数字信号处理的数学推导
DSP 课件中的数学推导及解释（v1.0）
陈明
1-1 离散时间信号-序列
第5页：对正弦信号()2sin()3a x t t π
=采样，T=1ms 时，求序列
()()2sin()2sin(*0.1)2sin()3330
a x n x nT nT n n πππ====
第19页：任何序列可以表示为单位冲激序列的移位加权和（即与()n δ的卷积和）。
解释：这个过程可以理解把任意序列分解成很多只包含一个非0序列值的序列之和，而每一个单独的序列可表示为()()x k n k δ-，所以总的序列为多个()()x k n k δ-之和。
第26页：数字角频率的单位为弧度/样本。
解释：复指数序列可以看成是由连续复指数信号采样得来，因此：|j n j t j nT j Tn t nT e e e e ?ΩΩΩ====，可以看到数字角频率与模拟角频率的关系是：T ?=Ω，Ω的单位为弧度/s ，T 的单位为s ，或理解为s/样本，因此?的单位为弧度/样本。
第28页：复指数序列不一定是周期的。
解释：要想为周期序列，必须满足：()()x n x n N =+，则()j n j n N j n j N e
e e e ????+==，因此，必须22,N k N k π
?π?==，与连续情况不同，这里要求N 为整数，这使得当?取某些值
时，可能取不到整数的N ，只有当
2π?为有理数（包括整数）时，才会存在整数N ，序列才
是周期的。
1-2 线性移不变系统
第4页：要理解[]T 只是一个符号，不是一个具体的公式。所以不能将()[()]y n T x n =中的变量n 简单替换为n-1，认为等式依然成立。实际上，[(1)]T x n -的含义是输入序列先移位，然后再经过系统处理后的输出，(1)y n -的含义是输入序列先经过系统输出，然后再移位，两者是不一样的过程产生的输出，不要想当然认为一定相等。
第7页：判断下面系统是否是线性的
● ()(2)y n x n =-：
121212[()()](2)(2)[()][()]T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n +=-+-=+
● ()()n
k y n x k =-∞=
∑： 121212
12[()()][()()]()()[()][()]
n n n
k k k T ax n bx n ax k bx k a x k b x k aT x n bT x n =-∞=-∞=-∞+=
+=+=+∑∑∑ ● 10()log [()]y n x n =：121012121011021212[()()]log [()()]
[()][()]log [()]log [()][()()][()][()]
T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n a x n b x n T ax n bx n aT x n bT x n +=++=++≠+
第10页：判断下面系统是否是移不变的
● ()()n k y n x k =-∞=
∑：
''=-'[()]()()()
()()
()[()]
n n n m
k k m k k k m n m k T x n m x k m x k x k y n m x k y n m T x n m -=-∞=-∞+=-∞-=-∞-=
-==-=
-=-∑∑∑∑令 注意上面的变量替换在后面的分析中经常遇到
● ()()y n x Mn =：
令1()()x n x n m =-，则11[()][()]()()T x n m T x n x Mn x Mn m -===-
()(())()y n m x M n m x Mn Mm -=-=-
()[()],=1y n m T x n m M -≠-除非
第13页：用BIBO 稳定性定义分析累加器系统是否是稳定的
累加器系统：()()n
k y n x k =-∞=
∑，令输入序列为()()x n u n =，显然()1x n =<∞是有界的，而0
()()()=+1n n k k y n x k u k n =-∞==
=∑∑，当n →∞，()y n →∞是无界的。所以累加器系统不
是稳定的。
目前已经证明了累加器系统是线性移不变因果不稳定系统。
第15页：求累加器系统的单位冲激响应
根据单位冲激响应的定义，0,0()[()]()()1,0n k n h n T n k u n n δδ=-∞
==?≥?
