数学建模投篮命中率的数学模型
投篮问题的数学建模
摘要如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。
把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。
综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。
在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。
入射角度一般需要大于33.1。
分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。
关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度问题提出在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。
我们建立数学模型研究以下数学问题：1)先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心命中框心的条件。
对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。
检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；4)考虑在空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件；1问题的分析与模型的建立1.1模型假设①、假设球出手后不考虑自身的旋转；②、不考虑篮球碰篮板；③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定d 篮球直径D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm1.2、问题的分析与模型的建立①问题1)的分析与模型的建立不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。
投篮角度问题
篮球运动员在中距离投篮训练时被告之，为提高投篮命中率，应以45度投射角投球。
请通过建立数学模型说明其中是否有道理。
理论模型建立：假设：对于职业篮球运动员而言，投篮时出手点与篮筐基本持平，且球能精确地落入篮筐。
设：球出手时的初速率为v （m/s ）；球的出手角度为θ（rad ）； 球与篮筐的水平距离为d （m ）； 球的水平位移为x （m ），竖直位移为y （m ）；投篮示意图由此可知：水平速率为cos x v v θ=；竖直速率为sin y v v θ=。
球的运动方程为：212x y x v ty v t gt ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 因此，可知：22tan 2cos gx y v x θθ=⋅-令y=0（且x>0），可解得:sin 2vx gθ=. 由于要保证球能投入篮筐，因此必须满足：sin 2v d g θ=，即：sin 2gd v θ= 由实际经验可知，一个人力气越小，投篮就越费力，球就越难以掌控。
因此，为了提高投篮稳定性，必须使人的用力最小，即：球的出手速度尽量小。
因此，整个问题就归结为如下优化模型：2min ()..02f v s t θπθ=≤<因此，原问题就等价于如下优化模型：21min sin 2..02f s t θπθ=≤<容易求得，问题的解为：4πθ=最优。
结论：当投篮角度为45度时，篮球落入篮筐时的状态是最稳定的，因此，以45度角投篮时，可以提高投篮命中率。
改进：一般化的投篮模型一般情形：球员身高较矮，投篮时球的出手点与篮筐的垂直距离为h （m ），求这种一般情形下运动员的最优投篮角度。
投篮示意图一、投篮模型的建立：由之前的讨论可知，篮球的运动方程如下：22tan 2cos gx y v x θθ=⋅- 由于当篮球的水平位移达到投篮距离d 时，篮球必须入筐，因此抛物线过（d ，h ）点。
由此可知球出手时的速率为：222cos sin 2h gd v d θθ+= ----------------------（*）利用一开始时的结论，为了使投篮尽量稳定，就等价于确定如下优化问题的解：2min ()..02f v s t θπθ=≤<其中：222cos ()sin 2h gd v d θθθ+=二、理论模型的计算： 令d=3.5（m ），g=9.8（m/s^2）；结论：从计算结果可以看出，只要高度差小于2米，最优投篮角度都差不多在45°左右。
geometric distribution例子
geometric distribution例子
几何分布是概率论中一种离散概率分布，用于描述在相同条件下，进行一系列独立的伯努利试验，直到出现首次成功的试验所需的次数。
以下是一个关于几何分布的例子。
假设某人每天去打篮球练习投篮，他的投篮准确率为10%。
我们想知道，他需要多少次投篮才能成功一次。
根据几何分布的概率公式，我们可以得出如下计算方式：
设该人投篮成功的概率为p=0.1，那么他失败的概率为q=1-p=0.9。
首次成功投篮需要的次数X满足几何分布的概率公式：P(X=k) = q^(k-1) * p 现在我们来计算他在一次成功投篮之前需要的投篮次数。
当k=1时，P(X=1) = q^(1-1) * p = 0.1
当k=2时，P(X=2) = q^(2-1) * p = 0.9 * 0.1 = 0.09
以此类推，可以计算出他成功投篮所需的概率分布：
P(X=1) = 0.1
P(X=2) = 0.09
P(X=3) = 0.081
...
