江苏省泰州中学2019-2020学年高三下学期4月质量检测数学试题

江苏省泰州中学2019-2020学年高三下学期4月质量检测数

学试题

xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

请点击修改第I 卷的文字说明

第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明

一、填空题

1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A

B =______ 2．已知i 为虚数单位，则复数11z i

=-在复平面内对应的点位于第_______象限 3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[]40,80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[

)40,60内的汽车有______辆.

4．袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．

5．在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．

6．如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．

7．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面.

①若m α?，m β⊥，则αβ⊥；

②若m α?，n αβ=，αβ⊥，则m n ⊥；

③若m α?，n β?，//αβ，则//m n

④若//m α，m β?，n αβ=，则//m n . 上述命题中为真命题的是______（填空所有真命题的序号）.

8．公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》

卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”.题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快(每天增加的数量相同)，已知第一天织布5尺，一个月(30天)共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺.(1匹4=丈，1丈10=尺)

9．若πcos α2cos α4??=+ ???，则πtan α8??+= ??

?______．

10．如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且OA 2=，OC 4=，AC 5=，则OB OD ?=______．

11．已知关于x 的方程()x x a 1-=在()2,∞-+上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是______．

12．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b 3a 2b a

++的最小值等于______． 13．如图，已知AC 8=，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C)，且BM BN ⊥，则AM CN ?的最大值为______．

14．若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数

[2,4]b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______

二、解答题

15．已知ABC ?内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2A B ++=，

（1）求角C

（2）求ABC 面积的最大值．

16．如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AF AC

λ=.

（1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值；

（2）求证：平面BCD ⊥平面AED .

17．如图，长方形材料ABCD 中，已知AB =4=AD .点P 为材料ABCD 内部

一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，PF =现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=?，点M 、N 分别在边AB ，AD 上.

（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；

（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值.

18．已知椭圆E ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．

()1若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ?的范围； ()2证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

()3若l 过点,3m

m ?? ???

，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．

19．已知函数f （x ）=ae x ，g （x ）=ln x -ln a ，其中a 为常数，且曲线y =f （x ）在其与y

轴的交点处的切线记为l 1，曲线y =g （x ）在其与x 轴的交点处的切线记为l 2，且l 1∥l 2．

（1）求l 1，l 2之间的距离；

（2）若存在x 使不等式()

x m f x -成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数f （x ）和g （x ）的公共定义域中的任意实数x 0，称|f （x 0）-g （x 0）|的值为两函数在x 0处的偏差．求证：函数f （x ）和g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈．

()1求数列{}n a 的通项公式；

()2设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有

11213211()333

n n n n n a b a b a b a b n ---+++?+=+-成立． ①求数列{}n b 的通项公式；

②设数列n n n c a b =，

问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．

21．如图，

AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．

22．已知矩阵1202A ??=??-??，矩阵B 的逆矩阵111202=B -???-?????

，求矩阵AB ． 23．已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值．

参考答案

1．{|12}x x <<

【解析】

【分析】

直接由集合的交集运算，即可得到本题答案.

【详解】

因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，

所以{|12}A B x x =<<.

故答案为：{|12}x x <<

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，属基础题.

2．一

【解析】

【分析】

先化简得到z ，即可求出本题答案.

【详解】 由题，得11111(1)(1)22

i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面对应的点为11,22??

???

，位于第一象限. 故答案为：一

【点睛】 本题主要考查复数的四则运算以及复数的几何意义，属基础题.

3．80

【解析】

试题分析：时速在区间[40,60)内的汽车有200(0.010.03)1080.?+?=

考点：频率分布直方图

4．

35

【解析】

分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况，再找出摸出1个黑球和1个白球的情况，由此能求出概率.

详解：设3个黑球用A ，B ，C 表示；2个白球用甲，乙表示，

摸出2个球的所有情况：（A ，B ）、（A ，C ）、（A ，甲）、（A ，乙）、（B ，C ）、（B ，甲）、（B ，乙）、（C ，甲）、（C ，乙）、（甲，乙）共10种，其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种，

所以，摸出1个黑球和1个白球的概率为63105P =

=. 故答案为35

. 点睛：本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用. 5．225

【解析】

【分析】

根据表中数据计算平均数和方差即可．

【详解】 根据表中数据，计算平均数为()1x 48921085

=?++?+=， 方差为(

22222122s [(48)(88)(98)2108)5

5?=?-+-+-?+-=?． 故答案为：225． 【点睛】

本题考查了平均数与方差的计算问题，熟记计算公式，准确计算是关键，是基础题． 6．25

【解析】

分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案. 详解：程序执行如下

故2018T <不成立时，25i =.

