投篮问题的数学模型
投篮的最佳出手点
投篮的最佳出手点
作者：陈海峰
来源：《科技风》2019年第25期
摘要：投篮的命中率是评价一位运动员是否优秀的标准之一，而影响投篮命中率的因素不仅仅有球感、出手角度、出手高度、出手速度，还有出手点的选择。
本文通过模型分析并得出结论。
关键词：出手角度;出手高度;出手速度;命中率
一、问题背景
投篮运动员如果投球角度很低，虽然投篮从一开始的时间可以缩短，但是强壮的手臂、手腕和手指头上可能完全发挥不出作用。
如果采用规范的投篮动作，势必出手时间较长，给防守者以充分的时间做准备，被盖帽的可能性增大。
二、模型建立过程与求解
三、结论
当投射高度不同，其他条件相同的條件下，投射高度为22m的投中概率比较大，投射角度为40°～50°。
参考文献：
[1]陈东彦，李冬梅，王树忠.数学建模.科学出版社，2007.
[2]曹喜望.管理科学中的数学模型.北京大学出版社，2006.
[3]方道元，韦明俊，数学建模：方法导引与案例分析.浙江大学出版社，2011.
作者简介：陈海峰（1974-），女，内蒙古乌兰察布人，理学硕士，副教授。
二次函数投篮问题(附答案)
二次函数投篮问题1．在一场篮比赛中，甲球员在距篮4米处跳投，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.75米，然后球准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）乙球员身高为1.91米，跳起能摸到的高度为3.15米，此时他上前封盖，在离投篮甲球员2米处时起跳，问能否成功封盖住此次投篮？（3）在（2）条件下若乙球员想要成功封盖甲球员的这次投篮，他离甲球员的距离至多要多少米？﹣﹣×时，﹣x2．如图，一位运动员在距篮下4.5米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最高度3.5米，篮筐中心到地面距离为3.05米，建立坐标系如图．该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，他跳离地面的高度为0.2米，问这次投篮是否命中，为什么？若不命中，他应向前（或向后）移动几米才能使球准确命中？，则该抛物线解析式为，时，时，+3.5=3.05，即3．（2011•宝山区一模）如图1，小杰在一个智能化篮球场的罚球区附近练习投篮，球出手前，他测得篮框A的仰角为16.7°、篮球架底端B的俯角为24.2°，又已知篮框距离地面约3米．（1）请在答题纸上把示意图及其相关信息补全，并求小杰投篮时与篮框的水平距离；（2）已知球出手后的运动路线是抛物线的一部分，若球出手时离地面约2.2米，球在空中运行的水平距离为2.5米时，达到距离地面的最大高度为3.45米，试通过计算说明球能否准确落入篮框．（注：篮球架看作是一条与地面垂直的线段，篮框看作是一个点；投篮时球、眼睛看作是在一条与地面垂直的直线上．备用数据：sin16.7°=0.29，cos16.7°=0.96，tan16.7°=0.30；sin24.2°=0.41，cos24.2°=0.91，tan24.2°=0.45；），∴4.．一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误，根据经验，运动员起跳后的时间t（s）与运动员距离水面的高度h（m）满足关系式：h=10+2.5t﹣5t2，那么运动员最多有多长时间完成规定动作？﹣=5．（2013•婺城区一模）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，问此次跳水会不会失误？．，或﹣，，x））×=，=6．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板AB 长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE=5m，CF=6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm（h≥1）到达距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB 为纵轴建立坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内如水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．[x﹣（≤]7．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB 长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm（h≥1）时达到距水面最大高度4m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．[x﹣（≤]。
体育中的数学三分投篮
体育中的数学三分投篮篮球是一项结合了力量、速度、技巧和智慧的运动，而在篮球比赛中，三分投篮无疑是一项技术含量较高的得分方式。
