函数、方程、不等式综合应用

2012年中考复习二轮材料

函数、方程、不等式综合应用专题

一、专题诠释

函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的灵活应用等。函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。

这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。

二、解题策略和解法精讲

函数与方程、函数与不等式密不可分，紧密联系。

利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与x轴的交点坐标问题，利用Δ与0的关系可以判定二次函数与x轴的交点个数等。等式与不等式是两种不同的数量关系，但在一定条件下又是可以转化的，如一元二次方程有实数根，可得不等式Δ≥0等。

一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－b/a，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；?直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．

一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。

两条直线的位置关系与二元一次方程组的解：

（1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．（2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2．

（3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．在复习中，本专题应抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系，以期在综合运用中灵活把握。

三、考点精讲

考点一：函数与方程（组）综合应用

例1．（2010广西梧州）直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b ＝0的解是x＝______

【分析】∵直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则x＝2时，y＝0，∴关于x的方程2x+b＝0的解是x＝2。

【解答】2

【评注】本题考察的灵活运用所学的一次函数知识解决问题的能力，方法可以不同，但直接把函数转化为方程，理解它们之间的对应关系，无需求b 值，就会加快解题速度。

例2．（2010青海）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．

（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？

【分析】（1）根据利润的等量关系，列出方程，再根据题意，舍掉x 1（2）代入-=x a b 2即可

【解答】解：（1）设每千克应涨价x 元，列方程得：(5+x)(200－x)=1500

解得：x 1=10 x 2=5 因为顾客要得到实惠，5＜10

所以 x=5

答：每千克应涨价5元．

（2）设商场每天获得的利润为y 元，则根据题意，得

y=( x +5)(200－10x)= －10x 2+150x －500

当x=5.7)

10(21502=-?-=-a b 时,y 有最大值. 因此，这种水果每千克涨价7.5元时，能使商场获利最多

【评注】（1）中列方程解应用题关键是找出相等关系, 根据实际情况，解答的取舍很关键，这是个易错点（2）中二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的最值即可解题．

考点二：函数与不等式（组）综合应用

例1．（2010江苏镇江）深化理解

对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为

即：当n 为非负整数时，如果11,22

n x n -+≤<则＝n 如：<0>＝<0.48>＝0，<0.64>＝<1.493>＝1，<2>＝2，<3.5>＝<4.12>＝4，…

试解决下列问题：

（1）填空：①<π>＝ （π为圆周率）；

②如果<2x －1>＝3，则实数x 的取值范围为 ；

（2）①当><+>=+<≥x m m x m x :,,0求证为非负整数时；

②举例说明><+>>=<+

（3）求满足43

x x <>=

的所有非负实数x 的值； （4）设n 为常数，且为正整数，函数y ＝x 2－x ＋14的自变量x 在n ≤x ≤n ＋1范围内取值

时，函数值y 为整数的个数记为a ；满足n <=的所有整数k 的个数记为b .

求证：a ＝b ＝2n .

【分析】(1)第一空：π≈3，所以填3；第二空：根据题中的定义得3-12≤2x －1＜3+12，解这个不等式组，可求得x 的取值范围；（2）根据定义进行证明和举反例；（3）用图象法解，可设y ＝，y ＝

43x ，在直角坐标系中画出这两函数的图象，交点的横坐标就是x 的值．（4）根据在12

＜n ≤x ≤n ＋1范围内y 随x 的增大而增大，所以可得出y 的取值范围，从而求出y

的整数解的个数，同样地由定义得，1122

n n -?+，把此式两边平方可得2211()(),22

n k n -?+k 与y 的取值范围一致．所以a ＝b. 【解答】（1）①3；②

x 79≤<44 2211()(),22n k n -?+ （2）①证明：

[法一]设＝n ，则n －12≤x ＜n ＋12

，n 为非负整数； 又(n ＋m )－12≤x ＋m ＜(n ＋m )＋12

，且m ＋n 为非负整数， ∴＝n ＋m ＝m ＋

[法二]设x ＝k ＋b ，k 为x 的整数部分，b 为其小数部分

1）当0≤b ＜0.5时，＝k

m ＋x ＝(m ＋k )＋b ，m ＋k 为m ＋x 的整数部分，b 为其小数部分

＝m ＋k

∴＝m ＋

2）当b ≥0.5时，＝k ＋1

则m ＋x ＝(m ＋k )＋b ，m ＋k 为m ＋x 的整数部分，b 为其小数部分

＝m ＋k ＋1

∴＝m ＋

综上所述：＝m ＋

②举反例：<0.6>＋<0.7>＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7>＝<1.3>＝1，

