初一奥数第14讲_面积问题2
第十四讲面积问题
我们已经学过的面积公式有：
(2)S平行四边形=ah(其中h表示a边上的高)．
的长，h表示平行边之间的
距离)．
由于多边形可以分割为若干个三角形，多边形的面积等于各三角形面积和，因此，三角形的面积是面积问题的基础．
等积变形是面积问题中富于思考性的有趣问题，它是数学课外活动的重要内容，这一讲中我们将花较多的篇幅来研究多边形的等积变形．
等积变形是指保持面积不变的多边形的变形．
三角形的等积变形是多边形等积变形的基础，关于三角形的等积变形有以下几个主要事实：
(1)等底等高的两个三角形面积相等．
(2)两个三角形面积之比，等于它们的底高乘积之比．
(3)两个等底三角形面积之比，等于它们的高之比．
(4)两个等高三角形面积之比等于它们的底之比．
例1已知△ABC中三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为h a=4，h b=5，hc=3．求a∶b∶c．
解设△ABC的面积为S，则
所以
说明同一个三角形依面积公式可以有三种不同的表示法，由此获得三边之比．
例2如图1－51，ABCD的面积为64平方厘米(cm2)，E，F分别为AB，AD的中点，求
△CEF的面积．
分析由于△CEF的底与高难以从平行四边行的面积中求出，因此，应设法将四边形分割为三角形，利用面积比与底(高)比来解决．
解连接AC．E为AB中点，所以
同理可得
S△cDF=16(平方厘米)．
连接DE，DB，F为AD中点，所以
从而
S△cEF=S aBCD-S△aEF-S△bCE-S△cDF
=64-16-16-8=24(平方厘米)．
说明 (1) E，F是所在边的中点启发我们添加辅助线BD，DE．
(2)平行四边形的对角线将平行四边形分成两个三角形的面积相等是由平行四边形对边相等及平行线间的距离处处相等，从而这两个三角形的底、高相等获知的．
分析直接求△DEF面积有困难，观察图形，发现△DEF与△DCF有共同的顶点D，其底边在同一条直线上，因而，高相同．所以
于是，求△DEF的面积就转化为求△DCF的面积．用同样的办法可将△DCF的面积转化为△ADC的面积，进而转化为△ABC的面积．
点D，且底边EF，CF在
同一条直线上，
EF∶CF=2∶3，
同理，△DCF与△DCA有共同的顶点C，且底边DF，DA在同一条直线上，由已知DF∶DA=2∶3，
所以
例4用面积方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边．
分析与解如图1－53所示．设E，F分别是AB，AC的中点，可求得△EBC与△FBC的面积相等(均为△ABC面积的一半)．由于这两个三角形同底BC，因而这两个三角形的顶点E，F 在一条与底边BC平行的直线上，所以EF∥BC．
说明 (1)从证题过程看出，条件“E，F是所在边的中点”可
从而 S△cBE=S△bCF．
这两个三角形同底BC，因此，它们的顶点E，F的连线与底边平行．
(2)同样用面积的方法可以证明如下事实：三角形ABC中，若EF∥BC且AE∶EB=m，则AF∶FC=m(请同学们自己证明)．
例5如图1－54．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD∶DC=2∶3，BD 与CE交于F， S△ABC=40，求S AEFD．
分析四边形 AEFD可分割为△AED与△DEF．从E是AB中点及D分AC为2∶3的条件看，△AED的面积不难推知，关键是如何推求△DEF的面积．为此，需通过添加辅助线的办法，寻求△DEF的面积与已知面积的关系．
解取AD的中点G，并连接EG，在△ABD中，E是AB的中点，由例3知EG∥BD．又CD∶DG=3∶1，从而，在△CEG中，
CF∶FE=CD∶DG=3∶1(例3说明(2))，
所以 S△DFC∶S△DFE=3∶1．
设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于
AD∶DC=2∶3，
所以
S△EAD∶S△ECD=2∶3，
又因为E是AB中点，所以
S aEFD=S△aDE+S△DEF=8+3=11．
说明在三角形中，利用平行线实行比的转移，再利用等积变形，得到相应的面积的比，从而将欲求的△DEF的面积与已知的△ABC的面积“挂上了钩”．这里取AD的中点G，得到BD的平行线EG是关键．
例6如图1-55所示．E，F分别是ABCD的边AD，AB上的点，且BE=DF，BE与DF交于O．求证：C点到BE的距离等于它到DF的距离．
分析过C作CG⊥BE于G，CH⊥FD于H，则CG，CH分别是C到BE，DF的距离，问题就是要证明CG=CH．结合已知，BE=DF，可以断言，△BCE的面积等于△CDF的面积．由于这两个三角形的面积都等于ABCD面积的一半，因此它们等积，问题获解．
解连接CF，CE．因为
所以 S△bCE=S△cDF．
因为BE=DF，所以
CG=CH(CG，CH分别表示BE，DF上的高)，
即C点到BE和DF的距离相等．
说明(1)△BCE与△CDF是两个形状及位置完全不同的三角形，它们面积相等正是通过等积变形——都等于同一平行四边形的面积之半．
(2)通过等积变形可以证明线段的相等．
练习十四
1．如图1－56所示．在△ABC中，EF∥BC，且AE∶EB=m，求证：AF∶FC=m．
2．如图 1－57所示．在梯形 ABCD中， AB∥CD．若△DC
的几分之几？
3．如图1－58所示．已知P为△ABC内一点，AP，BP，CP分别与对边交于D，E，F，把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．4．如图1－59所示．P为△ABC内任意一点，三边a，b，c的高分别为h a，h b，h c，且P 到a，b，c的距离分别为t a，t b，t c．
求
5．如图1－60所示．在梯形ABCD中，两腰BA，CD的延长线相交于O，OE∥DB，OF∥AC 且分别交直线BC于E，F．求证：BE=CF．
6．如图1－61所示．P是△ABC的AC边的中点，PQ⊥AC交AB延长线于Q，BR⊥AC于R．
求证：
817.同余-奥数精讲与测试8年级
例1．求证：⑴8︱(551999＋17)；⑵ 8︱(32n ＋7)；⑶ 17︱(191000?1)。 例2．求使2n ?1为7的倍数的所有正整数n 。 例3．把1、2、3、…、127、128这128个数任意排列为a l 、a 2、…、a 128，计算出、、…、，再将这64个数任意排12a a -34a a -127128a a -列为b 1、b 2、…、b 64，计算出、、…、。如此继12b b -34b b -6364b b -续下去，最后得到一个数x ，问x 是奇数还是偶数？ 例4．m 、n 是正整数，证明：3m +3n +1不可能是完全平方数。 例5．任意平方数除以4，余数为0或1(这是平方数的重要特征)。 例6．任意平方数除以8余数为0，1，4(这是平方数的又一重要特征）。
