外逼近法

定义2.2.1. 设a,，z n

R ∈且a

Polyblock 外逼近法基于两个重要的事实：

1.不管可行域D 是凸集还是非凸集，它都可用一个Polyblock 从外部逼近；

2.单调增函数在Polyblock 上的最大值是在该Polyblock 的顶点达到。

Polyblock 外逼近法是通过逐次构造覆盖可行域D 的Polyblock 而形成的。该算法首先用箱子[l,u]作为初始Polyblock 。在第k 次迭代中,令z k 是Polyblock 顶点中目标函数值最大的那个顶点。计算在l 与z k 连线上的可行域D 的边界点x k.。从子箱[l,z k ]中割去子箱[x k ,z k ],使得Polyblock 逼近得到细化。交替地取n 个分量中的一个分量等于x k 的分量，其他分量等于z k 对应的分量，从而得到n 个新顶点。.这个迭代过程一直重复下去,直到上界(顶点的最大目标值)与下界(当前最好的边界点的目标值)之差达到给定的精度。

外逼近法的主要思想是通过一个已知顶点的多胞形P k 不断逼近可行域D ，使得问题min{f （x ）|x ∈ P k }的解逼近于原凹极小问题min{f （x ）|x ∈ D}的解。初始多胞形可取为一个超长方形。首先通过解下面2n 个线性规划得到每个变量的下界和上界：

l j :=min x j

s.t. D ∈x ={x n R ∈|T i a x ≤b i ,i=1,...,m}, u j =max x j

s.t. D ∈x ={x n R ∈|T i a x ≤b i ,i=1,...,m},

Polyblock 外逼近法算法

Step 0. 选择终止参数?>0 和 ?>0。如果l 是不可行解，则问题没有可行解。如果u 是可行 解，则u 是问题的最优解，算法停止；否则令

，V 1={u}，k=1。

Step 1. 计算

.

如果z k ? D ，算法停止，z k 是问题的一个最优解。

Step 2. 计算l 和z k 的连线与可行域D 边界相交的边界点x k 。令

。 如果,算法停止，是问题的一个（?，?）最优解。 Step 3. 计算与z k 相邻的箱子[x k ,z k ]的n 个新顶点：

令

. 记V k+1是在1k ~

V 中去掉所有的不合适的顶点后剩下的顶点组成的集合。

Step 4. 令k ：=k+1，返回Step 1 。