代数与几何综合题

代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目类型主要有坐标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。

解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。

第一类：与反比例函数相关

1．（09北京）如图，点C 为⊙O 直径AB 上一点，过点C 的直线交⊙O 于点D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF AB ⊥于点F ，EG AB ⊥ 于点G ．当点C 在AB 上运动时，设AF x =，DE y =，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）

2．如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数)0(22≠+=a a

m ax y 的图象经过正方形ABOC 的三个顶点 A 、B 、C ，则m 的值为．

3．（09延庆）阅读理解：对于任意正实数a b ，，

2()0a b -Q ≥，20a ab b ∴-+≥，2a b ab ∴+≥，只有当a b =时，等号成立．

A B C D

结论：在a b +≥a b ，均为正实数）中，若ab 为定值p

，则a b +≥，只有当a b =时，a b +

有最小值．根据上述内容，回答下列问题：（1）若0m >，只有当m = 时，1

m m

有最小值．（2）探索应用：已知(30)A -，，(04)B -，，点P 为双曲线12

(0)y x x

=>上的任意一点，

过点P 作PC x ⊥轴于点C ，轴于y PD ⊥D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．

4．（08南通）已知双曲线k y x =

与直线1

y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线k

y x

=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k y x

于点E ，交BD 于点C ．（1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点

坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积

为4，求直线CM 的解析式．

（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，

求p －q 的值．

5．（09.5西城）已知：反比例函数2y x =

和8

y x

= 在平面直角坐标系xOy 第一象限中的图象如图所示，点A 在8y x =的图象上，AB ∥y 轴，与2

y x

=的图象交于点B ，AC 、BD 与x 轴平行，分别与2y x =

、8

y x

=的图象交于点C 、D . （1）若点A 的横坐标为2，求梯形ACBD 的对角线的交点F 的坐标；

（2）若点A 的横坐标为m ，比较△OBC 与△ABC 的面积的大小；

（第3题）

（第4题）

（3）若△ABC 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点A 的坐标.

答案：（1）点F 的坐标为17

(2,)5

（2）OBC ABC S S ??>. （3）点A 的坐标为(2,4)

6．（07上海）如图，在直角坐标平面内，函数m

y x

=（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，

()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，

连结AD ，DC ，CB ．

（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；（2）求证：DC AB ∥；

（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．答案：

（1）点B 的坐标为 433?? ???

，；（2）DC AB ∴∥．（3）所求直线AB 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+

二、与三角形相关

7．（07北京）在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线 y = mx 2 + 23mx + n 经过P (3, 5), A (0, 2)两点. (1) 求此抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的顶点为B , 将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l , 直线l 与抛物线的对称轴交于C 点, 求直线l 的解析式;

(3) 在(2)的条件下, 求到直线OB , OC , BC 距离相等的点的坐标．答案：(1)抛物线的解析式为: y =x x 3

32312++ 2

(2)直线 l 的解析式为 y =

3x (3) 到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标分别为: M 1(-

2, 0)、 M 2 (0, 2)、 M 3(0, -2)、M 4 (-23, 0).

O D B

8． (08北京)平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = x 2 + bx + c 与x 轴交于A , B 两点(点A 在点B 的左侧), 与y 轴交于点C , 点B 的坐标为(3, 0), 将直线 y = kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B , C 两点. (1) 求直线BC 及抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的顶点为D , 点P 在抛物线的对称轴上, 且∠APD =∠ACB , 求点P 的坐标; (3) 连结CD , 求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数.

答案：(1) 直线BC 的解析式为 y = -x + 3. 抛物线的解析式为 y = x 2 - 4x + 3.

(2)点P 的坐标为 (2, 2) 或 (2, -2).

(3) ∠OCA 与∠OCD 两角和的度数为45?. 9．（10.6密云）已知：如图，抛物线2

2(0)y x mx m m =-++>与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，C 是抛物线上一动点（点C 与点A 、B 不重合），D 是OC 中点，连结BD 并延长，交AC 于点E ．

（1）求A 、B 两点的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）求

的值；（3）当C 、A 两点到y 轴的距离相等，且8

CED S =V 时，求抛物线和直线BE 的解析式．

答案：（1）A （m -，0），B （2m ，0）．（2）

CE AE =．（3）抛物线的解析式为 2

28y x x =-++．直线BE 的解析式为 41633

y x =-

+ 10．（崇文09）如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32

-+=，与y 轴交于点C ，且OA OC OB 3==．（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若

不存在，请说明理由；（III ）直线13

=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶

点．若α=∠DBC ，βαβ-=∠求,CBE 的值．答案：（I ）322--=∴x x y

（II ）)3

1,0(1P )0,9(2P ，)0,0(3P

（III ）?=∠=∠-∠=∠-∠45OBC DBO αβα．

11. (11.6东城) 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的

正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ．

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q

两点的坐标．

答案：（1）224

233y x x =-++．（2）由224233y x x =-++＝228

(1)33

x --+． CF ＝FM ＋

CM ＝73

．

（3）点P 的坐标为（1，2

）

三、与面积有相关

12．（11.6通县）已知如图，ABC ?中，AC BC =，BC 与x 轴平行，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC ?的三个顶点，（1）求出该抛物线的解析式；

（2）若直线7+=kx y 将四边形ACBD 面积平分，求此直线的解析式.

