第九章静电场

o x 图9-3
x
讨论: (1)对无限长带电直线, 1=0和 2=；代入得
Ex (sinθ2 sinθ1 ) 4 o a Ey (cosθ1 cosθ2 ) 4 o a
y
dE
dEx
1
dEy
P
a
r

2
o x 图9-3
dx dq
x
Ex 0,
记住！
Ey 2 o a

完成积分得:
E 2 o
(9-8)
dE
E
P.
y
1
dx
dE
=.1dx
x
14
E 2 o a
a
o
图9-4
r
x dx

(匀强电场)
+ E=0
E 2 o E 2 o
记住无限大 平面电场！
3 2 O
E
E O

2
-
E 2 o
3 E 2 O
12 2 2
o 8.85 10 C / N m 真空的介电常数
5
§9-3 电场和电场强度 一 .电 场
一个电荷要在它的周围产生电场。 两个电荷之间的相互作用力是通过 电场来进行的。即 e 电荷 电场 电荷 F q2
r
图9-1
r
q1
电场是什么？电场是一种物质。场和(由基本粒 子组成的)实物物质一样，具有能量、动量和质量。 场和实物是物质存在的两种基本形式。 场和实物物质的主要区别是：实物独占一定的空 间；而场总是弥漫在一定的空间内，具有可叠加性。
9
2.点电荷系的电场 由n个点电荷q1, q2,… qn产生的电场，可利用点电 荷场强公式，直接由叠加原理求得
E
4 r
i 1
n
qi eir
2
(矢量和)
(9-6)
o i
3.带电体的电场 对电荷连续分布的带电体,可划分为无限多个电荷 元dq(点电荷), 用点电荷的场强公式积分：
dqer E 4 o r 2 带电体
dE
4 o r
2
(3)分析问题的对称性。 由于不同位置的电荷元在 P点产生的场强dE方向不同, 故应将dE向x轴和y轴方向投 影,于是有
dEx
P
a
r

o x 图9-3
dx dq
x
11
dEx=dEcos dEy=dEsin (4)统一积分变量,定积 分限,完成积分,得到所求场 强分量式
图9-14
因此，式(9-14)中表示的通过整个 封闭曲面的电通量e,就等于穿出与穿 入该封闭曲面的电场线的代数和(净通 量)。
26
三 .真空中的高斯定理 1 E dS qi

s
o ( s内 )

(9-15)
点电荷q位于一半径为r的 球面中心，则通过这球面的电 通量为
E
球面
e
(2)对平面、柱面等形状,可利用带电直线公式积分。
13
例题9-2 求均匀带电的无限大平面外任一点的场 强(设平面单位面积上的电量为 )。 解 分为若干长直导线积分。 由对称性可知，平面外P点的电场方向是垂直于 平面向上的(即y方向)，所以 E=



dx cos 2or
a dx 2 o a 2 x 2

(9-7)
以上内容的学习重点：用积分的方法求电场。
10
例题9-1 有一均匀带电直线，单位长度上的电量为 ，求离直线的距离为a的P点处的场强。 解 此类题可按下列步骤求解: (1)建立适当的坐标系，如图9-3所示。 (2)将直线分为长为dx的无限多个电荷元dq=dx(视 为点电荷)，并写出一个有代表性(位置用变量x表示) 的电荷元在P点产生的电场： y dE dEy dx
2 cos Rd o
x
0
4 o R 2
cos
图9-6
E y
2
0
o cos Rd sin 0 2 4 o R
17
例题9-5 一圆环半径为R、均匀带电q，求轴线 上一点的场强。 解 由对称性可知，轴线上的 E 电场方向是沿轴线向上的。 dE dE p dq E 2 cos 环 4 o r x r q cosθ dq 2 o 4 o r R q
技术上的重要意义：发电机、电动机、无线电技术等. 2
第九章
Static electric field
静电场
3
§9-1 电荷 电力
自然界中只存在两种电荷：正电荷和负电荷。 电荷具有最小单元：e=1.610-19C。 在自然界中,带电体的电量都是这一最小电量e的整 数倍： q=Ne 这个特性叫做电荷的量子化。 1964年,盖尔-曼(M.Gell-Mann)预言：更基本的粒 子夸克和反夸克的电量应取±e/3或±2e/3。但我们 至今尚未发现单独存在的夸克。 电荷间有电力的相互作用：同号电荷相斥,异号电 荷相吸。
！
一.电场线(电力线)
为了形象地描绘电场在空间的分布,按下述规定 在电场中画出的一系列假想的曲线—电场线： (1)曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方 向; (2)通过垂直于电场方向单位面积上的电场线条 数等于该点电场强度的大小。 E E
图9-10
E ds
de E ds
(9-9)
de —通过ds的电场线条数