而要想在比赛中准确地进行三分投篮，数学也起着重要的作用。
我们来看看三分投篮的定义。
三分投篮是指在三分线外发起的投篮动作，成功得分则可获得三分，而在篮球比赛中，三分球的得分往往比两分球的得分更加具有决定性的意义。
在进行三分投篮之前，球员需要准确地判断出自己所处的位置与三分线之间的距离。
这就要涉及到几何学中的空间几何知识。
球员需要根据自己所站的位置，确定出与三分线的最短距离，从而更好地调整出投篮的力量和角度。
而在投篮的过程中，数学中的物理学原理也发挥着重要的作用。
例如，球员在投篮的时候，需要准确地估算出投篮点与篮筐之间的距离，从而确定出投篮的力量大小。
这就需要运用到物理学中的力学原理，根据物体的质量、速度和距离等因素来计算出所需的力量。
数学还可以帮助球员进行投篮的角度调整。
在三分投篮中，角度是非常重要的因素之一。
如果投篮角度过大或过小，都会导致投篮的命中率下降。
因此，球员需要根据自己所处的位置和防守队员的位置，来计算出最佳的投篮角度。
除了以上提到的几何学和物理学知识，数学在统计学方面也起着重要的作用。
在比赛中，教练和球员需要根据对手的防守策略和自己的投篮命中率等因素来决定是否选择三分投篮。
这就需要进行一系列的数据分析和统计计算。
例如，球员可以通过统计自己的每个投篮点的命中率来确定哪些位置是自己的得分点，从而在比赛中更有针对性地选择投篮位置。
在实际的训练中，数学也可以帮助球员进行投篮技巧的训练。
例如，通过数学模型的建立和分析，可以找出最佳的投篮角度和力量，从而帮助球员提高投篮的准确性和稳定性。
体育中的数学三分投篮是一项技术含量较高的得分方式。
数学在三分投篮中起着重要的作用，无论是在空间几何的判断、物理学原理的运用，还是在统计学和训练中的应用，都离不开数学的支持。
因此，对于篮球运动员来说，掌握一定的数学知识是非常有益的，可以帮助他们更好地进行三分投篮，并提高自己在比赛中的竞技水平。
实验6 投篮的出手角度问题
实验6 投篮的出手角度问题6.1 实验问题篮球比赛中，比赛队员投篮命中率对于本队的取胜起着决定性作用。
实践表明，影响投篮命中率有两个关键因素:出手角度和出手速度。
在各种投篮方式中，罚球投篮(简称罚球)是最简单同时也是很重要的投篮方式。
假设罚球时不考虑球出手后球自身的旋转及球碰蓝板或蓝框的情况，且篮球的中心到蓝框中心的水平距离为4.60m, 蓝框中心的高度为3.05m，球的直径为24.6cm，蓝框直径为45.0cm，篮球运动员出手的高度为1.8~2.1m，出手速度为8.0~9.0m/s，请研究在此的情况下，怎样罚球才能命中率高。
6.2 符号说明L:篮球的中心到蓝框中心的水平距离,单位为米(m)，这里L=4.60mH: 蓝框中心的高度, 单位为米(m)，这里H=3.05md:球的直径, 单位为厘米(cm)，这里d=24.6cmD:蓝框直径, 单位为厘米(cm)，这里D=45.0cmh:篮球运动员出手的高度, 单位为米(m)，这里h=1.8~2.1mv:投篮出手速度, 单位为米/秒(m/s)，这里v=8.0~9.0m/s22 g:重力加速度，单位为米/秒，这里取g=9.8m/s,:投篮出手角度,:球入蓝框的入射角度,x:球入蓝框时球心可以偏离(前后)的最大距离，单位为厘米(cm)。
6.3 问题分析按照由简到繁的方式，这里依次研究如下问题:1( 不考虑篮球和球框的大小，将篮球和球框看作在其中心处的一个点，即用球心和框心代替代替篮球和蓝框，讨论球心命中框心且球入框的条件。
2( 考虑篮球和球框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。
3( 在球心可以前后偏离框心时球入蓝框的条件下，讨论出手角度允许的最大偏差和出手速度允许的最大偏差;4( 考虑在有空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件5( 用具体的计算结果给出提高命中率的指示6.4 建模与求解1( 不考虑篮球和球框的大小，忽略空气阻力的影响取球没出手时球心O为坐标系原点，x轴为水平方向，y轴为竖直方向建立如下坐标系于是球的运动可以看作一个质点的斜抛运动，设坐标(x(t),y(t))是在球出手t 时刻后将球心的坐标，由假设，可以得到如下运动参数方程:,xt,v,t()cos,,2(1),gt()sin,yt,v,t,,2,在方程(1)中消去参数t，可以得到球心的运动轨迹为抛物线:g2,y,xtan,x222vcos, (2) 如果球心命中框心，则有点(L,H-h)满足式(2)，于是用x=L,y=H-h代入(2)有g2,H,h,Ltan,L222vcos, (3)22利用关系式sec,=tan,+1，将方程(3)化简为:22222Lgtan,,2vLtan,，Lg,2v(H,h),0 (4) 式(4)是关于tan,的一元二次方程，求出其根，即得到球心命中框心的如下条件:22ggLv2,,,H,h，tan,[11()]22gLvv2 (5) 式(5)如果有解，应该有22ggL1,(H,h，),022v2v (6) 式(6)可以变为422v,2g(H,h)v，gL,022222,(v,g(H,h)),g(L，(H,h)),0222,v,g(H,h),,gL，(H,h)222,v,g(H,h),gL，(H,h) 因此，可以得出罚球时球心命中框心的出手速度v应该满足222v,g[H,h，L，(H,h)] (7) 对给定出手高度h后，如果式(7)成立严格不等式222v,g[H,h，L，(H,h)]由式(5)，只要给定出手高度h和出手速度v后，就有两个不同的出手角度,1，,2满足球心命中框心的条件。
