第0章 数学模型与数学建模
h(θ)=f(θ)－g(θ)，则有 － ，
h(0)＜0，h(π/2)＞0， ＜ ， ＞ ， 上连续， 因 h(θ) 在 [0, π/2]上连续，根据闭区间 上连续 上连续函数的介值定理，存在θ 上连续函数的介值定理，存在 0∈[0,π/2]， ， 使 h(θ0)=f(θ0)－g(θ0)=0 － f(θ0) = g(θ0) 因对任意θ有 因对任意 有, f(θ)g(θ)=0 f(θ0)g(θ0)=0 f(θ0)=g(θ0)=0
第0章 章 数学模型与数学建模
----从现实世界谈起 从现实世界谈起
一、引例 1. 世界的末日？ 世界的末日？ 当一个直径约为1000米的小行星正好与南极洲大 米 当一个直径约为 陆相撞 ,是否会产生灾难性的影响？（99） 是否会产生灾难性的影响？（ ） 是否会产生灾难性的影响？（ 2. 如何控制喷泉的高度？ 如何控制喷泉的高度？ 如何智能控制广场中央的喷泉高度， 如何智能控制广场中央的喷泉高度，以避免 水雾浸湿游客的衣衫？（ ？（02） 水雾浸湿游客的衣衫？（ ）
固定汇率和浮动汇率的货币动力学； 固定汇率和浮动汇率的货币动力学； 金融衍生品定价Black-Scholes公式； 公式； 金融衍生品定价 公式 考虑技术进步的生产函数……. 考虑技术进步的生产函数
数学模型是沟通现实世界 与数学世界的理想桥梁。 与数学世界的理想桥梁。
五、建模范例 作案时间的确定 一个较热的物体置于室温为180c的房间 一个较热的物体置于室温为 的房间 该物体最初的温度是60 ， 分钟以后 内，该物体最初的温度是 0c，3分钟以后 降到50 想知道它的温度降到 想知道它的温度降到30 降到 0c .想知道它的温度降到 0c 需要多 少时间？ 分钟以后它的温度是多少 分钟以后它的温度是多少？ 少时间？10分钟以后它的温度是多少？ 牛顿冷却（加热）定律：将温度为 的 牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的 的介质中时， 的变 物体放入处于常温 m 的介质中时，T的变 化速率正比于T与周围介质的温度差 与周围介质的温度差。 化速率正比于 与周围介质的温度差。
分析：假设房间足够大， 分析：假设房间足够大，放入温度较低或 较高的物体时，室内温度基本不受影响， 较高的物体时，室内温度基本不受影响，即 室温分布均衡,保持为m， 室温分布均衡,保持为 ，采用牛顿冷却定律 是一个相当好的近似。 是一个相当好的近似。 建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 建立模型： T(t)，t≥0， ， ， “T的变化速率正比于 与周围介质的温度差” 的变化速率正比于T与周围介质的温度差 的变化速率正比于 与周围介质的温度差” 翻译为
21世纪高端人才应具备的数学素质与能力 世纪高端人才应具备的数学素质与能力 使 用 抽 象 思 维 能 力 逻 辑 推 理 能 力 数 学 运 算 能 力 空 间 想 象 能 力 数 学 建 模 能 力 数 据 处 理 能 力 数 学 软 件 能 力 更 新 数 学 知 识 能 力
三、数学模型与数学建模初略介绍 数学模型( ):重结果 数学模型(Mathematical Model):重结果； ):重结果； 数学建模(Mathematical Modeling):重过程 重过程. 数学建模 重过程 模型:所研究的客观事物有关属性的模拟, 模型:所研究的客观事物有关属性的模拟, 具有事物中感兴趣的主要性质。 具有事物中感兴趣的主要性质。 * 对实体本身的模拟 飞机形状进行模拟的模型飞机； 如:飞机形状进行模拟的模型飞机；
1 16 ln t T(t)=18+42 e 3 21
, t ≥0.