∴<0.6>＋<0.7>≠<0.6＋0.7>，∴＋＝ 不一定成立．

（3）[法一]作x y x y 3

4,=>=<的图象，如图 （注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分）

y ＝的图象与y ＝

43x 图象交于点(0，0)、3(,1)4、3(,2)2 ∴x ＝0，33,42

[法二]∵x ≥0，

43x 为整数，设43

x ＝k ，k 为整数 则x ＝34k ，∴＜34k ＞＝k ，∴131,0242k k k k -≤<+≥ ∵0≤k ≤2，∴k ＝0，1，2

∴x ＝0，33,42

（4）∵函数y ＝x 2－x ＋

14＝(x －12)2，n 为整数， 当n ≤x ＜n ＋1时，y 随x 的增大而增大，

∴(n －

12)2≤y ＜(n ＋1－12)2即(n －12)2≤y ＜(n ＋12

)2， ① ∴n 2－n ＋14≤y ＜n 2 ＋n ＋14，∵y 为整数 ∴y ＝ n 2－n ＋1，n 2－n ＋2，n 2－n ＋3，…，n 2－n ＋2n ，共2n 个y .

∴a ＝2n ② （8分） 则,)2

1()21(,212122+<≤-∴+<≤-n k n n k n ③ 比较①，②，③得：a ＝b ＝2n

【评注】这是一道创新题，要求学生读懂定义，能用定义解决简单的实际问题，然后能更进一步地结合已经学过的知识进行拓展，是一道不易的压轴题，学生要在短时间解决此问题，要求平时的学习要有一定的创新思维，特别是自学习能力的培养显得尤为重要．就这题而言，对不等式组，及不等式组的整数解的应用要掌握得非常熟练，还有二次函数式的变形能力也要求较高．

例2．（2010湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业

的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90

万元．已知这种设备的月产量

x （套）与每套的售价y 1（万元）之间满足关系式y 1=170-2x ，月产量x （套）与生产总成本y 2（万元）存在如图所示的函数关系.

（1）直接写出．．．．y 2与x 之间的函数关系式；

（2）求月产量x 的范围；

（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的利润W （万元）最大？最大利润是多少？

【分析】（1）用待定系数法，根据图形容易求解；（2）根据题意列不等式组，可求得月产量x 的范围；（3）利用利润=总售价-总成本，根据二次函数的性质求解.

【解答】解：（1）y 2=500+30x.

（2）依题意得：???≥-≤+.

902170,5030500x x x 解得：25≤x ≤40

（3）∵W =xy 1-y 2=x (170-2x )-(500+30x )=-2x 2+140x -500,

∴W =-2(x -35)2+1950.

而25<35<40, ∴当x =35时，1950=最大W .

即月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．

【评注】本题是一次函数、二次函数的综合运用的最优方案设计问题，是中考的热点题型，也是代数知识部分的核心知识.

考点三：方程（组）与不等式（组）综合应用

例1．（2010四川内江）已知非负数a ，b ，c 满足条件a ＋b ＝7，c －a ＝5，设S ＝a ＋b ＋c 的最大值为m ，最小值为n ，则m －n ＝ .

【分析】把a ＋b ＝7和c －a ＝5两式相加，即可得b ＋c ＝12，所以S ＝a ＋b ＋c ＝a ＋12，故确定S 的最大值和最小值的关键就是确实a 的取值范围.由a ＋b ＝7得b ＝7－a ，根据a ≥0，b ≥0,有7－a ≥0，所以0≤a ≤7；由c －a ＝5，得c ＝5＋a ，因为c ≥0，所以5＋a ≥0，即a ≥－5，由于a ≥0，所以一定有a ≥－5，所以0≤a ≤7，所以m ＝7＋12＝19，n ＝0＋12＝12，从而m －n ＝7－0＝7.