（3）若直线b kx y +=将四边形ACBD 的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确

定b kx y +=中k 的取值范围.

13．（11.6顺义）已知，如图，抛物线2

4(0)y ax bx a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A B ，，点A 的坐标为(40)-，，对称轴是1x =-．（1）求该抛物线的解析式；

（2）点M 是线段AB 上的动点，过点M 作MN ∥AC ，分别交y 轴、BC 于点P 、N ，连接CM ．当CMN △的面积最大时，求点M 的坐标；（3）在（2）的条件下，求

CPN

ABC

S S ??的值. 四、与最值相关

14．（09石景山）平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC ，O 为坐标原点，A 点坐标为（10，0），C 点坐标为（0，6），D 是BC 边上的动点（与点B 、C 不重合）．如图②,将△COD 沿OD 翻折，得到△FOD ；再在AB 边上选取适当的点E ，将△BDE 沿DE 翻折，得到△GDE ，并使直线DG ，DF 重合．

（1）图①中，若△COD 翻折后点F 落在OA 边上，求直线DE 的解析式．

（2）设（1）中所求直线DE 与x 轴交于点M ，请你猜想过点M 、C 且关于y 轴对称的抛

物线与直线DE 的公共点的个数，在图①的图形中，通过计算验证你的猜想．（3）图②中，设E （10，b ），求b 的最小值．

答案：（1）直线DE 的解析式：y =-x +12

（2）直线DE :y =-x +12与抛物线:2

1624

y x =-+只有一个公共点（3）b 2111(5)66

m =-+ 11

5,6m b ∴==最小值当

15．已知抛物线2

2y ax bx =++的图像经过点A 和点B ．（1）求该抛物线的解析式；

(2) 把(1)中的抛物线先向左平移1个单位，再向上或向下

图① 图②

平移多少个单位能使抛物线与直线AB 只有一个交点? 求出此时抛物线的解析式；

（3）将（2）中的抛物线向右平移5

个单位，再向下平移t 个单位（t >0），此时，抛物线与x 轴交于M 、N 两点，直线AB 与y 轴交于点P ，当t 为何值时，过M 、N 、P 三点的圆

的面积最小？最小面积是多少？

答案：（1）抛物线的解析式为2

32y x x =-+.(2) 析式为2

()2

y x =-

（３）当5t =时，过M 、N 、P 三点的圆的面积最小，最小面积为9π

16．（09海淀）如图13，在平面直角坐标系xOy 中，直线23

=x y 分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点.将射线AM 绕着点A 顺时针旋转45°得到射线AN .点D 为AM 上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部. （1）求线段AC 的长；

（2）当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，求△BCD 的面积；（3）求△BCD 周长的最小值；

（4）当△BCD 的周长取得最小值，且BD =3

时,△BCD 的面积为 . 答案：（1） AC =4.

（2）当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，S △BCD = 23-2. （3）∴△BCD 的周长的最小值为42. （4）43

五、与四边形及圆相关

17．(12.1年西城)已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy 中，A ，C 两点的坐标分别为

(2,3)A ，(,3)C n -（其中n ＞0）

，点B 在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O —A —B —C 的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P 移动的路径的长为l ，△POC 的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形．

（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m = ；（2）求B ，C 两点的坐标及图2中OF 的长；

（3）在图1中，当动点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时， ① 求此抛物线W 的解析式；

② 若点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，坐标平面内另有一点R ，满足以B ，

P ，Q ，R 四点为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标．

答案：（1）中的m =13．（2）221335D OF x DE =+=+．（3）符合题意的点Q 的坐标是1(0,0)Q ，2(2264,42619)Q --．

18.（12.年1石景山）如图，矩形'

''O BC A 是矩形ABCO 绕点B 顺时针旋转得到的．其中

点C O ,'在x 轴负半轴上，线段OA 在y 轴正半轴上，B 点的坐标为()3,1-．

（1）如果二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象经过'O O 、两点且图象顶点M 的纵

坐标为1-．求这个二次函数的解析式；（2）求边'

'A O 所在直线的解析式；

（3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P ，使得D CO M

PO S S ''3??=,若存在，

请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

答案：（1）x x y 22+= （2）3

34+=

x y （3）???

? ??-+-217721731

，P ， ???

??+-2177217-32，P ．

19．（12.1怀柔）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，

1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐

标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ?的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ?的最大面积.

答案：（1）抛物线为2211(4)1244

y x x x =--=-+ (2) 答：l 与⊙C 相交.

（3）PAC ?的面积最大为

4. 此时，P 点的坐标为（3，3

-）.

20．（11.6朝阳）在△ABC 中，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，以

DE 为折线，将△ADE 翻折，设所得的△A’DE 与梯形DBCE 重叠部分的面积为y. (1)如图(甲)，若∠C=90°，AB=10，BC=6，

=AB AD ，则y 的值为； (2)如图(乙)，若AB=AC=10，BC=12，D 为AB 中点，则y 的值为； (3)若∠B=30°，AB=10，BC=12，设AD=x. ①求y 与x 的函数解析式；

②y 是否有最大值，若有，求出y 的最大值；若没有，请说明理由.

A 图(甲) 图(乙) 备用图

答案：（1）

. （2）12.