故答案为25.

点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键 7．①④

【解析】

【分析】

由平面与平面垂直的判定定理可知①正确；②中,m n 的关系无法确定垂直；③中两个平面平行，两个平面内的直线可能平行也可能异面；由直线与平面平行的性质定理可得④正确.

【详解】

对于①，由平面与平面垂直的判定定理可知正确；

对于②，若m α?，n αβ=，αβ⊥，则,m n 可能平行，也可能相交，垂直； 对于③，若m α?，n β?，//αβ，则,m n 可能平行，也可能异面；

对于④，由直线与平面平行的性质定理可得④正确.

故答案为：①④.

【点睛】

本题主要考查空间直线与平面间的位置关系，借助已知定理和身边的实物模型能方便解决这类问题，侧重考查直观想象的核心素养.

8．1629

【解析】

分析：设该女子织布每天增加d 尺，由等差数列前n 项和公式求出d 即可.

详解：设该女子织布每天增加d 尺，

由题意知，15a =尺，3010(943)390S =?+=尺

又由等差数列前n 项和公式得3013029303902S a ?=+

=，解得1629d =尺 故答案为1629

点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用. 9

【解析】

【分析】

πcos α2cos α4??=+ ???，可得ππππcos α2cos α8888????+-=++ ? ????

?，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出．

【详解】

πcos α2cos α4??=+ ???，ππππcos α2cos α8888????∴+-=++ ? ????

?， ππππππππcos αcos sin αsin 2cos αcos 2sin αsin 88888888????????∴+++=+-+ ? ? ? ????????

?， 化为：ππππcos αcos 3sin αsin 8888????+=+ ? ????

?， ππ3tan αtan 188??∴+= ??

?， 2π

2tan π8tan 1π41

tan 8==-，解得πtan

18

=．

π1tan α83??∴+==

??

?， 故答案为13

【点睛】

本题考查了余弦和正切和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．52

- 【解析】

【分析】

建立坐标系，设()O m,n ，()C a,b ，根据条件得出O ，C 的坐标之间的关系，再计算OB OD ?的值．

【详解】

以A 为原点，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，

设()O m,n ，()B a,0，()D 0,b ，则()C a,b ，

OA 2=，OC 4=，AC 5=，

222222a b 25m n 4()()16m a n b ?+=?∴+=??-+-=?，整理可得：13am bn 2+=． 又()OB a m,n =--，()OD m,b n =--，

()()()22135OB OD m m a n n b m n am bn 422∴?=-+-=+-+=-

=-． 故答案为52

-

． 【点睛】 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档题．

11．5,22??-- ???

【解析】

分析：将方程问题转换为函数()f x x a =-与1()g x x =

的图象在()2,-+∞上有三个不同交点.根据函数图象可以求出答案. 详解：方程()1x x a -=在()2,-+∞上有3个相异实根，

∴函数()f x x a =-与1()g x x

=的图象在()2,-+∞上有三个不同交点， 在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在(2,0)x ∈-上，函数()y f x =与

()y g x =有两个不同的交点，在(0,)x ∈+∞上，函数()y f x =与()y g x =有一个交点

1,0()=1,0x x g x x x

?>????->??， 联立1y x y x a

?=-???=-?，整理得210x ax -+=，24a ?=-

∴2

40(2)(2)a g f ??=->?>?，即240122a a ?->??>--??，解得522a -<<- ∴实数a 的取值范围为5(,2)2

-- 故答案为5,22??-- ???

点睛：本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力.

12．

11

【解析】 分析：构造基本不等式模型1132()(32)b b a b a b a a b a

++

=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案. 详解：

111a b

+=， ∴1132()(32)53()b b b a a b a b a a b a a b

++=+++=++ 0a >，0b >，∴0b

a >，0a b

>， ∴2b a a b

+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611b a b a

++≥+=. ∴32b a b a ++的最小值等于11. 故答案为11.

