普陀区2015年高三数学理科一模试卷

2014学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研卷 2014.12

考生注意：

1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.

2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.

3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相．．．．．．．．．应位置，本卷上任何解答都．．．．．．．．．．．．不作评分依据．．．．．．

. 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.

1. 若集合}1lg |{<=x x A ，∈==x x y y B ,sin |{R }，则=B A .

2. 若1lim

=+∞→a

n an

n ，则常数=a .

3. 若1>x ，则函数1

1

2-+-=x x x y 的最小值为 .

4. 函数??

?

??-π=x y 4tan 的单调递减区间是 . 5. 方程1)7lg(lg =-+x x 的解集为 .

6. 如图，正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则直线C B 1与底面ABC 所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.

7. 若方程132||2

2=-+-k

y k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 .

8. 函数22)(2+-=x x x f （0≤x ）的反函数是 .

9. 在二项式8

1???? ?

?-x x 的展开式中，含2x 项的系数为 （结果用数值表示）.

10. 若抛物线m

x y 42

=

（0>m ）的焦点在圆12

2=+y x 内，则实数m 的取值范围是 .

11. 在ABC ?中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ，

120=A ，则=?ABC S .

A

B

C

1B 1C

1A

第6题

12. 若无穷等比数列}{n a 的各项和等于公比q ，则首项1a 的最大值是 . 13. 设

a

为大于1的常数，函数??

?≤>=+0

0log )(1

x a

x x x f x a ，若关于

x 的方程

0)()(2=?-x f b x f

恰有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是 .

14. 如图，点1P ,2P ,… ,10P 分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面 内的四点组()

k j i P P P P ,,,1 （101≤<<

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.

15．设a 、∈b R ，且0

)(A ||||b a b a -<+ )(B ||||b a b a ->+ )(C ||||||b a b a -<- )(D ||||||b a b a +<-

16.“点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程02=+y x ”的…………………………（ ）

)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件

17.要得到函数x y 2s i n =的图像，只需将函数??

?

?

?

-=42cos πx y 的图像………………………………（ ）

)(A 向左平移

8π个单位 )(B 向右平移8π

个单位 )(C 向左平移4π个单位 )(D 向右平移4

π

个单位

18. 若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n (∈n N *

，2≥n )等分点，

3 49

8第14题

131-n 2k 第18题

沿向量的方向依次为

1

21,,,-n P P P ，记

AP AP T n n ?++?+?=-1211 ， 若给出四个数值:①429 ②1091

③18197 ④33

232，则n T 的值不可能的共有…………………（ ）

)(A 1个 )(B 2个 )(C 3个 )(D 4个

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.

19. (本题满分12分)

已知P 是椭圆12

42

2=+y x 上的一点，求P 到)0,(m M （0>m ）的距离的最小值.

20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

已知函数x x b x a x f cos sin sin )(2+=满足2)23()6(==π

πf f

（1）求实数b a ,的值以及函数)(x f 的最小正周期；

（2）记)()(t x f x g +=，若函数)(x g 是偶函数，求实数t 的值.

21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm ）.（加工中不计损失）. （1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；

（2）若每块钢板的厚度为12mm ，求钉身的长度（结果精确到1mm ）.

图2

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题5分，第（2）小题6分，第（3）小题5分

已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N * （1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）已知32+=n c n （∈n N *

），记=n d n C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这

样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由.

（3）若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有

2221123121+-

??

? ??=++++--n a b a b a b a b n

n n n n 成立，求证：数列

}{n b 是等差数列；

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分

已知函数)(x f y =，若在定义域内存在0x ，使得)()(00x f x f -=-成立，则称0x 为函数)(x f 的局部对称点.

（1）若a 、∈b R 且0≠a ，证明：函数a bx ax x f -+=2)(必有局部对称点； （2）若函数c x f x +=2)(在区间]2,1[-内有局部对称点，求实数c 的取值范围； （3）若函数324)(21-+?-=+m m x f x x 在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.

2014学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研卷

参考答案

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应

的空格中.每个

空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1. )10,1[- 2.1 3.3 4.??

? ?

?+

-4

3.4

πππ

πk k （

Z

k ∈） 5.}5,2{ 6.2

1

a rc ta n

7.),3()2,2(+∞- 8.)2(11)(1≥--=-x x x f 9.70 10.1>m 11.3 12.4

1

13. a b ≤<0 14. 33

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)

【解】设),(y x P ，其中22≤≤-x ……………………2分

则222)(||y m x PM +-==222

1212)(22

22

++-=-

+-m mx x x m x ……5分 222)2(2

1

m m x -+-=

，对称轴m x 2=0>……7分 （1） 若220<

（2） 若22≥m ，即1≥m ，此时当2=x 时，|2|44||2min -=+-=

m m m PM ；

……11分

综上所述，?????≥-<<-=1

|,2|1

0,2||2min m m m m PM …………12分

20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

【解】 （1）由???????==2

)2

3(2)6

(ππ

f f 得，???==+283a b a ……2分，解得???==322b a ……3分

将

2

=a ，

3

4=b 代入

x x b x a x f c o s

s i n s

i n )(2

+=得x x x x f cos sin 32sin 2)(2+=

所以

)(x f x x 2sin 32cos 1+-=……4分

)6

2sin(21π

-

+=x …………5分 所以函数

)(x f 的最小正周期ππ

==

2

2T …………6分

（2）由

（

1

）

得

，

1]6

)(2s i n [2)(+-

+=+π

t x t x f ，所以

1622s i n 2)(+??? ?