【解答】7

【评注】代数式的最值问题是中学数学中比较常见的问题，这类问题解法多样，灵活性较强，常用的方法有：配方法、计算法、消元法、构造法、换元法、利用基本不等式法，等等.

例2．（2010福建福州）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元．用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．

（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?

（2）郑老师计划用l000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后．余下不少于l OO 元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?

【分析】利用购买3个书包和2本词典的总价及二者单价间的关系可用一元一次方程求出书包和词典的单价；而在（2）中，根据购买书包和词典的价格范围列一元一次不等式组求出书包的范围，再根据书包的取值为正整数求出方案．

【解答】（1）解：设每个书包的价格为x 元，则每本词典的价格为(x －8)元．根据题意得：

3 x +2(x －8)＝124

解得：x ＝28．

∴ x －8＝20．

答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．

（2）解：设昀买书包y 个，则购买词典(40－y )本．根据题意得：

1000[232040]11000[282040]120y y y y -+-??-+-?

（），（）．≥≤ 解得：10≤y≤12.5．

因为y 取整数，所以y 的值为10或11或12．

所以有三种购买方案，分别是：

①书包10个，词典30本；

②书包11个，词典29本；

③书包12个，词典28本．

【评注】利用一元一次方程（或二元一次方程组）与一元一不等式组结合来设计方案问题是中考的热点．解答这类问题关键是根据题意列出不等关系，再根据实际问题求出不等式（或组）的整数解来确定方案

考点四：函数、方程（组）与不等式（组）综合应用

例1．（2010湖南衡阳）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆。由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装。生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车。

（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？

（2）如果工厂招聘n （0

（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W （元）尽可能的少？

【分析】（1）可列方程组解决问题；（2）是一个不等问题，可设需熟练工m 名可列出二元一次方程和不等式；（3）根据一次函数性质解答.

【解答】(1) 每名熟练工和新工人每月分别可以安装x 、y 辆电动汽车，根据题意可列方程 ???=+=+143282y x y x ，解得?

??==24y x 答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车.

（2）设需熟练工m 名，依题意有：2n×12+4m×12=240，n=10-2m

∵0

（3）依题意有 W=1200n+（5-12n ）×2000=200 n+10000，要使新工人的数量多于熟练工，

满足n=4、6、8，故当n=4时，W 有最小值=10800元

【评注】新课程标准倡导数学来源于生活，又服务于生活.一次函数一种重要的数学模型，

利用一次函数知识可以解决许多实际问题.在近年来中考中，出现了不少关注社会热点，运用一次函数知识求解生活中实际问题的试题.这些试题不仅考查同学们对一次函数知识的掌握情况，而且考查同学们分析问题和解决问题的能力.

例2．（2010湖北十堰）如图所示，某地区对某种药品的需求量y 1（万件），供应量y 2

（万件）与价格x （元/件）分别近似满足下列函数关系式：y 1=－x + 70，y 2=2x －38，需求量为0时，即停止供应.当y 1=y 2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量.

（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量.

（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？

（3）由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，

以利提高供应量.根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量.

【分析】（1）由题意知当y 1=y 2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量，即把y 1=－x + 70，y 2=2x －38联立方程组求解.（2）求该药品的需求量低于供应量时的价格范围，从图象上看就是求交点右侧部分所对应的自变量x 的范围.（3）正确理解题意是关键，通过联立方程组求解.稳定需求量增加6万件，即y 1=34+6=40万件；供应量等于需求量，即y 1=y 2.

【解答】解：（1）由题可得12

70238y x y x =-+??=-?， 当y 1=y 2时，即－x +70=2x －38

∴3x =108，∴x =36

当x =36时，y 1=y 2=34，所以该药品的稳定价格为36元/件，稳定需求量为34万件.

