《第26章离散量的最大值和最小值问题》竞赛专题复习含答案
《第26章离散量的最大值和最小值问题》竞赛专题复习含答案
第26章 离散量的最大值和最小值问题
26.1.1** 某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6、第7、第8、第9场比赛中分别得了23、14、11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？
解析 设前5场比赛的平均得分为x ，则前9场比赛的平均得分为
523141120568
99x x +++++=
． 由题设知
568
9
x x +>， 解得17x <．所以前5场最多得分是 517184?-=（分）．
再设他第10场比赛得了y 分，那么有 84681810180y ++>?=， 解得28y >y>28． 故他第10场比赛得分≥29分．
另一方面，当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了23、14、11、20和29分，前5场总得分为84分时，满足题意．
所以，他在第10场比赛中至少得了29分．
评注 在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界），然后再构造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题．
26.1.2* 从任意n 个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求n 的最小值．
解析 任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的倍数．
又l ，2，…，12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数． 综上所述，至少需任取13个数才能满足题意．
26.1.3** 从1，2，3，…，20中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的奇数倍．
解析 从1，2，…，20中取7，8，…，20这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍．
把1，2，…，20分成如下14组：{1，3，9}，{2，6，18}，{4，12}，{5，15}，{7}，f8}，{10}，{11}，{13}，{14}，{16}，{17}，{19}，{20}，从中任取15个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的奇数倍．
26.1.4** 如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子．问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？
解析 取100个小伙子是这样的一种特殊情况．他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100个．
26.1.5** 代数式rvz rwy suz swy tux tvx --++-中，r 、s 、t 、u 、v 、w 、x 、y 、z 可以分别取1或者1-．
（1）求证：代数式的值都是偶数； （2）求该代数式所能取到的最大值．
解析 （1）因为
()11111110mod2rvz rwy suz swy tux tvx --++-≡++++++≡，
所以，此代数式的值为偶数．
（2）原式()()()uy s r tx u v z rv su =-+-+-，要使原式取得最大值，则s 与r 取1与1-，u 与v 取l 与
1-．但是，若r 与v 的取值相同（1或1-），则s 与u 的取值也相同，有0rv su -=．若r 与v 的取值不同．则s 与u 的取值也不同，也有0rv su -=．
所以，原式的最大值为4．这时取1s =，1r =-，1u =，1v =-，1w y t x ====．
26.1.6** 一个三位数除以43，商是a ．余数是b （a 、b 都是整数），求a b +的最大值． 解析 由带余除法可知： 43a b ?+=一个三位数． ①
因为b 是余数，它必须比除数小，即b ≤42．根据①式．考虑到等式右边是一个三位数，为此a 不超过23（因为24×43>1000）．当23a =时，因为43×23+10＝999，此时b 为10．当22a =时，可取余数42b =，此时43×22+42＝998．
故当22a =，42b =时，a b +值最大，最大值22+42＝64．
从1，2，…，1001这1001个正整数中取出n 个数，使得这n 个数中任意两个数的差都不是素数，求n 的最大值．
解析 设正整数a 被取出，则2a +，3a +，5a +，7a +都不能被取出．而1a +，4a +，6a +三者中至多只能有一个被取出．
所以连续8个整数a ，1a +，2a +，a +3，a +4，5a +，6a +，7a +中至多有两个数被取出，而 1001＝8×125+1，所以n ≤2×125+1＝251．
又1，5，9，…，1001这251个数满足题设条件．所以n 的最大值为251．
26.1.8*** 从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a 、b 、c （a b c <<），都有ab c ≠．
解析 首先，1，14，15，…，205这193个数，满足题设条件．
事实上，设a 、b 、c （a b c <<）这三个数取自1，14，15，…，205，若1a =，则ab b c =<；若1a >，则14152100ab ?=>≥．
另一方面，考虑如下12个数组：
（2，25，2×25），（3，24，3×24），…，（13，14，13×14），
上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2，最大的数为13×14＝182<205，所以，每一个数组中的三个数不能全部都取出来，于是，取出来的数的个数不超过205－12＝193个． 综上所述，从1，2，…，205中，最多能取出193个数，满足题设条件．
