第4章 比和比例
《比的基本性质》教案
《比的基本性质》教案第一章：比的概念1.1 学习目标：了解比的概念，掌握比的读写方法。
1.2 教学内容：介绍比的概念，解释比的意义，讲解比的读写方法。
1.3 教学活动：（1）引入比的概念，让学生通过实际例子理解比的意义。
（2）讲解比的读写方法，让学生进行比的字面表达。
（3）进行课堂练习，让学生巩固比的概念和读写方法。
第二章：比的性质2.1 学习目标：了解比的基本性质，掌握比的大小比较方法。
2.2 教学内容：介绍比的基本性质，解释比的大小比较方法。
2.3 教学活动：（1）引入比的基本性质，让学生通过实际例子理解比的大小比较方法。
（2）讲解比的大小比较方法，让学生进行比的比较练习。
（3）进行课堂练习，让学生巩固比的基本性质和大小比较方法。
第三章：比的化简3.1 学习目标：了解比的基本性质，掌握比化简的方法。
3.2 教学内容：介绍比的基本性质，解释比化简的方法。
3.3 教学活动：（1）引入比的基本性质，让学生通过实际例子理解比化简的必要性。
（2）讲解比化简的方法，让学生进行比的化简练习。
（3）进行课堂练习，让学生巩固比的基本性质和化简方法。
第四章：比的应用4.1 学习目标：了解比的应用，掌握比在实际问题中的运用方法。
4.2 教学内容：介绍比的应用，解释比在实际问题中的运用方法。
4.3 教学活动：（1）引入比的应用，让学生通过实际例子理解比在实际问题中的运用。
（2）讲解比在实际问题中的运用方法，让学生进行比的运用练习。
（3）进行课堂练习，让学生巩固比的应用方法。
第五章：比的拓展5.1 学习目标：了解比的拓展知识，掌握比与其他数学概念的联系。
5.2 教学内容：介绍比的拓展知识，解释比与其他数学概念的联系。
5.3 教学活动：（1）引入比的拓展知识，让学生通过实际例子理解比与其他数学概念的联系。
（2）讲解比与其他数学概念的联系，让学生进行比的拓展练习。
（3）进行课堂练习，让学生巩固比的拓展知识。
第六章：比例的概念6.1 学习目标：理解比例的概念，掌握比例的读写方法。
《正反比例及如何判断正反比例》教案
二、核心素养目标
《正反比例及如何判断正反比例》核心素养目标：
1.培养学生运用数学语言描述现实生活中成正比例和反比例关系的量，增强数学表达与交流能力。
2.培养学生通过观察、分析、比较、归纳等思维方法，提高解决问题的策略选择和问题解决能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调比值和乘积这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正反比例相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。如调整两个相关联的量的变化，观察它们的比值或乘积是否一定。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正反比例在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.教学难点
-理解比值与乘积的概念：学生对比值和乘积的理解可能不够深入，需要通过具体实例进行解释。
-正反比例的辨识：区分两种量之间的关系是正比例还是反比例，尤实际问题时，如何将问题抽象成正反比例模型：学生可能难以从实际问题中提取关键信息，构建成正反比例的数学模型。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《正反比例及如何判断正反比例》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过一种量变化，另一种量也跟着变化的情况？”（如：购物时，商品数量与总价的关系）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正反比例的奥秘。
人教六年级数学第四单元
人教六年级数学第四单元
人教版六年级数学第四单元是“比例”。
这个单元主要介绍了比例的概念、性质和应用。
比例是两个比相等的关系，表示两个数量之间的相对关系。
在这个单元中，学生将学习如何识别和构造比例，以及如何应用比例来解决实际问题。
此外，学生还将学习比例的性质，如交叉相乘性质和合比性质。
这些性质将帮助他们更好地理解比例的概念和应用。
最后，学生将学习如何使用比例解决实际问题，如计算图形的面积和周长，以及解决一些实际生活中的问题，如配制一定比例的溶液等。
总之，人教版六年级数学第四单元“比例”是一个非常重要的单元，它帮助学生更好地理解数量之间的关系，并应用比例来解决实际问题。
比和比例_分章解读
在100张奖券中,有4张中奖,某人从 中任抽1张,则他的中奖的可能性的 大小P为多少?