我们可以看出，每次投篮成功的概率都在逐渐减小，而需要的投篮次数则在逐渐增加，直到成功为止。
这个例子展示了几何分布在描述成功概率低、独立重复试验的情况下的应用。
在实际生活中，几何分布可以用于描述诸如赢得彩票、找到停车位等事件的概率分布。
通过理解几何分布，我们可以更好地了解这些事件发生的可能性，并做出相应的应对策略。
投篮问题--数学建模论文
摘 要本文针对投篮问题进行研究，根据物理运动学原理分析投篮方式的关键因素及特点，建立层次模型对增加观赏度和个人表现力进行分析。
问题一要求分析罚球、两分球及三分球投篮方式的特点及各自提高命中率的关键因素，并为投篮训练和竞赛策略提供建议。
在篮球投射出去时是做斜抛运动，结合运动学原理来分析三种投篮方式。
投射罚球和两分球时距离较近，则忽略空气阻力的影响，得到运动轨迹方程如下：222tan 2cos gy x x v αα=⋅- 对于关键因素和特点可用篮球飞行过程中的运行区域的面积表示命中率，在选手最小速度运球的情况下对几个变量求偏导数，根据系数大小找出前两个关键因素，其中对于三分球采用入射角度限制的方法进行分析，得出以下结论：二分球的特点是定点投篮，关键因素有出手高度、出手速度、出手角度度；罚球的特点是投射距离固定，关键因素有出手速度和出手角度；三分球的特点是选择跳投的方式，关键因素有出手速度、出手角度和投篮距离。
综合对三种投篮方式的分析，建议队员投射前应适当的调整投射距离的位置和出手角度这主要跟平时的训练有关，在训练时尽可能的控制手腕力量，加强对力量控制方面的练习。
问题二要求分析新规定能否增加篮球竞赛的观赏程度以及体现球员的个人表现力。
分析规则修改前后的数据找出影响观赏度和个人表现力的重要指标，利用层次分析法确定权重，找出影响的最主要指标，为了提高指标体系的可靠性，利用模糊综合评价模型进行进一步的完善，得知助攻、失误和个人能力是决定增加观赏度和提高个人表现力的关键因素。
关键词 命中率 控制变量 运动学 AHP -模糊综合评价模型一、问题背景与重述1.1问题背景投篮是在比赛中，队员运用各种专门、合理的动作将球投进对方球篮的方法。
投篮是篮球运动中一项关键性技术，是唯一的得分手段。
进攻队运用各种技术、战术的目的，都是为了创造更多更好的投篮机会并力求投中得分；防守队积极防御都是为了阻挠对方投篮得分。
随着篮球运动的发展，运动员身高、身体素质及技术水平的提高，促使投篮技术不断发展：出手部位由低到高，出手速度由慢到快，投篮方式越来越多，命中率不断提高。
投篮问题
A题论文摘要篮球运动中，投篮是一种重要的得分方式，共分为，罚篮，两分球，三分球。
其中，“三分球”是指在三分线以外投篮且命中的进球。
由于距离远，受到空气阻力影响，通常采用跳投技术，要求起跳时脚要在三分线以外，不可踩三分线，落地时可以在三分线以内，也可在三分线以外。
“两分球”是在三分线以内投篮且命中的进球。
罚篮是在篮球比赛中对犯规球员的处罚。
罚篮是在罚球圈进行投篮，距离较近，一般为了保证命中率会采用原地定点投篮，不采用跳投技术。
本文运用运动学，力学原理对投篮进行了分析，并得出影响投篮的关键所在，在接下来的训练中着重训练。
在第一个模型中，由于罚篮位置是固定的，罚篮的命中率主要由球员的身高，出手速度，出手角度决定。
通过讨论，取其中两个变量为定值，观察该变量对于命中率的影响。
通过比较不同的相对误差的出不同变量对命中率的影响一般不同。
通过分析，由于罚篮的位置固定故出手角度相对于出手速度来说更为重要。
第二个模型中，由于投篮位置较多，故影响命中率的因素有，出手位置与篮筐的距离，出手位置的高度，出手角度，出手速度，共四个变量，沿用第一个模型中的方法逐个讨论变量对命中率的影响。
经过分析，可知命中率与投篮的远近，高低有关，此时投篮的出手速度就相对于出手角度更为重要。