26.1.9*** 从1，2，3，…，16这16个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质的．
解析 首先，取出1，2，…，16中所有2或3的倍数： 2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16．
这11个数要么是2的倍数，要么是3的倍数．由抽屉原理知，这11个数中的任意三个数，都必有两 个数同为2或3的倍数，它们的最大公约数大于1，也就是说这三个数不是两两互质的．所以，从1，2，…，16中可以选出11个数满足要求．
下面证明从1，2，…，16中任取12个数，其中一定有3个数两两互质．
事实上，令数组A ={1，2，3，5，7，…，13）．数组A 中有7个数，而且这7个数是两两互质的．从 1，2，…，16中任取12个数，由于A 以外只有9个数，故A 中至少有3个数被选出，这三个数是两两互质的．
所以，最多选出11个数满足要求．
26.1.10*** 已知1x ，2x ，…，40x 都是正整数，且124058x x x ?+++=，若222
1240
x x x ?+++的最大值为A ，最小值为B ，求A B +的值．
解析 因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故2221240
x x x ?+++的最小值和最大值是存在的．
不妨设1240x x x ?≤≤，若11x >z1>1，则 ()()121211x x x x +=+++，
且()()()2
2
222212122112
1122x x x x x x x x -++=++-+>+． 所以，当1x >1时，可以把1x 逐步调整到1，这时，2221240
x x x ?+++将增大；同样地，可以把2x ，3x ，…，39x 逐步调整到1，这时2221240
x x x ?+++将增大．于是，当1x ，2x ，…，39x 均为1，4019x =时，222
1240x x x ?+++取得最大值，即 22
223911119400A ?=++++=
个
若存在两个数i x 、j x ，使得()2140j i x x i j -<≥≤≤，则
()
()()2
2
2222
1121i j i j j i i j x x x x x x x x ++-=+---+≤，
这说明在1x ，2x ，…，39x ，40x 中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加l ，较大的数减1，这
时，222
1240
x x x ?+++将减小． 所以，当2221240
x x x ?+++取到最小时，1x ，2x ，…，40x 。中任意两个数的差都不大于1．不难算出，当12221x x x ?====，2324402x x x ?====时，2221240x x x ?+++取得最小值，即 222222221811122294B ??=+++++++=
个
个
． 故494A B +=．
26.1.11*** 从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求”的最小值．
解析 当4n =时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．
当5n =时，设1a ，2a ，…，5a 是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则1a ，2a ，…，5a 中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是1a ，2a ，…，5a 中必定有一个数是5．
若1a ，2a ，…，5a 中含1，则不含9．于是不含4（4+l+5＝10），故含6；于是不含3（3+6+1＝10），
故含7；于是不含2（2+1+7＝10），故含8．但是5+7+8＝20是10的倍数，矛盾．
若1a ，2a ，…，5a 中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5＝20），故含4；于是不含7（7+4+9＝20），故含3；于是不含8（8+9+3＝20），故含2．但是5+3+2＝10是10的倍数，矛盾． 综上所述，n 的最小值为5．
26.1.12*** 把1，2，…，30这30个数分成k 个小组（每个数只能恰在一个小组中出现），使得每一个小组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数，求k 的最小值．
解析 首先，考虑数6，19，30，因为6+19＝25，6+30＝26，19+30＝27，所以，这3个数必须属于3个不同的小组，于是k ≥3．
另一方面，可以把1，2，…，30这30个数分成如下3个小组，使得它们满足题设条件： 1A ={3，7，11，15，19，23，27，4，8，16，24）， 2A ={1，5，9，13，17，21，25，29，6，14，18，26}， 3A ={2，10，12，20，22，28，30}，
由于完全平方数除以4的余数只能是0或者1，容易验证1A 、2A 、3A 满足题设条件．
26.1.13*** 从{1，2，3，…，2000）中最多可能取出几个数，使得任意两个取出的数的差不为质数？ 解析 首先，对于任意自然数女，k ，{k ，1k +，2k +，…，7k +}中至多取2个，使得它们的差不为质数．
事实上，只需考虑集合{1，2，3，4，5，6，7，8}．把它分成3组：{}5A =，B ={1，3，6，8），C ={2，4，7）．集合B 或C 中任意两数之差均为质数，故B 、C 中最多只能取一个．若5取出，则B 中1或6可取出．对于1，5，C 中不能取出数了；对于5，6，C 中也不能再取出数了．若5不取出，则B 、C 中最多各取一个，至多为2个．
综上所述，{k ，1k +，2k +，…，7k +}中至多取2个，它们的差不为质数．从而{1，2，3，…，2000}中至多可取500个．
又对于4，4×2，…，4×500这500个数，其中任意两个数的差为4的倍数，不是质数． 因此，最多可取500个数满足要求．