1 16 ln ×10 结果 ：T(10)=18+42e 3 21 =25.870，
该物体温度降至300c 需要 需要8.17分钟 分钟. 该物体温度降至 分钟
稳定的椅子 将一张四条腿一样长的方桌放在不平的 地面上, 地面上 问是否总能设法使它的四条腿同时 着地？ 着地？ 假设 *1 地面为连续曲面 （在Oxyz坐标系中，地 地面为连续曲面.（ 坐标系中， 坐标系中 表示） 面可用一个连续二元函数 z=z(x, y)表示） 表示 *2 相对于地面的弯曲程度 方桌的腿足够长 相对于地面的弯曲程度, 方桌的腿足够长. *3 将与地面的接触看成几何上的点接触 将与地面的接触看成几何上的点接触.
诺贝尔经济学奖获得者建立的数学 四、 诺贝尔经济学奖获得者建立的数学 模型 人类时间价格模型； 人类时间价格模型； 教师与毕业生的增长模型； 教师与毕业生的增长模型； 房屋出售问题模型； 房屋出售问题模型； 最优消费和组合投资问题； 最优消费和组合投资问题； Selton 连锁店博弈模型； 连锁店博弈模型； 平稳人口模型； 平稳人口模型；
问题的关键 *圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40 圆桶至多能承受多大的冲撞速度？ 冲撞速度 英尺/ 英尺/秒); *圆桶和海底碰撞时的速度有多大？ 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？ 新问题：求这一种桶沉入 英尺的海 新问题：求这一种桶沉入300英尺的海 底时的末速度. 原问题是什么? 底时的末速度.（原问题是什么?）
数学模型(E.A.Bendar 定义 ： 定义)： 数学模型 关于部分现实世界为一定目的而做的抽 简化的数学结构。 象、简化的数学结构。 数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 简化而本质的描述 是用数学符号、数学公式、程序、 是用数学符号、数学公式、程序、图、 表等刻画客观事物的本质属性与内在联系 的理想化表述. 的理想化表述
建模 绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心O点 绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心 点 旋转，转动角度记为θ. 旋转，转动角度记为
B A′ θ
C C′
O
A
D
引进函数变量： 引进函数变量： f(θ) — A、C 两腿到地面的距离之和； 、 两腿到地面的距离之和； g(θ) — B、D 两腿到地面的距离之和； 、 两腿到地面的距离之和； 由假设* 都是连续函数。 由假设*1，f(θ)、g(θ)都是连续函数。 、 都是连续函数 由*2，方桌腿足够长，至少有三条腿总能 ，方桌腿足够长， 同时着地， 同时着地，故有 f(θ) g(θ)=0，θ∈[0，2π] ， ∈ ， 不妨设 f(0)=0、g(0)＞0. 、 ＞
可利用的数据条件： 可利用的数据条件： W=527.327（磅） 圆桶的总重量 （ 圆桶受到的浮力 B =470.327（磅） （ 圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08 ， = 可利用牛顿第二定律， 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位 移满足的微分方程： 移满足的微分方程：
现 实 世 界
建立数学模型 翻译为实际解答
数 学 世报、 实际解答 如对现实对象的分析、预报、 如对现实对象的分析 决策、控制等结果。 决策、控制等结果。 始于现实世界并终于现实世界
二、 计算机技术与数学的应用 世纪后半叶， 在20世纪后半叶，计算机与信息技术突飞猛进的 世纪后半叶 高速发展，给予处理解决的复杂问题（数学模型） 高速发展，给予处理解决的复杂问题（数学模型） 以强有力的支持工具。 以强有力的支持工具。给了建立数学模型这一技术 以极大的推动，不仅重新焕发了数学建模的活力， 以极大的推动，不仅重新焕发了数学建模的活力， 更是如虎添翼地显示了数学建模的强大威力。 更是如虎添翼地显示了数学建模的强大威力。 通过数学建模也极大地扩大了数学的应用领域。 通过数学建模也极大地扩大了数学的应用领域。 甚至在抵押贷款和商业谈判等日常生活中都要用到 数学建模的思想和方法。 数学建模的思想和方法。
对于四条腿等长， 结论 对于四条腿等长，四脚呈正方形 的桌子，在光滑地面上做原地旋转， 的桌子，在光滑地面上做原地旋转，在不 大于π/2的角度内 必能放平. 的角度内， 大于 的角度内，必能放平 思考题：任意矩形的桌子会怎样？ 思考题：任意矩形的桌子会怎样？
一场笔墨官司（放射性废物的处理问题） 一场笔墨官司（放射性废物的处理问题） 美国原子能委员会（现为核管理委员会） 美国原子能委员会（现为核管理委员会） 处理浓缩放射性废物， 处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封 性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英 性能很好的圆桶中，然后扔到水深 英 尺的海里.他们这种做法安全 安全吗 尺的海里.他们这种做法安全吗？ 联想： 联想：安全 、危险 分析： 分析：可从各个角度去分析造成危险的 因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能. 因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能.