A卷 一、填空题 01.a除以5余1，b除以5余4。如果3a＞b，那么3a?b除以5的余数是__________。 02. 71427和19的乘积被7除，余数是__________。 03. 1+22+33+44+55+66+77+88+99≡__________ (mod3)。 04. 一个数除以3余2，除以4余1，这个数除以12的余数是__________。05. 今天是星期一，过21995是星期__________。 06. 10100被7除的余数是__________。 07. 1至5 000之间同时被3、5、7除都余2的数有__________个。 08. 1至1 000之间同时被2、3、7除都余1的数有__________个。 09.用除以7，余数是__________。 19943 3333 个 10. 1993年的元旦是星期五，那么1996年五月一日是星期__________。 二、解答题 11.甲、乙两数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75。已知甲数有12个约数，乙数有10个约数，那么甲、乙两数的最小公倍数是多少？
初一数学上册奥数题
初一数学上册奥数题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
初一数学上册奥数题 姓名:座号:班级:成绩：_______ 一、选择题（每小题3分，共15分） 1、汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，是属于（）的实际应用 A.面动成体 B.线动成面 C.点动成线 D.以上答案都不对 2、b为有理数，则下列结论正确的是（） A、|b|=b B、|b|是非负数 C、|b|是正数 D、-b为负有理数 3、当a=2时，代数式2a-3的值为（） A.3 B.1 C.-1 D.5 4、化简-2a+（2a-1）的结果是（） A.-4a-1 B.4a-1 C.1 D.-1 5、与m2t是同类项的是（） A.t2m B.m2st C.-3m2t D.(mt)2 二、填空题（每小题3分，共30分） 6、平面内两直线相交有______个交点，两平面相交形成______条直线 7、-5的绝对值是______，相反数是______，倒数是______ 8、|a b|=1，x与y互为相反数，则（x+y）+2a b=______ 9、若|m+3|+(n-2)2=0,则m+n=________. 10、代数式-的系数是________. 11、如果x a+2y3与-5x3y2b-1是同类项，则a-b=_____________________ 12、周角=____度=____平角=____直角 13、0.5的相反数的倒数的绝对值是_______ 14、定义a☆b=a2-b2，则（-3）☆5☆（-1）=______ 15、绝对值大于或等于1，而小于4的所有负整数的和是____ 三、解答题（本大题共55分）
907.一次函数与反比例函数-奥数精讲与测试
知识点、重点、难点 函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。若 0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊 情况。 当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。 函数(0)k y k x = ≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。 当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0 k >时，反比例函数k y x =分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0 k <时，函数k y x =分别在第二或第四象限内是单调递增函数。 若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。 当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。 当12k k ≠时，两直线相交。 当121k k =-时，两直线互相垂直。 求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。 例题精讲 例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。 解 显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。 设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B 得242,k b k b -+=-??+=?解得45 6,5k b ?=????=-?? 所以线段AB 为46 (14),55y x x =--≤≤ 代入(1,)C c ，得462 1.555 c =?-=- 例2：求证：一次函数2110 22 k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。 解 由一次函数得(2)(21)(10),k y k x k +=---整理得 (21)2100x y k x y ----+=。因为等式对一切有意义的k 成立，所以得 2102100,x y x y --=?? +-=?解得125 19, 5x y ?=????=?? 当125x =，195y =时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点1219,55?? ???. 例3：已知m 、n 、c 为常数，22 0m n -≠，并且(1)(1),mf x nf x cx -+-=求()f x 。 解 用1x -代换原方程中的x ，得(1)()(1).mf x nf x c x -+=- ○1 用1x +代换原方程中的x ，得()()(1).m f x n f x c x +-=+ ○2 m ?○ 2n -?○1得22 ()().m f x n f x mcx ncx mc nc -=++-因为220m n -≠，所以()22 ()c m n x m n f x m n ++-??? ?=-，所以 ()c c f x x m n m n =+-+.