（3）

DA E MA N

y S S

920

103

=--+

．

当

x=时，y值最大，最大值是10．

哈尔滨工业大学《代数与几何》期末试题和答案

哈尔滨工业大学《代数与几何》期末试题（此卷满分50分）注：本试卷中()R A 、'A 、* A 分别表示A 的秩，A 的转置矩阵、A 的伴随矩阵；E 表示单位矩阵. 一、填空题（每小题2分，共10分） 1．若4阶方阵A 的特征值为0,1,2,3，且A 与B 相似,则行列式2||+=B E . 2．过点(1,2,3)-，垂直于直线 456 x y z ==且平行于平面789100x y z +++=的直线方程为 . 3．设123,,ααα是3维欧氏空间的标准正交基，则模12322-+=ααα . 4．若A 为4阶方阵，且R （A ）=3，则方程组0*=A X 的基础解系含个线性无关的解向量. 5．yOz 坐标面上的抛物线20z y x ?=?=? 绕y 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为 . 二、选择题（每小题2分，共10分） 1．设A 是n m ?矩阵，则线性方程组AX =b 有解的充分条件是【】（A ）()R m =A ；（B ）A 的行向量组线性相关；（C ）()R n =A ；（D ）A 的列向量组线性相关. 2．二次型222 123123121323,,)f x x x tx tx tx x x x x x x =+++++（正定的充要条件为【】（A ）1t >；（B ）0t >；（C ）1t >-；（D ）1 2 t > . 3．设462414, 26,41.848?????? ? ? ?=== ? ? ??????? A B C 则A 与B 【】（A ）A 与C 相似且合同；（B ）A 与B 相似且合同；（C ）B 与C 相似且合同；（D ）B 与C 相似但不合同. 4．设,αβ是4维非零列向量,T A E =+αβ，则在A 的特征值中,至少有【】（A ）1个1；（ B ）2个1；（ C ）3个1；（ D ）4个1. 5．设1234,,,αααα是3维向量，则下列命题正确的为【】（A ）如果12,αα线性相关,34,αα线性相关，则1324,αααα++线性相关；

代数和几何相结合

代数和几何相结合图形的认识，图形与证明，图形的变换，图形与坐标的设计有效变化空间与图形，这部分内容原来有四条线索：图形的认识，图形与证明，图形的变换，图形与坐标。课程标准修订之后，在这个结构上也略有一定的变化，是三条线索，一个是叫图形的性质，一个是图形与证明，没有图形与证明，一个是图形与变换图形与坐标。第一个问题，在初中阶段，研究的图形有哪些首先要整体把握要研究的对象，可能从这样几个角度来做一个划分，实际上是做一个分类，大家看可能是对所要认识的对象能够更清楚一些，第一个实际上对分类就是从为纬度上，一维图形，二维图形和三维图形，在第三学段这三维图形都包括了，比如点、线段、直线，这是一维图形，二维图形说就是三角形，四边形，三维图形，因为在初中阶段，虽然不研究立体几何，但实际上还是要初步的了解一些最基本的三维图形整体对的一种把握和认识，比如说柱体，包括球，包括一些锥，尤其在视图这个内容里边，可能还是要初步的了解这些图形，这是一个划分的纬度，从的维数上，一维、二维、三维。另外还有一个，就是认识这些图形的角度，是直线形还是曲线形。角就是直线形的图形，还有一类曲线形，包括二维和三维的，比如说圆，球，包括锥体，曲线形，这是另外一个将图形划分类别的这样一个角度。还有一个角度，还可以把研究的图形分成基本图形和组合图形，那说基本图形，像这种三角形，四边形，三角形，可能是最基本的图形。在研究图形的性质，从总的来讲是两类，一类是一个图形之间的，它的对象就是研究这个图形自身的之间的关系，另外一个就是研究图象间的，之间相互的关系。全等是研究很重要的对象，包括相似的关系，另外还有对称性等等的，这些都是在明确了对象之后，进一步要展开几何各种学习里边很重要的内容。图形与几何里有一块内容是新增加进来的, 就是视图。视图也是认为培养学生空间观念很重要的载体，从刚才说对图形的认识这个角度怎么样看待对视图这块内容的理解。在认识视图的时候，支撑着视图最重要的一件事情就是投影，就是用投影来观察理解一个空间的图形，从整体到局部，然后从局部回到整体这样的一个支撑，数学上称之为投影。中心投影，平行投影，这些在数学里都是挺要紧的，比如说通常所说的中心投影，将来会是摄影的基础，平行投影是会涉及到几何的会更广泛一点，所以这个是通过视图来支撑着对这样一个关系的认识。同时又是空间想象力，或者几何直观能力，或者空间观念的一个重要的载体。要研究的对象明确了，要研究什么也明确了，接下来就是如何来研究。其实几何不等于证明，但是演绎推理，当然在集合内容的研究过程当中，仍然也是比较重要的一个方法，实际上就是综合，综合几何的这种方法，或者说原来这种欧式几何演绎证明从公理出发，现在把它叫做基本事实出发，经过以三段论为主的方法，展开对图形性质的证明。还有一种方法，就是用变换的手段来认识图形，有平移，轴对称，还有旋转。另外，就是认识图形的办法，用坐标，通过对点的刻划，进一步对图形的位置，包括它的其一些属性的刻划，当然这个仅仅是一个初步，到了高中还会继续学习，因此概括来讲，认识图形基本方法，一个是演绎的方法，一个是运动变换的方法，还有一个就是运用坐标的，有序数对刻划的三种方法。当然，在这三种方法里面，在初中阶段，在不同的内容里面，各有

代数与几何综合题(时间90分钟).