3. 怎样安排性急的游客？ 怎样安排性急的游客？ 在大型游乐场里如何安排游客, 让他们乐意等待， 在大型游乐场里如何安排游客 让他们乐意等待， 乐意花钱？ 乐意花钱？ 4. 人的指纹是否惟一？ 人的指纹是否惟一？ 人们普遍相信每个人的指纹都是不同的. 人们普遍相信每个人的指纹都是不同的 请建 立并分析一个模型， 立并分析一个模型，来评估这种说法是正确的 可能性, 可能性 然后把你们在这个问题中发现的指纹 识别错误率与DNA识别错误率相比较 (04) 识别错误率相比较. 识别错误率与 识别错误率相比较
罗宾*巴德与迈克尔*帕金（ 罗宾*巴德与迈克尔*帕金（国际最流行 的《宏观经济学原理》和《微观经济学原 宏观经济学原理》 编者） 理》编者）论述经济学含义和研究方法时 指出： 指出： “经济科学的任务就是找到与我们在现实中的 经济科学的任务就是找到与我们在现实中的 观察相一致， 观察相一致，并能够帮助我们理解现实世界的 实证性论述，同时将这些陈述分类编目。 实证性论述，同时将这些陈述分类编目。这是 一项庞大的任务，其中包括三大步骤：观察与 一项庞大的任务，其中包括三大步骤： 测量、建立模型、检验模型” 测量、建立模型、检验模型”.
* 对实体某些属性的模拟 对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机； 如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机； * 对实体某些属性的抽象 如:一张地质图是某地区地貌情况的抽象 任何一个模型仅为一个真实系统某一 方面的理想化，决不是真实系统的重现 方面的理想化，决不是真实系统的重现.
5. 大夫的决策问题 状态（可能） 状态（可能） 治愈 等待 行动 人能控制） （人能控制）治疗 此模型(数学结构 表达了大夫能做什么 此模型 数学结构)表达了大夫能做什么 数学结构 表达了大夫能做什么, 可能出现的结果. 可能出现的结果 瘫痪 死亡
数学建模课程教学大纲(可编辑修改word版)
《数学建模》课程教学大纲英文名称：Mathematical Modeling课程编号：适用专业：理工科类（专科）总学时数：30学分：2一、课程的性质、目的与任务本课程是联系数学与实际的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介。
通过本课程的教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决实际问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力，提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力。
二、课程教学内容及要求第一章建立数学模型（2 学时）1、教学内容数学模型与数学建模、数学建模的基本方法和步骤、数学模型的特点和分类2、重点、难点重点：数学模型与数学建模难点：数学建模的基本方法和步骤3、教学基本要求（1）了解数学模型与数学建模过程。
（2）了解数学建模竞赛规程。
（3）掌握几个简单的智力问题模型。
第二章初等模型（2 学时）1、教学内容双层玻璃窗的功效、动物的身长与体重2、重点、难点重点：初等方法建模的思想与方法难点：初等方法建模的思想与方法3、教学基本要求了解比例模型及其应用。
第三章简单的优化模型（2 学时）1、教学内容存贮模型、最优价格2、重点、难点重点：存贮模型难点：存贮模型教学基本要求（1）掌握利用导数、微分方法建模的思想方法。
（2）能解决简单的经济批量问题和连续问题模型。
第四章数学规划模型（4 学时）1、教学内容线性规划建模、奶制品的生产与销售、接力队的选拔与选课策略、钢管和易拉罐下料2、重点、难点重点：线性规划方法建模难点：线性规划方法建模、Lindo 软件的使用。
3、教学基本要求（1）掌握线性规划建模方法。
（2）了解对偶单纯形的经济意义。
（3）了解 Lindo 和Lingo 数学软件在解决规划问题中的作用。
第五章微分方程模型（4 学时）1、教学内容传染病模型、药物在体内的分布与排除、人口的预测和控制。