第三个模型，三分球的命中，由于出手位置相对于两分球更加的固定，出手距离的影响近乎可以忽略。
由于篮球在空中滞留时间相对较长，球速较快，故篮球在空中时所受的空气阻力不能忽略，通过建立微分方程求解可得到三分球在空中的运行轨迹，而影响三分球的因素就只剩下出手速度，以及出手的角度。
经过分析可知，规则改变后，不仅是增加了比赛的观赏性，而且也能更好的体现运动员技术水平。
关键字：出投角度、高度、速度、命中率、允许的最大偏差。
问题重述篮球运动中，投篮是一种重要的得分方式，共分为，罚篮，两分球，三分球。
其中，“三分球”是指在三分线以外投篮且命中的进球。
由于距离远，受到空气阻力影响，通常采用跳投技术，要求起跳时脚要在三分线以外，不可踩三分线，落地时可以在三分线以内，也可在三分线以外。
有关投篮命中率的理论与应用模型
有关投篮命中率的理论与应用模型摘要本模型为分析三种投篮方式命中率的提高方式，从最简单的罚篮模型出发，且先在理想情况下进行讨论，将变量控制为出射角度、水平距离、出手高度三的个因素。
考虑到其中较容易训练的是出射角度，球员的出手高度由身体情况也可基本确定，出手力度却在不同状态下变化较大，模型要考虑的便具体为根据球员情况寻找一最佳出射角度，使出手速度可变范围较大。
再将投球位置推广至平面任意一点寻找该点最佳出射角，并分析直接瞄准篮筐与打板的胜算，找出最佳投篮角度范围，并与实际比赛统计数据比较加以验证。
最后根据模型中投篮方案，考虑场地变化对队员得分的影响，并由比赛数据找到其他能够影响比赛观赏性与球员表现力的因素。
关键词投篮命中率多因素规划场地规则改变一、问题重述投篮作为篮球运动中的一项关键性技术，是比赛中得分的重要手段。
投篮的方式主要分为三种，即“罚篮”、“两分球”和“三分球”，为了能够提高投篮的命中率，我们必须对各种投篮方式的相关因素进行分析，以便为投篮训练及竞赛策略提出科学的建议。
题中给出了标准的篮球场地以及最新的篮球规则变更，问题是需要我们通过分析给出提高各种投篮方式下提高投篮命中率的建议，并分析最新篮球规则的更改对竞赛观赏度和球员个人表现力的影响。
二、构建模型1.罚篮模型对于投篮的三种方式来说，罚篮时运动员处于固定位置、不受防守队员的干扰、投篮过程稳定，而其他两种方式皆可看作是在罚篮基础上的推广和改进，故首先选择罚篮为基本模型进行分析。
构建模型之前有以下假设：①运动员在投篮时发挥稳定，不受偶然因素的影响；②球的飞行过程暂时不计空气阻力，不考虑球的旋转，即将其视为理想的抛体运动；③假设球心的轨迹与篮框中心共面。
符号规定：L1——罚球点与篮框左边缘A的水平距离L2——罚球点与篮框右边缘B的水平距离d——篮框的直径H——篮框的竖直高度v0——球的初速度θ——v0与水平方向的夹角h——球的出手高度r——篮球的半径R——三分线的半径根据题意及相关数据，如图1所示，可知L与H为常量（均以改变后的规则为标准）：L1=4.375m，L2=4.825m，d=0.450m，H=3.050m，r=0.123m，球心轨迹方程由v0、θ和h确定。
数学建模实例-投篮
问题的提出
• 篮球运动员在中距离投篮训练时
被告之: 为提高投篮命中率, 应
以 投球 . 试从数学的角度分
析其合理性.
模型假设
• 1) 忽略空气阻力; • 2) 只考虑不接触篮板投篮的情况; • 3) 防守队员的防守不影响投篮的命中率; • 4) 运动员投篮的水平距离S<10m; • 5) 投篮的运动曲线和篮圈中心在同一个平面内.
设运动方程
过点
,则 :
模型应用
THE END
谢 谢 !
• 于是, 曲线OP1方程为:
曲线OP2方程为:
2) 直线OP1, OP2的方程分别为:
3) 达式可以看出, 当 越大,
越大. 但事实上由于投篮初速度v只可能在某
一范围内变化, 所以
内变化. 为求 达到最大, 把
也只能在某一范围
在所给定的范围内使 化为初速度v的函数求解.