、选择题: 代数与几何综合题 (时间：90分钟) 1.如图2- 5-8所示,在直角坐标系中，△ ABC 各顶点坐标分别为 A (0 , ,3 ) , B (- 1 , 0 )、C (1, 0)中，若厶DEF 各顶点坐标分别为 D( 3 , 0)、E ( 0 , 1)、F (0, — 1),则下列判断正确的是( A . B . C . D . △。丘卩由厶ABC 绕O 点顺时针旋转 △。丘卩由厶ABC 绕O 点逆时针旋转 △。丘卩由厶ABC 绕O 点顺时针旋转 △。丘卩由厶ABC 绕O 点顺时针旋转 90°得到; 90°得到; 60°得到; 120°得到 2. 如图( 4(X X 4)^ OAR △ ABQ 均是等腰直角三角形，点 P 、 0)的图象上，直角顶点 A B 均在X 轴上，则点 B 的坐 Vj B Q y 齡圈 2- 1^ Q 在函 1，0) B 、( . 5 1 ，0) C 、 (3, 0) D 、 1, 0) x A B 图(4) P Q 3. 已知点 A .3,1 , B 0,0 , ,AE 平分/ BAC ,交 BC 占八、、 E ,则直线AE 对应的函数表达式是 B . y C. y ,3x 1 D. 4 .在平面直角坐标系中, □ ABCD 的坐标分别是(0,0) ,(5,0) 坐标是( ) A. ( 3 , 7) B. C. (7, 3) D. 5..等腰三角形的底和腰是方程 A.8 B.10 的顶点 A 、B 、D ,(2,3) (5 , 3) (8, 2) C.8 或 10 D.不能确定 2 6 3 A . y x 3 B . y — x C . y x D . y x 2 6 .如图，O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与 O 点重合，转动三角板使两直角边始终与 BC 、AB 相交，交点分别为 M 、N .如果 AB =4, AD =6, O M=X ,ON= y 贝U y 与X 的关系是 D C

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求（1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系，再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底，根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

2019年北京市各城区中考二模数学——代数与几何综合题25题汇总

2 x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，).点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P （3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标. y 5] 5(x2+bx+c)过点数学试卷 2019年北京市各城区中考二模数学——代数与几何综合题25题汇总y 1、（2019年门头沟二模）25．如图25-1，抛物线y=-x2+b x+c与直线y=1 y 作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.（1）求抛物线的解析式；7 2B C B C P E （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.O N A x P B' y ．．．．M P' O N A x P 图1 D D C F C A O E B x A O B x 3、（2019年平谷二模）25.定义：任何一个一次函数y=px+q，取出它的一次项系数p和常数项q，有序数组[p，q]为其特征数.例如：y=2x+5的特征数是[2，，同理， [a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c的特征数。图25-1 备用图（1）直接写出二次函数y=x2-5x的特征数是：_______________。（2）若特征数是[2，m+1]的一次函数为正比例函数，求m的值； 2、（2019年丰台二模）25.如图，经过原点的抛物线y=-x2+bx （ b>2）与x轴的另一交（3）以y轴为对称轴的二次函数抛y=ax2+bx+c的图象经过A(2，m)、B(n，1)两点（其 b 点为A，过点P（1，2）作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对中m﹥0，n<0），连结OA、OB、AB，得到OA⊥OB，S 的特征数． △AOB =10，求二次函数y=ax2+bx+c 称点为C.连结CB，CP. （1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长；（2）连结CA，求b的适当的值，使得CA⊥CP；（3）当b=6时，如图△2，将CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到△C B’P’，CP与抛物线对称轴的交点为E，点M为线段B’P’（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围.4、(2019年顺义二模)25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= 3

九年级数学代数和几何的综合专题

精典专题七代数与几何的综合问题一、探究与证明【例1】【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

二、探究与计算【例2】（盐城）（12分）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF⊥AB，垂足为F ．求证：PD+PE=CF ．小军的证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF ．小俊的证明思路是：如图2，过点P 作PG⊥CF，垂足为G ，可以证得：PD=GF ，PE=CG ，则PD+PE=CF ．【变式探究】如图3，当点P 在BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PD ﹣PE=CF ；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；三、坐标与几何例3.如图，抛物线y=2 1（x-3）2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ，求证：∠AEO=∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．

代数与几何综合题 (时间90分钟).

代数与几何综合题（时间：90分钟）一、选择题： 1．如图2－5－8所示，在直角坐标系中，△ABC 各顶点坐标分别为A （0， 3 ），B （－1，0）、C （1，0）中，若△DEF 各顶点坐标分别为D （ 3 ，0）、E （0，1）、F （0，－1），则下列判断正确的是（） A ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转90○ 得到; B ．△DEF 由△AB C 绕O 点逆时针旋转90○ 得到; C ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转60○ 得到; D ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转120○ 得到 2．如图（4）△OAP 、△ABQ 均是等腰直角三角形，点P 、Q 在函数4 (0)y x x =>的图象上，直角顶点A 、B 均在x 轴上，则点B 的坐标为（） A 、21，0） B 、51，0) C 、（3，0） D 、51，0）３．已知点)31A ，，()00B ，，) 3C ，，AE 平分BAC ∠，交BC 于点 E ，则直线AE 对应的函数表达式是（）Ａ．23y x = Ｂ．2y x =- Ｃ．31y x =- Ｄ．32y x =- ４.在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C 的坐标是（） A .（3，7） B .（5，3） C .（7，3） D .（8，2） 5．.等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（） A.8 B.10 C.8或10 D.不能确定６．如图，O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交，交点分别为M 、N ．如果AB =4，AD =6，O M =x ,ON=y 则 y 与x 的关系是 A ．23y x = B ．6 y x = C ．y x = D ．32y x = N O A B D C M 第６题图图(4) y x B A Q P O