26.1.14**** 有一个正方形的纸片，用剪刀沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；取出其中一部分，再沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；又从这三部分中取其中之一，还是沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，若最后得到了34个62边形和一些多边形的纸片，则至少要剪多少刀？ 解析 根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360?，于是，经过忌次分割后，可得（k +1）个多边形，这些多边形的内角和为（()1360k +??． 因为这（1k +）个多边形中有34个62边形．它们的内角和为 ()346221803460180?-??=???，
其余多边形有()13433k k +-=-（个），而这些多边形的内角和不少于()33180k -??．所以()()1360
346018033180k k +?????+-
?
?≥，解得k ≥2005．
当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下一个三角形，得到一个三角形和一个五边形，再在五边形上剪下一个三角形，得到2个三角形和一个六边形……如此下去，
剪了58刀后，得到58个三角形和一个62边形．再取出33个三角形，在每个三角形上各剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个62边形和33×58个三角形．于是共剪了58+33+33×58＝2005（刀）．
评注 我们也是先估计k （剪的次数）的下界，然后再说明这个下界（2005）是可以取到的，这里给了一个具体的剪法．注意，这个具体的剪法是必不可少的．另外，本题中估计女的下界，用的是“算两次”方法，即从两个不同的方面去考虑同一个量，一方面……另一方面……结合两个方面，可以得到一个等式，或者不等式，进而得到我们需要的结果．“算两次”是解最大值和最小值问题的有力工具．
26.1.15*** 某市有一些数学爱好者参加了今年的数学邀请赛，这次比赛的试题共有6道．已知每道试题恰有500名学生答对，但是任意两名学生中，至少有一道试题使得这两名学生都没有答对，问：该市至少有多少名数学爱好者参加了这次数学邀请赛？ 解析 首先，易知每位学生至多答对了4道题．
事实上，由题设知，对任意一位学生来说，不可能答对6题．若有一位学生答对5题，由题意知，所有其他学生都与他答错相同的题，这也与每道试题恰有500个学生答对的题设矛盾．
若有一位学生答对了4题，不妨设答对了第l 、2、3、4题，则没有一位学生同时答对第5题和第6题，否则将与题意矛盾．因为答对第5题与第6题的学生各有1500人，这样，学生人数至少为500+500+1>1000人．
若每位学生至多答对了3题，由于全部学生答对题数的总和为500×6＝3000题，所以学生人数至少有：3000÷3＝1000人．
下面的例子说明1000人是可能的．
答对下列问题的人数各有100人：（1，2，3），（1，3，4），（1，4，5），（1，5，6）．（1，2，6），（2，4，6），（2，3，5），（2，4，5），（3．4，6），（3，5，6）． 综上所述，至少有1000人参加了这次数学邀请赛． 26.1.16*** 一座大楼有4部电梯．每部电梯可停靠三层（不一定是连续三层，也不一定停最底层）．对大楼中的任意的两层，至少有一部电梯可同时停靠，请问这座大楼最多有几层？
解析 设大楼有n 层，则楼层对有()12n n -，每部电梯停3层，有32
32
?=个层次，
所以()1432n n -?≥． 所以5n ≤．当5n =时，四部电梯停靠楼层分别为（1，4，5），（2．4，5），（3，4，5），（1，2，3）．
综上所述，大楼至多有5层．
26.1.17**** 10个学生参加n 个课外小组．每一个小组至多5个人；每两个学生至少参加某一个小组；任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n 的最小值为6． 解析 设10个学生为1S ，2S …，10S ，n 个课外小组为1G ，2G …，n G ．
首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为1S ，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其他9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．
若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设1S 恰好参加1G 、2G ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与1S 没有同过组，矛盾．
所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组1G ，2G ，…，n G 的人数之和不小于3×10＝30．
高中数学竞赛专题精讲27同余(含答案)
27同余 1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作，显然，； 每一个整数a 恰与1，2，……，m ，这m 个数中的某一个同余； 2.同余的性质： 1).反身性：； 2).对称性：； 3).若，则; 4).若，，则 特别是； 5).若，，则； 特别是 ； 6).； 7).若 ； 8).若， ……………… ，且 例题讲解 1．证明：完全平方数模4同余于0或1； 2．证明对于任何整数,能被7整除； )(mod m b a ≡)(mod m b a ≡)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -?∈+=?≡)(mod m a a ≡)(mod )(mod m a b m b a ≡?≡)(mod m b a ≡)(mod m c b ≡)(mod m c a ≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ±≡±)(mod )(mod m k b k a m b a ±≡±?≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ≡)(m od ),(m od m bk ak Z k m b a ≡?∈≡则)(m od ),(m od m b a N n m b a n n ≡?∈≡则)(mod )(m ac ab c b a +≡+)(m od 1),(),(m od m b a m c m bc ac ≡=≡时，则当)(mod )(mod ).(mod ),(m b a mc bc ac d m b a d m c ≡?≡≡=特别地，时，当)(m od 1m b a ≡)(m od 2m b a ≡)(mod 3m b a ≡)(mod n m b a ≡)(m od ],,[21M b a m m m M n ≡??=，则0≥k 153261616+++++k k k