∑
第16页：证明LTI 系统的输入与输出关系 ()[()][()()]()[()]()()k k k y n T x n T x k n k x k T n k x k h n k δδ∞∞
=-∞=-∞∞
=-∞==-=
-=
-∑∑∑ 第二个等号利用了任意序列可用单位冲激序列来表示，第三个等号利用了系统的线性，第四个等号利用了单位冲激响应的定义以及系统的移不变性。
第18页：如何求序列卷积和一定要去练习（一般用第二种方式，书上有例题）
第19,20页的证明不要求掌握，但要求记住。
第22页：判断LTI 系统()0.3()n
h n u n =的因果稳定性
由于()0,0h n n =<，是因果的。 0110()0.3()0.310.37
n n n n n h n u n ∞∞∞=-∞=-∞=====<∞-∑∑∑，是绝对可和的，即系统是稳定的。
第28页：证明
● ()()()d d x n n n x n n δ*-=-
()()()*()=()()=(-)d d d d m x n n n n n x n m n x n m x n n δδδ∞
=-∞
*-=---∑
最后一个等号利用(-)d m n δ只能在=d m n 取值
● 累加器系统和后向差分系统的级联等价于一个直通系统
已经证明累加器系统的单位冲激响应为1()()h n u n =
而后向差分系统的单位冲激响应为2()()(1)h n n n δδ=--
因此，级联后系统的单位冲激响应为：
12()*()()*[()(1)]()(1)()h n h n u n n n u n u n n δδδ=--=--=，这是全通系统
数学模型第三版课后习题答案.doc
《数学模型》作业解答 第七章（ 2008 年 12 月 4 日） 1．对于节蛛网模型讨论下列问题： （ 1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 k 1时段的价格y k 1由第k 1 和第 k 时段的数量x k 1和x k决定，如果仍设x k 1仍只取
决于 y k ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较 . （ 2）若除了 y k 1 由 x k 1 和 x k 决定之外， x k 1 也由前两个时段的价格 析稳定平衡的条件是否还会放宽 . 解：（ 1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： y k 1 f x k 1 x k ) ( 2 x k 1 h( y k ) 在 P 0 (x 0 , y 0 ) 点附近用直线来近似曲线 f , h ，得到 y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), 2 x k 1 x 0 ( y k y 0 ) , 由（ 2）得 x k 2 x 0 ( y k 1 y 0 ) （ 1）代入（ 3）得 x k 2 x 0 ( x k 1x k x 0 ) 2 2x k 2 x k 1 x k 2x 0 2 x 0 对应齐次方程的特征方程为 2 2 ( ) 2 8 特征根为 1, 2 4 y k 和 y k 1 确定 . 试分 (1) ( 2) (3) 当 8 时，则有特征根在单位圆外，设 8 ，则
1,2 ( ) 2 ( ) 2 8 42 2 4 1,2 1 2 即平衡稳定的条件为 2与 P 207 的结果一致 . （ 2）此时需求函数、供应函数在 P 0 (x 0 , y 0 ) 处附近的直线近似表达式分别为： y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), ( 4) 2 x k 1 x 0 ( y k y k 1 y 0 ) , ( 5) 2 由（ 5）得， (x x 0 ) β(y y y k 1 y 0 ) ( 6 ) 2 k 3 k 2 将（ 4）代入（ 6），得 2( x k 3 x 0 ) ( x k 2 x k 1 x 0 ) ( x k 1 x k x 0 ) 2 2 4 x k 3x k 2 2 x k 1 x k 4 x 0 4 x 0 对应齐次方程的特征方程为 4 3 2 2 0 (7) 代数方程（ 7 ）无正实根，且 αβ , , 2 4 不是（ 7）的根 . 设（ 7）的三个非零根分 别为 1, 2, 3，则 1 2 3 4 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 4 对（ 7）作变换： , 则 12 3 q 0, p 其中 p 1 (2 2 2 ), q 1(833 2 2 ) 4 12 4 123 6
33道西方经济学证明题