《代数与几何前言》翻译

Before these methods are discussed, some background remarks on representations are needed. Two primary approaches to the representation of quadric surfaces have evolved; an algebraic one and a geometric one [4]. The algebraic approach is summarized in Section 2 and is characterized by the representation of all quadric surfaces in a single form. A single surface-surface intersection algorithm suffices in this approach. The geometric approach contrasts with the algebraic one primarily in that surfaces are type-dependent combinations of scalars, points, and vectors, and algorithms for surface-surface intersections are dependent upon the types of surfaces involved[4, 7, 12]. A number of problems exist with the exclusive use of the algebraic approach. These are well documented [4, 7, 15]. Indeed, the discovery of these problems in practice led to the development and use of the geometric approach. The problems relate primarily to a lack of numerical robustness, and we amplify on some of the in Section 2 after we have developed some requisite background material. Although geometric approaches work well when conic sections arise [5, 12], adequate methods based on these approaches when nonplanar intersecton curves result have not been described in the literature. Therefore, it has been suggested that geometric approaches be used to detect and describe conic sections when they arise, and that algebraic ones be used only after it has been determined that a nonplanar curve will result [12]. In this paper we describe how geometric approaches can be used for nonplanar intersections as well, and we note several advantages that arise from using these approaches. We consider here only the so-called natural quadrics[7], that is, the sphere, cylinder, cone, and plane. These are by far the most commonly occurring quadric surfaces used in modeling mechanical objects. The methods described herein can be employed with many of the remaining quadrics as well. As we observe later, however, some additional techniques will be needed for some of them, and there may well come a point at which a purely geometric approach ceases to be practical or even possible. 在讨论上述方法之前，有必要提及一些关于表示方法的背景知识。数学史至今已发展出两种表示二次曲面的主要方法：代数与几何【4】，代数方法在第二节有所总结，其特点是所有二次曲面均可由一种单一形式表示，在这种方法下，一个单一的面面相交算法就足够了。而几何方法正好相反，主要在于面的表示依赖于标量，点和向量的组合，并且面面相交的算法依面的类型而定【4,7,12】。在单独使用代数方法时出现了一些问题，这些都有详细记录【4,7,15】。实际上，正是这些在实践过程中发现的问题引领了几何方法的发展和使用。这些问题主要是缺乏数值的稳定性，在取得了一些必备的背景材料后我们在第二节对这些问题的一部分进行细致分析。尽管几何方法在圆锥曲面出现的场合中表现很好【5，12】，但当遇到非平面相交曲线时，基于这一方法的手段在这一文献中并不充分。因此，有建议说，在圆锥截面情况下，应当使用几何方法检测和描述它们，除此之外，只有当预知结果会是非平面曲线时，才应该使用代数方法【12】。在本文中，我们也会描述几何方法是如何解决非平面相交问题的，并且，我们强调了使用这些方法的一些优点。本文中，我们只考虑所谓的自然二次曲面【7】，也就是球面、圆柱、圆锥和平面。这些是目前为止在机械物体建模中最常见的二次曲面。这里描述的方法也可应用于很多其他类型的二次曲面。然而，我们后来发现，这些曲面中有一些需要引用额外手法，此外，有可能出

九年级数学代数几何综合题解析提高班教师版

1 中考第一轮复习代数与几何综合初步本讲包括两个方面：数形结合思想、方程函数与几何的综合. 数形结合思想从解题方法上主要分为两类：一是用“形”来解决“数”的问题，体现在数列计算、公式证明等方面；二是用“数”来解决“形”的问题，体现在用方程、函数最值等来解决图形中的计算或最值问题. 方程函数与几何的综合这部分主要侧重在题型上，将代数式、方程、各种函数及各种几何图形综合在一起，不仅将第一轮复习的内容很好的综合，也能锻炼同学们灵活运用各种知识点、方法解决问题的能力. 一、数形结合思想【例1】（1）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”，如图，在边长为1 的正方形纸板上，依次贴上面积为 2 1 ， 41，81 ，…，n 2 1的长方形彩色纸片（n 为大于1的整数），请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算+++81 4121…+n 2 1=___________. （2）利用图形可以计算正整数的乘法，请根据以下四个算图所示规律在右图中画出232312? 的算图（标出相应的数字和曲线） . （2009海淀初三期中）（3）数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题．通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果．教科书中利用几何图形证明乘法公式 () 2 222a b a ab b +=++的做法，就是一个非常典型的例子：如图，a 、b 分别表示一条线段的长度，则a+b 可以表示两条线段之和，那么()2 a b + 就可以表示正方形的面积．同样， a b b a b

