第八章 相量法
【第8章】 相量法
复数在复平面上可 以用向量表示。
0
a1
2. 复数的四种表示形式
⑴ 表达式 ① 代数形式 A= a1+ ja2 +j a2 A
② 极坐标形式
③ 三角函数式 ④ 指数形式
0 模 幅角 A a cos j + j a sin j
A aj
a φ
a1 +1
A ae jj
（由欧拉公式e jφ = cos φ + jsin φ得到） ⑵ 四种表达式关系
I e jy i I y I m m m i
复振幅与正弦量的一一对应关系： 复振幅的模是正弦量的最大值 复振幅的幅角为正弦量的初相位
jy i I Ie Iy i 复有效值
复有效值与正弦量的一一对应关系： 复有效值的模是正弦量的有效值 复有效值的幅角为正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
φ =0，同相； i i1
0 i2
φ = (180o) ，反相； i i1 i2
wt
0 i i1
wt
φ = /2，正交；
i2
wt 因为规定了： |φ| (180°)。 0 所以，我们说i1 领先 i2 /2, 而不说i2落后i1 3 /2
注：我们此处比较的是两个电流的相位差，那么，我们是 否可以比较一个电压和一个电流的相位差？在今后的分析 中可以利用电压和电流的相位差来判断电路的性质。
线圈从中性面开始转过了ωt 时，导线切割磁 力线的速度是ωr SIN ωt
可见：交流电是电流的大小和方向都随时间做周期 性变化的电流。
交流电有许多优点: •交流电可以用变压器升高或降低电压， •交流电可以驱动结构简单，运行可靠的交流 感应电动机，交流电是廉价的动力或能量来源。
第08章 相量法
i Re[ 2 I e jt ]
j t
] Re[ 2 I 2 e
j t
]
有 Re[ 2 I e
Re[ 2 ( I1 I 2 )e jt ] ]
上式对于任何时刻 t 都成立，故有
I I1 I 2
I
2
, e
j
2
cos
2
j sin
2
j
I
0
jI
Re
, e 2
j 2
cos( ) j sin( ) j 2 2
, e
j
cos( ) j sin( ) 1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
F1 F2
F1
F1 F2
F2
+1
O
F2
3、乘法 用指数形式比较方便 设 F | F |
1 1
1
F2 | F2 | 2
F1 F2 F1 1 F2 2
F1 F2 / 1 2
4、除法
F1 F2
| F1 | 1
| F2 | 2
F1 F2
b
+j F
O a
+1
2、三角形式
+j
F F (cos j sin )
F
b
O a
模
+1
F
a b
2
2
辐角
b arctan a
3、指数形式
第八章 相量法
t φ
2、 φ<0；即ψ1<ψ2，则u1滞后 2φ角。 、 滞后u 角 ； ψ u u =u +u u2 φ 3、 φ=0； 3、 φ=0；即ψ1=ψ2， ψ 同相。 则u1与u2同相。 u u1 u2 t Um= Um1+Um2 u1 t =Um1cos(ωt+ψ1)+ Um2cos(ωt+ψ2) ψ ψ =Umcos(ωt+ψ) ψ Um× m1+Um2 =U ψ ≠ ψ1+ ψ2 4、 φ=±π；即ψ1=ψ2 ±π ， 、 ± ； ψ 反相。 则u1与u2反相。 u u u1
例 1： I R 4V
–j 1 jωL ωC
10V 7V U=？ ？ 方法一： 方法一：相量图法 UL 10V 3V 7V UC U 4V UR I U=5V
解：串联电路电流 相同，而R、L、C上电 相同， 、 、 上电 压的相位不同。所以， 压的相位不同。所以， 不能直接用有效值相加。 不能直接用有效值相加。 方法二： 方法二：相量法 设： I =I 0º 则：UR = 4 0º V UC= 7 –90º V
相量形式电路图 I U 相量图
相量关系既反映了u、 相量关系既反映了 、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。 值关系又反映了相位的关系。
若： = 2 Icos(ωt+ψi ) i i L di i u=L dt = – 2 IωLsin(ωt+ψi ) 则： t u = 2 IωLsin(ωt+ψi +90º) 比较u 的表达式 的表达式： 比较 、i的表达式： = 2 Ucos(ωt+ψu ) ψ ①u、i 同频率 、 ② ψu= ψi +90º 电感上电压相位超前电流相位 。 电感上电压相位超前电流相位90º。 U 感抗 = ωL =XL 有效值关系： ③有效值关系： U=IωL I 直流： 直流：ω=0, XL=0, 电路短路 感抗与ω成正比 成正比,ω↑ 感抗与 成正比 ↑,XL↑ 高频交流： →∞,电路断路 高频交流： XL→∞ 电路断路 相量关系： ④相量关系： I jωL U U =jωL=jX I 相量图 U L I 相量形式电路图
第八章 相量法(Phasor method
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20
第8章 相量法_电气09级
i , Im , I
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第8章 相量法 章
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 ———— 同理，正弦电压有效值： 同理，正弦电压有效值： 1 T 2 I = √ —∫ 0 i dt 1 T U= Um 2 i = Imcos( ωt + ϕ ) 或 Um = 2U —————————— Im
+j b
F
F=a+jb
F
θ
称为复数 的模 +1
0
a
——— F = √ a2 + b2
a = Fcos θ b = Fsin θ
宁波工程学院
θ = arg F = arctan ( b/a )
称为复数 的辐角
8-5
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第8章 相量法 章
3 指数形式和极坐标形式
指数形式 欧拉公式
F = F(cosθ + jsinθ ) = Fe jθ e jθ = cosθ + jsinθ F = F/θ
正弦交流电变化的快慢； 正弦交流电变化的快慢； ϕu、ϕi 为正弦交流电的初相位。 为正弦交流电的初相位。