33道西方经济学证明题 1，（有图，暂缺） 2，证明线性需求函数Q=f（p）上的任意两点的需求弹性不等 3，应用数学方法证明蛛网模型的三种情况 4，论证消费者均衡条件为：MU1/P1=MU2/P2 5，如果预算线给定，一条无差异曲线U（Qx，Qy）与其相切，试证明切点E的坐标为最优商品组合，切点E为消费者均衡点。 6，证明：MRS12=MU1/MU2 7，证明：无差异曲线凸向原点 8，证明Q=A（a）K（b）。（A，a，b为参数）具有规模报酬的三种性质。注：这里的（a），（b）是A ，K的a，b次方的意思，我不知道怎么打`~~ 9，证明MPL与APL相交于APL的最大值点处。注：L为两者的下标。 10，证明：等产量曲线凸向原点。 11，证明：ARTS（LK）=MP（L）/MP（K）。注：括号中为下标。下面不再做解释。 12，证明厂商在既定产量条件下的成本最小化的条件是：MP（L）/MP（K）=w/r 13，证明AVC和MC曲线为AP（L）和MP（L）的一种镜像。 14，证明垄断厂商的MR曲线总是小于AR曲线，且斜率是2倍的关系，既MR 曲线平分由纵轴到需求曲线d的任何水平线。 15，证明边际收益与需求价格弹性的关系为：MR=P（1-1/e）（e 弹性）16，证明收益，价格与需求价格弹性的关系为：dR/dP=Q（1-e） 17，三级价格歧视要求在需求的价格弹性大的市场降低价格以使厂商获得最大的利润。 18，垄断竞争厂商长期均衡时，LAC必定与d曲线相切的切点：同时也与MR与LMC的交点处在同一条垂线上，即Q相同。 19，证明在生产技术相同的n寡头垄断企业组成的古诺模型中，行业供给量等于市场容量的n/（n+1） 20，证明完全竞争厂商使用要素的原则是：VMP=w 21，如果生产函数Q=Q（L，K）为一次齐次函数，则Q=L*δQ/δL+K*δQ/δK 注：*为乘号，δ ，为微分符号。 22，证明交换的一般均衡条件：MRS(A)xy=MRS(B)xy 23，证明三部门经济中转移支付乘数为：β/（1—β） 24，证明，固定税制条件下平衡预算乘数为1 25，证明与三部门经济相比，四部门经济相应的乘数更小。 26，证明财政政策乘数dy/dg=1/[1—β（1—t）+dk/h] 27，证明货币政策乘数dy/dm=1/[1—β（1—t）*（h/d）+k] 28，证明宏观经济学中的总需求函数Y=f（P）（Y：总需求，P：价格水平）的斜率为负数。 29，证明哈罗德模型的基本方程：△Y/Y=s/v 30，证明新古典增长模型的基本方程为：△k=sy—（n+δ）k 31，证明，当δ=0时，新古典增长模型可以表示为△k=sy—nk 32，证明，黄金分割律的表达式为f`（k*）=n 33，证明，G（Y）=G（A）+αG（L）+βG（K）括号中为下标。
蛛网模型
承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题. 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出. 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理. 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）. 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名.以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改.如填写错误，论文可能被取消评奖资格.） 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
市场经济的分析 摘要 商品价格与产量的波动是市场经济的常态,认识我国商品价格与产量的波动规律,为宏观调控提供理论依据,是经济学研究的主要课题之一. 本文利用市场供求关系的需求函数和供应函数的图形,建立蛛网模型,并借助差分方程将模型结果用公式表示,再对结果进行分析.最后可将该模型进行适当推广,以实现对市场经济的调控作用.同时提出了相应的政策建议. 关键字：市场经济市场供求关系蛛网模型政策建议
第3题-蛛网模型——数学建模
六、问题三模型的建立与求解 7.1问题分析 由题可知,该问题是多目标优化问题,满足居民人体的营养均衡、平衡进出口贸易、土地面积等条件下，满足购买成本尽量低、使种植者获益尽量大这两个目标。 7.2弹性理论及蛛网模型 弹性描述的是两个变量之间的关系, 即因变量对自变量变化的敏感程度。在经济学中,弹性表示某一经济变量变动1%时,所导致的另一个经济变量变化的百分比： 弹性系数=因变量的变化比例/自变量的变化比例 1.需求弹性价格：价格每变动1%引起的需求量变化的百分比。通常用需求量变化的百分率除以价格变动的百分率表示。它们之间的比值称为弹性系数，记为Ep，即： 2..供给价格弹性:价格每变动1%引起供给量变化的百分比。 一般地，Es>0，斜率为正。 3.蛛网模型理论（Cobweb Model Theorom） 蛛网模型是对弹性理论的运用,用来考察某种商品(主要用于农产品)价格波动对下一周期产量的影响。蛛网理论有一系列假定条件:市场是完全竞争市场,任何消费者和厂商都不能单独影响商品的产量和价格;当期商品价格不受当期产量的影响,当期产量由前期价格决定。根据某种商品供给弹性和需求弹性之间的关系,蛛网理论分为收敛性蛛网、发散型蛛网和封闭型蛛网三种类型。 (l)收敛型蛛网 需求弹性绝对值大于供给弹性的绝对值,当市场受到干扰偏离均衡状态时,价格和产量围绕均衡水平波动,但是波动越来越小,最后恢复均衡,称为收敛型蛛 网。图中S曲线为供给曲线,D曲线为需求曲线,E点为均衡点,P 0,Q 分表代表均 衡价格和均衡产量。 在第一期,假定由于受到外在因素干扰导致减产,实际产量Q I 假定供和需求函数都是性的，蛛网模型可由以下差分方程表示： （ 1） Q dt =c-dP t（2） Q s t=Q dt（3） （1）式表示，第 t 年供量取决于第 t-1 年的成交价格，（2）表示需求量取决于当年市价格，（3）式表示市必是出清的，因此每年供量均等于需 求量。 