初中数学专题-代数与几何综合题练习

初中数学专题-代数与几何综合题练习解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。教学建议：（1）因为代数与几何综合比较难，所以注意层次，由易到难，逐步递进，别使学生畏惧，应该增强学生的信心；（2）帮助学生分析问题、挖掘条件、展开联想，尽量多角度来分析问题，开阔学生思路；（3）养成类比、归纳形成方法的习惯。第一类：与反比例函数相关 1．（北京）如图，点C 为⊙O 直径AB 上一点，过点C 的直线交⊙O 于点D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF AB ⊥于点F ，EG AB ⊥ 于点G ．当点C 在AB 上运动时，设AF x =，DE y =，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（） 2．如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数)0(22≠+=a a m ax y 的图象经过正方形ABOC 的三个顶点 A 、B 、C ，则m 的值为． 3．（延庆）阅读理解：对于任意正实数a b ，，2()0a b -Q ≥， 20a ab b ∴-+≥，2a b ab ∴+≥，只有当a b =时，等号成立． A B C D

结论：在a b +≥a b ，均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a b +≥，只有当a b =时，a b + 有最小值．根据上述内容，回答下列问题：（1）若0m >，只有当m = 时，1 m m + 有最小值．（2）探索应用：已知(30)A -，，(04)B -，，点P 为双曲线12 (0)y x x =>上的任意一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，轴于y PD ⊥D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状． 4．（南通）已知双曲线k y x = 与直线1 4 y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线k y x =上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k y x = 于点E ，交BD 于点C ．（1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值． 5．（西城）已知：反比例函数2y x = 和8 y x = 在平面直角坐标系xOy 第一象限中的图象如图所示，点A 在8y x =的图象上，AB ∥y 轴，与2 y x =的图象交于点B ，AC 、BD 与x 轴平行，分别与2y x = 、8 y x =的图象交于点C 、D . （1）若点A 的横坐标为2，求梯形ACBD 的对角线的交点F 的坐标；（2）若点A 的横坐标为m ，比较△OBC 与△ABC 的面积的大小；（3）若△ABC 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点A 的坐标. （第3题）（第4题）

代数(算术)思维与几何思维

第三章代数（算术）思维与几何思维 “就几何和代数的学习而言，我们究竟应当采取‘分割’的作法，还是应当采取‘整合’的路子？” “当然，我们不应停留在纯粹的理论争论，而应积极地开展相应的实践活动；但是，就现实而言，有些问题之所以始终长期‘悬而未决’，其主要原因并不在于缺乏必要的实践，恰恰相反，这在很大程度上即是表明了相应的理论研究尚未达到应有的深度。 ※我就是这样常常实践，却不思考理论的指导意义。事实上，如果在理论的指导之下再进行实验，可以少走很多弯路。在我重读《课程标准》之后，我对分层教学实践活动的认识又深了一层。对理论的渴望重新上升到新的高度。 ※小学教材中“数与代数”、“空间与图形”是怎样“整合”在一起的？每一册中，以“单元”为单位，相对独立地呈现；以习题为形式，把这两大内容适时地综合。 3.1“凝聚”：算术与代数思维的基本形式所谓“凝聚”（encapsulation），笼统地说即是指由“过程”（process）向“对象”（entity）的转化。具体地说，在数学，特别是算术和代数中，有不少概念在最初是作为过程得到引入的，但最终又转化成了对象——对此我们不仅可以具体地研究它们的性质，也可以此为直接对象去施行进一步的运算（对于所说的“运算”，应作广义的理解，即其未必是指具体的运算，也可包括任何一种数学运作，甚至不一定要有明确的算法。） “凝聚”这一概念在数学教育领域中出现应当是是近一二十年的事；需强调的是，这又应被看成数学学习心理学、乃至数学教育专业化发展的一个重要成果，因为，相关的研究清楚地表明了这样一点：数学学习心理学（数学教育）不应被看成一般的学习心理学（一般教育理论）在数学教育领域中的简单应用，恰恰相反，我们应当切实立足于实际的数学教学与学习活动，并通过相对独立的研究引出自己的理论成果。毋宁说，我们所反对的主要是这样一种简单