（2）令y 1=0，得x =70，由图象可知，当药品每件价格在大于36元小于70元时，该药品的需求量低于供应量.

（3）设政府对该药品每件价格补贴a 元，则有

346703462()38x x a +=-+??+=+-?，解得309x a =??=?

所以政府部门对该药品每件应补贴9元.

【评注】应用函数解决实际问题是中考考查的重点．本题以药品供应及需求为背景，综合考查一次函数与一元一次不等式、方程的关系，具有一定的效度.

四、真题演练

1.（2010年黑龙江哈尔滨中考题）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30

米的游戏场地，

元/件)

围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．

（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长.

2.（2010年湖北襄樊中考题）为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机

售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A、B两种型号的收割机共30台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15

设公司计划购进A型收割机x台，收割机全部销售后公司获得的利润为y万元．

（1）试写出y与x的函数关系式；

（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？

（3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？

3.（2010年山东济宁中考题）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．

（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？

（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来．

4.（2010年四川内江中考题）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销

售，销售后获利的情况如下表所示：

吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.

⑴如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？

⑵如果先进行精加工，然后进行粗加工.

①试求出销售利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式；

②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多可获得多少利润？此时如何分配加工时间？

【答案】

1.解：（1）根据题意x x AD -=-=152

230 x x x x S 15)15(2+-=-=

（2）当S=50时50152=+-x x 整理得050152=+-x x

解得10,521==x x

当AB=5时，AD=10；当AB=10时，AD=5，

AD AB < ∴AB=5

答：当矩形ABCD 的面积为50平方米且AD AB <时，AB 的长为5米.

2.解：（1）y =(6－5.3)x +(4－

3.6)(30－x )=0.3x +12．

（2）依题意，有 5.3(30) 3.6130,0.31215.

x x x +-???+?≤≥ 即1612,1710.x x ?????

≤≥∴10≤x ≤121617． ∵x 为整数，∴x =10，11，12．

即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择：

方案1：购A 型收割机10台，购B 型收割机20台；

方案2：购A 型收割机11台，购B 型收割机19台；

方案3：购A 型收割机12台，购B 型收割机18台．

（3）∵0.3＞0，∴一次函数y 随x 的增大而增大．

即当x =12时，y 有最大值，y 最大=0.3×12+12=15.6（万元）．

此时，W=6×13%×12+4×13%×18=18.72（万元）．

3.解：设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设（x ﹣20）米． 根据题意得：

20

250350-=x x ． 解得x ＝70．

检验:x ＝70是原分式方程的解．

答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．

（2）解：设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队（1000﹣y ）米． 由题意，得???????≤-≤.10501000,1070y y 解得700500≤≤y ． 所以分配方案有3种．

方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；

方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；

方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．

4.解：⑴设应安排x 天进行精加工，y 天进行粗加工，

根据题意得：???x ＋y ＝12，5x ＋15y ＝140.

解得???x ＝4，y ＝8.

答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工．

⑵①精加工m 吨，则粗加工（140－m ）吨，根据题意得：

W ＝2000m ＋1000（140－m ）

＝1000m ＋140000.

②∵要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，

∴m 5＋140－m 15

≤10解得 m ≤5. ∴0＜m ≤5.

又∵在一次函数W ＝1000m ＋140000中，k ＝1000＞0，

∴W 随m 的增大而增大，

∴当m ＝5时，W max ＝1000×5＋140000＝145000.

∴精加工天数为5÷5＝1，

粗加工天数为（140－5）÷15＝9.

∴安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元．

第二部分 练习部分

1.（2010年四川绵阳中考题）已知关于x 的一元二次方程x 2 = 2（1－m ）x －m 2 的两实数根为x 1，x 2．

（1）求m 的取值范围；

（2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．

2.（201年山东淄博中考题）已知关于x 的方程014)3(222=--+--k k x k x ．

（1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围；

（2）若这个方程有一个根为1，求k 的值；

（3）若以方程014)3(222=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数x

m y =的图象上，求满足条件的m 的最小值．

3.（2010四川巴中中考题）“保护环境，人人有责”为了更好的治理巴河，巴中市污水处

理厂决定购买A、B两型污水处理设备，共10台，其信息如下表：

(1)设购买A型设备x台，所需资金共为W万元，每月处理污水总量为y吨，试写出W与x，y与x的函数关系式．

(2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过106万元，月处理污水量不低于2040吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金?

