高2015级高考适应性考试数学(文)附答案

2015级高考适应性考试

数学（文）

第I 卷（选择题60分）

一、单选题（共60分，每小题5分）

1．集合 则 =（ C ） A. B. C. ， D. ， ， 2．已知 为虚数单位, =( A ）

A. -

B.

C. -

D. - -

3．已知等差数列 ,则数列 的公差 ( B ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 4．与椭园

共焦点且渐近线方程为 的双曲线的标准方程为( D ）

A.

B.

C.

D.

5．若 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ A ） A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则

6．已知向量()1,2m =， ()2,3n =，则m 在n 方向上的投影为（ D ）

A.

B. 8

C.

D. 7．执行下面的程序框图，如果输入1a =， 1b =，则输出

的S =（ B ）

A. 7

B. 20

C. 22

D. 54 【解析】初始值a=1,b=1,s=0,k=0 s =2,a =2,b =3,k =2, s =7,a =5,b =8,k =4 s =20,a =13,b =21,k =6 输出s =20,选B.

8．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q =”是“422S S =”的（ C ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【解析】由422S S =，得()

()2311121a q q q a q +++=+，即32

10q q q +--=，即

()()2

110q q +-=.∴1q =±，即1q =.当1q =时，易得422S S =.

∴“1q =”是“422S S =”的充要条件.故选C.

9．中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的

几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为（ B ）

A.

B. C. D.

【解析】分析：该题属于已知几何体的三视图，，求其外接球的表面积问题，把三棱柱补成长方体，则长方体的对角线长等于外接球的直径，从而求得结果.

详解：由已知可得该“堑堵”是一个半个长方体的直三棱柱，且长宽高分别是 ，该几何体的外接球就是对应的长方体的外接球，而长方体的对角线是 ，所以其外接球的半径为1，所以其外接球的表面积为 ，故选B. 10．动直线 与圆 交于点 ,则弦 最短为( D ）

A. 2

B.

C. 6

D.

【解析】分析：首先判断出直线 经过定点 ，可得 在圆内，从而可得当 时， 最短，利用勾股定理可得结果. 详解：直线 化为 直线过定点 ，

可得 在圆 内，

当 时， 最短，由 ， 可得 ， ， ，故选D.

11．分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形。分形是一种具有自相似特性的现象，图象或者物理过程。标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形则当 时，该黑色三角形内共去掉( C )个小三角形

A. 81

B. 121

C. 364

D. 1093

【解析】分析：观察图形可得，有如下规律，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的 倍加 ，从而可得结果. 详解：由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的 倍加 ，所以， 时， ； 时， ；

时， ； 时， ； 时， ；

时， ，故选C.

12．若函数()2

2ln f x x x ax =+-在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为（ D ）

A. ()4,+∞

B. [)4,+∞

C. (),4-∞

D. (]

,4-∞

【解析】函数()f x 的定义域为()0,+∞， ()1

'4f x x a x

=+

-，由已知有()'0f x ≥，所以140x a x +-≥对于()0,x ∈+∞恒成立， 1

4a x x

≤+恒成立，所以

min

14a x x ?

?≤+ ???，

而144x x +≥=，当且仅当12x =时等号成立，所以4a ≤. 第II 卷（非选择题90分）

二、填空题（共20分，每小题5分）

13．函数 且 )所过的定点坐标为__________． 【答案】 .

14．在区间 上随机取一个实数 ，则使函数 无零点的概率为__________． 【答案】

15．已知0a >，设,x y 满足约束条件0103x y a x y x -+≥??

+-≥??≤?

，且2z x y =-的最小值为-4，则

a =__________．

【答案】3

16．已知正实数,a b 满足2,a b >且1

2ab =,则22412a b a b

++-的最小值为___________.