2、重点、难点重点：微分方程方法建模难点：微分方程方法建模。
3、教学基本要求（1）掌握微分方程建模的基本方法。
数学模型第五版
数学建模的能力
想象力
洞察力
判断力
比较广博的数学知识
深入实际调查研究的决心和能力
创新意识
• 如何学习数学建模
学别人的模型学习 分析、改进、推广
做自己的模型实际题目;参加竞赛
学别人的模型
对于案例——椅子能在不平的地面上放稳吗; 在学懂的基础上可以作哪些研究
1 模型假设中哪些条件是本质的, 哪些是非本质的 地面高度连续 是 椅子至少三只脚着地 是
用 x 表示船速;y 表示水速，列出方程：
(x y)30750
x=20
(x y)50750 求解 y =5
答：船速为20km/h
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设船速 水速为常数 • 用符号表示有关量x, y分别表示船速和水速 • 用物理定律匀速运动的距离等于速度乘以
时间列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答x=20, y=5
章 13 建模示例之一 包饺子中的数学
14 建模示例之二 路障间距的设计
建
立 数 学
模
15 建模示例之三 椅子能在不平的 地面上放稳吗
16 数学建模的基本方法和步骤 17 数学模型的特点和分类
型 18 怎样学习数学建模——学习课程
和参加竞赛
1 1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具 照片、飞机、火箭模型… ~ 实物模型
结论：在模型假设条件下;将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点
1 6 数学建模的基本方法和步骤
数学建模的基本方法
对客观事物特性的认识
机理分析
内部机理的数量规律
白箱
测试分析
对量测数据的统计分析 与数据拟合最好的模型
数学模型姜启源 ppt课件
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
数学建模介绍
数学建模介绍1.1 数学模型及其分类数学建模作为用数学方法解决问题的第一步，它与数学本身有着同样悠久的历史。
一个羊倌看着他的羊群进入羊圈，为了确信他的羊没有丢失，他在每只羊进入羊圈时，则在旁边放一颗小石子，如果每天羊全部入圈而他那堆小石子刚好全部放完，则表示他的羊和以前一样多。
究竟羊倌数的是石子还是羊，那是毫无区别的，因为羊的数目同石子的数目彼此相等。
这实际上就使石子与羊“联系”起来，建立了一个使石子与羊一一对应的数学模型。
（1）什么是数学模型人们在认识研究现实世界里的客观对象时，常常不是直接面对那个对象的原形，有些是不方便，有些甚至是不可能直接面对原形，因此，常常设计、构造它的各种各样的模型。
如各式各样的玩具模型、展览厅里的三峡大坝模型、化学上的分子结构模型等。
这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原形替代物，集中反映了原形中人们需要的那一部分特征，因而有利于人们对客观对象的认识。
数学模型也是反映客观对象特征的，只不过它刻画的是事物在数量方面的特征或数学结构及其变化规律。
数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。
建立数学模型的过程称为数学建模。
(2) 数学模型的重要作用进入20世纪以来，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，作为数学的应用，数学建模也越来越受到人们的重视。
在一般工程技术领域，数学模型仍是工程技术人员定量研究有关工程技术问题的重要工具；而随着数学与其他学科领域诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生；计算机的发展给数学及作为数学应用的数学建模带来了前所未有的机遇和挑战。
计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式，极大地提高了人们的计算能力、搜索和分析海量数据和信息的能力。