808.三角形的全等及其应用-奥数精讲与测试8年级
例1．如图，OA=OB，OC=OD，求证：∠AOE=∠BOE。 例2．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，CE⊥AD于F交A B于E，求证：∠CDF=∠BDE。 例3．如图，在△ABC中AB=AC，直线l过A且l∥BC，∠B的平分线与AC交于D，与l交于E，∠C的平分线与AB交于F，与l交于G。求证：DE=FG。 例4．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC 为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于点F，求证：EF=FD。例5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠ABC的平分线，求证：AD+BD=BC。 例6．如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形AMN。求证：△AMN的周长等于2。 例7．如图，在△ABC中，∠A＜60°，以AB、AC为一边，分别向外作等边△ABD和△ACF，又以BC为边向内作等边△BCE，连结DE，EF。求证：AD∥EF。 例8．已知△AB C中AB=AC，CE是边AB上的中线，延长AB到D，使BD=AB，求证CE= 1 2 CD 。 A卷
一、填空题 01．如图9，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠CBA的平分线交AC于D，过C作BD的垂线，垂足为E，CE和BA的延长线相交于F。若CE=5，则BD=________。 02．如图10，AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，则∠BCE=________。03．如图11，在等边△ABC中，AD=BE=CF，若三个全等的三角形为一组，则图中共有________组全等三角形。 04．如图12，D是等边△ABC内一点，DB=DA，BE=BC，∠DBE=∠DBC，则∠BED=_______。 05．如图13，△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C=_______。 06．如图14，正方形ABCD边长为1，P、Q分别是边BC、CD上的点，连结PQ。若△CPQ的周长是2，则∠PAQ=________。 07．如图15，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边长，在BD同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE，连结BE、AD，分别交AC于M，交CE于N。若CM=x，则CN=________。 08．如图16，△ABD中，∠BAD=45°，AE⊥BD于E，DF⊥AB于F，交AE于G。若BE=4，DE=4，则AG=________。09．如图17，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、D、E在一条直线上。若BE=2，CE=4，则AE=_______。 10.如图18，等边△ABC中，E、D分别是CA延长线，AB 延长线上的点，且BD=AE，连结EB并延长交CD于F， 则∠BFC=_______。 二、解答题 11．如图19，已知CD、BE相交于A，M是BC的中点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△BMD≌△CME。 12．如图20，已知过△ABC的顶点A，在∠BAC内部任意作一条射线，过B、C分别作此射线的垂线段BD、CE，M为BC中点。求证：MD=M E。
广东四会中学2017九年级奥数培训.三角形的“四心”-奥数精讲与测试(无答案)
知识点、重点、难点 三角形的外心、内心、重心及垂心（以下简称“四心”）是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容，是初中数学竞赛的热点。 1.外心 三角形三条垂直平分线的交点叫三角形的外心，即该三角形外接圆的圆心，△ABC 的外心通常用字母O 表示。它具有如下性质： (1)外心到三角形三顶点的距离相等．这个距离就是外接圆的半径； (2)在△ABC 中，若∠A 是锐角，则∠BOC =2∠A ；若∠A 是钝角，则 ∠BOC ＝360°－2∠A . 2.内心 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即是该三角形内切圆的圆心，△ABC 的内心一般用字母I 表示．它具有如下性质： (1)内心在△ABC 三边距离相等，这个相等的距离是△ABC 内切圆的半径； (2)若I 是△ABC 的内心，则 11190,90,90222 BIC A CIA B AIB C ∠=+∠∠=+∠∠=+∠； (3)若I 是△ABC 的内心，AI 延长线交△ABC 外接圆于D ，则有DI = DB ＝DC ，即D 为△BCI 的外心。 