第2讲 四种命题、充要条件及常用逻辑用语

原命题逆命题逆否命题否命题

,p q 若则,q p

若则,q p 若非则非,p q 若非则非第2讲 四种命题、充要条件及常用逻辑用语

【基础知识】

1、四种命题及其关系：

原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；

2、充分条件与必要条件

(1)一般地，如果p q ?，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件．

从集合观点看，若A ?B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.

(2)x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，

若 ；则p 是q 的充分非必要条件B A _____?；

若 ；则p 是q 的必要非充分条件B A _____?；

注意：“若q p ???，则q p ?”在解题中的运用，如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件。

3、简单的逻辑联结词

（1）P 或q ：p q ∨ 真假判断： （2）p 且q : p q ∧ 真假判断： (3) 非p : p ?真假判断：

4、(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ?q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.

(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“?”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.

(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.

(4)从集合观点看，若A ?B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.

(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).

5、全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用?表示；

全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用?表示；

特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?

【基础训练】

1. 命题“若b a >，则11->-b a ”的否命题．．．

是（ ） A . 若b a >，则11-≤-b a B . 若b a ≥，则11-<-b a C . 若b a ≤，则11-≤-b a D . 若b a <，则11-<-b a

2．（2012·重庆高考文科）命题“若p 则q ”的逆命题是( )

(A)若q 则p (B) 若p ?则q ? (C) 若q ? 则p ? (D) 若p 则q ?

3、（2012·湖南高考文科）命题“若α=4

π，则ta nα=1”的逆否命题是( )

(A )若α≠4π，则ta nα≠1 (B )若α=4π，则ta nα≠1 (C )若ta nα≠1，则α≠4π (D )若ta nα≠1，则α=4

π 4、（2011·福建卷文科）若a ∈R ，则“a =1”是“|a |=1”的( )

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件

5、(15年浙江理科)

【典例分析】

1.（15年安徽文科）设p ：x<3，q ：-1

（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件

2.（15年陕西文科）“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充分必要条件

D 既不充分也不必要

3.（15年新课标1理科）设命题P ：?n ∈N ，2n >2n

，则?P 为 （A ）?n ∈N, 2n >2n （B ）? n ∈N, 2n ≤2n （C ）?n ∈N, 2n ≤2n （D ）? n ∈N, 2n =2n

4.（15北京理科）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α?．“m β∥”是“αβ∥”的

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【提高训练】

1、（2013·重庆高考文科）命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为( ) A ．存在0x R ∈，使得200x < B .对任意x R ∈，都有20x

使得20x < 2、命题“若)(x f 是奇函数，则)(x f -是奇函数”的否命题是（ ）

A . 若)(x f 是偶函数，则)(x f -是偶函数

B . 若)(x f 不是奇函数，则)(x f -不是奇函数

C . 若)(x f -是奇函数，则)(x f 是奇函数

D . 若)(x f -不是奇函数，则)(x f 不是奇函数

3、（2013·湖南高考文科） “1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的（ ）

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

4、（2012·湖北高考文科）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）

(A )任意一个有理数，它的平方是有理数 (B )任意一个无理数，它的平方不是有理数

(C )存在一个有理数，它的平方是有理数 (D )存在一个无理数，它的平方不是有理数

5、设b a ,是向量，命题“若b a -=，则||||b a =”的逆命题是（ ）

A . 若b a -≠，则||||b a ≠

B . 若b a -=，则||||b a ≠

C . 若||||b a ≠，则b a -≠

D . 若||||b a =，则b a -=

6、（2010·湖南高考文科） 下列命题中的假命题是（ ）

（A ）,lg 0x R x ?∈= （B ）,tan 1x R x ?∈= （C ） 3,0x R x ?∈> （D ）,20x x R ?∈>

7.（15年陕西理科）“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

8.（15年天津理科）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

9.（15年湖南理科）设A,B 是两个集合，则“A B A =?”是“A B ?”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

10.（15年山东理科）若“[0,

],tan 4x x m π?∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为 .