数学建模概述
• 在国民经济中的数学模型：
产品的设计与制造 系统的控制与优化 质量控制 预报与决策
• 数学模型和数学技术 ：
资源环境 其它：气象预报等
在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具 数学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术。 高技术本质上是一种数学技术。
课程简介
1 现状： •数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代 初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十 年的历史瞬间辐射至全球大部分国家和地区。 •80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学 建模课程，随着数学建模教学活动（包括数学 建模课程、数学建模竞赛(1992,每年9月)和数 学（建模）试验课程等）的开展，这门课越来 越受到重视。
从智力游戏到数学建模 ——人、狗、鸡、米过河问题
问题： 某人要带狗、鸡、米过河，但小船除需 要人划外，最多只能载一物过河，而当人不 在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如 何过河才能将狗、鸡和米都带过河。
第1章 数学建模概述
1.1 数学建模介绍 1.2 数学建模的一般步骤 1.3 数学建模示例
根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模（Mathematical Modeling)：
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 现实对象的 信息
证验 解释 表述
数学模型
求 解
（ 演 绎 ）
（归纳）
现实对象的 解答
数学模型的 解答
现实对象与数学模型的关系
§1.3 数学建模示例
我们通过一些最简单的实例来说明微分方程建 模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分 方程是十分常用的数学工具之一。
我们来建立如下的一些问题的模型：
数学模型与数学建模
数学模型与数学建模数学模型是对实际问题的一种抽象表示，通过数学语言和符号来描述问题的特征、关系和规律。
数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程，它依靠数学模型来分析和研究问题，得到问题的解决方案或优化结果。
数学模型与数学建模在各个领域都得到了广泛应用，成为解决实际问题的强有力工具。
一、数学模型的分类数学模型分为确定性模型和随机模型两大类。
确定性模型是指模型中的所有参数和变量的取值都是确定的，不存在随机性；随机模型则是指模型中的某些参数或变量的取值是随机的，存在一定的概率分布特性。
1.1 确定性模型确定性模型是最常见的模型类型，它包括数学分析模型、代数模型、几何模型等。
确定性模型主要用于描述具有确定关系的事物，其中最典型的就是几何模型。
例如，平面几何中的三角形和圆形可以用确定性模型来描述其属性、关系和性质，进一步进行几何推理和证明。
1.2 随机模型随机模型是描述随机现象的数学模型，其中包括概率模型、统计模型、随机过程模型等。
随机模型常用于处理实际问题中的不确定性和随机性因素。
例如，在金融领域，股票价格的变动通常具有一定的不确定性，可以用随机模型中的随机过程来描述和预测。
二、数学建模的步骤数学建模通常包括问题定义、建立数学模型、求解模型和验证模型这四个步骤。
2.1 问题定义在数学建模中，首先需要明确问题的定义和目标，包括问题的背景、需求和约束条件等。
问题定义阶段需要对问题进行细致的分析和抽象，确保问题的本质特征能够被准确地反映在数学模型中。
2.2 建立数学模型建立数学模型是数学建模的核心步骤，它需要将实际问题转化为数学语言和符号来描述。