【答案】【解析】由题意得20a b ->，

22412a b a b ++- ()()2

22234433

2222a b a b ab a b a b a b a b

-++-+===-+

---

≥当且仅当322a b a b -=-，

2

b =

，填 【点睛】

当0,0a b >>

时，22ab a b a b +≤≤

+(当且仅当a b =时取“=”号). 利用基本不等式求最值满足条件：一正、二定、三相等.

三、解答题（共70分，其中必考题17～21每小题12分，选考题22～23每小题10分） 17．已知函数(

)21

cos 2

f x x x =

--. (1)求()f x 的单调递增区间；

(2)设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(),0c f C ==，若

s i n 2s i n B A =，求a b 、 的值．

【解析】

(1) ()2112122212226cos x f x x cos x sin x sin x π+?

?=--=--=-- ??

?. 由222,2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

+≤-

≤

+∈，得(),6

3

k x k k Z π

π

ππ-

+≤≤

+∈

∴函数()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ??

-++∈????

.

(2)由()0f C =，得216sin C π?

?

-

= ??

?

， 110,26

6

6

C C π

π

π

π<<∴-

<-

<

， 2,6

2

3

C C π

π

π

-

=

=

.

又2sinB sinA =,由正弦定理得

2b

a

=①; 由余弦定理得222

23

c a b abcos

π

=+-，即22

3a b ab +-=，②

由①②解得1,2a b ==.

18．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[)7580，，第2组[)8085，，第3组[)8590，，第4组[

)9095，，第5组

[]95100，

得到的频率分布直方图如图所示.

（1）分别求第3， 4， 5组的频率；

（2）若该校决定在笔试成绩高的第3， 4， 5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3， 4， 5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随

机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率. 【解析】（1）由题设可知，第3组的频率为0.0650.3?=； 第4组的频率为0.0450.2?= 第5组的频率为0.0250.1?=

（2）第三组0.310030?=人；第四组的人数为0.210020?=人； 第五组的人数为0.110010?=人； 因为第3， 4， 5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第3组抽630360?

=人；第4组抽6

20260

?=人；第5组抽6

10160

?

=人； 所以第3， 4， 5组分别抽取出3人， 2人和1人. （3）设第3组的3位同学为1A ， 2A ， 3A ，第4组的两位同学为1B ， 2B ，第5组的

1位同学为1C ，

则从六位同学中抽两位同学有： ()12A A ，， ()13A A ，， ()11A B ，， ()12A B ，， ()11A C ，

， ()23A A ，， ()21A B ，， ()22A B ，， ()21A C ，， ()31A B ，， ()32A B ，， ()31A C ，

， ()12B B ，， ()11B C ，， ()21B C ，共15种可能. 其中第4组的两位同学为1B ， 2B ，至少有一位同学入选的有：，， ()11A B ，， ()12A B ，

， ()21A B ，

， ()22A B ，， ()31A B ，， ()32A B ，， ()12B B ，， ()11B C ，， ()21B C ， 共9种可能.

所以第4组至少有一学生被甲考官面试的概率为93

155

= 19．已知 中， 分别

取边 的中点 ,将 沿 折起到 的位置,使 .设点 为棱 的中点，点 为 的中点，棱 上的点 满足 .

(I)求证: //平面 ;

(Ⅱ)求三棱锥 的体积 【解析】(Ⅰ)证明：

取 中点 ，连接 为棱 的中点，

且

，而 中， 为边 的中点，

则 ,且

，

即

且

四边形MFCN 为平行四边形

,

平面 平面

平面 . (Ⅱ)取 中点 ，连

，

面 平面

为三棱锥 的高

,

20．在平面直角坐标系中，椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点31,2M ??

?

??

在椭圆C 上．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）已知()2,0P -与()2,0Q 为平面内的两个定点，过()1,0点的直线l 与椭圆C 交于

A ，

B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．

【解析】（1）∵

1

2

c a =，∴2a c =， 椭圆的方程为22

22143x y c c

+=，

将31,

2?? ???