2018全国高中数学联赛试题
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α
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全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时
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数学竞赛训练题 1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。 2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和，且2412-+=n n T S n n ，则=+++15 61118310b b a b b a _______。 3、若函数()?? ? ?? +=x a x x f a 4log 在区间上为增函数，则a 的取值范围是为_______。 4、在四面体ABCD 中，已知DA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，则当二面角A-BD-C 的正切值为2时，四面体ABCD 的体积为_______。 5、已知定义在R 上的函数()x f 满足： （1）()11=f ； （2）当10<
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1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1
高中数学竞赛试题附详细答案
高中数学竞赛试题 一选择题(每题5分,满分60分) 1. 如果a,b,c 都是实数，那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2 +bx+c=0有一个正根和一个 负根的（ ） （A ）必要而不充分条件 （B ）充要条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。 （A ） 100 5 .03?克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克 3. 由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示 大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。 （A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元 4. 已知函数 >0， 则 的值 A 、一定大于零 B 、一定小于零 C 、等于零 D 、正负都有可能 5. 已知数列3，7，11，15，…则113是它的（ ） （A ）第23项 （B ）第24项 （C ）第19项 （D ）第25项 6. 已知等差数列}{n a 的公差不为零，}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数 列，其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于（ ） (A) 13--n n (B) 13-+n n (C) 13+-n n (D)都不对 7. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π = x 处取得最小 值，则函数)4 3( x f y -=π 是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 8. 如果 A A tan 1tan 1+-= 4+5，那么cot （A +4 π ）的值等于 ( ) A -4-5 B 4+5 C - 5 41+ D 5 41+ 9. 已知︱︱=1，︱︱=3,?=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设 =m +n (m 、n ∈R )，则 n m 等于
高中数学联赛组合专题
课程简介：全国高中数学联赛是中国高中数学学科的最高等级的数学竞赛，其地位远高于各省自行组织的数学竞赛。在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”。优胜者可以自动获得各重点大学的保送资格。各省赛区一等奖前6名可参加中国数学奥林匹克，获得进入国家集训队的机会。中小学教育网重磅推出“全国高中数学联赛”辅导课程，无论是有意向参加竞赛的初学者，还是已入围二试的竞赛选手，都有适合的课程提供。本套课程由中国数学奥林匹克高级教练熊斌、人大附中数学教师李秋生等名师主讲，轻松突破你的数学极限！ 课程招生简章：https://www.360docs.net/doc/7311529190.html,/webhtml/project/liansaigz.shtml 选课中心地址： https://www.360docs.net/doc/7311529190.html,/selectcourse/commonCourse.shtm?courseeduid=170037#_170037_ 第二章组合专题 一、重要的概念与定理 1、完全图：每两个顶点之间均有边相连的简单图称为完全图,有个顶点的完全图（阶完全图）记为. 2、顶点的度：图中与顶点相关联的边数（环按2条边计算）称为顶点的度（或次数）, 记为.与分别表示图的顶点的最小度与最大度.度为奇数的顶点称为奇顶点,度 为偶数的顶点称为偶顶点. 3、树：没有圈的连通图称为树,用表示,其中度为1的顶点称为树叶（或悬挂点）.阶树常表示为. 4、部图：若图的顶点集可以分解为个两两不相交的非空子集的并,即 并且同一子集内任何两个顶点没有边相连,则称这样的图为部图,记作 . 2部图又叫做偶图,记为. 5、完全部图：在一个部图中, ,若对任意 均有边连接和,则称图为完全部图,记为. 6、欧拉迹：包含图中所有边的迹称为欧拉迹.起点与终点重合的欧拉迹称为闭欧拉迹. 欧拉图：包含欧拉迹的图为欧拉图. 欧拉图必是连通图. 哈密顿链（圈）：经过图上各顶点一次并且仅仅一次的链（圈）称为哈密顿链（圈）.包含哈密顿圈的图称为哈密顿图. 7、平面图：若一个图可画在平面上,即可作一个与同构的图,使的顶点与边在同一