相位角
u = Umcos ( ωt + ϕu ) or u = Umsin( ωt + ϕu ) 瞬时值： 瞬时值：
宁波工程学院 简称相角或相（ u = U m cos(ω t + ϕ u ) 简称相角或相 phase） 单位：弧度或度 单位： i = I m cos(ω t + ϕ i )
第8章相量法
式 原 = (3.41+ j3.657) + (9.063 − j4.226) o =12.47 − j0.569 =12.48∠− 2.61
o
(17 + j9) (4 + j6) 220 ∠ + 35 =? 例2 20+ 20 + j5 19.24∠27.9o ×7.211∠ .3o 56 解 原 =180.2 + j .2 + 126 式 20.62∠ .04o 14 =180.2 + j .2 + 6.728∠ .16o 126 70
ωt
ϕ1
i2 = I m2 cos(ω t + ϕ
i1 = I m1 cos(ω t − ϕ 1 )
2
)
称
i2
超前
ϕ = (ω t +ϕ 2 ) − (ω t −ϕ 1 ) = ϕ 2+ϕ1
i1
第8章相量法 特殊相位关系： 特殊相位关系：
ϕ =±π (±180o ) ，反相： 反相： ±π ±
u, i u iω t
正弦波 特征量之二 -- 幅度
第8章相量法
最大值
电量名称必须大 写,下标加 m。
i = I m cos (ω t + ϕ )
I m 为正弦电流的最大值
如：Um、Im
在工程应用中常用有效值表示幅度。 在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电 有效值表示幅度 表指示的电压、电流读数， 表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效 也是指供电电压的有效值。 值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。 标准电压
第8章相量法
第8章 相量法
§8.1 复数 §8.2 正弦量的基本概念 §8.3 正弦量的相量表示 §8.4 电路定理的相量形式
电路分析相量法
量的相量乘以 jω ，即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ，其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i )，则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1－F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明：
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
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1
1a a 二、复数的四则运算
1、复数的加减运算(用代数形式)。
规则是：实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
)
()( )
( )( 212122112
1222111b b j a a jb a jb a A A A jb a A jb a A ±+±=+±+=±=+=+=
§8-2正弦量
一、正弦量及正弦交流电路
1、正弦量：指电压或电流随时间按正弦规律变化。
()()()()()()A
cos
sin V cos i m u m u m t I t i t U t u t U t u ϕωϕωϕω+=+=+=或()()
o o t t t t 90sin cos 90cos sin 900
+=-=ωωωω前余弦函数比正弦函数超2、正弦交流电路：线性电路中的全部激励均为同一频率的正弦函数，这类电路称为正弦交流电路。
为什么要研究正弦交流电路？意义何在？
目前世界上绝大多数电力工程（线路）中的电压、电流几乎都采用正弦函数形式。
主要原因有以下几点：
①正弦交流电输、变电方便；
②当线性电路中激励为正弦量时，所有响应也为同一频率的正弦量，分析运算方便；
③交流电机比直流电机容易实现，成本低、体积小、重量轻，且无换向火花问题，容易维护，寿命长；
④交流电机比直流电机运行平稳；
⑤绝大多数电路问题均可转化为正弦电路的问题来分析。
比如非正弦周期函数可分解为若干不同频率正弦函数的叠加，最后按正弦电路来分析。
从图上可看出i
2
(t)和上图i
1
(t)相比，i
2
(t)
超前i
1
(t)60o，或称i
1
(t)滞后i
2
(t)60o。
i2(t)初相位φ
i
为+60o，i
1
(t)初相位为
0o。
从图上可看出i
3
(t)和上图i
1
(t)相比，i
3
(t)滞
后i
1
(t) 60o，或称i
1
(t)超前i
2
(t) 60o。
i
3
(t)
初相位φ
i
为－60o，i
1
(t)初相位为0o。
归纳为：初相位φ
i
为正值，表明
超前；初相位φ
i
为负值，表明滞
后（和φ
i
=0相比）。
通常φ
i
在－
π~＋π之间取值。
t=0.5s ；②t=1.5s 时电流的大小和实际方向。
3π
2．相位差：指两个同频率正弦量之间的相位角之差
u (t)=U m cos(ωt+φu )
i (t)=I m
cos(ω
t+φi )
电压和电流的相位差为Δφ：
Δφ=(ωt+φu )－(ωt+φi )= φu －φi
可见：相位差等于电压和电流的初相位之差，为一常量（与ωt 无关）。
一般情况下同一元件上正弦量的相位差指电压和电流的相位差，如果Δφ为正值表明电压超前电流Δφ角或电流滞后电压Δφ角，如果Δφ为负值表明电压滞后电流Δφ角或电流超前电压│Δφ│角。
Δφ=0，表明电压电流同相位。
Δφ=1800，表明电压电流反相位。
3．有效值——是用来衡量交流电流做功能力的一个物理量。
u (t)=U m cos(ωt+φu )
P (t)= u i = R i 2
例如：下图正弦电路。
Ω§8-4 电路定律的相量形式
一、KCL 、KVL 的相量形式
∑∑∑∑=⇒==⇒=0U
0(t) :KVL 0I
0(t) :KCL u i 现在的问题：相量形式如何得到？将电路定理转换成相量形式又是怎么样的？
小结：
1.正弦量的三要素以及瞬时值、有效值、初相位、超前、滞后。
2.正弦量的相量、及相量法。
3.课后重温三角函数关系。
的读数。
90。