点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用. 13．4

【解析】

【分析】

以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M ，N 的坐标，

由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得α2β=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．

【详解】

以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，

可得()A 0,0，()B 4,0，()C 8,0，

以AB 为直径的半圆方程为22

(x 2)y 4(x 0,y 0)-+=>>，

以AC 为直径的半圆方程为22(x 4)y 16(x 0,y 0)-+=>>，

设()M 22cos α,2sin α+，()N 44cos β,4sin β+，0α<，βπ<， BM BN ⊥，可得()()BM BN 22cos α,2sin α4cos β,4sin β0?=-+?=，

即有()8cos β8cos αcos βsin αsin β0-++=，

即为cos βcos αcos βsin αsin β=+，

即有()cos βcos αβ=-，

又0α<，βπ<，可得αββ-=，即α2β=，

则()()AM CN 22cos α,2sin α44cos β,4sin β?=+?-+

()88cos α8cos β8cos αcos βsin αsin β=--+++

288cos α16cos β16cos β16cos β=--+=-

2116(cos β)42

=--+， 可得1cos β02-=，即πβ3=，2πα3

=时，AM CN ?的最大值为4． 故答案为4．

【点睛】

本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角坐标系，用坐标表示向量是解题的关键．

14．(,2)-∞-

【解析】

【分析】

由题，得243a x x x <-+-在[1,3]x ∈恒成立，通过求24()3g x x x x

=-+-在[1,3]x ∈的最小值，即可得到本题答案.

【详解】

关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成

立,等价于3234x x ax -+<-对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，即243a x x x <-+-

在[1,3]x ∈恒成立，设24()3g x x x x =-+-，则()222(2)224()23x x x g x x x x

-++'=-++=， 令()0g x '>，得12x <<，令()0g x '<，得23x <<，

所以()g x 在(1,2)递增，在(2,3)递减，又4(1)2,(3)3g g =-=-

， 所以min ()(1)2g x g ==-，

所以2a <-，即a 的取值范围是(,2)-∞-，

故答案为：(,2)-∞-

【点睛】

本题主要考查不等式的恒成立问题，参变分离是解决此题的关键，考查学生的转化能力，以及运算求解能力.

15．（1）34C π=

；（2）12

. 【解析】

【分析】

（1）变形已知条件可得tan tan 1tan tan A B A B +=-，代入可得

tan tan tan tan()11tan tan A B C A B A B +=-+=-=--，可得C 值； （2）由正弦定理可得c ，由余弦定理和基本不等式可得ab 的取值范围，进而可得面积的最值．

【详解】

解：（1）(1tan )(1tan )2A B ++=

tan tan 1tan tan A B A B ∴+=-，

tan tan tan tan()11tan tan A B C A B A B

+∴=-+=-=--， 34C π∴=

（2）ABC 得外接圆为单位圆，

∴其半径1R =

由正弦定理可得2sin c R C ==

由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，

代入数据可得222a b =+

22(2ab ab +=，

22

ab ∴+，当且仅当a b =时取等号， ABC ∴得面积122sin 222S ab C -==+，

ABC ∴面积的最大值为：

12

【点睛】 本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定理，准确计算是关键，属于中档题．

16．（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）由线面平行的性质得出//EF AB ，可以判断点F 为AC 的中点，从而求出λ的值； （2）由AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，得到BC AE ⊥，BC DE ⊥，由面面垂直的判断定理即可证明平面BCD ⊥平面AED .

【详解】

（1）因为//EF 平面ABD ，得EF ?平面ABC ，

平面ABC 平面=ABD AB ，

所以//EF AB ，

又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，

所以点F 为AC 的中点，

由AF AC λ=，得1=2

λ； （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，

所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，

又=AE DE E ?，AE ?平面AED ，DE ?平面AED ，

所以BC ⊥平面AED ，

又BC ?平面BCD ，

所以平面BCD ⊥平面AED .

【点睛】

本题主要考查线面平行的性质和面面垂直的证明，考查学生空间想象能力，属于基础题.