一个口袋里装有4个白球,1个红球, 7个黄球,搅匀后随即从袋子中摸出 1个白球的可能性的大小P为多少?
三 比和比例 3.6等可能事件
链接生活,瞭望中考
在”深圳读书月”活动中,小华在书城买了一套科 普读物,有上,中,下三本,要整齐地摆在书架上, 有哪几种摆法?其中恰好摆成”上,中,下”顺序的 可能性的大小P为多少?
三个小朋友玩”剪刀”,”石头”,”布”的游戏,问在一个回 中三个人都出”剪刀”的可能性的大小P为多少?
三 比和比例
都
商品打折问题
是 百
分
赢利亏损问题ຫໍສະໝຸດ 比聚焦问中考
银行存款问题
题
概率统计问题
啊
二 分数 像孪生姐妹,形影不离
三 比和比例
2.1 分数与除法 2.2 分数的基本性质 2.5 分数的乘法 2.6 分数的除法 2.9 分数运算的应用
存款 自愿
国家 取款 规定 自由
计算 得出
依法 纳税
实际 利息
实际 拿走
三 比和比例
3.1 比的意义 3.2 比的基本性质 3.3 比例 3.4 百分比的意义 3.5 百分比的应用 3.6 等可能事件
分章解读
标题虽少,份量很重 比和比值,意义不同 三种关系,体系更牢 两个性质,用处各异 情景很好,年龄失调 概率起旋,似懂非懂
3.1 比的意义 3.2 比的基本性质 3.3 比例 3.4 百分比的意义 3.5 百分比的应用
教学过程扎实化，基础点一定要理解透彻； 教学课堂活跃化，充分感受知识点的形成过程； 课后活动丰富化，贴近生活，活用知识点； 学习数学轻松化，提高效率获得丰收。
初中数学北师大版八年级上册《第4章：正比例函数的图象与性质》课件
8．若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点A(x1，y1)
和点B(x2，y2)，当x1<x2时，y1>y2，则m的取值范
围是( D )
A．m<0
B．m>0
C．m< 1
2
D．m>1
2
9．对于函数y＝－k2x(k是常数，k≠0)的图象，下列说法不
正确的是( )
A．是一条直线
B．过点
1 k
,
k
2．【202X·呼和浩特】二十四节气是中国古代劳动人民 长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当 春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白 昼时长最长，根据上图，在下列选项中指出白昼时 长低于11小时的节气是( D ) A．惊蛰 B．小满 C．立秋 D．大寒
3．【202X·长沙】小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小 明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如 图反应了这个过程中小明离家的距离y(km)与时间x(min) 之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是( B ) A．小明吃早餐用了25 min B．小明读报用了30 min C．食堂到图书馆的距离为0.8 km D．小明从图书馆回家的速度为0.8 km/min
解：画图略．这两个函数图象关于x轴(或y轴)对称． (2)这两个函数中x每取一个值时，其对应的函 数值y有什么关系？
解：画图略．这两个函数中x每取一个值时，其对应的 函数值y互为相反数．
11．已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝－9.