建立数学模型时，需要进行参数选择、变量定义、关系建立等操作，以确保模型能够客观、准确地反映问题的特征和规律。
2.3 求解模型求解模型是通过数学方法和技术来实现对问题解决方案的确定。
根据具体问题的不同，求解模型的方法可以采用数值计算、符号计算、优化算法等不同的技术手段。
数学建模第三版习题答案
数学建模第三版习题答案数学建模是一门应用数学的学科，通过建立数学模型来解决实际问题。
《数学建模第三版》是一本经典的教材，其中的习题对于学生来说是非常重要的练习材料。
在这篇文章中，我将为大家提供《数学建模第三版》习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和应用数学建模的知识。
第一章：数学建模的基础知识1. 数学建模的定义：数学建模是指将实际问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来解决问题的过程。
2. 数学建模的基本步骤：问题的分析与理解、建立数学模型、求解数学模型、模型的验证与应用。
3. 数学建模的分类：确定性建模和随机建模。
4. 数学建模的特点：抽象性、理想化、简化性和应用性。
第二章：线性规划模型1. 线性规划模型的基本形式：目标函数和约束条件都是线性的。
2. 线性规划模型的求解方法：图形法、单纯形法和对偶理论。
3. 线性规划模型的应用：生产计划、资源分配、运输问题等。
第三章：整数规划模型1. 整数规划模型的基本形式：目标函数是线性的，约束条件中包含整数变量。
2. 整数规划模型的求解方法：分枝定界法、割平面法、动态规划法等。
3. 整数规划模型的应用：项目选择、装配线平衡问题、旅行商问题等。
第四章：动态规划模型1. 动态规划模型的基本思想：将一个大问题分解为若干个子问题，通过求解子问题的最优解来求解整个问题的最优解。
2. 动态规划模型的求解方法：递推法、备忘录法和自底向上法。
3. 动态规划模型的应用：背包问题、最短路径问题、最长公共子序列问题等。
第五章：非线性规划模型1. 非线性规划模型的基本形式：目标函数和约束条件中包含非线性函数。
2. 非线性规划模型的求解方法：牛顿法、拟牛顿法、全局优化法等。
3. 非线性规划模型的应用：经济增长模型、生态系统模型、医学诊断模型等。
第六章：图论模型1. 图论模型的基本概念：顶点、边、路径、回路等。
2. 图论模型的求解方法：深度优先搜索、广度优先搜索、最短路径算法等。
数学建模基本概念资料
解法一： 将两天看作一天，一人两天的运
动看作一天两人同时分别从山下和山 顶沿同一路径相反运动，因为两人同 时出发，同时到达目的地，又沿同一 路径反向运动，所以必在中间某一时 刻t两人相遇，这说明某人在两天中的 同一时刻经过路途中的同一地点。
怎样用数学方法解决？
7
解法二： 以时间t为横坐标，以沿上山路
11
由零点定理知在区间[8,17]内至少存在
一点使
H (t0 ) 0,
即 F(t0) G(t0).
(t0 是唯一的吗？为什么？) 这说明在早8点至晚5点之间存在某一时刻
t t0使得路程相等，
即这人两天在同一时刻经过路途中的同一 地点。
x0 F(t0) G(t0)
12
思考题：
1、若下山时，这人下午3点就到达山 下旅店，结论是否成立？
15
这样得三元一次方程组
x y l
yzຫໍສະໝຸດ mx z n由三元一次线性方程组解出 x,y,z即得三根电线的电阻。
16
说明：
此问题的难点也是可贵之处是用 方程“观点”、“立场”去分析， 用活的数学思想使实际问题转到新 创设的情景中去。
17
问题４ 气象预报问题
问题：在气象台A的正西方向 300km处有一台风中心，它以 40km/h的速度向东北方向移动； 根据台风的强度，在距其中心 250km以内的地方将受到影响， 问多长时间后气象台所在地区将遭 受台风的影响？持续时间多长？
23
通过以上几个简单问题的解决可以 看 出 ，在 我 们 周 围 的 许 多 实 际 问 题 ，甚 至有些实际问题看起来好象与数学无 关，但通过细致的观测、分析及假设， 都可以应用数学方法简捷和完美的解 决 。这 说 明 只 要 善 于 观 察 和 分 析 ，数 学 的应用是非常灵活和十分广泛的.