a、b、c、d 常数（参数），且都正数。 将（ 1）式和（ 2）式代入（ 3）式可得： c-dP t =-a+bP t-1（4） 从（ 4）式中解出 P t： -b a+c P t =（d） P t-1 + d（ 5） 在（ 5）式中假定 t=1 可得第 1 年价格： -b a+c P1=（d） P0+ d（6） 以此推： -b a+c P2=（d） P1+ d（7） 将（ 6）式代入（ 7）式中： 2-b -b a+c a+c P =（d） 2P+（d）d + d 重复一程，可得到以初始价格P0 来表示的第 3 年、第 4 年、??第 n 年的价格： -b n-b k a+c P n=（d） P0 +[ ∑（d） ] d -b n a+c-b n =（d）P0+b+d [1-（d）]（8） 又因达到均衡点后，价格不再化，假定第t 年达到均衡， P t =P t+1 =?? =P E（9） 将（ 9）式代入（ 5）式可得均衡价格 P E： E a+c P = b+d（10） 将（ 10）式代入（ 8）式并整理： P n=（-b ）n P0 +P E[1- （ -b ）n] d d Q st =-a+bP t-1 -b =（P0-P E）（d）n+P E（11） 从（ 11）式可得出下列结论： -b （ⅰ）如果 | d |<1 ，则： limP n=P E，即 P n趋近于 P E，市场价格将无限趋近 -b 均衡价格，蛛网周期是收敛的。而| d |<1 ，说明d 实验编号：002 数学实验报告 计算机科学学院级班实验名称：差分方程实验姓名：学号：指导老师：韩鸿宇实验成绩： 实验二差分方程实验 一．实验目的及要求 1)直观了解差分方程基本内容； 2)掌握用数学软件求解差分方程问题。 二．实验内容 蛛网模型：在自由贸易的集市上有这样的现象：一个时期由于猪肉的上市量大于需求，销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其他农副产业，过段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致价格上涨。原来的饲养户看到有利可图，又重操旧业，这样下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面。在没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去，试解释。 三．实验主要流程、基本操作或核心代码、算法片段 模型的建立及求解： 在k 段时间内，价格与猪的数量有关，即： 该函数是一个减函数。 假设： ； 在k+1 段时间内，猪的数量是与第k 段时间猪肉的价格相关的。 即： 该函数是一个增函数。 假设： ； 由此我们可以得知： 由此可知： 年月日 这是一个等比数列形式。 我们可以得到它的通项： 最终化简得到迭代格式： 假设前两年的猪肉的产量和猪肉的价格分别为：39吨，28吨，12元/公斤，17元/公斤 实验代码 function [x0,y0]=fun(c1,r1,c2,r2,c3,k) %c1为产量1, c2为产量2, c3为产量3, r1为%肉价1, r2为肉价2, k 为K 年后产量与肉价%是否稳定 a1=[c1 1;c2 1];b1=[r1,r2]';a2=[r1 1;r2 1]; b2=[c2,c3]';a=a1\b1;b=a2\b2;x0(1)=39; for n=1:30 y0(n)=a(1)*x0(n)+a(2); x0(n+1)=b(1)*y0(n)+b(2); x(n)=x0(n); y(n)=x0(n+1); end plot(x,y0,'-g',y,y0,'-b') hold on for n=1:k for j=1:30 t1=x0(n)+(j-1)*(x0(n+1)-x0(n))/30; t2=x0(n)+j*(x0(n+1)-x0(n))/30; if t2 数学建模 1：[填空题] 名词解释: 1．原型2．模型3．数学模型4．机理分析5．测试分析6．理想方法7．计算机模拟8．蛛网模型9．群体决策10．直觉11．灵感12．想象力13．洞察力14．类比法15．思维模型16．符号模型17．直观模型18．物理模型 参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。 1：[判断题]模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。 参考答案：正确 2：[判断题]一个原型只能建立一个模型。 参考答案：错误 3：[判断题]用建模法解决实际问题，首先是用数学语言表述问题，其次才用数学工具求解构成的模型。 参考答案：正确 4：[判断题]衡量一个数学模型的优劣在于它采用了什么样的数学方法。 参考答案：错误 第02章第五节蛛网模型的数学推导 假定供给和需求函数都是线性的，蛛网模型可由以下差分方程组表示： Q st=-a+bP t-1（1） Q dt=c-dP t（2） Q s t=Q dt（3） （1）式表示，第t年供给量取决于第t-1年的成交价格，（2）表示需求量取决于当年市场价格，（3）式表示市场必须是出清的，因此每年供给量均等于需求量。a、b、c、d为常数（参数），且都为正数。 