九年级数学上册《证明(二)》同步练习1 北师大版

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北师大版-九年级-数学-上册-第一章-特殊平行四边形-同步练习(含答案解析)

第一章特殊平行四边形评价检测(45分钟100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直2.如图,矩形ABCD中,E在AD上,且EF⊥EC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则AE的长是( )A.3B.4C.5D.73.下列说法正确的是( )A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形4.如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是( )A.2B.C.D.【变式训练】如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,∠BAE=30°,AE=2,则矩形ABCD的面积为.5.如图,已知菱形ABCD与△ABE,其中D在BE上.若AB=17,BD=16,AE=25,则DE的长度为( )A.8B.9C.11D.126.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F分别在AB,CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A1,D1处,则阴影部分图形的周长为( )A.15B.20C.25D.307.如图,正方形ABCD中,AB=3,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.下列结论:①点G是BC的中点;②FG=FC;③S△FGC=.其中正确的是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题(每小题5分,共25分)8.等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是.【易错提醒】平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形,本题易误认为平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.【知识归纳】特殊平行四边形的对称性(1)矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.(2)矩形与菱形有两条对称轴,正方形有四条对称轴.(3)对角线的交点是它们的对称中心,过对称中心的任一条直线均把原图形分成面积相等的两部分.9.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件: ,使得平行四边形ABCD是菱形.【解析】添加AC⊥BD,则对角线互相垂直的平行四边形是菱形;添加AD=DC,则一组邻边相等的平行四边形是菱形.10.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则△AEF的周长= .【变式训练】如图,顺次连接菱形ABCD的各边中点E,F,G,H.若AC=a,BD=b,则四边形EFGH的面积是.11.如图,在矩形ABCD中,AE=AF,过点E作EH⊥EF交DC于点H,过F作FG⊥EF交BC于G,连接GH,当AD,AB满足时,四边形EFGH为矩形.12.如图,四边形ABCD与AEFG都是菱形,其中点C在AF上,点E,G分别在BC,CD上,若∠BAD=135°,∠EAG=75°,则= .三、解答题(共47分)13.(10分)如图,在四边形ABFC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF 交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.(1)求证:四边形BECF是菱形.(2)若四边形BECF为正方形,求∠A的度数.【互动探究】四边形BECF的面积与△ABC的面积有什么关系?为什么?14.(12分)如图,已知菱形ABCD,AB=AC,E,F分别是BC,AD的中点,连接AE,CF.(1)证明:四边形AECF是矩形.(2)若AB=8,求菱形的面积.15.(12分)(2014·新民市一模)已知:如图,在四边形ABCD中,点G在边BC的延长线上,CE平分∠BCD,CF平分∠GCD,EF∥BC交CD于点O.(1)求证:OE=OF.(2)若点O为CD的中点,求证:四边形DECF是矩形.16.(13分)(2013·青岛中考)已知:如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点(1)求证:△ABM≌△DCM.(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论.明)。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-3正方形的性质与判定》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步练习题（附答案）一．选择题1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．四个角都是直角C．对角线互相垂直D．两组对边分别平行2．下列说法正确的是（）A．正方形既是矩形，又是菱形B．有一个内角是直角的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论正确的是（）A．当AB＝BC时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是正方形4．在正方形ABCD中，BF平分∠DBC交CD于F点，则∠DBF的度数是（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°5．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AF、BE相交于点G，下列结论不正确的是（）A．AF＝BE B．AF⊥BEC．AG＝GE D．S△ABG＝S四边形CEGF6．如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）A．∠AFP＝∠BPQB．EF∥QPC．四边形EFPQ是正方形D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半7．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（）A．3.0B．2.5C．2.0D．1.58．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2．其中正确结论有几个（）A．1B．2C．3D．49．如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，4），A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，且△ABO的周长是8，则P到直线AB的距离是（）A．4B．3C．2.5D．210．如图四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形ABCD，一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形二．填空题11．如图，已知阴影部分是一个正方形，AB＝4，∠B＝45°，则此正方形的面积为．12．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是．13．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是（只需添加一个即可）14．边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．15．如图，正方形ABCD内部有一个等边△ABE，则∠DAE＝°．16．如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，点D的坐标是（2，3），则点B的坐标是．17．如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，连接AD，DE，DF，有下列结论：①四边形AEDF一定是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形．