数学建模简介
数学建模与数学建模竞赛一. 什么是数学模型二. 为什么要学数学建模三. 如何建立数学模型_建立数学模型的步骤和方法四. 全国大学生数学建模竞赛简介1. 竞赛的由来及现状2. 数学建模竞赛的特点。
3. 如何写作数学建模竞赛论文一. 什么是数学模型？⑴厡型与模型厡型与模型是一对对偶体，厡型是指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。
而模型是指为了某个特定目的将厡型的某一部分信息简缩、提炼而构造的替代物。
模型不是厡型，它既简单于厡型，又高于厡型.例如飞机模型，虽然比飞机厡型简单，而且也不一定会飞，但是很逼真，足以让人想像飞机在飞行过程中机翼的位置与形状的影响和作用。
一个城市的交通图是城市的一种模型，看模型比看厡型清楚，此时城市的人口、道路、车辆、建筑物的形状都不重要。
但是，城市的街道、交通钱路和各单位的位置等信息都一目了然，这比看厡型清楚得多。
模型可以分为形象模型和抽象模型，抽象模型最主要的就是数学模型。
⑵数学模型数学模型并不是新事物，自从有了数学，也就有了数学模型。
即要用数学去解决实际问题，就一定要使用数学的语言、方法去近似地刻画这个实际问题，这就是数学模型。
事实上，人所共知的欧几里得几何、微积分、万有引力定律、能量转化定律、夹义相对论、广义相对论等都是很好的数学模型。
那么，什么是数学模型呢？目前没有确切的定义，但可以这样讲：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构式。
也就是说，数学模型是通过抽象、简化的过程，使用数学语言对实际现像的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究对像。
应用数学知识解决实际问题的第一步就是通过实际问题本身，从形式上杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学关系式，也就是构建这个实际问题的数学模型，其过程就是数学建模的过程。
⑶数学模型无处不在目前，数学的应用已经渗透到了各个领域，或者说各行各业日益依赖于数学，在人们日常生活的各种活动中，数学无处不在。
数学建模简介word文档-华南师范大学数学科学学院
1.1 关于数学建模一、数学、数学模型、数学建模的定义二、数学建模过程流程图三、数学建模的特点和分类四、数学建模的应用和现代科学五、历年全国和美国大学生数学建模竞赛六、如何学好数学建模七、数学建模的例子：火炮的射击、椅子能在不平的地上放稳吗、人中预报问题一、数学、数学模型、数学建模的定义数学――是一门研究数量关系和空间变化关系的学科数学模型――对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。
数学建模――构造数学模型的过程，利用数学方法解决实际问题的一种实践。
即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解，得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策和控制。
例1：火炮的射击―――数学建模的大致全过程模型一：假设不考虑空气的阻力、重力影响――抛物运动模型二：假设不考虑重力影响，并且空气的阻力与速度成正比。
模型三：假设不考虑重力影响，并且空气的阻力与速度的平方成正比。
――适用于火炮的射击模型四：考虑重力影响，并且空气的阻力与速度的平方成正比。
―――适用于卫星的发射。
二、数学建模过程流程图众多的因素（主要和次要）－－合理的假设――建立数学模型――用数学方法(或数学软件)求解模型――检验（得解与实际问题作比较）――修改完善模型。
上述数学建模过程可用流程图表述如下：三、数学建模的特点和分类数学建模是一个实践性很强的学科，它具有以下特点：1．应用领域广，如物理学、力学、工程学、生物学、医学、经济学、军事学、体育运动学等．而不少完全不同的实际问题，在一定的简化层次下，它们的模型是相同或相似的．这就要求我们培养广泛的兴趣，拓宽知识面，从而发展联想能力，通过对各种问题的分析、研究、比较，逐步达到触类旁通的境界．2．需要各种数学知识，应用已学到的数学方法和思想进行综合应用和分析，进行合理的抽象及简化的能力如微分方程、运筹学、概率统计、图论、层次分析、变分法等，去描述和解决实际问题．3．需要各种技术手段的配合，如查阅各种文献资料、使用计算机和各种数学软件包等．4．与求解数学题目的差别．求解数学题目往往有唯一正确的答案，而数学建模没有唯一正确的答案。