模型建立
• 如图, 设P1P2为篮圈横截面, 篮圈高为H0, 半径为
R, 投篮出手点到篮圈中心水平距离为S0, 与地
面距离为h0. 则投篮角度问题就转化为求一个角
度(范围), 使阴影部分面积最大, 即:
1) 确定曲线OP1, OP2的运动方程. 由动力学知识可
知其方程为一般性运动轨道方程, 方程式为:
NBA分析与评价的数学模型
NBA分析与评价的数学模型在NBA中，数学模型在分析和评价球队、球员和比赛方面起到了重要的作用。
这些数学模型可以帮助我们深入了解NBA的比赛规律、球员的表现以及球队的实力，同时可以为球队和球员提供战术和训练建议。
以下是几个常见的NBA分析与评价的数学模型。
1.回归分析模型回归分析模型可以用来预测球员或球队的表现。
通过收集和整理大量的数据，例如场均得分、场均篮板、场均助攻等，可以构建一个回归模型来预测球员的表现。
该模型可以提供球员在不同比赛中的得分、篮板和助攻等数据，帮助球队做出相关的战术调整。
此外，回归分析模型还可以用来预测球队的胜率，包括使用场均得分、场均失分、场均助攻、主客场胜率等数据来预测球队赛季的胜率。
2.聚类分析模型聚类分析模型可以帮助我们将球队或球员分为不同的类别，以了解其特点和实力。
聚类分析模型利用各种统计指标，例如场均得分、场均篮板、场均助攻等来将球队或球员进行聚类。
通过聚类分析，我们可以发现具有相似特征的球队或球员，从而为球队制定合适的战术和球员选择。
3.网络分析模型网络分析模型可以用来分析球队或球员之间的关系和影响力。
该模型利用节点和边来表示球队或球员之间的关系，例如球员之间的传球关系、球队之间的比赛胜负等，通过计算节点之间的度中心性、接近中心性等指标，可以帮助我们了解球员或球队在比赛中的作用和影响力。
此外，网络分析模型还可以用来预测球队或球员之间的比赛结果，从而为球队提供更好的战术决策。
4.优化模型优化模型可以帮助球队在有限资源和约束条件下做出最佳的决策。
例如，通过建立一个线性规划模型，可以将球队的得分最大化或失分最小化，同时满足球队的篮板、助攻等要求。
这样的模型可以帮助球队制定最佳的战术和阵容安排，从而提高球队的胜率和表现。
总结起来，NBA的分析与评价的数学模型可以帮助我们更好地了解和预测球队、球员和比赛的情况。
这些数学模型可以提供准确的数据分析和决策支持，为球队和球员提供更好的战术和训练建议，从而提升整体实力和竞争力。
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数学建模投篮命中率的数学模型Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】投篮命中率的数学模型摘要随着篮球运动的普及，篮球比赛中紧张、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。
根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。
本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论。
首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识及运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进行了深入分析。
其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件范围，得出模型的结果。
在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算及分析过程，并得出最终结果。
本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力及出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。
最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的范围内。
出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。
在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心30度、45度、90度（罚球线）位置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。