(1)求y与x的函数关系式；
解：设y与x的函数关系式为y＝kx，则－9＝3k，
第1课时
正比例函数的 图象与性质
数学北师大版 八年级上
1A 2D 3B 4A 5C
比和按比例分配教案
比和按比例分配教案第一章：比的概念和性质1.1 教学目标：了解比的概念，理解比的意义。
学习比的性质，掌握比的计算方法。
1.2 教学内容：比的概念：比较两个量的大小关系。
比的表示：a:b或a/b，其中a称为比的前项，b称为比的后项。
比的性质：比的前项和后项乘或除以相同的数（0除外），比的大小不变。
1.3 教学活动：引入比的的概念，通过实际例子让学生感受比的存在。
讲解比的表示方法，让学生能够正确表示两个量的比。
引导学生通过实际操作，探究比的性质，理解比的计算方法。
第二章：比例的概念和性质2.1 教学目标：了解比例的概念，理解比例的意义。
学习比例的性质，掌握比例的计算方法。
2.2 教学内容：比例的概念：表示两个比相等的式子。
比例的表示：a:b = c:d，其中a、b、c、d都是数。
比例的性质：在比例中，两个内项的积等于两个外项的积。
2.3 教学活动：引入比例的概念，通过实际例子让学生感受比例的存在。
讲解比例的表示方法，让学生能够正确表示两个比的相等关系。
引导学生通过实际操作，探究比例的性质，理解比例的计算方法。
第三章：按比例分配的概念和性质3.1 教学目标：了解按比例分配的概念，理解按比例分配的意义。
学习按比例分配的性质，掌握按比例分配的计算方法。
3.2 教学内容：按比例分配的概念：将一个数按照比例分配到几个部分。
按比例分配的表示：将一个数a按照比例p分配到几个部分，可以表示为a×p。
按比例分配的性质：分配到的每一部分的数值与比例成正比。
3.3 教学活动：引入按比例分配的概念，通过实际例子让学生感受按比例分配的存在。
讲解按比例分配的表示方法，让学生能够正确表示将一个数按照比例分配到几个部分。
引导学生通过实际操作，探究按比例分配的性质，理解按比例分配的计算方法。
第四章：比和比例的应用4.1 教学目标：掌握比和比例的概念和性质，能够运用比和比例解决实际问题。
4.2 教学内容：通过实际问题，运用比和比例的概念和性质进行计算和解决问题。
比的知识点归纳
比的知识点归纳
在这一章节的学习过程当中，同学们要通过学习认识和理解比和比例以及正比例反比例的意义和性质，能够熟练地求解比值，化简比和解比例的方程；另外同学们还要能够运用多种方法正确的去分析和解答有关比和比例的实际问题，其中包括按比例的分配问题和有关正反比例的应用题。
1、比的意义和性质
（1）比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。
（2）比的性质: 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫作比的基本性质。
（3）求比值和化简比
求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数字可以是整数，也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。
它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。
2、比例的意义和性质
（1）比例的意义
表示两个比相等的式子叫作比例。
组成比例的四个数，叫作比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫作内项。
（2）比例的性质
在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫作比例的基本性质。
（3）解比例: 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例的另外一个未知项。
求比例中的未知项，叫作解比例。
六年级下册数学讲义及试题-小升初总复习资料：比和比例苏教版(含答案)
比和比例⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧→→⎭⎬⎫→→⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎭⎬⎫→⎪⎭⎪⎬⎫→⎩⎨⎧→→→应用意义正、反比例解比例性质意义比例比例尺按比例分配求未知数化简比性质求未知数求比值比与除法、分数的关系意义比比和比例一、本章概念： 比：比的意义：两个数相除，又叫做两个数的比。
比值：比的前项除以后项所得的商，叫作比值。
比值相等的两个比相等。
比、分数、除法的关系：)0(:≠÷==b b a bab a比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
按比例分配：在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比例进行分配。
比例：比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。
比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。
求比例中的未知项，叫做解比例。
比例尺：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
比例尺分为数值比例尺和线段比例尺。
正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种也随着变化，如果这两种量中叫作正比例关系。
如果用字母x 和y 分别表示两种相关联的量，用k 表示它们的比值，正比例关系的式子可表示为：（一定）k xy =。
反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量对应的两个量积一定，这两种量就叫作反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。
如果用字母x 和y 分别表示两种相关联的量，用k 表示它们的积，反比例关系可以用式子表示为：（一定）k xy =。
二、先关概念的比较1.比和比例的意义、形式、组成和基本性质的区别意义 形式 各部分名称 组成 基本性质比两个数相除由两项组成（前项、后项）项后号比：项前↓↓↓7149任意两个数都可以组成比（同类量或不同类量） 比的前项和后项同时乘以或除以相同 的数（0除外），比值不变比例两个比相等的式子由四项组成（内项、外项各两个）任意四个数不一定能组成比例 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积2.比、分数和除法的区别和联系相当部分区别比（bab a 或:） 前项 比号（：） 后项 比值 两个数的倍比关系分数（ba ） 分子 分数线（—） 分母 分数值 一个数值 除法（b a ÷）被除数除号（÷）除数商一种运算3.求比值和化简的区别意义一般方法结果求比值 前项除以后项所得的商根据比值的意义，用前项除以后项是一个商，可以是整数、小数或分数化简比把两个数的比化成最简单的整数比 根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外）；有时也可以用求比值的方法来化简比 是一个比，它的前项和后项都是整数，而且公因数只有1 注意：当同类量的两个数相比，前项和后项单位不同时，要先化成相同的单位，然后再求比值或者化简比。
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3.6 比和比例
一、情境导入，探求新知。
1、甲、乙、丙三人合伙经营水果，去年底按投资的比例进行分红，甲分红得5万元，乙分红得4万元，丙分红得3万元。
思考下列问题：
（1）甲的分红:乙的分红=________； 乙的分红:丙的分红=________.