ib数学ia例题
ib数学ia例题以下是一个IB数学IA（Investigation Assignment）的例题：题目：分析投篮技巧与命中率的关系一、引言在篮球比赛中，投篮技巧和命中率是决定胜负的重要因素。
为了深入理解这两个因素之间的关系，我们将进行一项调查分析。
二、研究问题我们的研究问题是：投篮技巧是否影响命中率？三、数据收集我们将收集不同篮球运动员的投篮技巧和命中率的数据。
数据将包括球员的身高、投篮次数、投中次数等信息。
这些数据可以通过观察比赛录像、统计报告等途径获得。
四、数据分析1.描述性分析：首先，我们将计算每位球员的投篮技巧和命中率的平均值、中位数、众数等统计量。
这将帮助我们了解每位球员的表现。
2.相关性分析：接下来，我们将使用皮尔逊相关系数来分析投篮技巧和命中率之间的相关性。
如果相关系数接近1或-1，则表示这两个变量之间存在强相关性。
如果相关系数接近0，则表示这两个变量之间没有相关性。
3.回归分析：为了进一步探究投篮技巧对命中率的影响，我们将使用线性回归模型进行分析。
通过回归分析，我们可以确定投篮技巧对命中率的预测能力，并计算出预测的置信区间。
4.假设检验：最后，我们将使用卡方检验来检验我们的研究假设。
如果卡方检验的结果显著，则表示投篮技巧对命中率有影响。
否则，则表示投篮技巧对命中率没有影响。
五、结论通过以上分析，我们可以得出结论：投篮技巧是否影响命中率。
如果投篮技巧对命中率有影响，那么我们可以进一步探讨如何提高投篮技巧，从而提高命中率。
如果投篮技巧对命中率没有影响，那么我们应该关注其他因素，如球员的体能、战术配合等。
2024年高考数学专项复习马尔科夫链(与数列结合的概率递推问题)(解析版)
马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）如果要评选出 2023 年各地模拟题中最“成功”的题目，我想非“马尔科夫链”莫属了，尽管2023 年新高考I 卷出乎了很多“命题专家”的意料，但第 21 题考察了马尔科夫链，可谓为广大“专家”“名卷”“押题卷”挽回了一些颜面。
2023年新高考I 卷第21题的投篮问题是马尔可夫链；再往前的热点模考卷中，2023年杭州二模第21题的赌徒输光问题是马尔可夫链，2023年茂名二模的摸球问题是马尔可夫链；再往更前的2019年全国I 卷药物试验也是马尔可夫链，在新人教A 版选择性必修三 P91 页 拓展探索中的第10题是传球问题，是马尔科夫链的典型模型，可以看出自从新教材引入全概率公式（新人教A 版选择性必修三 P49 页），可想而知，未来会有越来越多的递推型概率难题出现模考试题中！因此，在复习备考中全概率等系列内容需要格外关注马尔科夫链作为一种命题模型出现了，马尔科夫链在题中的体现可以简单的概括为全概率公式+数列递推，对于高中生而言，马尔科夫链其实也不难理解。
本文主要介绍了马尔科夫链和一维随机游走模型在高考中的几种具体的应用情形，希望对各位接下来的复习和备考有一些帮助。
基本原理虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻0=t 时，位于点)(+∈=N i i x ，下一个时刻，它将以概率α或者β（1),1,0(=+∈βαα）向左或者向右平移一个单位. 若记状态i t X =表示：在时刻t 该点位于位置)(+∈=N i i x ，那么由全概率公式可得：)|()()|()()(1111111+==++=−==+−==+⋅+⋅=i t i t i t i t i t i t i t X X P X P X X P X P X P另一方面，由于αβ==+==+−==+)|(,)|(1111i t i t i t i t X X P X X P ，代入上式可得：11−+⋅+⋅=i i i P P P βα.进一步，我们假设在0=x 与),0(+∈>=N m m m x 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，1,00==m P P .随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a ，原地不动，其概率为b ，向右平移一个单位，其概率为c ，那么根据全概率公式可得：2024年高考数学专项复习马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）（解析版）11+−++=i i i i cP bP aP P2023·新高考Ⅰ卷T211．乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==−===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q == = ∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．2019·全国Ⅰ卷2．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1−分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1−分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X .（1）求X 的分布列.（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，)0,1,2,,8(i p i =⋅⋅⋅表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11()127i i i i p ap bp cp i ==++…－＋，，，，其中)1(a P X ==－，(0)b P X == (1)c PX ==. 假设0.5α=，0.8β=. ①证明：1)0{,1,2,,}7(i i p p i−=⋅⋅⋅＋为等比数列； ②求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.课本原题：人教A版数学《选择性必修三》P913．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第１次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求n次传球后球在甲手中的概率．重点题型·归类精讲3．从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，2023届惠州一模4．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐. 已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，如此往复.（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为n P（Ⅰ）证明：25nP−为等比数列；（Ⅱ）证明：当2n≥时，512nP≤.2023届佛山二模·165．有n 个编号分别为1,2,3,,n ⋅⋅⋅的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子均为1个白球1个黑球，现从第1个盒中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第n 个盒子中取到白球的概率是 .2023·唐山调研6．甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第k 次传球后球在甲手中的概率为*N k p k ∈，，则下列结论正确的有（ ）A. 10p =B. 213p = C. 121k k p p ++= D. 202313p >2024届武汉高三九月调研T167．甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n 次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则 ； ．2024届·湖北荆荆恩高三9月起点联考·218．甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，恰有3个黑球的概率为.(1)求；(2)设，证明：；(3)求的数学期望的值. *n ∈N n p 3p =n p =()*n n ∈N n X n p n q 11,p q 2n n n c p q =+11233n n c c +=+n X ()n E X2023·济南开学考10．甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流地掷一枚质均匀的骰子.规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束.（1）记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望；（2）已知甲先掷，求甲恰好抛掷n 次骰子并获得胜利的概率.2023届·杭州二模11．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，2t X −，1t X −，t X ，1t X +，…，那么1t X +时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态t X ，即()()t 1t 2t 1t t 1t ,,,X X X X X X P P +−−+= ∣∣. 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为*(,)A A N A B ∈<元，赌博过程为如图所示的数轴．当赌徒手中有n 元()0,n B n N ≤≤∈时，最终输光的概率为()P n ，请回答下列问题：（1）请直接写出()0P 与()P B 的数值；（2）证明(){}P n 是一个等差数列，并写出公差d ；（3）当100A =时，分别计算200B =，1000B =时，()P A 的数值，并结合实际，解释当B →+∞时，()P A 的统计含义.12．校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到。