将（1）式和（2）式代入（3）式可得： c-dP t=-a+bP t-1（4） 从（4）式中解出P t： P t=（-b d ）P t-1+ a+c d （5） 在（5）式中假定t=1可得第1年价格为： P1=（-b d ）P0+ a+c d （6） 以此类推： P 2=（ -b d ）P 1+a+c d （7） 将（6）式代入（7）式中： P 2=（-b d ）2P 0+（-b d ）a+c d +a+c d 重复这一过程，可得到以初始价格P0来表示的第3年、第4年、……第n 年的价格： P n =（ -b d ）n P 0+[∑（-b d ）k ]a+c d =（-b d ）n P 0+a+c b+d [1-（-b d ）n ] （8） 又因为达到均衡点后，价格不再变化，假定第t 年达到均衡，则 P t =P t+1=……=P E （9） 将（9）式代入（5）式可得均衡价格P E ： P E =a+c b+d （10） 将（10）式代入（8）式并整理： P n =（-b d ）n P 0+P E [1-（-b d ）n ] =（P 0-P E ）（-b d ）n+P E （11） 从（11）式可得出下列结论： （ⅰ）如果|-b d |<1，则：limP n =P E ，即P n 趋近于P E ，市场价格将无限趋近均衡价格，蛛网周期是收敛的。而|-b d |<1，说明d1，则：limP n =∞，市场价格将振荡至无穷大，蛛网周期是发散的。此时，d 2011课程教学模式改革(第2小组) 《数学模型与数学软件》课程教学模式改革试点方案负责人：胡金杰 二○一一年九月 数学模型与数学软件 课程教学模式改革试点方案 一、方案总体目标 把原来的按一般理论：实验为1:2课时的教学模式，改变为“典型案例套装教学”的教学模式，即先计划好每章节的典型案例，以案例为主题，一个案例配好适量的理论环节、实践环节、和结果审核与评测环节，使得本课程教学与大学生数学建模竞赛培训有较好的衔接。 二、试点具体方案 试点对象为信息与计算101班学生，共45人。 试点实践为2011年第一学期。 试点理论教学在综合楼C207楼，每单周周一上午3、4节； 试点实践教学在综合楼A603机房，每周四上午1、2节。 理论学时1*17，实践学时2*17。 试点方案主要为： 1. 软硬件配备。 2. 选择合适的案例。 3. 制定规则，进行分组，并安排好交叉评阅的组。 4. 细化整个教、学流程。 5. 规范小论文要求和交叉评阅要求。 6. 细化考核方式和分值。 7. 适当安排讲评。 试点方案具体措施情况： 1. 软硬件配备。 完成时间：2011年8月28日前。 在开学前，综合楼A603机房重新添置设备，共八十台新的计算机，并安装MATLAB7.4(MATLAB2007a)和正版lingo12数学软件。具备学生查找资料、模型求解、图形展示、撰写小论文的条件。 另，机房配备多台打印机，每小组的小论文需要打印、修改、讨论、讲评，预计要耗纸8000~10000张，硒鼓2-3个。 2. 选择合适的案例。 完成时间：2011年8月2日(已完成)。 选择案例的主要依据有： 1）知识点； 2）代表性； 3）教材章节安排情况； 4）实用价值； 5）实践操作的难易度等。个别案例，如海上缉私是经典案例，而教材中没有，这里要引入。 6）机动案例要看整个教学执行情况，备用两个高级优化算法来介绍，不计理论考核范围。 根据教学大纲、教材内容安排和实际情况，选择下列案例为主要案例。 西方经济学 实 验 报 告 姓名：甘耀宗 班级：2017级5班 专业：劳动与社会保障 学号： 实验一：市场结构与价格竞争 ――――蛛网模型的仿真实验 一、实验目的要求 在仿真环境下，运用西方经济学关于市场机制的理论，对微观经济主体的决策行为进行系统分析和仿真实验，从而深入领会和掌握市场机制，提高分析和研究市场经济问题的能力。 二、课程类型 综合型 三、实验内容 （一）蛛网模型的定义 蛛网模型的基本假定是：商品的本期产量Qts决定于前一期的价格Pt-1，即供给函数为Qts=f(Pt-1），商品本期的需求量Qtd决定于本期的价格Pt，即需求函数为Qtd=f(Pt）。 根据以上的假设条件，蛛网模型可以用以下三个联立的方程式来表示： Qtd=α-β·Pt Qts=-δ+γ·Pt-1 Qtd=Qts 其中，α、β、δ和γ均为常数且均大于零。 （二）蛛网模型的数学推导 Qtd=α-β·Pt Qts=-δ+γ·Pt-1 Qtd=Qts 三个方程联立得 Pt=(α+δ)/β-(γ/β)Pt-1 Pt-1迭代后得 Pt=(α+δ)/β∑(-γ/β)^i+(-γ/β)^t·P0 即 Pt=[1-(-γ/β)^t](α+δ)/(β+γ)+(-γ/β)^t·P0?(*) （三）蛛网模型的类别 1.收敛型蛛网模型 2.发散型蛛网模型 3.封闭型蛛网模型 三.实验过程 （一）仿真模拟收敛型蛛网模型 收敛型蛛网：当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点。 特征：相对于价格轴，供给曲线斜率的绝对值小于需求曲线斜率的绝对值。 供给弹性<需求弹性，或，供给曲线斜率绝对值>需求曲线斜率绝对值，此时即(*)中(-γ/β)^t一项趋于0，Pt趋于(α+δ)/(β+γ)。因为需求弹性大，表明价格变化相对较小，进而由价格引起的供给变化则更小，再进而由供给引起的价格变化则更小 相对于价格轴（注意：这里是把Y轴作为参考轴系讨论的，下文所说的“斜率‘”陡峭“都是以价格轴为参考轴而言的，与我们正常数学上以X轴为参考轴不同），需求曲线斜率的绝对值大于供给曲线斜率的绝对值。