4.（2010年广西玉林中考题）玉柴一分厂计划一个月（按30天计）内生产柴油机500台。

（1）若只生产一种型号柴油机，并且每天生产量相同，按原先的生产速度，不能完成任务；如果每天比原先多生产1台，就提前完成任务。问原先每天生产多少台？

（2）若生产甲、乙两种型号柴油机，并且根据市场供求情况确定；乙型号产量不超过甲型号产量的3倍。已知：甲型号出厂价2万元，乙型号出厂价5万元，求总产值w最大是多少万元。

5.（2010年四川成都中考题）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每

年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请

你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．

6.（2010年广西河池中考题）去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．

（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？

（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部

．．运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；

（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？

7.（2010年浙江嵊州中考题）为支持玉树搞震救灾，某市A、B、C三地现分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需全部运往玉树重灾地区D、E两县，根据灾区情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。

（1）求这赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？

（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整

数），B 地运往D 县的赈灾物资数量小于A 地运往D 县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往E 县，且B 地运往E 县的赈灾物资数量不超过25吨，则A 、B 两地的赈灾物资运往D 、E 两县的方案有几种？

（3）已知A 、B 、C 三地的赈灾物资运往D 、E 两县的费用如下表：

2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？

8.（2010年福建泉州中考题）如图所示，已知抛物线k x x y +-=24

1的图象与y 轴相交于点)1,0(B ，点(,)C m n 在该抛物线图象上，且以BC 为的⊙M 恰好经过顶点A ．

（1）求k 的值；

（2）求点C 的坐标；

（3）若点P 的纵坐标为t ，且点P 在该抛物线的对称轴l 上运动，试探索：

①当12S S S <<时，求t 的取值范围（其中：S 为△PAB 的面积，1S 为△OAB 的面

积，2S 为四边形OACB 的面积）；

②当t 取何值时，点P 在⊙M 上．（写出t 的值即可）

【答案】

1.解:（1）将原方程整理为x2+2（m －1）x+m2=0．

∵原方程有两个实数根，

∴△=[2（m －1）2－4m2=－8m+4≥0，得m≤2

1． （2）∵x1，x2为x2+2（m －1）x+m2=0的两根，

∴y=x1+x2=－2m+2，且m≤2

1． 因而y 随m 的增大而减小，故当m=2

1时，取得极小值1．

2.解:（1）由题意得△＝()[]()

1443222--?---k k k ≥0 化简得102+-k ≥0，解得k ≤5．

（2）将1代入方程，整理得2660k k -+=，解这个方程得13k =23k =（3）设方程014)3(22

2=--+--k k x k x 的两个根为1x ，2x ，

根据题意得12m x x =．又由一元二次方程根与系数的关系得21241x x k k =--， 那么()52142

2--=--=k k k m ，所以，当k ＝2时m 取得最小值－5

3.解：(1)x x x w 2100)10(1012+=-+=，

x x x y 202000)10(200240+=-+=

(2)???≥+≤+2040

2020001062100x x ，解得32≤≤x ，所以有两种方案：方案一：2台A 型设备、8台B 型设备，方案二：3台A 型设备、7台B 型设备，方案一需104万元资金，方案二需106万元资金，所以方案一最省钱，需要104万元资金

4.解：（1）解：设原先每于生产x 台，故有

3050030(1)500x x ??+?解得475033

x 因x 是正整数，所以x ＝16 答：略

（2）设甲型号机为m 台，则乙型号机为500－m ，且有500－m ≤3m m≥125

而w ＝2m ＋3（500－m ）＝－m ＋1500因为一次函数的一次项系数为负，故w 随m 的增大而减少，故当m ＝125时，w 的值最大，最大值是－125＋1500＝1250万元

答：略

5.解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x 。根据题意，得

2150(1)216x +=

解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）。

答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。

（2）设全市每年新增汽车数量为y 万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为21690%y ?+万辆，2011年底全市的汽车拥有量为(21690%)90%y y ?+?+万辆。根据题意得 (21690%)90%231.96y y ?+?+≤

解得30y ≤

答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。

6.（1）解法一:设饮用水有x 件，则蔬菜有()80x -件.依题意，得

320)80(=-+x x

解这个方程，得200=x ，12080=-x

答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件．

解法二：设饮用水有x 件，蔬菜有y 件.依题意，得

???=-=+80

320y x y x 解这个方程组，得?