数学在篮球比赛中的应用
投篮的数学原理
• 抛物线与入射角
投篮时球出手的轨迹可看做抛物线，入射角 即指在球进入篮筐的一刹那所画的曲线的切线 与水平面所成的角度。根据个人的手形以及投 篮习惯的不同，抛物线自然也不同，而球所做 的运动即可看做斜抛运动，所以影响斜抛运动 的因素也会影响篮球的运行轨迹。比如投篮的 初速度与水平夹角过大则有可能导致球的水平 位移达不到预期要求。又比如投篮时初速度过 小，仰角过小等等，都会影响到一个球员的投 篮命中率。
• 如何投空心球
投篮时，如果投篮的初始弧度大，由 于斜抛运动具有对称性，则导致入射角 与进入篮筐的截面而随之增大，自然而 然的所允许的误差范围也就越大。相反， 如果投篮弧度过低，则导致所允许的误 差范围变小，自然会降低命中率。篮球 的直径R＝24~27（CM）,篮圈的直径L＝ 45（CM）,设β＝R/L，此时误差范围为 零，即如果有丝毫的改变，就会使篮球 无法进入篮筐。所以投篮时以中弧度或 稍高弧度最好，因为这样可以增大入射 角与横截面积，以增大命中率。投篮距 离和出手速度也决定了投篮的命中率， 投篮距离越远，出手速度也应该越大。
第四轮 1——3 4——2 5——6
第五轮 1——2 3——6 4——5
淘汰赛是指参赛队之间相互进行淘汰的形式比赛，通过比赛逐 步淘汰成绩差的队，最后评出优胜者的一种竞赛方法。
单 淘 汰 赛
举例：8支队伍进行比赛，若使用单循环制，则一共要进行28场 比赛，每队进行7场比赛。若使用单淘汰赛制，则最少的队伍只进 行了1场比赛，而获得了第一名的队伍则进行了3场比赛。
•PER是作为衡量球员作用，评 选联盟奖项的重要指标。 •PER是用来区分NBA球星，全 明星，超级巨星的重要指标。
篮球运动竞赛方法中的数学性
• 以单循环赛和单淘汰赛的比较为例
投篮问题
A题论文摘要篮球运动中，投篮是一种重要的得分方式，共分为，罚篮，两分球，三分球。
其中，“三分球”是指在三分线以外投篮且命中的进球。
由于距离远，受到空气阻力影响，通常采用跳投技术，要求起跳时脚要在三分线以外，不可踩三分线，落地时可以在三分线以内，也可在三分线以外。
“两分球”是在三分线以内投篮且命中的进球。
罚篮是在篮球比赛中对犯规球员的处罚。
罚篮是在罚球圈进行投篮，距离较近，一般为了保证命中率会采用原地定点投篮，不采用跳投技术。
本文运用运动学，力学原理对投篮进行了分析，并得出影响投篮的关键所在，在接下来的训练中着重训练。
在第一个模型中，由于罚篮位置是固定的，罚篮的命中率主要由球员的身高，出手速度，出手角度决定。
通过讨论，取其中两个变量为定值，观察该变量对于命中率的影响。
通过比较不同的相对误差的出不同变量对命中率的影响一般不同。
通过分析，由于罚篮的位置固定故出手角度相对于出手速度来说更为重要。
第二个模型中，由于投篮位置较多，故影响命中率的因素有，出手位置与篮筐的距离，出手位置的高度，出手角度，出手速度，共四个变量，沿用第一个模型中的方法逐个讨论变量对命中率的影响。
经过分析，可知命中率与投篮的远近，高低有关，此时投篮的出手速度就相对于出手角度更为重要。
第三个模型，三分球的命中，由于出手位置相对于两分球更加的固定，出手距离的影响近乎可以忽略。
由于篮球在空中滞留时间相对较长，球速较快，故篮球在空中时所受的空气阻力不能忽略，通过建立微分方程求解可得到三分球在空中的运行轨迹，而影响三分球的因素就只剩下出手速度，以及出手的角度。
经过分析可知，规则改变后，不仅是增加了比赛的观赏性，而且也能更好的体现运动员技术水平。
关键字：出投角度、高度、速度、命中率、允许的最大偏差。
问题重述篮球运动中，投篮是一种重要的得分方式，共分为，罚篮，两分球，三分球。
其中，“三分球”是指在三分线以外投篮且命中的进球。
由于距离远，受到空气阻力影响，通常采用跳投技术，要求起跳时脚要在三分线以外，不可踩三分线，落地时可以在三分线以内，也可在三分线以外。
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建模论文题目：投篮问题指导老师：***报告人：张莲民（20021090035）段海婷（20021090002）江云（20021090004）2005年6月3日一、问题的提出激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式--------罚球 我们建立数学模型研究以下数学问题：1) 先不考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心的条件。