当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点。 假定，在第一期由于某种外在原因的干扰，如恶劣的气候条件，实际产量 部的产量Q1，于是，实际价格上升为P1。根据第一期的较高的价格水平P1，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为Q2 第02章第五节 蛛网模型的数学推导 假定供给和需求函数都是线性的，蛛网模型可由以下差分方程组表示： Q st =-a+bP t-1 （1） Q dt =c-dP t （2） Q s t=Q dt （3） （1）式表示，第t 年供给量取决于第t-1年的成交价格，（2）表示需求量取决于当年市场价格，（3）式表示市场必须是出清的，因此每年供给量均等于需求量。a 、b 、c 、d 为常数（参数），且都为正数。 将（1）式和（2）式代入（3）式可得： c-dP t =-a+bP t-1 （4） 从（4）式中解出P t ： P t =（-b d ）P t-1+a+c d （5） 在（5）式中假定t=1可得第1年价格为： P 1=（-b d ）P 0+a+c d （6） 以此类推： P 2=（-b d ）P 1+a+c d （7） 将（6）式代入（7）式中： P 2=（-b d ）2P 0+（-b d ）a+c d +a+c d 重复这一过程，可得到以初始价格P0来表示的第3年、第4年、……第n 年的价格： P n =（-b d ）n P 0+[∑（-b d ）k ]a+c d =（-b d ）n P 0+a+c b+d [1-（-b d ）n ] （8） 又因为达到均衡点后，价格不再变化，假定第t 年达到均衡，则 P t =P t+1=……=P E （9） 将（9）式代入（5）式可得均衡价格P E ： P E =a+c b+d （10） 将（10）式代入（8）式并整理： P n =（-b d ）n P 0+P E [1-（-b d ）n ] =（P 0-P E ）（-b d ）n+P E （11） 从（11）式可得出下列结论： （ⅰ）如果|-b d |<1，则：limP n =P E ，即P n 趋近于P E ，市场价格将无限趋近均衡 价格，蛛网周期是收敛的。而|-b d |<1，说明d 蛛网模型在经济活动中的应用 THE COBWEB MODEL APPLICATION IN ECONOMIC ACTIVITIES 指导老师姓名： 申请学位级别：学士 论文提交日期：2014年6月12日 摘要 蛛网模型是一个典型的动态经济分析模型，主要用于分析一些生产周期比较长的产品的产量和价格之间的波动关系。本文介绍了我国近几年经济发展状况， 学习了前人对我国经济的研究，总结了蛛网模型的思想和意义。另外，还介绍了凯恩斯货币需求理论还有前人们研究出的货币供给函数有哪些。货币是交易的媒介，货币供应量对经济的增长也有着至关重要的作用。本文用货币流通速度代表货币需求量，根据我国2006年-2012年的数据分别对货币流通速度、货币供应量2M 与利率的关系，然后运用Matlab 软件画出货币流通速度、货币供应量2M 和利率的蛛网模型，并进行分析。结果证明，随着我国市场利率的市场化程度加深，中国货币供给与市场利率之间是正相关关系。最后，根据结论提出建议，在当前经济形势下，应逐步减少政府的干预，向浮动利率政策靠近，从而达到经济持续稳定发展。 关键词：蛛网模型； 经济活动； 凯恩斯需求理论； 货币供应量 ABSTRACT The cobweb model is a dynamic economic analysis of a typical model, it is mainly used for analysis of some production cycle longer the volatility of the relationship between output and price of the product.This paper introduces the economic development in recent years in our country, learn the predecessors' research on our country's economy, and summarizes the cobweb model of ideas and meaning. In addition, also introduced the Keynesian monetary demand theory and former research people out of the money supply function.Money is a medium of exchange, money supply, in economic growth ,also has played the vital role. According to the data from 2006 to 2012, respectively, on the relationship between the money supply and interest rates and money velocity, and then using Matlab software to draw out the cobweb model of money velocity and money