其中正确的有．（填序号）三．解答题18．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且AB＝4，CF＝1．（1）求AE，EF，AF的长；（2）求证：∠AEF＝90°．19．如图，在正方形ABCD中，PD＝QC，求证：PB＝AQ，BP⊥AQ．20．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长．参考答案一．选择题1．解：∵正方形的性质为：对边平行且相等，四条边相等，四个角为直角，对角线互相垂直平分，相等，且每条对角线平分一组对角，矩形的性质为：对边平行且相等，四个角为直角，对角线互相平分，相等，∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直，故选：C．2．解：A．正方形既是矩形，又是菱形，正确，符合题意；B．有一个内角是直角的四边形是矩形，错误，不符合题意；C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误，不符合题意；D．对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意．故选：A．3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：C．4．解：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠DBC＝45°．∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠DBC＝22.5°．故选：B．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∵BF＝CE，∴△ABF≌△BCE（SAS），∴AF＝BE，∠BAG＝∠CBE，∴选项A不符合题意；∵∠ABG+∠CBE＝∠ABC＝90°，∴∠BAG+∠ABG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴AF⊥BE，∴选项B不符合题意；∵△ABF≌△BCE，∴S△ABF＝S△BCE，∴S△ABF﹣S△BFG＝S△BCE﹣S△BFG，∴S△ABG＝S四边形CEGF，∴选项D不符合题意；∵无法证明AG＝GE，∴选项C符合题意；故选：C．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EFPQ是菱形，∴EF∥PQ，故B选项正确，不符合题意；∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，∵∠AFP+∠APF＝90°，∴∠APF+∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．故C选项正确，不符合题意；∵四边形PQEF的面积＝EF2，四边形ABCD面积＝AB2，若四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半，则EF2＝AB2，即EF＝AB．若EF≠AB，则四边形PQEF的面积不是四边形ABCD面积的一半，故D选项不一定正确，符合题意．故选：D．7．解：∵由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1，∴该细铁丝的长度为4．∴AC+BC+AB＝4，∴AC+BC＝4﹣AB．∵AC+BC＞AB，∴4﹣AB＞AB，∴AB＜2．∴AB的长可能为1.5，故选：D．8．解：如图，连接PC，①∵正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，∴∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∠PDC＝∠DBC＝45°，AB＝BC＝CD＝AD＝4，又∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEC＝∠PEB＝∠PFC＝∠PFD＝90°＝∠BCD，∴∠DPF＝∠PDF＝∠BPE＝∠DBC＝45°，∴PF＝DF，PE＝BE，即△PDF和△BPE均为等腰直角三角形，∴PD＝PF，∵∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴CE＝PF＝DF，PE＝FC，∴PD＝CE，故①正确；②由①知：PE＝BE，且四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2（CE+BE）＝2BC＝2×4＝8，故②正确；③∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝PC，∴AP＝EF，故③正确；④由③得：EF＝PC＝AP，∴当AP最小时，EF最小，∴当AP⊥BD时，垂线段最短，即AP＝BD＝2时，EF的最小值等于2；故④错误；综上，①②③正确．故选：C．9．解：方法一：如图，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂直分别为C，D，设OB＝a，OA＝b，AB＝c，P到直线AB的距离是h，∵△ABO的周长是8，∴a+b+c＝8，∴a+b＝8﹣c，∴a2+2ab+b2＝64﹣16c+c2根据勾股定理得：a2+b2＝c2，∴ab＝32﹣8c，∵S△P AB＝4×4﹣ab﹣4（4﹣b）﹣4（4﹣a）＝2（a+b）﹣ab＝2（8﹣c）﹣（32﹣8c）＝16﹣2c﹣16+4c＝2c，∵S△P AB＝×c•h，∴2c＝×c•h，∴h＝4．∴P到直线AB的距离为4．方法二：如图，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂直分别为C，D，∵P（4，4），∴四边形CODP是边长为4的正方形，∴PC＝PD＝OC＝OD＝4，∵A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，∴将△P A′D沿P A′折叠得到△P A′E，延长A′E交y轴于点B，∴∠P A′D＝∠P A′E，PE＝PD，A′D＝A′E，∠PDA′＝∠PEA′＝90°，∴PE＝PC，在Rt△PEB和Rt△PCB中，，∴Rt△PEB≌Rt△PCB（HL），∴BE＝BC，∵△A′BO的周长是8，∴A′O+BO+A′B＝A′O+BO+BE+A′E＝A′O+BO+BC+A′D＝CO+DO＝8，∴△A′BO符合题意中的△ABO，∴P到直线AB的距离PE＝4，故选：A．10．解：如图，根据题意，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形，所以这个小孩走的路线所围成的图形是正方形．故选：D．二．填空题11．解：∵阴影部分是一个正方形，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝＝＝2，∴正方形的面积为（2）2＝8，故答案为：8．12．解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．或∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．13．解：条件为∠ABC＝90°或AC＝BD，理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°或AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：∠ABC＝90°或AC＝BD．14．解：过C作CD⊥AB交AB延长线与D，如图：∵∠CBD＝180﹣90°﹣60°＝30°，∠D＝90°，∴CD＝BC＝×4＝2，∴△ABC的面积为AB•CD＝×4×2＝4，故答案为：4．15．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∵△ABE是等边三角形，∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30．16．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB，∵点D的坐标是（2，3），∴AD＝CD＝BC＝3，OC＝2，∴OB＝1，∴点B的坐标是（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．17．