代数几何综合题含答案

，即t DH=﹣﹣（，∴，即

，∴t= ，即BM= t=t （t ，∴，即CN=t t=10t t t t t t 化简得：t t= t=． t=秒或t=秒时， °， DE= ，

＜ DFE=，∴∠ == MN ，即MN= BD﹣ （x ﹣

NF= MN MN+x=MN MN= AB BF ×x ＜=（=﹣ y= y=﹣、

争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015 分析：（1）令y=0，解方程x 2 ﹣x ﹣3=0可得到A 点和D 点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C 点坐标；（2）根据抛物线的对称性，可知在在x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x 轴上方，存在两个点，这两个点分别到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离；（3）根据梯形定义确定点P ，如图所示：①若BC ∥AP 1，确定梯形ABCP 1．此时P 1与D 点重合，即可求得点P 1的坐标；②若AB ∥CP 2，确定梯形ABCP 2．先求出直线CP 2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P 2的坐标．解：（1）∵y=x 2 ﹣x ﹣3，∴当y=0时，x 2 ﹣x ﹣3=0，解得x 1=﹣2，x 2=4．当x=0，y=﹣3． ∴A 点坐标为（4，0），D 点坐标为（﹣2，0），C 点坐标为（0，﹣3）；（2）∵y=x 2 ﹣x ﹣3，∴对称轴为直线x= =1． ∵AD 在x 轴上，点M 在抛物线上， ∴当△MAD 的面积与△CAD 的面积相等时，分两种情况： ①点M 在x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M 与点C 关于直线x=1对称， ∵C 点坐标为（0，﹣3），∴M 点坐标为（2，﹣3）； ②点M 在x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M 点到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离3．当y=4时，x 2 ﹣x ﹣3=3，解得x 1=1+，x 2=1﹣ ， ∴M 点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，所求M 点坐标为（2，﹣3）或（1+ ，3）或（1﹣ ，3）；（3）结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P 满足题意： ①若BC ∥AP 1，此时梯形为ABCP 1．由点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，可知BC ∥x 轴，则P 1与D 点重合， ∴P 1（﹣2，0）．∵P 1A=6，BC=2，∴P 1A ≠BC ，∴四边形ABCP 1为梯形； ②若AB ∥CP 2，此时梯形为ABCP 2． ∵A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（2，﹣3），∴直线AB 的解析式为y=x ﹣6， ∴可设直线CP 2的解析式为y=x+n ，将C 点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3， ∴直线CP 2的解析式为y=x ﹣3．∵点P 2在抛物线y=x 2 ﹣x ﹣3上， ∴x 2 ﹣x ﹣3=x ﹣3，化简得：x 2 ﹣6x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=6， ∴点P 2横坐标为6，代入直线CP 2解析式求得纵坐标为6，∴P 2（6，6）． ∵AB ∥CP 2，AB ≠CP 2，∴四边形ABCP 2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P 的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．

2018年中考数学压轴题之代数与几何综合题

广东中考数学专题训练（三）：代数与几何综合题（动态压轴题）例题训练 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 为正方形，点A (0，2)．点D 为OB 边上一动点，连接AD ，向上作DE ⊥AD 并在DE 上取DE=AD 交BC 于点F ，连接CD 、CE 和BE ，设点D 的坐标为(x ，0)．（1）填空：点C 的坐标为____；（2）设y=S ?CDE ，求y 关于x 的关系式，并求y 的最小值；（3）是否存在这样的x 值，使?CBE 为等腰三角形？若存在，求出对应的x 值；若不存在，请说明理由．

2．如图，Rt ?ABC 和Rt ?CDE 全等（点B 、C 、E 共线），∠B=∠E=90°，AB=CE=6cm ，∠ACB=∠CDE=30°，连接CE ，并取CE 中点F ．点M 、N 分别为BC 、CD 边上动点，和2cm/s 的速度以点B →C ，点C →D 的方向运动，连接FM 、MN 和FN ，设运动的时间为t (s )(0≤t≤2)．（1）填空：∠CAD =____°；（2）设S=S ?FMN (cm 2)，求S 关于t 的关系式，并求S 的最大值；（3）是否存在这样的t 值，使FN 与CD 的夹角为75°？若存在，求出对应的t 值；若不存在，请说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点 0)，点C (0，2)．点D 为BC 边上一动点，将COD 沿OD 对折成EOD ，将点B 沿点O 和BA 边上一点F 的连线对折使其落在射线DE 上的点G 处．（1）填空：∠ODF =____°；（2）设点D (x ，2)，点F ( y )，求y 关于x 的关系式，并求出当x 从0增大到点F 的运动路程；（3）在（2）的条件下，当点G 落在x 轴上时： ①求证：CD=AG ； ②求出此时x 的值．图（1）图（2）

几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复

几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复习策略初中数学传统上分为几何和代数（以下简称“几代”）两部分，于是几、代的有机结合也就成为初中数学的一个落脚点，因此几代相结合的综合题型也就理所当然成为中考的重点、难点与焦点。几代相结合的综合题常以“起点低、入口宽、步步高”的特点呈现，并以“思想方法立意”和“能力立意”为创新点。从某一角度上讲可分为“几何背景代数解法”和“代数背景几何解法”两大类。下面就谈谈几代相结合的综合题型的复习要点和复习策略：一、几代综合题的复习要点 1、基础知识的复习仍是几代综合题复习的前提与基础，否则几代综合题的复习就成为无本之木，无源之水几代综合题是基于几何、代数基本知识之上，它的解法其实就是对各基础知识的综合、灵活的运用，因此全面复习好几何与代数基础知识，对于几代综合题的复习至关重要。其包含的基础知识主要有：代数基础知识：数的运算、式的变形、方程、不等式的解法、函数的图象与性质。几何基础知识：几何变换、平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定（含全等三角形）、勾股定理与三角函数、圆中的位置关系及其判定。【例1】已知，在Rt △OAB 中，∠OAB =90°，∠BOA =30°，AB =2. 若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内. 将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在点C 处. （1）直接写出A 的坐标；（2）若抛物线bx ax y +=2 （0≠a ）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；（3）若(2)中抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段 DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M. 问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM . 简析：（1）利用特殊三角形的性质直接写出A 的坐标是解直角三角形的最基本的知识。（2）通过解直角三角形求点C 的坐标，并利用待定系数法求解析式是确定解析式的基本方法。 (3) 在作好图形的基础上，探索要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CM=DP ，从而转化为方程问题并求解，这也是对于等腰梯形判定的最低要求。由此可见，基础知识的复习是解题的基础，实不可忽视。 2、数学思想方法及其灵活运用永远是数学复习的重点内容，也是几代综合题解法的关键所在对于初中阶段常见的数学思想、方法应熟练地掌握，并灵活地运用。如：数形结合、分类讨论、运动变化、方程、不等式、函数、转化化归等数学思想；待定系数法、面积法、配方法、图象法、公式法、反证法等数学方法。【例2】如图2—①，已知直线128 :33 l y x = +与直线2:216l y x =-+相交于点C ，1l 、2l 分别交x 轴于A 、B 两点．矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线1l 、2l 上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求点B 、点D 的坐标；（2）求ABC △的面积；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与 ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．简析：（1）（2）略（3）解题的关键是利用数形结合，结合运动变化思想，通过分类讨论、把问题转化为①当03t <≤时，（如图2—②）、②当38t ≤<时，（如图2—③）、③ 当812t ≤≤时，（如图2—④）等三种情况并加于解决，其中还用到了方程思想、图象法等数学思想方法。（图2—①）

