 A（－1，1）和点B（2，2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略： 1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度； 2.待定系数法求解相关函数的解析式； 3.相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段）； 4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解； 5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想； 6.注意利用好二次函数的对称性； 7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。

三角函数和相似三角形综合题

三角函数和相似三角形综合题 1、（2017?哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB的值为（） A15．1 4 15 D417 2、（2017?金华）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（） A．3 4 B. 4 3 C. 3 5 D. 4 5 3、（2017?聊城）在Rt△ABC中，cosA=1 2 ，那么sinA的值是（） A．2 2B．3 2 C．3 3 D．1 2 4、（2017?安顺）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（） A．6 5B．8 5 C．7D．23 5、（2017?滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（）

A．2+3 B．23C．3+3D．33 6、（2017?白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈，cos65°≈，tan65°≈） 7、（2017?淮安）A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得： ∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少（结果精确到,2≈，3≈）