3.重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，它具有如下性质： (1)重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍； (2)若G 是△ABC 的重点，则1 3 GBC GCA GAB ABC S S S S ????===； (3)重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点。 4.垂心 三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心“如图”，它具有如下性质： (1)图中有六组四点共圆（如A 、F 、H 、E ；A 、B 、D 、E 等）及三组（每组四个）相似直角三角形；特别的AH ·HD =BH ·HE =CH ·FH ； (2)垂心H 关于三边的对称点均在△ABC 的外接圆上； (3) H 、A 、B 、C 中任一点是另三点连成的三角形的垂心； (4) △ABC 的内接三角形（即顶点在△ABC 的边上）中，以垂足△DEF 的周长最短。 例题精讲 例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP = BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A 、P 、Q 四点共圆。 分析一 连结AO 、CO 、PO 、QO ，要证O 、A 、P 、Q 四点共圆，显然只要证∠P =∠Q .在△A QO 和△CPO 中，由AB =AC ，BQ =AP ，得AQ ＝CP ，又O 点是△ABC 的外心，故OA ＝OC ，∠OCP ＝∠OAC .由于等腰三角形的外心必在顶角的平分线上，所以∠OAC ＝∠OAQ .从而∠OCP ＝∠OAQ ，故△AQO ≌△CPO ，可得∠CPO ＝∠AQO .因此O 、A 、P 、Q 四点共圆。 分析二 O 是△ABC 的外心，作△ABC 的外接圆O ，并作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥AC 于 G ，连结OP 、OQ （图略）．易知OH ＝OG ，BH = AG ，从而 Rt △OQH ≌Rt △OPG ，于是∠P =∠Q ，故O 、P 、A 、Q 四点共圆。 例2：已知∠ACE =∠CDE = 90°，点B 在CE 上，CB = CD ，过A 、C 、D 三点的圆交AB 于点F （如图241），求证：F 是△CDE 的内心。 证明 连结DF 、DB 、CF ，则∠CDF =∠A =45°，∠EDF = 45°，即DF 是∠CDE 的平分线。 因为CD = CB ，所以∠CDB =∠CBD .又∠CDF = ∠CBF =45°，所以∠FDB =∠FBD ，所以DF =BF .又CF 为公共边，所以△DCF ≌△BCF ，所以∠DCF = ∠BCF ，即CF 为∠DCE 的平分线。因此F 为△CDE 的内心。 例3：如图，已知△ABC 的高AD 、BE 交于H ，△ABC 、△ABH 的外接圆分别为⊙O 与⊙1O ，求证：⊙O 与⊙1O 的半径相等。 证明 如图所示，过A 作⊙1O 和⊙O 的直径AP 、AQ ，连结PB 、QB ，则 ∠ABP =∠ABQ = 90°，故P 、B 、Q 三点共线。因为H 为△ABC 的垂心，所以D 、C 、E 、H 四点共圆，所以∠AHE =∠C .又∠C =∠Q ，所以∠AHE = ∠Q .因为A 、H 、B 、P 均在⊙1O 上，所以∠AHE =∠P ，所以∠P =∠Q ，所以AP = AQ .所以⊙O 与⊙1O 的半径相等。
初一奥数提高班第02讲-代数式
第二讲代数式 一主要知识点回顾 字母代表量，是数学重要的抽象，高度的抽象是数学有别其他科学一个最重要的特征，是数学广泛应用的基础。初一一个最为重要的训练是如何运用字母和代数式解决问题. 1．代数式 用运算符号把表示数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式. 2. 单项式、多项式 数与字母的积的代数式，单独一个数或字母也是单项式. 3．整式的意义：单项式和多项式统称为整式 4．同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项 5．用字母表示数解题 在某些数学问题中，如果把其中的特殊常数用字母表示，即用字母表示数解题，常会收到化繁为简，化难为易的效果. 6．求代数式的值：用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值 二．典型例题讲解 例1：某市出租车收费标准如下：3km以内（含3km）收费8元，超过3km的部分，每千米收费1.5元, (1)请写出收费y(元)与出租车行驶的路程x(km)的关系式; (2)若小明乘出租车行驶6km,则应付车费多少元? (3)若小明付车费17元,则他乘出租车行使了多少千米?