?

-+=πt x x g ……8分

函数)(x g 是偶函数，则对于任意的实数x ，均有)()(x g x g =-成立。

所以??

????-???

??-=??????+???

?

?-

x t x t 262sin 262sin ππ…………10分 整理得，0sin 62cos =??

?

?

?-

x t π……（﹡）………………12分 （﹡）式对于任意的实数x 均成立，只有062cos =?

?

?

?

?-πt ，解得262π

ππ+=-k t ， 所以3

2π

π+=

k t ，Z k ∈…………14分

21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 【解】设钉身的高为h ，钉身的底面半径为r ，钉帽的底面半径为R ，由题意可知：……1分

（1） 圆柱的高382==R h ……2分

圆柱的侧面积==rh S π21π760……3分 半球的表面积πππ108342

1

222=+?=

R R S ……5分 所以铆钉的表面积21S S S +=πππ184********=+=(2

mm )……7分

（2）πππ24002410012

1=??=?=h r V ……8分 3

1371819323421332π

ππ=??=???=

R V ……9分 设钉身长度为l ，则l r V ?=2

3πl π100=……10分

由于213V V V +=,所以l ππ

π1003

137182400=+，……12分 解得70

≈l mm ……13分

答：钉身的表面积为21843mm π，钉身的长度约为mm 70。

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题5分，第（2）小题6分，第（3）小题5分

【解】（1）114a a -=，所以21=a …………………………1分

由4=+n n a S 得2≥n 时，411=+--n n a S ……2分 两式相减得，12-=n n a a ，

2

1

1=-n n a a ，……3分 数列}{n a 是以2为首项，公比为

2

1

的等比数列，所以n n a -=22（*N n ∈）……5分

（2）由于数列}{n d 是常数列

n d =n C n a c log +2log )2(32C n n -++=………………6分

=

2log 2log 232C C n n -++2

log 23)2log 2(C C n ++-=为常

数………………7分

只有02log 2=-C ,………………8分；解得2=C ,………………9分

此时7=n d ……10分

(3)222112

3121+-

??

?

??=++++--n a b a b a b a b n

n n n n ……① 1=n ，12

3

2111-=-=

a b ，其中21=a ，所以211-=b …………11分

当2≥n 时，2

1

211

11332

211+-

?

?

?

??=++++-----n a b a b a b a b n n n n n ……②……12分 ②式两边同时乘以21得，41212123121+-??

?

??=++++---n a b a b a b a b n

n n n n (13)

①式减去③得，431--=

n a b n ，所以83

8--=n b n ……14分 且8

1

1-=-+n n b b ……15分

所以数列}{n b 是以21-

为首项，公差为8

1

-的等差数列。……16分

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分

【解】 （1）由a bx ax x f -+=2)(得a bx ax x f --=-2)(……1分

代入0)()(=+-x f x f 得，()()

022=--+-+a bx ax a bx ax ， 得到关于x 的方程02=-a ax （0≠a ），……2分

其中24a =?，由于R a ∈且0≠a ，所以0>?恒成立……3分 所以函数a bx ax x f -+=2)(（0≠a ）必有局部对称点。……4分 （2）方程0222=++-c x x 在区间]2,1[-上有解，于是x x c -+=-222……5分

设x

t 2=（21≤≤-x ），

42

1

≤≤t ，……6分 t t c 12+=-……7分 其中417

12≤+≤t t ……9分

所以18

17

-≤≤-c ……10分 （3）324)(21-+?-=-+--m m x f x x ，……11分

由

于

0)()(=+-x f x f ，所以

)324(3242121-+?--=-+?-++--m m m m x x x x ……13分

于是0)3(2)22(2)44(2=-++-+--m m x x x x ……（*）在R 上有解……14分

令t x

x

=+-2

2（2≥t ），则2442-=+-t x x ，……15分

所以方程（*）变为08222

2

=-+-m mt t 在区间),2[+∞内有解，需满足条件：

?

?

?

??≥-+≥--=?22)8(420)4(84222m m m m ……16分 即?????≤≤-≤≤-2

2312

222m m ，化简得2231≤≤-m ……18分