supply and interest rates, and analyzed Results show that along with ourcountry market interest rate marketization degree deepening, China's currency is a positive relationship between supply and the market interest rates.Finally,according to the conclusion put forward Suggestions, in the current economic situation, should be gradually reduce government intervention, to be near a floating interest rate policy, so as to achieve sustained economic steady development. Key words:C obweb model; Economic activity; Keynesian demand theory; Money supply; 目录 1 前言 (1) 1.1选题背景及研究意义 (1) 蛛网模型详解 蛛网模型分析了商品的产量和价格波动的三种情况。 第一种情况： 供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值。当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点。 假定，在第一期由于某种外在原因的干扰，如恶劣的气候条件，实际产量由均衡水平Qe减少为Q1。根据需求曲线，消费者愿意支付P1的价格购买全部的产量Q1，于是，实际价格上升为P1。根据第一期的较高的价格水平 P1，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为Q2。 在第二期，生产者为了出售全部的产量Q2，接受消费者所愿意支付的价格P2，于是，实际价格下降为P2。根据第二期的较低的价格水平P2，生产者将第三期的产量减少为Q3。 在第三期，消费者愿意支付P3的价格购买全部的产量Q3，于是，实际价格又上升为P3。根据第三期的较高的价格水平P3，生产者又将第四期的产量增加为Q4。 如此循环下去，实际产量和实际价格的波动的幅度越来越小，最后恢复到均衡点E所代表的水平。 由此可见，均衡点E所代表的均衡状态是稳定的。也就是说，由于外在的原因，当价格和产量偏离均衡数值(Pe和Qe)后，经济制度中存在着自发的因素，能使价格和产量自动地恢复均衡状态。产量和价格变化的途径形成了一个蜘蛛网似的图形，这就是蛛网模型名称的由来。 只有当供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值时，即供给曲线比需求曲线较为陡峭时，才能得到蛛网稳定的结果，相应的蛛网被称为“收敛型蛛网”。 在这里，我们看到，除第一期受到外在原因干扰外，其它各期都不会再受新的外在原因干扰，从而前一期的价格能够唯一决定下一期的产量。 楚雄师范学院数学系《数学建模》课程 教学论文 题目：蛛网模型在市场经济中的应用 专业： 班级： 学号： 学生姓名： 完成日期：年月 蛛网模型在市场经济中的应用 摘要：当今世界，市场竞争日益激烈。在完全自由竞争的市场竞争中，一个时 期某种消费品上市量远大于需求，由于销售不畅价格下降。于是转与其他行业。过一段时将这种消费品上市量就会大减，供不应求价格有上涨，这样下一时期又会出现供大于求，价格下降的局面。这一不可避免的现象。在现实世界里这样的现象会出现在不同的形式，有的振幅减小趋向平稳，有的则振幅越来越大，如果没有外界政府的干预，将导致经济崩溃。 本文利用图形方法建立“蛛网模型”，对上述现象进行分析，给出市场经济趋于稳定的条件。再用差分方程对其进行解释。用MATLAB软件迭代的思想对模型稳定点分析。最后对模型进行适当的推广。 关键词：蛛网模型差分方程 一、 模型简介 蛛网模型 ——运用弹性原理解释某些生产周期较长的商品在失去均衡时发生的不同波动情况的一种动态分析理论。 蛛网理论，又称蛛网模型，是利用弹性理论来考察价格波动对下一个周期产量影响的动态分析，它是用于市场均衡状态分析的一种理论模型。 蛛网理论是20世纪30年代出现的一种关于动态均衡分析方法。 在新古典经济学中，蛛网模型引进时间变化的因素，通过对属于不同时期的需求量、供给量和价格之间的相互作用的考察，用动态分析的方法论述生产周期较长的商品的产量和价格在偏离均衡状态以后的实际波动过程及其结果。蛛网模型考察的是生产周期较长的商品，而且生产规模一旦确定不能中途改变，市场价格的变动只能影响下一周期的产量，而本期的产量则取决于前期的价格。因此，蛛网模型的基本假设是商品本期的产量决定于前期的价格。由于决定本期供给量的前期价格与决定本期需求量（销售量）的本期价格有可能不一致，会导致产量和价格偏离均衡状态，出现产量和价格的波动。 二、 符号说明及模型假设 2.1符号说明 x k ——第k 时段商品数量 y k ——第k 时段商品价格 f K ——f 在P0点斜率的绝对值 f K —— g 在P0点斜率的绝对值 α——商品供应量减少1个单位的价格的上涨幅度 β——商品价格上涨1个单位时商品供应的增加量 2.2模型假设 1．