例4:如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b 的值． 三.专项练习 (一)选择题: 1．已知14x 5y 2和－31x 3m y 2是同类项，则代数式12m －24的值是 （ ） （A ）－3 （B ）－5 （C ）－4 （D ）－6 2.列去括号错误的是 （ ） （A ）2x 2－(x －3y)=2x 2－x ＋3y （B ）31x 2＋(3y 2－2xy)=3 1x 2－2xy ＋3y 2 （C ）a 2－4(－a ＋1)=a 2－4a －4 （D ）－(b －2a)－(－a 2＋b 2)=－b ＋2a ＋a 2－b 2 3.a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的相反数是21 的倒数，则m 2－2cd ＋m b a +的 值为（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 4.M 厂库存钢材100吨，每月用去15吨，N 厂库存钢材82吨，每月用去9吨，经过x 个月，两厂所剩钢材相等，x 等于 （ ） （A ）2 （B ）4 （C ）3 （D ）5 5.a 是有理数，则200011 +a 的值不能是（ ） A 1 B 1- C 0 D 2000- 6.若a a a 112000,0+<则等于（ ） A a 2007 B a 2007- C a 1989- D a 1989
709.整式的运算-奥数精讲和测试7年级1109
例1．已知多项式A=(5m+1)x2+(3n?2)xy?5x+17y，B=6x2?5mxy?11x+9。 当A与B的差不含二次项时，求(?1)m+n［?3m+4n?(?n)m］的值。 例2．若m=?1998，求∣m2+11m?999∣?∣m2+22m+999∣+20的值。 例3．已知m2+m?1=0，求m3+2m2+2007的值。 例4．当x=?5时，多项式ax7+bx5+cx?9的值等于7。求x=5时，多项式ax7+bx5+cx+2024的值。 例5．计算(a+b+c)(a+b?c)(a?b+c)(?a+b+c)例6．设N=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)，求N的个位数字。 例7．计算(a?b)3+(b?c)3+(c?a)3?3(a?b)(b? c)(c?a) 例8．计算(x l0+x9+x8+?+x+1)(x l0?x9+x8???x+1)展开式中奇数次各项的系数之和． 例9．计算： ⑴(x3?6x2+11x?6)÷(x?2)； ⑵(x4+3x3+16x?5)÷(x2?x+3)
A 卷 一、填空题 01．下列代数式x 、13-、215xy - 、 9a b +、2xy x y +、12ab c +、21123 x x ++、219t -、2 t ，单项式有_________________，多项式有_________________。 02．单项式54 xyz -的系数为___________，次数是___________。 03．将多项式?x 2y +6xy ? 15 x 3 ?7y 3+4按x 的升幂排列是________________， 按y 的降幂排列为_________________。 04．多项式?y 4+2x 2y 3? 12 x 3+ x 4y 6 是按_________________排列。 05．一个关于字母y 的四次五项式，奇数次项的系数都是1，偶数次项的系数都是?1，则这个多项式是______________。 06．多项式?7(a +b )2+2?(a +b )3+(a +b )按a +b 的降幂排列为______________ ________________。 07．(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)＝_________________。 08．化简(x ? 12)( x 2+12x +14)(x 3+1 8 )＝_________________。 09．x 285?x 83+x 7l +x 9?x 3+x 除以x ?1所得的余数为______________。 10．已知x ?by =y ?ax =bx +ay =1，且ab ≠1，a 2+b 2+ab +a +b =____________。 11．已知正整数a 、b 、c (其中c ≥3)，a 除以c 余1，b 除以c 余2，ab 除以 c 的余数是__________。 12．三次多项式f (x )除以x 2?1的余式是2x ?5，除以x 2?4的余式是?3x +4，则f (x )=____________。 二、解答题 13．求x 2008?x 2007+5x 2006?x 3被x +1除，所得的余数。 14．已知x ?y +4是x 2?y 2+m x +3y +4的一个因式，求m 的值。 15．已知x +y +z =a ，x 2+y 2+z 2=b 2， x 3+y 3+z 3?3xyz =c 3。 求证：3ab 2＝a 3+2c 3
2017小学数学奥数精讲第一讲速算与巧算练习3-副本分析
加减法巧算练习3 练习题 1、99999+9999+999+99+9 2、574-397 3、483+254-183 4、83+82+78+79+80+81+78+79+77+84 5、356+（644-178） 6、4521-（627+521） 7、1847-386-414 水平测试1 A 卷 一、填空题 1. 773+368+227=____________ 2. 10000-8927=__________
3. 582-(82-14)=__________ 4. 4941-268+28=__________ 5. 125×19×8=___________ 6. 11500÷2300=__________ 7. (20+8)×125=_________ 8. 22500÷(100÷4)=______________ 9. 在加法算式中,两个加数都增加26,则和增加__________ 10. 在减法算式中,被减数与减数都增加6,则差_________ 二、解答题 11. 计算:999+99+9+3 12. 计算:(24-15+37)+(26+63-35) 13. 计算:3572-675-325-472 14. 计算:56241×8÷24
15. 计算:125×16×25 16. 计算:375×823+177×375 17. 计算:1624÷29-1334÷29 B 卷 一、填空题 1. 34+47+53+66=___________ 2. 3000-99-9-999=__________ 3. 111000-(99998+9997)-996=__________ 4. 1028-(233-72)-67=______________ 5. 在加法算式中,一个加数增加53,另一个加数减少27,则和是___________ 6. 161÷23+92÷23+115÷23=____________ 7. 27^2-23^2=__________
初一奥数题100道