对不同的出手高度h 和出手速度v ，确定出手角度α和篮框的入射角度β；2) 考虑篮球和篮框的大小 ，讨论球心命中框心且球入框的条件。
检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3） 为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后（这里暂不讨论偏左或偏右）。
讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；二、模型的假设1、 假设求出手后不考虑自身的旋转2、 不考虑篮球碰篮板或篮框入框3、不考虑空气阻力对篮球的影响时三、符号设定d 篮球直径 D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离 H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m ，H=3.05m ，d=24.6cm ，D=45cm.四、问题的分析与模型的建立1、问题1）的分析与模型的建立：不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。
将坐标原点定在球心P ，列出x(水平)方向和y （竖直）方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件可以表示为 出手角度与 出手速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对不同的出手速度，出手高度，计算出手角度和入射角度。
由于不考虑篮球和篮筐的大小,不考虑空气阻力的影响,从未出手时的球心 p 为坐标原点, x 轴为水平方向, y 轴为竖直方向,篮球在 t =0时以出手速度 v 和出手角度α 投出,可视为质点(球心)的斜抛运动,其运动方程 是我们熟知的。
(1)其中 g 是重力加速度.由此可得球心运动轨迹为如下抛物线2sin )(2gt t v t y -=αtv t x αcos )(=(2) 以x=L,y=H-h 代入 （2）式,就得到球心命中框心的条件(3)可以看出,给定出手速度 v 和出手高度h ,有两个出手角度 α满足这个条件。
而 （3）式有解的前提为(4)可对 v 求解得(5) 于是对于一定的高度h ,使(5)式等号成立的为最小出手速度 m in v ,它是 h 的减函数.由(3)式计算出的两个出手角度记作1α、2α , 且设1α>2α ,可以看出,1α是 h 和v 的增函数.球入篮框时的入射角度β 可从下式得到Lx dxdy =-=βtan (6)这里的导数由(2)式计算代入后可得（7）于是对应于1α 、2α,有 1β 、2β，设 1β > 2β。
2、问题2)的分析与模型的建立：考虑篮球和篮框的大小时，如图，篮球的直径d, 篮框的直径D 。
显然，即使球心命中球框， 若入射角β太小，球会碰αα222cos 2tan v g x x y -=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--±=22222211tan v gL h H v g gL v α0221222≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--v gL h H v g []222)(h H L h H g v -++-≥Lh H )(2tan tan --=αβ到框的近侧A ，不能入框.由图不难得出β 应满足的 β O球心命中框心且球入框 A D B 的条件。
Dd>βsin (8)将d=24.6cm,D=45.0cm 代入得β>33.1度。
前面计算结果中不满足这个条件的,当然应该去掉。
3、问题3）的分析与模型的建立：球入框时，球心可以偏离框心，偏前的最大距离为图中的x ∆,可以从入射角β 算出。
根据x ∆ 和球心轨迹x 与 α的关系,能够得到出手角度α β允许的最大偏差α∆。
出手速度 v x ∆允许的最大偏差 v ∆可以类似的处理. A D B 由图看出,球入筐时球心可以偏前 (偏后与偏前一样)的最大距离x ∆为（9）为了得到出手角度允许的最大偏差α∆,可以在(3)式中以x L ∆±代替L 重新计算,但是由于x ∆中包含β,从而也包含α所以这种方法不能解析的求出α∆ 。
如果从(2)式出发并将y=H-h 代入,可得（10）对α求导并令x=L ,就有（11）用α∆∆x近似代替左边的导数,即可得到出手角度的偏差α∆与x ∆的如下关系(12)ααααcos sin )tan (22v v d dx gL gL L Lx --==xgL L gL v v ∆--=∆)tan (cos sin 22ααααβsin 22d D x -=∆0tan 2cos222=-+-h H x g v x αα由α∆和已经得到的α也容易计算相对偏差αα∆。