全国高中数学联赛试题及解答
2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:00?9:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩?R B是() (A){2}(B){?1}(C){x|x≤2}(D)? 2．设sin?＞0，cos?＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k?+，2k?+)，k?Z(B)(+，+)，k?Z (C)(2k?+，2k?+?)，k?Z(D)(2k?+，2k?+)∪(2k?+，2k?+?)，k?Z 3．已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中p?q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以?，?3，?7，?9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4?x3+x2?x+1=0 (C)x4?x3?x2+x+1=0(D)x4+x3+x2?x?1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000?)=__________． 2．设a n是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a?b，b?c，c?d，d?a； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=的最大值．
高中数学竞赛试题及答案
浙江省高中数学竞赛试题及答案 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ?=?,则实数a 取值范围为（ ） A. 3a ≥ B. 1a ≤-. C. 1a ≤-或 3a ≥ D. 13a -≤≤ 2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ） A. D. 4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且2 8z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =-- C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =-- 5. 已知直线AB 与抛物线2 4y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足 00min{}C A C B CA CB ?=?，则下列一定成立的是（ ） 。 A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线 C. 00C A C B ⊥ D. 01 2 C M AB = 6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 , 7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B. 6 C. 7 D 8 8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。 A.
全国高中数学联赛试题及答案
2010年全国高中数学联赛 一 试 一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数x x x f 3245)(---= 的值域是 . 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2 -=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线12 2 =-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 . 4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中 3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ， 则=+βα . 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区 间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin . 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分） 9. （16分）已知函数)0()(2 3 ≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值. 10.（20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且 421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ?面积的最大值. 11.（20分）证明：方程02523 =-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得 +++=3215 2 a a a r r r .