a,b,c,d,e五个数，和为8，平方和为16，求e的最值。 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？ 有三块草地，面积分别是5，15，24亩.草地上的草一样厚，而且长得一样快. 第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 3. 某工程，由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，3+3/4天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，2+6/7天可以完成，需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？ 4. 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器底面面积之比. 5. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套，甲原来购进这种时装多少套？ 6. 有甲、乙两根水管，分别同时给A，B两个大小相同的水池注水，在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：5.经过2+1/3小时，A，B两池中注入的水之和恰好是一池.这时，甲管注水速度提高25%，乙管的注水速度不变，那么，当甲管注满A池时，乙管再经过多少小时注满B池？ 7. 小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有3/10的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间？ 8. 甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C 两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车. 9. 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时，乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米？ 10. 今有重量为3吨的集装箱4个，重量为2.5吨的集装箱5个，重量为1.5吨的集装箱14个，重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱？ 小学数学应用题综合训练(02)
718.整数的整除性-奥数精讲和测试7年级1118
例1．⑴求能被15以内所有的质数整除的最小正整数；⑵求在160以内同 时能被2、3、5整除的正整数的个数。 例2．已知x、y、z是整数，且7︱(2x?4y+z)，求证：7︱(x?2y+4z)。例3．已知n+10︱n3+100，求满足条件的最大的正整数n。 例4．求证：三个连续正整数的立方和是9的倍数。例5．已知a是整数，2?a，3?a，求a2＋16被24除的余数。 例6．设N=abcdefg，N l=abcd?efg，求证：如果7︱N1，那么7︱N；如果7︱N，那么7︱N1。 例7．173□是个四位数，数学老师说：“我在这个□先后填入3个数字，所得的三个四位数依次被9、11、6整除”，问数学老师先后填入的数字之和是多少？ 例8．对任意自然数n，求证：3×52n+l+23n+l能被17整除。
A卷 一、填空题 01．99︱141283 x y，(x，y)＝____________。 02．200以内能同时被3、4、5整除的正整数共有________个。 03．一个三位正整数的百位上是4，十位上和个位上的数字相同，且这个数能被9整除，这个数是_________。 04．所有能被7整除的两位正整数的和是_________。 05．能同时被2、3、5整除的最小四位正整数是_________。 06．360能被_________个不同的正整数整除。 07．有三个连续的两位正整数，它们的和也是两位数并是11的倍数，这三个数的积最大为_________。 08．一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商是_________。 09．能被11整除，各位数字和等于13的最小正整数是_________。 10．一个两位正整数，它的两个数字之和能被4整除。而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4整除，所有这样的两位数有_________个。 二、解答题 11．求证：形如abcabc的六位数字一定被7、11、13整除。 12．已知a、b为整数，3?a，3?b，3?(a?b)，求证：9︱(a3+b3)。 B卷 一、填空题
(完整word版)奥数小学三年级精讲与测试_第4讲_植树问题
第4讲植树问题 知识点、重点、难点 以植树为内容,研究植树的棵树、棵与棵之间的距离(棵距)和需要植树的总长度(总长)等数量间关系的问题,称为植树问题. 植树问题在生活中很有实际运用价值,其基本数量关系和解题的要点是: 1.植树问题的基本数量关系:每段距离×段数=总距离. 2.在直线上植树要根据以下几种情况,弄清棵数与段数之间的关系: (1)在一段距离中,两端都植树,棵数=段数+1; (2)在一段距离中,两端都不植树,棵数=段数-1; (3)在一段距离中,一端不植树,棵数=段数. 3.在封闭曲线上植树,棵数=段数.
例题精讲: 例1 有一条长1000米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵树苗,一共需要准备多少棵树苗? 分析:先将全长1000米的公路每25米分成一段,一共分成多少段?种树的总棵树和分成的段数的关系是棵数=段数+1. 解1000÷25+1=41(棵). 答:一共需要准备41棵树苗. 例2 公路的一旁每隔40米有木电杆一根(两端都有).共121根.现改为水泥电杆51根(包括两端),求两根相邻水泥电杆之间的距离. 分析:公路全长为40×(121-1) 解40×(121-1)÷(51-1)=40×120÷50=96(米). 答:两根相邻水泥杆之间的距离是96米. 例3 两幢大楼相隔115米,在其间以等距离的要求埋设22根电杆,从第1根到第15根电杆之间相隔多少米? 分析:在相距115米的两幢大楼之间埋设电杆,是两端都不埋电杆的情况,115米应该分成22+1=23段,那么每段长是115÷23=5米,而第1根到第15根电杆间有15-1=14段,所以第1根到第15根电杆之间相隔(5×14)米. 解115÷(22+1)×(15-1)=115÷23×14=70(米) 答:从第1根到第15根之间相隔70米. 例4 工程队打算在长96米,宽36米的长方形工地的四周打水泥桩,要求四角各打一根,并且每相邻两根的距离是4米,共要打水泥桩多少根? 分析:先求出长方形的周长是(96+36)×2=264米,每4米打一根桩,因为是沿着长方形四周打桩,所以段数和根数相等,可用264÷4来计算. 解 (96+36)×2÷4=132×2÷4=66(根). 答:共要打水泥桩66根. 例 5 一个圆形水库,周长是2430米,每隔9米种柳树一棵.又在相邻两棵柳树之间每3米种杨树1棵,要种杨树多少棵? 分析:沿着封闭的圆形水库四周植树,段数与棵数相等,沿着2430米的四周,每隔9米种柳树一棵,共可种2430÷9=270棵,也就是把水库四周平分成270段.又在相邻两棵柳树之间,每隔3米种杨树一棵,每段可种9÷3-1=2棵,总共可种杨树2×270=540棵. 解 (9÷3-1)×(2430÷9)=2×270=540(棵) 答:水库四周要种杨树540棵. 例 6 红星小学有125人参加运动会的入场式,他们每5人为一行,前后两行的距离为2米,主席台长32米.他们以每分钟40米的速度通过主席台,需要多少分钟? 分析:这是一道与植树问题有关的应用题.利用"有125人,每5人为一行"可求出一共有125÷5=25行,行数相当于植树问题中的棵数,"前后两行距离是2米"相当于每两棵树之间的距离,这样可求出队伍的长度是2×(25-1)米.再加上主席台的长度,就是队伍所要走的距离.用队伍所要走的距离,除以队伍行走的速度,可求出所需行走的时间了. 解 [2×(125÷5-1)+32]÷40=[2×24+32]÷40=80÷40=2(分钟). 答:队伍通过主席台要2分钟.