类似的, (10)式对v 求导并令x=L,可得到出手速度允许的最大偏差(13) 由(12),(13)式得v 的相对偏差为（14）五、模型的求解及结果分析问题1)、2）的结果与分析：1.对不同出手高度的最小出手速度和对应的出手角度使(5)式等号成立的 v 为最小出手速度 m in v ,在这个速度下由(3)式可得相应的出手角度0α为(15) 取出手高度 h=1.8~2.1(m),计算结果见下表对不同出手高度的最小出手速度和相应的出手角度由此得出， 对应于最小出手速度和最小出手角度,他们均随着出手高度的增加而略有减小;出手速度一般不要小于8米/秒.2. 对不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度对出手速度v=8.0~9.0(m/s)和出手高度1.8~2.1(m),由(3)式计算出手角度1α、2α，由（7）式计算入射角度1β、2β，结果见下表.xv gL gL v v ∆-=∆22cos sin αα⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=∆ααtan 2gL v v v50.83447.43922.151.4290 7.5186 2.0 52.0181 7.5985 1.9 52.6012 7.6789 1.8 0α (度)m in v (m/s) H(m) gLv 20tan =α对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度根据前面计算，β应大于33.1度才能保证球入框，这里的2β均小于33.1度,不满足(8)式的条件,所以在考虑篮球和篮框大小的实际情况下,出手角度只能是1α.可以发现，速度一定时,出手高度越大,出手角度应越大,但是随着速度的增加,高度对出手角度的影响变小,这种影响在 1度左右;出手高度一定时,速度越大,出手角度也应越大,速度的影响在7~9度。
模型3)的结果与分析：分析出手角度和出手速度的最大偏差。
利用（12）式和上面的1α，计算出手角度最大偏差α∆和αα∆，再利用（13）、（14）式计算出手速度的最大偏差v 和vv∆，只将h=1.8, 2.0(m)的结果列入下表中。
7.6550 8.1663 8.7321 9.347267.1426 67.7974 68.4098 68.9840 34.1327 32.7614 31.3881 30.0127 71.0697 71.2749 71.4700 71.6561 1.8 1.9 2.0 2.1 9.012.6250 12.7753 13.0240 13.358362.1726 63.1884 64.1179 64.9729 37.5049 36.0075 34.5214 33.0444 67.6975 68.0288 68.3367 68.6244 1.8 1.9 2.0 2.1 8.520.9213 20.1431 19.6478 19.369853.8763 55.8206 57.4941 58.961542.7925 40.9188 39.1300 37.401962.4099 63.1174 63.7281 64.26701.8 1.92.0 2.18.02β1β 2α1αh(m) V(m/s)出手角度和出手速度的最大偏差总的看来,允许偏差都相当小.进一步分析可知,速度越大,角度的允许偏差越小,而速度的允许偏差越大,且对角度的要求比对速度的 要求严格;出手速度一定时,高度越大,虽然也是角度的允许偏差越小,速度的允许偏差越大,但这时对角度和速度的要求都相对较低.六、模型的进一步讨论考虑当空气阻力的影响时，出手角度有什么变化。
由于阻力很小,可作适当简化.然后与前面类似的作各种计算.假设只考虑水平方向的阻力,且阻力与速度成正比,设比例系数为 k.这时水平方向的运动由微分方程（16） 描述。
其解为（17）因为阻力不大( k 不超过0.05/每秒),时间t 也很小(约1秒),所以将(17)式中的ekt-做泰勒展开后忽略二阶以上项得到(不考虑竖直方向的阻力,故 y(t)仍与(1)式相同) ，得到（18）0.0075 0.00860.00920.0111 0.0079 0.0062 0.0601 0.0734 0.0832 -0.7100 -0.5411 -0.4463 8.0 8.5 9.0 63.7281 68.3367 71.4700 2.0 0.0065 0.0081 0.0089 0.0122 0.0082 0.0064 0.0528 0.0694 0.0803 -0.7562 -0.5603 -0.4570 8.0 8.5 9.0 62.4099 67.6975 71.0697 1.8 v v∆αα∆ v ∆α∆ V(m/s) α(度) h(m) kv t x ekt--=1cos )(ααcos )0(,0)0(,0v x x x k x===+ 2sin )(2gt t v t y -=α2cos cos )(2t kv t v t x αα-=考虑篮球和篮筐大小时,球心命中筐心的条件由方程组（19）确定.类似于模型1）、2）的求解，即可求出对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度，这里不加详细讨论。
2cos cos 2=--L t kv t v αα0)(2sin 2=---h H gtt v α。