当运动员所站的位置改变时，即投篮出手点到篮框的距离改变时，出手角度和出手速度的增加或减少都影响了投篮的命中率。
关键词：命中率、出手角度、出手速度、投篮出手点、篮框中心、MathType 数学软件一、问题重述在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定性作用。
而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
第一问，在各种投篮方式中，罚球投篮是最简单也是很重要的投篮方式。
这一问只考虑罚球投篮这一简化模型，根据题目已给出的假设条件，假设罚球投篮不考虑球出手后球自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即只考虑空心球，在此情况下，站在罚球线上怎样罚球才能使命中率高；第二问，考虑篮球擦板后进篮的情况，即篮球与篮板弹性碰撞的情况下，讨论在限制区边线上分别距篮框中心30度、45度、90度这三种不同（罚球线）位置上出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。
二、问题分析篮球是一项技术综合性较强的运动项目，需要队员们的共同努力与协作。
但是，个人的投篮得分也十分重要。
就罚球投篮而言，这是最简单但也很重要的投篮方式。
投篮的关键是向上举球和起跳动作协调一致，同时保持篮球在空中最高点被迅速稳定地投出⑴。
投球的过程可以认为是一个抛物的过程，球飞行的弧线可看作是一条抛物线。
据科学和实践证明，球的出手角度影响着球的飞行路线，球的飞行路线一般有低弧线、中弧线和高弧线三种，一般以中弧线为最佳⑵。
过去的种种实验表明，若投篮的抛物线过高，那么球飞行的时间会过长，路程也大，受空气的阻力和风力的影响就大，这样不宜控制球的飞行方向，从而影响到投篮的命中率⑶。
若篮球飞行的抛物线太低，那么球的入射角较小，在这种情况下也难将篮球投中。
为了在比赛中更好地取胜，就必须有效地提高投篮命中率，而影响投篮命中率的两个最为关键的因素就是投球时的出手角度和出手速度。
因此，考虑合适的出手角度和出手速度是解决问题的最大关键⑷。
在这里，本文根据题目要求依次研究如下问题：第一问:在不考虑球出手后球自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，根据以下分类具体研究如何提高罚球命中率1.只考虑篮框的大小，忽略空气阻力的影响；2.考虑篮球和篮框的大小，同样忽略空气阻力的影响；3.考虑出手角度和出手速度的最大偏差；4.考虑有空气阻力影响的情况。
第二问:考虑篮球擦板后进篮的情况,此时忽略碰撞时的能量损耗，分别讨论以下三种情况时出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系1.在限制区边线上距篮框中心30度位置；2.在限制区边线上距篮框中心45度位置；3.在限制区边线上距篮框中心90度位置。
三、模型假设假设一：运动员有良好的心理素质⑸，防守队员的防守不影响投篮的命中率；假设二：运动员掌握熟练的投篮技术，并能根据实际需要控制球的出手角度与相应出手速度，准确判断出手点与篮框中心的水平距离；假设三: 投球的运动曲线和篮圈中心在同一平面内；假设四：在考虑篮球擦板进篮时，篮球与球板的碰撞是完全弹性碰撞⑹，没有能量损失；假设五：出手后，篮球在空中的旋转不影响投篮效果；假设六：在第一问中不考虑球碰篮板或篮框的情况；假设七：在第二问中忽略空气阻力的影响。
四、符号说明s0:投篮出手点到篮框中心水平距离,单位为米（m），这里s=H0:篮框的高度, 单位为米（m），这里H=R:篮框半径, 单位为米（m），这里R=D:篮框直径,单位为米（m），这里D=d:篮球直径,单位为米（m）h:篮球运动员出手的高度, 单位为米（m）v:投篮出手速度, 单位为米/秒（m/s）g：重力加速度，单位为米/秒2，这里取g=s2θ:投篮出手角度,单位为度(°):篮球入框时的入射角,单位为度(°)x：球入篮框时球心可以偏离（前后）的最大距离，单位为米（m）A(θ)：入篮篮球空中运行轨迹位于图中两曲线之间区域，单位为平方米（㎡）L：限制区底边边长的一半，单位为米（m），这里L=五、模型建立与求解对问题一的模型求解：1.只考虑篮框的大小,忽略空气阻力的影响如图，设P1P2为篮框横截面，篮框高为H，半径为R投篮出手点到篮框中心水平距离为s0，出手高度为h投篮出手角度为θ，速度为v，入篮篮球空中运行轨迹位于图中两曲线之间区域，其面积为A(θ)建立相应的数学模型及求解：显然，投球入篮与否与距离s、出手角度θ、出手速度v、篮框高、半径等因素有关，为了综合考虑这些因素，我们用入篮篮球的空中运行区域的大小来刻画投篮的命中程度。