（2）按照上面的结果，可以把甲、乙、丙三人的分红比写成 甲的分红: 乙的分红:丙的分红=____:____:____。
在“甲的分红:乙的分红”与“乙的分红：丙的分红”这两个比例中，“乙的分红”相同的，也就是说前一个比例的后项．．与后一个比例的前项．．是相同的，因而可以把这两个比例连起来写在一起，得到 甲的分红: 乙的分红:丙的分红=5：4：3这种形式叫做连比。
2、求连比
如果a:b=4:5, b:c=2:1, 求连比a:b:c.
分析：在比4;5与2：1中，前一个比例的后项与后一个比例的前项不同，这时要确定5与2的最小公倍数是10，即可解答。
解法一：因为a:b=4:5=8：10，（比例的前项和后项同乘以2） b:c=2:1=10:5 （比例的前项和后项同乘以5） 所以a:b:c=8:10：5 解法二：把a 、c 都用b 来代换。
（请自己尝试解答）
总结求连比的方法：（小组内讨论）
(1)求最小公倍数法 （2）变形代换法 第一种解法较为简洁，建议用第一种解法。
对应练习
1、已知x:y=2:3 y:z=4:7 求连比x:y:z
2、连比的应用 三角形的周长为52cm ，三边长的比是3：4：6，求三边的长。
3、植树节，七、八、九年级的同学共植树480棵，已知三个年级植树棵数的比是4：5：7，三个年级各植树多少棵？
4、已知a:b=21:31,b:c=51:4
1
，求a:b:c
第四章 样本与估计
一、选择题：（每题5分，共30分）
1、2，3，4，x ，5，这五个数的平均数是4，则x=（ ） A 4 B 5 C 6 D 7
2、A居民区的月底统计用电情况，其中3户用电45度，5户用电50度，6户用电42度，则
平均用电（）度 A 41 B 42 C 45.5 D 46
3、10名初中毕业生的体育考试成绩如下：25，26，26，27，26，30，29，26，28，29。
这成绩的中位数是（） A 30 B 26.5 C 26 D 25
4、上题这组体育成绩的众数是（） A 25 B 26 C 27 D 29
5、某校要了解八年级女生的体重，以掌握她们的身体发育情况，从八年级500名女生中抽出
50名进行检测，就这个问题来说，下面说法中正确的是（）
A 500名女生是总体
B 500名女生是个体
C 500名女生是总体的一个样本
D 50是样本容量
6、一组数据x
1，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
的平均数是x，另一组数据2x
1
+5，2x
2
+5，2x
3
+5，2x
4
+5，2x
5
+5
的平均数是（） A x B 2x C 2x+5 D10x+25
二、填空题：（每题5分，共20分）
7、某公司员工的月工资如下：580，650，880，900，1200，650，730，810
问：（1）公司所有员工的平均工资是；（2）所有员工工资的中位数是；
（3）所有员工工资的众数是；（4）用平均数还是中位数或是众数描述该公司员工工资的一般水平比较恰当，答。
8、某食品店购进2000箱苹果，从中抽取10箱，称得重量分别为（单位：千克）
16，16.5，14.5，13.5，15，16.5，15.5，14，14，14.5。
若每千克苹果售价为2.8元，则利用样本平均数值估计这批苹果的销售额是元。
9、小明骑自行车的速度是15千米/时，步行的速度是5千米/时。
若小明先骑自行车1小时，然后又步行2小时，那么他的平均速度是。
10、某校举行演讲比赛，六名评委对某位选手打分如下：
77，82，78，99，85，68。
去掉一个最高分和一个最
低分后的平均分是分。
三、解答题：（6/+6/+6/+6/+8/+8/）
11、某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统
计如下：
请根据表格提供的信息回答下列问题：
(1)甲班众数为 分，乙班众数为 分.从众数看成绩较好的是 班. (2)甲班的中位数是 分，乙班的中位数是 分，甲班中成绩在中位数以上(包括中位数)的学生所占的百分比是 ％，乙班中成绩在中位数以上(包括中位数)的学生所占的百分比是 ％.从中位数看成绩较好的是 班.