代入得22191412c c +=，∴2

1c =， ∴椭圆的方程为22

143

x y +=． （2）设l 的方程为1x my =+，联立22

1,

{ 43

1,

x y x my +==+ 消去x ，得()

22

34690m y my ++-=，

设点()11,A x y ， ()22,B x y ， 有122634m y y m -+=

+， 122

9

34

y y m -=+，

有()

22

12134

m AB m +==+， 点P ()2,0-到直线l

点()2,0Q 到直线l

从而四边形APBQ 的面积(

)

2

21211234m S m +=?=+（或121

2

S PQ y y =

-）

令t =， 1t ≥，

有22431t S t =

+ 24

13t t

=+

，设函数()13f t t t =+， ()2

1'30f t t =->，所以()f t 在[)1,+∞上单调递增，

有134t t

+≥，故2

2424

61313t S t t t

=

=≤++， 所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6． 21．已知函数()ln x f x x =

， ()23

1m g x x x

=--. （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）对一切()0,x ∈+∞， ()()2f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围；

（3）证明：对一切()0,x ∈+∞，都有2

2ln x x x x e e

<

-成立.

【解析】（1）()ln x f x x =

，得()21ln x

f x x

-'=由()0f x '>，得0x e << ∴()f x 的递增区间是()0,e ，递减区间是(),e +∞ （2）对一切()0,x ∈+∞， ()()2f x g x ≥恒成立，

可化为3

2ln m x x x ≤++

对一切()0,x ∈+∞恒成立. 令()3

2ln h x x x x

=++，

()223

01h x x x +'>=-= ()()222

3123x x x x x x

+-+-=， ()0x > 当()0,1x ∈时， ()0h x '<，即()h x 在()0,1递减

当()1,x ∈+∞时， ()0h x '>，即()h x 在()1,+∞递增，∴()()min 14h x h ==， ∴4m ≤，即实数m 的取值范围是(]

,4-∞

（3）证明： 22ln e e

x x x x <

-等价于ln 2e e x x x x <-，即证()2e e x x

F x <- 由（1）知()()1

e e

f x f ≤=

，（当e x =时取等号） 令()2e e x x x φ=-，则()1

e

x x x φ'-=，易知()x φ在()0,1递减，在()1,+∞递增

∴()()1

1e

x φφ≥=（当1x =时取等号）∴()()f x x φ<对一切()0,x ∈+∞都成立

则对一切()0,x ∈+∞，都有2

2ln e e x

x x x <-成立.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线1C 的参数方程为为参数）

（t t y t x ???

?

???=+=23211.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ： 2

2

12

3sin ρθ

=

+. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若1C 与2C 相交于A B 、两点，设点()1,0F ，求

11FA FB

+的值. 【解析】（I ）为参数）

（t t y t x ???

?

???=+=23211 ?

0y -=，

所以曲线1C

的普通方程为)1y x =-.

()

2222222222

12

3sin 1231234123sin x y y x y ρρρθθ

=

?+=?++=?+=+， 所以2C 的直角坐标方程为22

143

x y +=. （Ⅱ）由题意可设，与A B 、两点对应的参数分别为12,t t ，

将1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程22

143x y +=， 化简整理得， 2

54120t t +-=，所以121245125t t t t ?+=-?????=-??，

所以1212

11

t t FA FB FA FB FA FB t t +++==??， 因为1212

05

t t ?=-

<， 所以

121216

5

t t t t +=-=

=，

所以

16 114

5

123

5

FA FB

+==

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，不等式转化为，解得；

当时，不等式转化为，解得；

当时，不等式转化为，解得.

综上所述，不等式的解集为或.

（2）由（1）得，

作出其函数图象如图所示：

令，若对任意的，都有成立，

即函数的图象在直线的下方或在直线上.

当时，，无解；

当时，，解得；

当时，，解得.

综上可知，当时满足条件，故实数的取值范围是.