17．(1)见解析;(2)当AN =

时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为2+. 【解析】

分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出NF 和ME ，进而得出四边形材料AMPN 的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角θ的范围.

（2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点N 在AD 上的位置.

详解：解：（1）在直角NFP ?中，因为PF =FPN θ∠=，

所以NF θ=，

所以()

11122NAP S NA PF θ?=?= 在直角MEP ?中，因为1PE =，3EPM πθ∠=

-， 所以tan 3ME πθ??=- ???

，

所以11tan 1223AMP S AM PE πθ????=?=-? ?????

，

所以NAP AMP S S S ??=+ 31tan tan 223πθθ??=

+-+ ???0,3πθ??∈????.

（2）因为31tan tan 223S πθθ??=+-+ ???3tan 2θ=

令1t θ=，由0,3πθ??∈????

，得[]1,4t ∈，

所以24

233S t t ?==++??? 2≥=

当且仅当t =时，即tan θ=时等号成立，

此时，3AN =，min 23

S =+，

答：当3AN =

时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为23+. 点睛：本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意换元法和基本不等式的合理运用.

换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可以利用各种常见的函数的图象和性质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系.

18．（1）[]

7,1- （2）见证明；（3）见解析

【解析】

【分析】 ()

13m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()

2F ，设(),K x y ，求出12

KF KF ?的表达式，然后求解范围即可．()2设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，利用点差法转化求解即可．()3直线l 过点,

3m m ?? ???，直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0k >且1.3k ≠设(),P P P x y ，设直线()()0,03

m l y k x m m k =-+≠≠：，代入椭圆方程，通过四边形OAPB 为平行四边形，转化求解即可．

【详解】

()

13m =，椭圆E ：2219x y +=，两个焦点()1F -，()

2F

设(),K x y ，()1F K x y =+，()

2F K x y =-， ()()

2221212881KF KF FK F K x y x y x y y ?=?=+?-=+-=-+，

11y -≤≤，

12KF KF ∴?的范围是[]7,1-

()2设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则222

112222299.

x y m x y m ?+=?+=?两式相减， 得()()()()1212121290x x x x y y y y +-++-=，()()()()1212121219

0y y y y x x x x +-+=+-， 即190OM l k k +?=，故19

OM l k k ?=-； ()3设(),P P P x y ，设直线()()0,03m l y k x m m k =-+≠≠：，即3m l y kx km =-+：，

由()2的结论可知19OM y x k =-：，代入椭圆方程得，22

22991

P m k x k =+， 由()3m y k x m =-+与19y x k =-，联立得222933,9191m km k m km M k k ??- ?-- ?++ ???

若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以2M p x x =， 即2222229394()9191k m km m k k k -=++，整理得29810k k -+=

解得，49

k =．经检验满足题意

所以当k =

时，四边形OAPB 为平行四边形. 【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点差法，直线与椭圆的交点，考查分析问题解决问题的能力，准确转化平行四边形是关键，是中档题 19．（1

；（2）()0-∞，；（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）先根据导数的几何意义求出两条切线，然后利用平行直线之间的距离公式求出求l 1，l 2之间的距离；

（2）利用分离参数法，求出h （x ）=x

e x 的最大值即可；

（3）根据偏差的定义，只需要证明()()f x g x -的最小值都大于2．

【详解】

（1）f ′（x ）=ae x ，g ′（x ）=1x

， y =f （x ）的图象与坐标轴的交点为（0，a ），

y =g （x ）的图象与坐标轴的交点为（a ，0），

由题意得f ′（0）=g ′（a ），即a =

1a

， 又∵a ＞0，∴a =1．

∴f （x ）=e x ，g （x ）=ln x ，

∴函数y =f （x ）和y =g （x ）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：

x -y +1=0，x -y -1=0，

.

（2）由()x m f x -x

x m e -，

故m ＜x x 在x ∈[0，+∞）有解，

令h （x ）=x e x ，则m ＜h （x ）max ，

当x =0时，m ＜0；

当x ＞0时，∵h ′（x ）=1-

e x ， ∵x ＞0，

，e x ＞1，

e x ，

故h ′（x ）＜0，

即h （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，

故h （x ）max =h （0）=0，∴m ＜0，

即实数m 的取值范围为（-∞，0）．

（3）解法一：