R
p
[1 2 o
当R(x« R)时,
x
x x 2 R2
]
R
图9-8
r
dr
1 q x 这正是无限大平面的电场。 E 2 4 o ( x 2 R19 ) 3 / 2
E 2 o
例题9-7 一均匀带电的半球面，半径为R，电荷 面密度为，求球心o处的电场。 解 图中圆环产生的电场：

注意： 任何均匀带电的旋转体(如圆形、球形、柱形) 用圆环公式积分求电场最为方便。 18
1 qx 即 E 2 2 3/ 2 4 o ( x R )
图9-7
例题9-6 一均匀带电的薄圆盘，半径为R、面电 荷密度为，求圆盘轴线上一点的场强。 解 分为若干园环积分。 E
1 x.2rdr E 4 o ( x 2 r 2 ) 3 / 2 0
6
二.电场强度矢量E
在静止电荷产生的静电场中的一场点，引入一个 试验电荷qo(qo的电量、几何尺度必须很小), 它受的力 为F，于是我们定义：该点的电场强度为
F E qo
(9-2)
(1)式(9-2)表明,电场中某场点上的电场强度矢量 等于置于该点的单位正电荷所受的力。
(2)电场强度矢量E是反映电场性质的物理量， 与试验电荷qo无关。
s

s i 1 n
j 1
s

i 1
qi
o
+0

s
1 E dS
o ( s内 )
q
i
这就是高斯定理。
29

s
1 E dS
o ( s内 )
q
i
(9-15)
(1)高斯定理表明:在真空中的静电场内,通过任意 封闭曲面(高斯面)的电通量等于该封闭曲面所包围的 电荷的电量的代数和(净电荷)乘以1/o倍 。 这就是说，通过一任意封闭曲面的电通量完全由 该封闭曲面所包围的电荷确定,而与面外的电荷无关。 (2)高斯定理表达式左方的场强E是空间所有电荷 (既包括封闭曲面内，又包括封闭曲面外的电荷)共同 产生的场强的矢量和。 (3)高斯定理还表明:正电荷是发出电场线的源头, 负电荷是吸收电场线的闾尾。 即:静电场是一个有源场。 30
7
三.场强叠加原理
设源电荷是由n个点电荷q1, q2,… qn构成,在该电 场中试验电荷qo受的力为
F F1 F2 ... Fn
F E qo
F
i 1
i
n
i
(9-3) (9-4)

i 1
n
Fi qo
E
i 1
n
式中的Ei是电荷qi单独存在时产生的电场强度。
式(9-4)表示:在n个点电荷产生的电场中某点的电 场强度等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的 电场强度的矢量和,这一结果称为场强叠加原理。
球面
EdS cos

r
q
q dS 2 4 o r 球面 q q 2 4r 2 4 o r o
(a) 图9-15
27
对包围点电荷q的任意形 状的曲面S来说, 显然
E
球面
曲面S

r
q s
E dS
q
o
如果闭合面S不包围点电荷 q, 如图9-15(c)所示,则
(b) 图9-15
4
§9-2 库仑定律
真空中,点电荷q1对点电荷q2的作用力为
F
1 q1q2 er 2 4 o r
(9-1)
(1) er 是从点电荷q1指向点电荷q2的 单位矢量。 r则表示两个点电荷之间的距离。 (2)公式中的系数是SI制要求的。
er
q1
F q2
r
图9-1
1 4 o
9 109 N m 2 C 2
(9-10)
en

E ds ds
图9-12
de E ds
de Eds cos E dS
(9-11)
24
de Eds cos E dS
(9-12)
对一个任意曲面S(图9-13), 通过的电通量应为
e Eds cos E dS
s s
(9-13)
en
图9-13
25