高三数学寒假作业九

高三数学寒假作业九

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。 1．已知集合A C x

y x A R U U 则集合},11|{,-=== （ ）

A ．}10|{<≤x x

B ．}10|{≥

C ．}1|{≥x x

D ．}0|{

2．已知向量n ?=+==||),,2(),1,1(若，则n= （ ）

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

3．有关命题的说法错误的是

（ ）

A ．命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为：“若023,12≠+-≠x x x 则”

B ．“x=1”是“0232

=+-x x ”的充分不必要条件 C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题

D ．对于命题使得R x p ∈?:012

<++x x ，则01,:2≥++∈??x x R x p 均有

4．三视图如右图的几何体的全面积是

（ ）

A ．22+

B ．21+

C ．32+

D ．31+

5．已知函数]4

,3[)0(sin 2)(π

πωω-

>=在区间x x f

上的最大值是2，则ω的最小值等于（ ） A ．

3

2 B ．

2

3

C ．2

D ．3

6．设a,b 是两个实数，且a ≠b ，①,3

2

2

3

5

5

b a b a b a +>+②)1(22

2

--≥+b a b a ，③ 2>+a

b

b a 。上述三个式子恒成立的有 （ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

7．各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且132,21

,a a a 成等差数列，则5

443a a a a ++的值为

（ ）

A ．

2

5

1- B ．

2

1

5+ C ．

2

1

5- D ．

215+或2

1

5-

8．设)()(,)()(x f y x f y x f x f '=='和将的导函数是函数的图象画在同一个直角坐标系 中，不可能正确的是

（ ）

9．已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 （ ）

A ．

9

2

B ．

3

2 C ．

31 D ．

9

1 10．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘法方法数为

（ ）

A ．40种

B ．50种

C ．60种

D ．70种

11．已知抛物线1)0(222

222

=->=b

y a x p px y 与双曲线有相同的焦点F ，点A 是两曲线

的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 （ ）

A ．

2

1

5+ B ．13+ C ．12+

D ．

2

1

22+ 12．一次研究性课堂上，老师给出函数)(|

|1)(R x x x

x f ∈+=

，甲、乙、丙三位同学在研

究此函数时分别给出命题： 甲：函数)1,1()(-的值域为x f ； 乙：若21x x ≠则一定有)()(21x f x f ≠；

丙：若规定*|

|1)()),(()(),()(11N n x n x

x f x f f x f x f x f n n n ∈+===-对任意则恒

成立

你认为上述三个命题中正确的个数有

（ ）

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．若)2tan(,3)tan(,2tan αβαβα-=-=则的值为 ；

14．以椭圆

114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116

92

2=-y x 的渐近线相切的圆的方程为 ；

15．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，

其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积 V= ； 16．已知5

3

2

)51(x

x -

1的展开式中的常数项为T ，)(x f 是以T 为周期的偶函数，且当k kx x f x g x x f x --=-=∈)()(,]3,1[,)(,]1,0[函数内若在区间时有4个零点，则实

数k 的取值范围是 。

高三数学寒假作业九

家长签字_________

13、_______________14、_______________15、_________________16、______________ 三、解答题：本大题共6小题，满分74分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c ，已知32,3

==

a A π

。

设B=x ，△ABC 的周长为y 。

（1）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （2）求)(x f y =的单调区间。

18．（本小题满分12分）已知函数e dx cx bx ax x f ++++=234)(为偶函数，它的图象过

点A(0,-1)，且x=1处的切线方程为2x+y-2=0。 （1）求函数)(x f 的表达式；

（2）若对任意x ∈R ，不等式)(x f ≤)1(2+x t 都成立，求实数t 的取值范围。

19．（本小题满分12分）已知数列的等比数列公比是首项为4

1

,41}{1==

q a a n ，设*)(log 324

1N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ?=满足}{。

（1）求证：}{n b 是等差数列； （2）求数列}{n c 的前n 项和S n ；

（3）若对14

12

-+≤

m m c n 一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围。

20．（本小题满分12分）如图，三棱锥P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，

D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB 。 （1）求证：AB ⊥平面PCB ；

（2）求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （3）求二面角C —PA —B 的大小的正弦值。

21．（本小题满分12分）已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点为F 1，F 2，椭圆上

一点M )3

3

,362(

满足.021=?MF MF （1）求椭圆的方程；

（2）若直线L ：y=2+kx 与椭圆恒有不同交点A 、B ，且1>?OB OA （O 为坐标原点），

求k 的范围。

22．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y

，

（1）令函数))94(log ,1()(2

2+-=x x F x f 的图象为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A

（0，m ），过坐标原点O 作曲线C 1的切线，切点为B （n,t ）（n>0），设曲线C 1在点A 、B 之间的曲线段与线段OA 、OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值。