小学奥数精讲：容斥原理习题及答案
小学奥数精讲：容斥原理习题及答案 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有 人. 2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是 平方厘米. 3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有 个. 4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为 人. 5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有 人. 6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有 个. 7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有 个. 8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有 人 . 6
9.分母是1001的最简真分数有个. 10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人. 二、解答题 11.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数? 12.求小于1001且与1001互质的所有自然数的和. 13.如图所示,A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、C 三个图形公共部分(阴影部分)的面积. 14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.
701.有理数的计算技巧-奥数精讲与测试7年级1101
例1．计算 11111111 1 2344950262750????-+-++-÷+++ ? ????? 例2．计算1998×19991999?1999×19981998 例3．已知a=1166+1267+1368+1469+1570 100 1165+1266+1367+1468+1569 ????? ? ????? ，问a的整 数部分是多少？例4．比较S n＝ 1234 +++++ 248162n n 与2的大小。 例5．定义n!=1×2×3×?×n(n为正整数)，计算1×1!+2×2!+?+2007×2007! A卷
一、填空题 01． ()()()23 1998 12111212411154 ?? ??-?---÷--?? ?????????-÷-? ???＝___________。 02．211×555+445×789+555×789+211×445＝___________。 03．1?2+3?4+?+(?1)2003?2002＝___________。 04． 224690 123461234512347 -?＝___________。 05．(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)＝___________。 06．2+4+6+?+2000+2002＝___________。 07． 111112233420012002 ++++????＝___________。 08．1999×20002000?2000×19991999＝___________。 09．a 1＝111232+??＝23，a 2＝112343+??＝38，a 3＝113454+??＝4 15， a 4＝114565+??＝ 5 24 ??按上述规律a 999＝___________。 10． 1 111+++ 13391340 2007 的整数部分是___________。 二、解答题 11．求证：()()() 11111323+++++1324354624212n n n n n +=-????+++ 12．计算2100111 1222 + +++ B 卷
716.奇数和偶数-奥数精讲和测试7年级1116
例1．在1、2、3、?、2007中的每个数前面任意添上一个正号或负号，试 判断它们的代数和是奇数还是偶数。 例2．1、2、3、?98共98个自然数中，能够表示成两整数的和与这两整数的差的积的数的个数有多少个？ 例3．将图中的圆圈任意涂上红色或蓝色，问有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？说明理由。 例4．在6张纸片的正面分别写上整数1、2、3、4、5、6。打乱次序后将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1~6这六个整数。然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，证明：所得的六个数中至少有两个是相同的。例5．设1、2、3、…、9的任一排列的a1、a2、…、a9，求证：(a l?1)(a2?2)…(a9?9)是一个偶数。 例6．有n个数x1、x2、…、x n，它们中的每一个数或者为1，或者为?1。如果x1x2+x2x3+?+x n?1x n+x n x1=0，求证：n是4的倍数。 例7．设a、b是正整数，且满足关系式 (11111+a)(11111?b)＝123456789，求证：a?b是4的倍数。
A卷 一、填空题 01．三个质数之和为86，三个质数是______________。 02．已知三个整数a、b、c的和为奇数，(a+b+c)(a+b?c)一定是_______数(填奇或偶)。 03．三个不同的质数m、n、p满足m+n=p，mnp的最小值是_________。 04．摆渡船往返于江的两岸，若最初从北岸开始，若干次后又回到北岸，那么船过江的次数是_________(奇数或偶数)。若从北岸出发过江2003次后停在_______ (南或北)岸。 05．五个连续奇数的和是85，其中最大的数是_______，最小的数是_______。 06．如图1是一张靶纸，靶纸上的1、3、5、7、9表示 射中该靶区的分数。甲说：“我打了六枪，每枪都中靶 得分，共得了27分”；乙说：“我打了3枪，每枪都中 靶得分，共得了27分。”已知甲、乙两人只有一人说的 是真话，说假话的是_______。 07．前100个正偶数之和等于_________。 08．200个正整数，它们的和是5000。在这些数里奇数的个数比偶数多，偶数最多有_________个。 09．5个连续奇数之和的绝对值的最小值为_________。10．有两个质数，它们的和是小于100的奇数，并且是17的倍数，这两个质数是_________。 二、解答题 11．设x1、x2、?、x2006中每个数取+1或?1，求证：x1+2x2+3x3+?+2006x2006 ≠0。 12．在桌子上放着四个杯子，杯口都朝上，每次翻动三个杯子，能否翻动若干次后，将杯子口全部朝下？若杯子有五个，每次翻动四个杯子，其他条件不变，情况又如何？ B卷 一、填空题