高中数学竞赛典型题目(一)
数学竞赛典型题目（一） 1.(2004美国数学竞赛)设n a a a ,,,21 是整数列,并且他们的最大公因子是1. 令S 是一个整数集,具有性质: （1）),,2,1(n i S a i =∈ （2） }),,2,1{,(n j i S a a j i ∈∈-,其中j i ,可以相同 （3）对于S y x ∈,，若S y x ∈+，则S y x ∈- 证明：S 为全体整数的集合。 2．(2004美国数学竞赛)c b a ,,是正实数，证明： 3252525)()3)(3)(3(c b a c c b b a a ++≥+-+-+- 3．(2004加拿大数学竞赛)T 为1002004的所有正约数的集合，求集合T 的子集S 中的最大可能的元素个数。其中S 中没有两个元素，一个是另一个的倍数。 4．(2004英国数学竞赛)证明：存在一个整数n 满足下列条件： （1）n 的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0； （2）2004能整除n . 5．(2004英国数学竞赛)在0和1之间，用十进制表示为 21.0a a 的实数x 满足：在表达式中至多有2004个不同的区块形式，)20041(20031≤≤++k a a a k k k ，证明：x 是有理数。 6．(2004亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集S ，满足：如果S n m ∈,，则S n m n m ∈+) ,( 7．(2004亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点，并且无三点共线，S 为通过任何两点的直线的集合。证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S 中有奇数条直线分离这两点。 8．(2004亚太地区数学竞赛)证明：)()!1(*2N n n n n ∈?? ????+-是 偶数。 9．(2004亚太地区数学竞赛)z y x ,,是正实数，证明：
2014年全国高中数学联赛试题及答案
2014年全国高中数学联赛(B 卷) 一 试 一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数 x x x f 3245)(---=的值域是 . 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线122 =-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个 数是 . 4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中352211 3,,1,3b a b a b a ====，且存在常 数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα . 5. 函数 )1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值 是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获 胜概率是 . 7. 正三棱柱 111C B A ABC -的 9条棱长都相等， P 是1CC 的中点，二面角α =--11B P A B ,则 =αsin . 8. 方程2010=++ z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分） 9. （16分）已知函数 )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值. 10.（20分）已知抛物线 x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ?面积的最大值. 11.（20分）证明：方程02523 =-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得 +++=3215 2 a a a r r r . 解 答 1. ]3, 3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为 ]3,3[-.
2015年全国高中数学联赛试题
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα +的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++= ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为 4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含 点B ）的动点Q 满足DP BQ = ,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ? 的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{} (,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值. 10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得 {}311424,2,,,1,328i j a a i j ??≤<≤=----???? ，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2 212 x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.
高中数学竞赛专题之数列
高中数学竞赛专题之数列 一、数列的性质 等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及容对照讨论如下： 性质1：若K K ,,,,21n a a a 是等差（等比）数列，那么K K ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差（等比）数列。 性质2：若}{n a 为等差数列，且 ∑∑===k l l k l l j i 11 ，那么 ∑∑===k l j k l i l l a a 1 1 （脚标和相同则对应的 项的和相同）；若}{n a 为等比数列，且∑∑===k l l k l l j i 1 1 ，那么l l j k l i k l a a 1 1 ===ππ（脚标和相同则对 应的项的积相同）。 性质3：若}{n a 为等差数列，记K K ,,,,1 )1(1 2 1 1∑∑∑=-+=+==== k i k m i m k i k i k i i a S a S a S ，那么 }{m S 仍为等差数列，}{n a 为等比数列，记K K ,,,,)1(1 1 21 1k m i k l m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ， 那么}{m P 仍为等比数列。 性质4：若}{n a 为等比数列，公比为q ，且|q|〈1，则q a S n n -= ∞ →1lim 1 。 例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若 1 32+=n n T S n n ， 则=∞→n n n b a lim （ ）A.1 B. 36 C. 32 D.94 例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（ ） A.130 B. 170 C. 210 D.260 例3、}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若 3 3131 3++=n n T S n n （1）求2828a b 的值， （2）求使n n a b 为整数的所有正整数n 。
全国高中数学竞赛专题三角函数
三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|= r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取 一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x , 正切函数tan α= x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1 ； 商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ??? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。 单调区间：在区间?? ? ?? ?+ - 22,2 2πππ πk k 上为增函数，在区间?? ? ?? ?++ πππ π232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π 时, y 取最小值-1，值域为[-1，1]。 对称性：直线x =k π+ 2 π 均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。 单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。 最小正周期：2π。 奇偶性：偶函数。 有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。 对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ? ?+ 0,2π πk 均为其对称中心。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2 π )上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2 π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β, s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1() tan (tan βαβα ± 两角和与差的变式：2222 sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+- 2222 cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+-