蛛网模型不受金融危机的影响； 2．农农产品本身生长状况良好 三、 模型建立 3.1蛛网模型 记 x k ~第k 时段商品数量；y k ~第k 时段商品价格，设 （1） 它表示消费者对这种商品的去求关系，称为需求函数。下一时段商品的数量1 +k x ) (k k x f y =) ()(11++==k k k k x g y y h x ，或 假定供给和需求函数都是线性的，蛛网模型可由以下差分方程组表示： Q st =-a+bP t-1 （1） Q dt =c-dP t （2） Q s t=Q dt （3） （1）式表示，第t年供给量取决于第t-1年的成交价格，（2）表示需求量取决于当年市场价格，（3）式表示市场必须是出清的，因此每年供给量均等于需求量。a、b、c、d为常数（参数），且都为正数。 将（1）式和（2）式代入（3）式可得： c-dP t =-a+bP t-1 （4） 从（4）式中解出P t ： P t =（ -b d ）P t-1 + a+c d （5） 在（5）式中假定t=1可得第1年价格为： P 1=（ -b d ）P + a+c d （6） 以此类推： P 2=（ -b d ）P 1 + a+c d （7） 将（6）式代入（7）式中： P 2=（ -b d ）2P +（ -b d ） a+c d + a+c d 重复这一过程，可得到以初始价格P0来表示的第3年、第4年、……第n 年的价格： P n =（ -b d ）n P +[∑（ -b d ）k] a+c d =（-b d ）n P + a+c b+d [1-（ -b d ）n] （8） 又因为达到均衡点后，价格不再变化，假定第t年达到均衡，则 P t =P t+1 =……=P E （9） 将（9）式代入（5）式可得均衡价格P E ： P E = a+c b+d （10） 将（10）式代入（8）式并整理： P n =（ -b d ）n P +P E [1-（ -b d ）n] =（P 0-P E ）（ -b d ）n+P E （11） 从（11）式可得出下列结论： （ⅰ）如果|-b d |<1，则：limP n =P E ，即P n 趋近于P E ，市场价格将无限趋近 均衡价格，蛛网周期是收敛的。而|-b d |<1，说明d 蛛网模型及其在经济学只能感的应用 摘要：蛛网模型是十分重要的数学模型之一，它在经济学中得到了广泛的应用。本文运用了经济学原理和数学原理分析了蛛网模型，同时论证劳动力市场工程师数量与工资率波动形成的收敛型蛛网和我国近二十年小麦价格与产量波动形成的发散型蛛网。从中得到如下的结论： 1.在工程师市场中，工资率的变动对工程师数量供给的影响小于需求量的影响，也就是需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值，形成收敛型蛛网。 2.在农产品市场中，小麦的价格变动对供给量的影响大于需求量的影响，也就是需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值，形成发散型蛛网。 关键词：蛛网模型 求曲线 均衡 弹性 引言：引进时间变化的因素，通过对属于不同时期的需求量，供给量和价格之间相互作用的考察，用动态分析的方法论述诸如劳动力市场调整，农产品市场等周期较长的产量和价格在偏离均衡状态以后的实际波动过程及其结果。 自改革开放以来，行业人才数量的培养和需求存在周期性变化，数量增多时，必然有工资率的下降；小麦价格的频繁波动和其产量的变化以及其他商品供求变化存在周期性的，都应该运用蛛网模型准确地把握变化趋势，采取灵活对策。当然，供给弹性和需求弹性是这些波动的根本原因。运用蛛网模型研究社会中的经济现象具有一定的指导意义。 1蛛网模型的经济学原理 1.1条件假设 蛛网模型所描述的数量和价格循环波动的现象是在一定的假设条件下出现的。 第一：本期产量供给不影响本期价格，本期产量供给s t Q 决定于前期价格 1t P ； 第二：本期的需求量t d Q 决定于本期的价格t P ； 第三：需求量弹性不变。蛛网模型假定需求弹性不变，主要是指需求的价格弹性不变，特别是在农产品市场上，农产品的需求弹性小，假设其不变。 第四：一种完全自由竞争的市场，任何生产者和消费者都是被动地接受价格。 1.2 经济学分析 蛛网模型以经济变量的时间先后分析了商品的价格和产量的波动，在其他有周期性的供给量和价格波动的市场也有类似的分析。 第一种情况：需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值。当市场由于受到干扰偏离原来的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但是波动的幅度越来越小，最后会回到原来的均衡点。（如图1） 假定，在第一期由于某种外在原因的干扰，实际产量由均衡水平e Q 减少到 1Q ，根据需求曲线，消费者愿意支付1P 的价格购买全部的产量1Q ，于是，实际Q,生产者为 了把商品出清,价格跌到P 2,此时P 2
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第02章第五节蛛网模型的数学推导
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第02章第五节 蛛网模型的数学推导
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