解：①∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC的中位线，∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；DF∥AB，且DF＝AB＝AE，∴四边形AEDF一定是平行四边形，故正确；②若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是矩形，故正确；③若AD平分∠BAC，则∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，∴不能判定四边形AEDF是正方形，故错误；④若AD⊥BC，则AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故正确．故答案为：①②④．三．解答题18．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵E为AB的中点，∴BE＝CE＝2，∴AE＝＝＝2，EF＝＝＝，AF＝＝＝5；（2）证明：∵AE2+EF2＝20+5＝25，AF2＝52＝25，∴AE2+EF2＝AF2，∴∠AEF＝90°．19．证明：由题意可得：AD＝AB＝BC＝DC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠C＝90°，∵PD＝QC，∴AP＝DQ，在△ADQ和△BAP中，，∴△ADQ≌△BAP（SAS），∴BP＝AQ，∠APB＝∠AQD，∵∠DAQ+∠AQD＝90°，∴∠DAQ+∠APB＝90°，∴BP⊥AQ，∴BP＝AQ，BP⊥AQ．20．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，AB＝2，∴AC＝AB＝4，∵CE＝2，∴AE＝4﹣2＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，∴CG＝CE＝2．。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《正方形的性质与判定》同步练习

正方形的性质与判定（典型题）第1课时正方形及其性质1．如图1，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是()图1A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°2．正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是()A．8 B．4 2C．8 2D．163．如图2，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图24．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE交于点F，则∠BFC的度数为()A．45°B．55°C．60°D．75°5.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为()A.23a2B.14a2C.59a2D.49a26.如图5，正方形ABCD的边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，F A⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．图57．如图6，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC相交于点G，连接AE，CF.(1)求证：AE＝CF；(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．图68．如图7，正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°与正方形AEFG重合，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，正方形ABCD的边长为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为()图7A．4 2－4 B．4 2＋4 C．8－4 2 D.2＋19．如图8，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝()图8A.2＋6B.3＋1C.3＋2D.3＋610．如图9，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．图911．如图10所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF＝45°.(1)求证：EF＝FC＋AE；(2)若AB＝2，求△DEF的周长．图1012．如图11，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长相等，则在点E，F移动的过程中：(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．图1113．如图12，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上……依此类推，则第n个正方形的周长C n＝________．图1214．如图13①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明；(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．参考答案1．B2．A3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．D6．6 2[解析]7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE＝CF.(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝45°.∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，∴∠GBE＝35°，∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.8．A9．A10．3211．解：(1)证明：将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，则BA＝BC，AE＝CM，BE＝BM，∠ABE＝∠CBM，∠A＝∠BCM.∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴F，C，M三点共线，∠EBM＝90°.∵∠EBF＝45°，∴∠FBM＝45°.在△BEF与△BMF中，BE＝BM，∠EBF＝∠MBF，BF＝BF，∴△BEF≌△BMF，∴EF＝FM＝FC＋CM＝FC＋AE.(2)由(1)知EF＝FC＋AE，∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝DE＋DF＋AE＋CF＝AD＋CD＝2AB＝4. 12．解：(1)∠EAF的大小不发生变化．理由如下：根据题意，知AB＝AH，∠B＝∠AHE＝90°.又∵AE＝AE，∴Rt△BAE≌Rt△HAE，∴∠BAE＝∠HAE.同理，Rt△HAF≌Rt△DAF，∴∠HAF＝∠DAF，∴∠EAF＝12∠BAH＋12∠HAD＝12(∠BAH＋∠HAD)＝12∠BAD.又∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，∴∠EAF的大小不发生变化．(2)△ECF的周长不发生变化．理由如下：C△ECF＝EF＋EC＋FC.由(1)，得Rt△BAE≌Rt△HAE，∴EB＝HE.同理，HF＝DF.∴C△ECF＝EF＋EC＋FC＝EB＋DF＋EC＋FC＝2BC，∴△ECF的周长不发生变化．13．2n＋114．解：(1)相等互相平行(2)成立．证明：如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H.∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°.∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE.在△HGE与△CED中，∠GHE＝∠DCE＝90°，∠HGE＝∠DEC，EG＝DE，∴△HGE≌△CED，∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.又∵GH∥BF且∠GHE＝90°，∴四边形GHBF是矩形，∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE.∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝CE，∴FG＝CE.(3)成立．FG＝CE，FG∥CE.第2课时正方形的判定（典型题）1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是________．3．如图14，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝()时，则四边形AECF是正方形．图14A．30°B．45°C．60°D．90°4．已知四边形ABCD各边的中点分别是E，F，G，H，如果四边形ABCD满足____________________，那么四边形EFGH是正方形．5．如图15，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD＝AF；(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图156．如图16，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG.(1)求证：AF＝BF；(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．图167．⑥如图17，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是()图17A．7 B．8 C．7 2D．7 38．2017·宜昌如图18，正方形ABCD的边长为1，O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.(1)当OM经过点A时，请直接填空：ON________(填“可能”或“不可能”)过点D；(图①仅供分析)(2)如图②，在ON上截取OE＝OA，过点E作EF垂直于直线BC，垂足为F，作EH⊥CD 于点H，求证：四边形EFCH为正方形．图189．如图19，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG是正方形；(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求出四边形EDFG面积的最小值．图1910.矩形的四个内角平分线围成的四边形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般平行四边形11．如图0，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．图012．如图1，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明；(2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？图113．如图2，AC，BD是正方形ABCD的对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.(1)求证：△AED≌△GED；(2)求证：四边形AEGF是菱形；(3)若AC＝1，求BC＋FG的值．图214．如图3①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD于点F.连接DE，DF.(1)试判断四边形CDEF是何种特殊的四边形．(2)当AB＞AC，∠ABC＝20°时，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC 的度数；如果不能，请说明理由．(3)若AD平分∠BAC的外角交直线BC于点D，在直线AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交直线AD于点F，如图②”，设∠ABC＝x，其他条件不变，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC关于x的关系式；如果不能，试说明理由．图3参考答案1．D2．①③④3．D.4．对角线互相垂直且相等5．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.在△AEF和△DEB中，∠EAF＝∠EDB，AE＝DE，∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB(ASA)，∴AF＝BD.∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，∴AD＝BD＝DC＝12BC，∴AD＝AF.(2)四边形ADCF是正方形．证明：∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC.又∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形．6．证明：(1)∵AD＝CD，E是边AC的中点，∴DE⊥AC，∴DE是线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴∠F AC＝∠ACB.在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90°，∠F AC＋∠BAF＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF.(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵E是边AC的中点，∴AE＝CE.在△AEG和△CEF中，∠AGE＝∠CFE，∠AEG＝∠CEF，AE＝CE，∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．又∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，即F是边BC的中点．又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是正方形．7．C8．解：(1)不可能．理由如下：若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2＋OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON＝90°矛盾，∴ON不可能过点D，故答案为：不可能．(2)证明：∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC＝∠EFC＝90°.又∠HCF＝90°，∴四边形EFCH为矩形．∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB.在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，∴∠EOF＝∠BAO.在△OFE和△ABO中，∠EOF＝∠BAO，∠EFO＝∠B，OE＝AO，∴△OFE≌△ABO(AAS)，∴EF＝OB，OF＝AB.又OF＝CF＋OC，AB＝BC＝BO＋OC，∴CF＝BO＝EF，∴四边形EFCH为正方形．9．解：(1)证明：连接CD，如图①所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.在△ADE和△CDF中，AE＝CF，∠A＝∠DCF，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO＝OD，∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，∴四边形EDFG是正方形．(2)过点D作DE′⊥AC于点E′，如图②所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴DE′＝12BC＝2，AB＝42，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜22(点E与点E′重合时取等号)，∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8.∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.10．A11．3212．解：(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PHEF是矩形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD.∵E是BC的中点，∴AB＝BE＝EC＝CD，则△ABE，△DCE均是等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∴∠AED＝90°.