于是，该问题转化为求一个角度θ0(h, s)，能使运行区域面积A(θ)最大，即O θh 0 H 0S 0第一步：由运动学知弧1OP 、2OP 的方程为斜上抛运动轨迹方程，方程式为：由于1OP 过点1000(,)P s R H h --，则有： 则1OP 的方程为同理，2OP 得方程为 另外，直线P 1P 2的方程为 第二步，求运动区域面积A(θ) 运用定积分求面积，得 第三步，求A(θ)得极值点：由A(θ)的表达式可以看出，当tan θ越大（即θ越大，θ<900），A(θ)越大。
但事实上由于投篮出速度只可能在某一范围内变化，所以tan θ只可能在某一范围内变化。
为求tan θ在所给定的范围内使A(θ)达到最大，我们把A 化为初速度v 的函数来求极大值。
回到运动方程 222tan 2cos gy x x v θθ=-设曲线过点0000(,),[,]s H h s s R s R -∈-+，代入方程得： 从而有这是关于tan θ的一元二次方程，取其最小的根： 其中，2v 满足 4222002()0v v H h g g s ---≥ 又因为所以，tan θ是2v 的减函数，当2v 达到极小时，tan θ达到极大，由于解得 则有 其中从上式可以看出，0()s θ是s 的减函数，由于00[,]s s R s R ∈-+ 所以由题已知H 0=（米），R=（米）， s 0=（米）， 假定h 0=(米)把H 0、s 0、R 的数据代入计算，得角度、速度的范围： 2.考虑篮球和篮框的大小，同样忽略空气阻力的影响d 大小的影响，如果入射角太小，则球会碰到篮框导致球不能入框（见图2）。
利用三角函数关系容易得出球心命中框心且球入框的条件为Dd >βsin 即在本题给定的篮球直径d 和篮框直径D 数据下，容易算出球心命中框心且球入框的入射角> 。
此外，通过简单的计算，可以得出球心前后偏离框心的最大距离x 满足由已知篮框直径D=（米），得3.考虑出手角度和出手速度的最大偏差AA DβO图2x ∆记出手角度和出手速度的允许的最大偏差的为和v ，因为出手角度和出手速度的最大偏差可以看作当罚球点到篮框的水平方向距离L 变为Lx 引起的偏差，此时篮框的高度是不发生变化的，于是式（2）可以用方程（*）代替。
在式（*）中假设出手速度v 不变，可以看作是x 的函数，将式（*）对x 求微分，并令x=L 代入，有用和x 代替d 和dx,得到出手角度允许的最大偏差与x 的关系类似地，将式（*）中的出手速度v 只看成是x 的函数，将式（*）对x 求微分，并令x=L 代入，有得到出手速度的允许的最大偏差 v 与x 的关系 4. 考虑有空气阻力影响的情况这里只考虑水平方向的阻力，不考虑垂直方向的阻力，因为投篮时对球运动的阻力主要体现在水平方向上。
通常水平方向的阻力与速度成正比，如果设比例系数为k, 则篮球在水平方向上的运动可以由如下微分方程描述： 这是常系数线性微分方程，用高等数学中的特征方程法可以求出它的解 于是得到如下球的运动参数方程：注意到通常罚球时阻力并不大（阻力系数一般不超过秒-1），而罚球后球的运动时间也很短（大约1秒左右），因此，我们可以把运动方程（16）中的e –kt 在t=0处做泰勒展开并略去t 的二次幂以上的项，就可以得到更为简洁的运动方程 将此式与式（1）相比，可以看到阻力对x(t)的影响因子为(1-kt/2),因为k=,t1，因此有阻力对命中率的影响约为23%。
此外，如果不考虑篮球和篮框的大小，就有球心命中框心的条件为 5.计算结果与分析5．1 以出手点高0h =为例,篮球运动员投空心篮时,利用公式(26),可以求得在不同的落球点的相应出手角度范围如下：投空心篮时落球点与出手角度的情况统计表D图35．2 以出手点高为0h =,运动员投空心篮时,可以利用公式(26)在不同的落球点的相应出手角度范围如下:投空心篮时落球点与出手角度的情况统计表因此，从表中可以看出，当投篮的出手点高0h =，在罚线线投球的最佳出手角度是49︒，这与现实中的投篮结果差异很小⑺。
对问题二的求解：1．针对在限制区边线上距篮框中心90度（罚球线）位置上的投篮现在假设与篮球板背面的那边也有一个“篮框”，这时根据假设，补出篮板背面的部分，篮球运动的曲线也构成一条抛物线，这种情况考虑为这条抛物线也通过篮板后面的那个篮框。