（2）当);,(),(,*,x y F y x F y x N y x ><∈证明时且

（3）令函数))1(log ,1()(2

3

2+++=bx ax x F x g 的图象为曲线C 2，若存在实数b 使得

曲线C 2在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围。

高三数学寒假作业九答案

ADCAC BCDAB CA 13．

71 14．16)5(22=+-y x 15．6

21+ 16．]41,0( 17．解（1）：).3

20(32)32sin(

4sin 4π

π<<+-+=x x x y （2）).3

2

,3[],3,0()(πππ递减区间为的单调递增区间为x f y =

18．解：（1）∵)(x f 是偶函数，恒成立。＝)()(x f x f -

即e dx cx bx ax e x d x c x b x a ++++=+-+-+-+-234234)()()()(恒成立。 ∴e cx ax x f d b ++===24)(,0,0即， 又由图象过点)1,0(-A ，可知.1,1)0(-=-=e f 即

又∵cx ax x f 24)(3'+=，由题意知函数)(x f y =在点(1,0)的切线斜率为2-， 故0)1(,2)1('=-=f f 且 ∴3,2,1,224=-==+-=+c a c a c a 可得且 ∴132)(24-+-=x x x f

（2）由 )1()(2

+≤x t x f 恒成立 ，且12

-x 恒大于0，可得t x x x ≤+-+-1

1

322

24恒成立， 令1

1

32)(224+-+-=x x x x g

设,1,12≥=+m m x 则

3473

47)3(276721

132)(22

24-=?-≤+-=-+-=+-+-=m m m m m m m x x x x g 且 （当且仅当)347)(3-==x g m 时，

∴)(x g 的最大值为,347- 故实数t 的取值范围是).,347(∞+- 19．解：（1）数列3,1}{1==d b b n 公差是首项的等差数列

（2）*)(,)4

1()23(N n n c n

n ∈?-=∴

,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ?-+(?-++?+?+?

=∴- *)()4

1(3812321

N n n S n n ∈?+-=+

（3）n

n n n n n c c )4

1()23()41()13(11?--?+=-++

*)(,)4

1

()1(91N n n n ∈?-=+

∴当n=1时，4

1

12==c c

当n n n c c c c c c c n <<<<=<≥+ 43211,,2即时

∴当n=1时，n c 取最大值是

4

1

又恒成立对一切正整数n m m c n 1412

-+≤

4

1

1412≥-+∴m m 即510542-≤≥≥-+m m m m 或得 20．解（2）异面直线PA 与BC 所成的角为

3

π

（3）3

6的正弦值为

B PA

C -- 21．解：（1）椭圆方程为14

22

=+y x （2）由0122)41(,2

1

4

222

2=+++??

???+==+kx x k y kx y y x 解得消去 设),(),,(2211y x B y x A 则)2)(2(21212121+++=+=?kx kx x x y y x x

141462)(2)1(2

2

21212

>+-=++++=k

k x x k x x k ,41

041,85222>>-=?<∴k k k 得又由

,85412<<∴

k )4

10,21()21,410( -∈∴k 22．解：（1）y

x y x F )1(),(+=

942)94(log ,1()(2)

94(log 222

2+-==+-=∴--x x x x F x f x x

，故A （0，9）

又过坐标原点O 向曲线C 1作切线，切点为B （n ，t ）（n>0），.42)(-='x x f

)6,3(,42942B n n

t n n t 解得?????-=+-=∴

.9|)933

()294(3023

2

30

=+-=-+-?=∴x x x dx x x x S

（2）令2

)

1ln(1)(,1,)

1ln()(x

x x x

x h x x x x h +-+='≥+=由， 又令,0),1ln(1)(>+-+=

x x x x x p 0)1(11)1(1)(2

2<+-=+-+='∴x x x x x p ，

),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ,0)(1,0)0()(0<'≥∴=<>∴x h x p x p x 时有当时有当

),1[)(+∞∴在x h 单调递减，

x y y x y x x y y

y x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)

1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有

时，

).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当

（3）,1)1(log ,1()(23222+++=+++=bx ax x bx ax x F x g

设曲线)14(02-<<-x x C 在处有斜率为－8的切线， 又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++

∴存在实数b 使得???

??>+++-<<--=++111482302

0300020bx ax x x b ax x 有解，

由①得,238020ax x b ---=代入③得08202

0<---ax x ，

??

?>+<->++∴0

840

82002

0x ax x 由有解，得08)1()1(208)4()4(222>+-?+-?>+-?+-?a a 或， .10,

1010<∴<<∴a a a 或

①②③