??==120200y x 答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件．

（2）设租用甲种货车m 辆，则租用乙种货车()8m -辆.依题意，得

4020(8)20010m 20(8)120

m m m +-??+-?≥≥ 解这个不等式组，得24m ≤≤

m 为整数，∴m ＝2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．

设计方案分别为：

①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆．

（3）3种方案的运费分别为：

①2×400+6×360＝2960元；②3×400+5×360＝3000元；③4×400+4×360＝3040元．

∴方案①运费最少，最少运费是2960元．

答:运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元

7.（1）设这批赈灾物资运往D 县的数量为a 吨，运往E 县的数量为b 吨．

由题意，得280220a b a b +=??=-?，．

解得180100a b =??=?，．

答：这批赈灾物资运往D 县的数量为180吨，运往E 县的数量为100吨． （2）由题意，得12022025x x x -

-?≤，． 解得4045x x >???

≤，．即4045x <≤． x 为整数，x ∴的取值为41，42，43，44，45．

则这批赈灾物资的运送方案有五种．

具体的运送方案是：

方案一：A 地的赈灾物资运往D 县41吨，运往E 县59吨；

B 地的赈灾物资运往D 县79吨，运往E 县21吨．

方案二：A 地的赈灾物资运往D 县42吨，运往E 县58吨；

B 地的赈灾物资运往D 县78吨，运往E 县22吨．

方案三：A 地的赈灾物资运往D 县43吨，运往E 县57吨；

B 地的赈灾物资运往D 县77吨，运往E 县23吨．

方案四：A 地的赈灾物资运往D 县44吨，运往E 县56吨；

B 地的赈灾物资运往D 县76吨，运往E 县24吨．

方案五：A 地的赈灾物资运往D 县45吨，运往E 县55吨；

B 地的赈灾物资运往D 县75吨，运往E 县25吨．

（3）设运送这批赈灾物资的总费用为w 元．由题意，得

220250(100)200(120)220(20)2006021020w x x x x =+-+-+-+?+? 1060800x =-+．

因为w 随x 的增大而减小，且4045x <≤，x 为整数．

所以，当41x =时，w 有最大值．则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：

60930w =（元）

．

8.解：（1）∵点B （0，1）在抛物线k x x y +-=

241上 ∴k ＝1．

（2）∵22)2(4

1141-=+-=x x x y ∴A （2，0），抛物线的对称轴为直线x ＝2

∵B （0，1）、C （m ，n ）

∴AB ＝51222=+，AC ＝22)2(n m +-，BC ＝

22)1(-+n m

∵以BC 为直径的圆过点A

∴∠BAC ＝90°

∴AB 2＋AC 2＝BC 2即2

222)1()2(5-+=+-+n m n m 亦即n ＝2m －4

又∵点C （m ，n ）在抛物线2

)2(41-=x y 上 ∴2)2(41

-=m n ∴由?????-=-=2)2(41

4

2m n m n 解得???==0211n m ，

???==16

1022

n m

∴C （2，0）或C （10，16）．

（3）①显然点C （2，0）不符合题意，故C （10，16）． 此时，S 1＝S △OAB ＝11221

21

=??=?OB OA ，

S 2＝S 四边形

OACB ＝21648516821

)161(1021

=-=??-+??，

S ＝S △PAB ＝t t =??221

∵S 1＜S ＜S 2

∴1＜t ＜21

∴1＜t ＜21或－21＜t ＜－1即为所求．

②当t 取0或1或17时，点P 在⊙M 上．