江苏省泰州中学2017届高三上学期摸底考试数学试题 Word版含答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置． 1.已知集合{}|0A x x =>，{}1,0,1,2B =-，则A B 等于 ． 2.已知复数z 满足()1i z i +?=-，则z 的模为 ． 3.已知

2311

2log log a a

+=，则a = ． 4.右图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为 ．

5.若双曲线2

2

1y x k

-=

的焦点到渐进线的距离为k 的值是 ． 6.在△ABC 中，2AB =， 1.5BC =，120ABC ∠=?，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 ．

7.下面求258112012+++++…的值得伪代码中，正整数m 的最大值为 ．

8.向量(cos10,sin10)a =?? ，(cos70,sin70)b =?? ，|2|a b -=

．

9.对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[],ka kb （0k >），则称

()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 ．

10.函数42

sin 11

x

y x x =-

++（x R ∈）的最大值与最小值之和为 ． 11.已知圆O ：222x y r +=（0r >）及圆上的点(0,)A r -，过点A 的直线l 交圆于另一点B ，交x 轴于点C ，若OC BC =，则直线l 的斜率为 ．

12.已知||3AB =|，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，△ADC ，△BCE 均为等边三角形，则△CDE 的外接圆的半径的最小值是 ．

13.已知实数x 、y 满足20,

50,40,x y x y y -≤??

+-≥??-≤?

若不等式222()()a x y x y +≥+恒成立，则实数a 的最

小值是 ．

14.设等比数列{}n a 满足公比*q N ∈，*n a N ∈，且{}n a 中的任意两项之积也是该数列中的一项，若81

12a =，则q 的所有可能取值的集合为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知02

π

αβπ<<

<<，且5sin()13αβ+=

，1tan 22

α=． （1）求cos α的值； （2）证明：5

sin 13

β>

． 16.如图，正方形ABCD 所在的平面与△CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且

2AB AE =．

（1）求证：//AB 平面CDE ； （2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ．

17.某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个

产品期间第x 个月的利润函数1,120(*),()1,2160(*)10

x x N f x x x x N ≤≤∈??

=?≤≤∈??（单位：万元）．为了获得

更多地利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第x 个月的利润率为

()x g x x =

第个月的利润第个月的资金总和，例如(3)

(3)81(1)(2)

f g f f =++．

（1）求(10)g ；

（2）求第x 个月的当月利润率；

（3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．

18.已知椭圆Γ：2

214

x y +=． （1）椭圆Γ的短轴端点分别为A ，B （如图），直线AM ，BM 分别与椭圆Γ交于E ，F 两点，其中点1

(,)2

M m 满足0m ≠

，且m ≠ ①证明直线EF 与y 轴交点的位置与m 无关； ②若△BME 面积是△AMF 面积的5倍，求m 的值；

（2）若圆O ：2

2

4x y +=．1l ，2l 是过点(0,1)P -的两条互相垂直的直线，其中1l 交圆O 于

T 、R 两点，2l 交椭圆Γ于另一点Q ．求△TRQ 面积取最大值时直线1l 的方程．

19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)n n n S t S a =-+（t 为常数，且0t ≠，1t ≠）． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设2n n n n b a S a =+?，若数列{}n b 为等比数列，求t 的值；

（3）在满足条件（2）的情形下，设41n n c a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若不等式

12274n

k

n n T ≥-+-对任意的*n N ∈恒成立，求实数k 的取值范围．

20.已知函数()x ex

f x e

=

（e 为自然对数的底数）． （1）求()f x 的单调区间；

（2）是否存在正实数x 使得(1)(1)f x f x -=+，若存在求出x ，否则说明理由； （3）若存在不等实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，证明：12

'()02

x x f +<．

江苏省泰州中学2017届高三摸底考试数学试卷答案

一、填空题：

1.{}1,2

2.

2

110 5.8 6.32π 7.2015

8.1

(1,1)e

+ 10.2

11.

2

13.{}812793

2,2,2,2,2 14.

95

二、解答题

15.解：（1）将1

tan

2

2

α

=

代入2

2tan

2tan 1tan 2

α

αα=-，得4tan 3

α=， ∴22sin 4

,cos 3sin cos 1,

αααα?=?

??+=?

又(0,)2πα∈，

解得3cos 5α=． （2）易得

32

2π

παβ<+<

，又5sin()13

αβ+=， ∴12cos()13αβ+=-

， 由（1）可得4

sin 5

α=，

（2）∵AE ⊥平面CDE ，且CD ?平面CDE ， ∴AE CD ⊥，

又正方形ABCD 中，CD AD ⊥，且AE AD A = ，AE ?平面ADE ，AD ?平面ADE ， ∴CD ⊥平面ADE ， 又CD ?平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ADE ．

17.解：（1）依题意得(1)(2)(3)(9)1f f f f =====…，

∴(10)1

(10)81(1)(2)(9)90

f g f f f =

=++++…．

（2）当1x =时，1(1)81

g =

． 当120x <≤时，(1)(2)(1)()1f f f x f x ===-==…，

则()1

()81(1)(2)(1)80f x g x f f f x x

=

=

++++-+…， 而1x =也符合上式，故当120x ≤≤时，1

()80g x x

=+． 当2160x ≤≤时，()

()81(1)(2)(20)(21)(1)

f x

g x f f f f f x =

+++++++-……

1108120(21)(1)

x f f x =++++-…110(21)(20)10120

x

x x =

-++

221600x x x =-+，

所以第x 个月的当月利润率为2

1

,120,80()2,2160.1600

x x

g x x x x x ?≤≤??+=??≤≤?-+?