(3)若成绩在85分以上为优秀，则甲班的优秀率为 ％，乙班的优秀率为 ％.从优秀率看成绩较好的是 班.
13.1平方根
一、基础知识
1、正数有____个平方根,它们_____________;其中正的那个叫 ，0的平方根是_____，负数____平方根.
2、算数平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a,那么这个正数x 就叫做a 的算数平方根 ,记做a ，读作“根号a ”，a 是被开方数且a ≥0. 注：1.a (a ≥0)表示求a 的算数平方根.
2.a 有意义的条件是a ≥0；无意义的条件是a ﹤0.
3. 0的算数平方根是0，负数没有算数平方根.
3.如果一个数的平方根是这个数本身,那么这个数是 。
二、习题巩固
1．下列各式中无意义的是（ ）A ．7- B ．7 C.7- D ．()2
7--
2.
41的算术平方根是（ ） A ．161 B ．81 C ．21 D ．2
1
±
3. 下列运算正确的是（ ）A ．33-= B ．33-=-
C =
D 3=-
4. 64611-的立方根是( ) A.4
6113
- B.411± C.411 D.411-
5. 某数的立方根是它本身, 这样的数有( ) A. 1个; B. 2个; C. 3个; D. 4个;
6. 下列说法正确的是（ ）
⑴ 正数都有平方根；⑵ 负数都有平方根，⑶ 正数都有立方根；⑷ 负数都有立方根； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.下列说法中, 不正确的是( )
A. 8的立方根是2;
B. -8的立方根是-2;
C. 0的立方根是0;
D. 32a 的立方根是a; 8. 若一个正方形的面积为13，则正方形的边长为 .
9. 小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 . 10. 计算：
⑴= ⑵=25 ⑶
()=-2
2 =_____ ⑸ 2= .
11．若下列各式有意义，在后面的横线上写出x 的取值范围：
⑴ ⑵x -5
12．若20a -=，则2a b -= ．
13．一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的n 倍，它的边长变为原来的 倍. 14. _______ 的算数平方根是它本身. 15．求下列各数的算术平方根。
⑴ 169 ⑵ 0.0256 ⑶ 24125
⑷ ()2
2- 三、立方根练习巩固
1. ( )A. 2; B. -2; C.
12; D. 12-;
2. ()33
7-的正确结果是( )A. 7; B.-7; C.± 7;; D. 无意义
3. ( )A. -4; B. ±2; C. ±4; D.-2
4. 估计68的立方根的大小在( ) A. 2与3之间; B. 3与4之间; C. 4与5之间; D. 5与6之间;
5. 327-= ，它的倒数是 ，它的绝对值是 ；
6. 已知442.133=，则=33000 ，=3003.0_____
7. 64的平方根是____, 64的立方根是______;
8. 立方根是3的数是__,算术平方根是3的数是___;
9. -216的立方根是______, 立方根是-0.2的数是___。