几何与代数各章知识点概述

几代复习指导目录第一部分行列式第二部分矩阵的运算第三部分矩阵的初等变换和矩阵的秩第四部分向量组的线性相关性和向量组的秩第五部分线性方程组第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量第七部分实对称矩阵和二次型第八部分空间解析几何

第一部分行列式一．定义 1．定义设() ij n n A a ?=，则121212(,)12,(1)n n n i i i i i ni i i i A a a a τ= -∑ 是!n 项代数和；不同行，不同列；正、负号。【例1】 32241342a a a a 是不是4阶行列式中展开式中的项，正、负号是什么？不是【例2】 512312 123122x x x x x x 中34,x x 的系数。345,10x x - 2．注：（1）. 对角线法则一般地不再成立。举例。（2）. 记住上、下三角阵的行列式。二．性质 1．性质（1）行列式的基本性质；（2）按行（列）展开；（3）乘法定理。 2．需记住的结果：（1） Vandermonde 行列式；（2）分块上、下三角阵的行列式。 3．例：【例3】已知 () 33 1 2 A α α α ?=，()33122323232B αααααα?=+-+，2A =，求B 。 1232312321327277714B A αααααααααααα=+-+=+-=-== 【例4】已知120200561,350350461A B ???? ? ?== ? ? ? ????? 。求31 A B -。 4．注：

（1）矩阵的加法、数乘之后的行列式；（2）容易出现的错误： 11 03 27253721 2--r r ； * 0* 07/2,7253722 112r r r r --; （3）分块矩阵的行列式. 三．计算 1．典型方法：（1）化成低阶行列式；（2）化成三角形行列式。 2．注：很少直接用定义计算；应先化简，后计算。 3．例【例5】 1314 1516 ；【例6】 201331 21023123 1 4 -；【例7】 1 23 4 11 1 1111111111 1 1 1λλλλ++++，1234,,,λλλλ均不为零；【例8】 11 1 222 a a n n n a +++ ；【例9】 1231122 11132345122 3 4 1 n n n n n n n n n n ------ ；

09复旦考研代数与几何试题

代数与几何一、高等代数 1.（1）V 为实数域上的二维线性空间，线性变换:T V V →在某组基12,αα下的矩阵为* **a ?? ??? （a 为实数），求T 的所有不变子空间。（2）A 为m n ?的实矩阵，p 为任意m 维列向量求证''A AX A β=对任意β总有解 2.2M 为二阶实方阵全体，2A M ∈,1002?? ? ? ? ???,2001?? ? ? ? ???,0310?? ? ? ? ???,0140?? ? ? ? ??? 分别对应A 的特征值1，2，1，3的特征向量（1）确定A （2）设N 是2M 中可与A 交换的矩阵的全体，试确定这个空间的维数，并给出N 的一般表达式。 3.设22223463x axz y yz z ++++=经过保持距离的线性变换'''x x y P y z z ???? ? ?= ? ? ? ????? 变为222 33x y bz '''++=，试确定非负参数,a b 的值，并求出P 。 4.A 为一矩阵，()g x 为A 的最小多项式，()f x 为一多项式，试证()f A 可逆的充要条件是((),())1f x g x =。 5.,,B C D 分别为,,m m m n n n ???矩阵，,B D 为对称阵。试确定下面两个条件等价（1）T B C C D ?? ??? 正定（2）B 正定，1T D C B C --正定 6.V 为复数域上的线性空间，σ为其上的线性变换。证明：总存在正整数m ，使得

Im ker m m σσ+是之和，且Im ker m m V σσ=⊕。 7.A 为复数域上的矩阵，试证：（1）A 总可以分解为A B C =+，其中B 相似于对角阵，C 为幂零阵（所谓幂零阵指存在正整数m ，满足0m C =）（2）若A 只有一个特征值，则上述分解式是唯一的二、抽象代数（45分） 1.,p q 为不同素数，G 为pq 阶群，试证G 为循环群。 2.至少含两个元素的无零因子的有限环为除环。 3.设2M 为数域K 上二阶方阵全体构成的环，()[]f x K x ∈，22(){()|}f x M f x A A M =∈ （1）证明2()f x M 为2M 的理想（2）试证2M 的任一理想可以表示成2()f x M 的形式。备注：涉及到具体数字的地方可能有错误。输入上的错误请自行改正。