（3）当120x <≤时，1()80g x x =

+是减函数，此时()g x 的最大值为1(1)81g =． 当2160x ≤≤时，2222

()1600160079

1x g x x x x x

==≤-++-．

∵

217981>，∴当40x =时，()g x 有最大值为279

． 即该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，其当月利润率为2

79

．

18.解：（1）①因为(0,1)A ，(0,1)B -，1

(,)2

M m ，且0m ≠，

∴直线AM 的斜率为112k m =-，直线BM 的斜率为23

2k m =，

∴直线AM 的方程为112y x m =-+，直线BM 的方程为312y x m

=-， 由22

1,411,2x y y x m ?+=????=-+??得22

(1)40m x mx +-=， ∴0x =，241m x m =+，∴22

241

(,)11

m m E m m -++，

由2

21,43-1,2x y y x m ?+=????=??得22(9)120m x mx +-=， ∴0x =，2129m x m =+，∴2

2

2129(,)99

m m F m m -++； 据已知0m ≠，2

3m ≠，

∴直线EF 的斜率22

222222

2219(3)(3)3194124(3)419m m m m m m m k m m m m m m m

---+-+++===----++， ∴直线EF 的方程为222

2134()141

m m m

y x m m m -+-=--++， 令0x =，得2y =，∴EF 与y 轴交点的位置与m 无关． ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ?=

∠，1

||||sin 2

BME S MB ME BME ?=∠，AMF BME ∠=∠，

5AMF BME S S ??=，∴5||||||||MA MF MB ME =，∴

5||||

||||

MA MB ME MF =，

∴

22541219m m

m m

m m m m =

--++， ∵0m ≠，

∴整理方程得

22

115119

m m =-++，即22

(3)(1)0m m --=，

又有m ≠2

30m -≠，∴2

1m =，∴1m =±为所求．

（2）因为直线12l l ⊥，且都过点(0,1)P -，所以设直线1l ：1y kx =-，即10kx y --=， 直线2l ：1

1y x k

=-

-，即0x ky k ++=， 所以圆心(0,0)到直线1l ：1y kx =-，即10kx y --=

的距离d =

所以直线1l 被圆224x y +=

所截的弦TR ==

由22

0,1,4

x ky k x y ++=???+=??得222

480k x x kx ++=， 所以284Q P k x x k +=-+

，所以||QP ==

所以2132||||1324TRQ

S QP TR k ?===+

≤

=，

=

2

52k =

，解得k =时等号成立， 此时直线1l

：1y x =-． 19.解：（1）当1n =时，111(1)S t S a =-+，得11a =． 当2n ≥时，由(1)n n n S t S a =-+，即(1)n n t S ta t -=-+，① 得11(1)n n t S ta t ---=-+，②

①-②，得1(1)n n n t a ta ta --=-+，即1n n a ta -=，∴1

n

n a t a -=（2n ≥）

， ∴{}n a 是等比数列，且公比是t ，∴n n a t =．

（2）由（1）知，2

(1)()1n n n n t t b t t t -=+?-，即2121

21n n n n t t t b t

+++-=-， 若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =?， 而212b t =，32(21)b t t =+，423(21)b t t t =++，

故2

3242

(21)(2)(21)t t t t t t ??+=?++??

，解得1

2

t =， 再将12t =代入n b ，得1

()2

n b =， 由

11

2

n n b b +=，知{}n b 为等比数列，∴12t =．

（3）由12t =

，知1()2n n a =，∴14()12

n

n c =+，

∴11(1)

2

2412

n n T -=?-442n n n +=+-， 由不等式

12274n

k

n n T ≥-+-恒成立，得2732n

n k -≥恒成立， 设272n n n d -=

，由1n n

d d +-11

252729

222n n n n n n ++---+=-=， ∴当4n ≤时，1n n d d +>，当4n ≥时，1n n d d +<，

而4116d =

，5332d =，∴45d d <， ∴3332k ≥，∴1

32

k ≥．

20.解：（1）函数()y f x =的单调递减区间是()1,+∞，单调递增区间为(),1-∞． （2）不存在正实数x 使得(1)(1)f x f x -=+成立， 事实上，由（1）知函数()y f x =在(,1)-∞上递增，

而当()0,1x ∈，有()0,1y ∈，在()1,+∞上递减，有01y <<， 因此，若存在正实数x 使得(1)(1)f x f x -=+，必有()0,1x ∈． 令1

()(1)(1)(1)x x x F x f x f x x e e

+=+--=+-， 令1

'()()x

x

F x x e e =-

，因为(0,1)x ∈，所以'()0F x >，所以()F x 为(0,1)上的增函数，所以()(0)0F x F >=，即(1)(1)f x f x +>-， 故不存在正实数x 使得(1)(1)f x f x -=+成立．

（3）若存在不等实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，则1x 和2x 中，必有一个在()0,1，另一个在()1,+∞，不妨设()10,1x ∈，()21,x ∈+∞． ①若22x ≥，则

()12

1,2

x x +∈+∞，由（1）知：函数()y f x =在()1,+∞上单调递减，所以12

(

)02

x x f +<； ②若2(1,2)x ∈，由（2）知：当()0,1x ∈，则有(1)(1)f x f x +>-，

而()110,1x -∈，所以[][]11112(2)1(1)1(1)()()f x f x f x f x f x -=+->--==，即

12(2)()f x f x ->，

而12x -，2(1,2)x ∈，由（1）知：函数()y f x =在(1,)+∞上单调递减， ∴122x x -<，即有

12

(1,)2

x x +∈+∞， 由（1）知：函数()y f x =在(1,)+∞上单调递减，所以12

'(

)02

x x f +<； 综合①，②得：若存在不等实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，则总有12

'()02

x x f +<．