初一奥数提高班绝对值-
第3讲 绝对值 （1） 一 主要知识点回顾 1．有理数：按有理数的符号分为三类：正有理数、负有理数和零，简称正数、负数和零 2 .数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可． 3 相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数（符号相反且绝对值相等的两数） 4 绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数 二 典型例题分析: 例1 a ，b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)｜a+b ｜=｜a ｜+｜b ｜； (2)｜ab ｜=｜a ｜｜b ｜；(3)｜a-b ｜=｜b-a ｜； (4)若｜a ｜=b ，则a=b ；5)若｜a ｜＜｜b ｜，则a ＜b ； (6)若a ＞b ，则｜a ｜＞｜b ｜． 例2设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜． 三.专项练习 (一).填空题: 1.a ＞0时，|2a|=________；(2)当a ＞1时，|a-1|=________； 2.已知130a b ++-=，则__________a b
3.如果a>0，b<0，b a <，则a ，b ，—a ，—b 这4个数从小到大的顺序是______________________(用大于号连接起来) 4. 若00xy z ><，，那么xyz =______0． 5.上山的速度为a 千米/时，下山的速度为b 千米/时，则此人上山下山的整个路程的平均速度是_______________千米/时 (二).选择题: 6.值大于3且小于5的所有整数的和是 （ ） A. 7 B. －7 C. 0 D. 5 7.知字母a 、b 表示有理数，如果a +b =0，则下列说法正确的是（ ） A . a 、b 中一定有一个是负数 B. a 、b 都为0 C. a 与b 不可能相等 D. a 与b 的绝对值相等 8.下列说法中不正确的是( ) Ａ．0既不是正数,也不是负数 B ．0不是自然数 C ．0的相反数是零 D ．0的绝对值是0 9.列说法中正确的是（ ） A 、a -是正数 B 、—a 是负数 C 、a -是负数 D 、a -不是负数 10.x =3，y =2，且x>y ，则x+y 的值为（ ） A 、5 B 、1 C 、5或1 D 、—5或—1 11.<0时，化简a a 等于（ ） A 、1 B 、—1 C 、0 D 、1± 12.若ab ab =，则必有（ ） A 、a>0,b<0 B 、a<0,b<0 C 、ab>0 D 、0≥ab 13.已知：x =3，y =2，且x>y ，则x+y 的值为（ ） A 、5 B 、1 C 、5或1 D 、—5或—1 (三).解答题: 14.a ＋b ＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b ｜． 15..若y x -+3-y =0 ，求2x+y 的值. 16. 当b 为何值时，5-12-b 有最大值，最大值是多少？ 17.已知a 是最小的正整数，b 、c 是有理数，并且有|2+b |+(3a +2c )2=0.
三年级奥数精讲与测试 方阵问题
三年级奥数精讲与测试方阵问题 【基本知识点】 概念：横着的排叫行；竖着的排叫列。行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形叫方队，也叫方阵。 特点：1、方阵无论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2. 2、每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系： 四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1] ×4 每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4+1 3、整个方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数 【例题】 1、有一个正方形操场，每边都载17棵树，四个角各种1棵，共种多少棵？答案：64 2、某校四年级的同学排成一个方阵，最外层的人数为80人，问最外一层每边上有多少人？，这个方阵共有四年级学生多少人？答案：441 3、妈妈用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16个，妈妈摆这个方阵共用了多少个围棋子？答案;156 4、一堆围棋子，排成一个实心方阵，后来又添进21只棋子，使横竖各增加一排，成为一个新的实心方阵，求原来实心方阵用了多少只棋子？答案：100 5、有一堆棋子排成实心方阵多余3只，如果纵、横各增加一排，则缺8只，问一共有棋子多少？答案：;8
1、用棋子排成一个正方形，共排成9排，每排9个，排成这个正方形共用＿＿81枚棋子。 2、有一个正方形池塘，四个角上都栽一棵树，如果每边栽6棵，四边一共栽20＿＿课树。 3、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，四边一共栽24 棵树，每边栽＿7＿棵树。 4、在大楼的正方形场地的四边竖电线杆，四个角上都是一根，一共竖28根，则场地的每 边竖8＿＿根。 5、方阵每边的实物数量＿相等＿，相邻两层每边实物数量相差＿2＿，相邻两层实物数量 相差＿8＿。 6、小明用棋子排成一个五层空心方阵，外层每边有15个棋子，这个空心方阵用有棋子＿ ＿个。200 7、向阳小学有576名学生，进行列队训练，若排成三层空心方阵，这个方阵的最外层有＿ ＿人。51 8、新华小学四年级学生排成一个实心方阵，还多9人，如果横竖各增加一排，成为大一点 的实心方阵，又差24人，求四年级学生共有多少人？256