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题 总分200分 一、选择题（50分） 1、已知i 是虚数单位，则复数 122 i i +-=（ ） A i B i - C 4355i -- D 43 55 i -+ 2、下列函数中，既是奇函数，又是在区间(,)-∞+∞上单调递增的函数是（ ） A 2y x x =+ B 2sin y x x =+ C 3y x x =+ D tan y x = 3、已知,a b 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:1p a b ->是命题5:[,)26 q ππ θ∈的 （ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 4、已知集合{}{}|12,|21P x x M x a x a = ≤≤=-≤≤+，若P M P =，则实 数a 的取值范围是（ ） A (,1]-∞ B [1,)+∞ C [1,1]- D [1,)-+∞ 5、函数sin()cos()226 y x x ππ = ++-的最大值是（ ） A 13 4 B 4 C 2 D 6、如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥底面 ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A A B SA ⊥ B B C 平面SAD C BC 与SA 所成的角等于A D 与SC 所成的角 D SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 7、程序框图如图所示，若 22(),()log f x x g x x ==，输入x 的 值为0.25，则输出的结果是（ ） A 0.24 B 2- C 2 D 0.25- 8、设 ,i j 分别表示平面直角坐标系,x y 轴上的单位向量，且
2014年全国高中数学联赛试题及解答
全国高中数学联合竞赛试题（A 卷） 一试 一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11 a b +的值为________． 答案：设连等式值为k ，则2 3 2 ,3 ,6k k k a b a b --==+=，可得答案108 分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过 2. 设集合3|12b a b a ?? +≤≤≤????中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______． 答案：33251b a +≤+= ，33 b a a a +≥+≥ ，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0- 分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过 4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则 2014 122013a a a a =+++______． 答案：()1221 n n n a a n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+?+?+++， 乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为2015 2013 ． 分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过 5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是________ ． 答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过 6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则 椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________． 答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+， 可得△2PQF 三边长为7,21,2c c + ，过2F 作高，利用勾股可得5c =． 分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关 7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之 比的最大值为________． 答案：sin sin APB APC S PAB S PAC ∠=∠，又两角和为60 最大，即AP 与 (),1I 切于对称轴右侧
全国高中数学联赛试题专题分类汇编集合
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编 1、集合部分 2019A 2、若实数集合{}1,2,3,x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之 和，则x 的值为 ． ◆答案：3 2 - ★解析：假如0x ≥，则最大、最小元素之差不超过{}max 3,x ，而所有元素之和大于 {}max 3,x ，不符合条件．故0x <，即x 为最小元素．于是36x x -=+，解得3 2 x =-。 2019B1. 若实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值 为 ． ◆答案：3- ★解析：条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0 ．显然0<，从而 120x ++=，得3x =-． 2018A1、设集合{ }99,,3,2,1Λ=A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B I 的元素个数为 ◆答案：24 ★解析：由条件知，{}48,,6,4,2ΛI =C B ，故C B I 的元素个数为24。 2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A Y 的所有元素之和是 ◆答案： 31 ★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A Y ，元素之和为31. 2018B 三、（本题满分50分）设集合{}n A ,,2,1Λ=，Y X ,均为A 的非空子集（允许Y X =） ．X 中的最大元与Y 中的最小元分别记为Y X min ,max ．求满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目。 ★解析:先计算满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目.对给定的X m max =，集合 X 是集合{ }1,,2,1-m Λ的任意一个子集与{}m 的并，故共有1 2-m 种取法.又Y m min ≤，故Y 是{}n m m m ,,2,1,Λ++的任意一个非空子集，共有121--+m n 种取法. 因此，满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目是： ()[] ()1212212 21 11 1 11 +?-=-=-∑∑∑=-==-+-n n m m n m n n m m n m n 由于有序集合对),(Y X 有()()() 2 121212-=--n n n 个，于是满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目是() ()124122122 +-=-+?--n n n n n n n
高中数学竞赛专题讲座(解析几何)
高中数学竞赛专题讲座（解析几何） 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0