在四边形PHEF中，∵∠PFE＝∠FEH＝∠EHP＝90°，∴四边形PHEF是矩形．(2)当点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形．理由如下：由(1)可得∠BAE＝∠CDE＝45°，∴∠F AP＝∠HDP＝45°.又∵∠AFP＝∠DHP＝90°，AP＝DP，∴Rt△AFP≌Rt△DHP，∴PF＝PH，∴矩形PHEF是正方形．13．解：(1)证明：由旋转可知DG＝DC，∠DGH＝∠DCB＝90°. ∵AD＝CD，∴AD＝DG.又∵ED＝ED，∴Rt△AED≌Rt△GED(HL)．(2)证明：由(1)知△AED≌△GED，∴AE＝EG，∠ADE＝∠GDE＝12∠BDA＝22.5°，∴∠CDF＝67.5°，∠CFD＝67.5°，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD.又∵AC＝BD，CD＝DG，∴AF＝BG＝EG.由旋转知∠H＝∠DBC＝45°.又∵∠DAC＝45°，∴AF∥EG，∴四边形AEGF是平行四边形．又∵AE＝EG，∴▱AEGF是菱形．(3)由(2)知四边形AEGF是菱形，∴AF＝FG.由(2)知CF＝CD，∴BC＝CF，∴BC＋FG＝CF＋AF＝AC＝1.。

北师大版九年级数学上册《1.3 正方形的性质与判定》同步练习试题

1.3 正方形的性质与判定一．选择题1．下列说法错误的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B．矩形的对角线相等C．对角线相等的菱形是正方形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形2．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝25°，则∠AED＝（）A．60°B．65°C．70°D．75°3．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④4．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题6．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为．7．如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为．8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．9．如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．10．如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE、CE与DB相交于点F，则∠AFD＝度．11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠DEB的度数为度．12．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE ＝．14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝．15．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝．三．解答题16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）当∠ACB＝度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．17．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．20．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．21．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？参考答案一．选择题1．解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误；矩形的对角线相等，故选项B正确；对角线相等的菱形是正方形，故选项C正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；故选：A．2．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．3．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形直尺的宽度相等，∴DE＝DF，又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．当∠DAB＝90°时，这个四边形是正方形，∴这个四边形一定是轴对称图形，故选：C．4．解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∵四边形ADEG是平行四边形，∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；C、∵四边形ADEG是平行四边形，∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．∵AD＝AB，∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，∴四边形ADEG是正方形，即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：B．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°．∵CE＝DF，∴AF＝DE．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE．∴AE＝BF，故（1）正确．∵△ABF≌△DAE，∴∠AFB＝∠AED．∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AFB+∠DAE＝90°，∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF，故（2）正确．∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△ADE．∴S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，即∴S△AOB＝S四边形DEOF．如图所示：过点E作EG⊥AB，则EG＝AD．∵HE＞OE，GE＞HE，∴GE＞OE．∴AD＞OE，故（3）错误．故选：B．二．填空题6．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠CED＝∠BFC＝90°．∵ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°．∴∠DCE+∠BCF＝90°．又∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠BCF．在△CDE和△BCF中，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF＝CE＝2．∵CF＝1，∴BC2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面积为5．故答案为：5．7．解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∵AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，AB＝5，∴AG2+BG2＝AB2，∴∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝4，CE＝BG＝3，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝4﹣3＝1，同理可得HE＝1，在Rt△GHE中，GH＝＝＝，故答案为：．8．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1，∴PE＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，又∵BC＝CD＝7，DF＝3，∠C＝90°，∴CF＝4，∴BF＝＝＝，∴GH＝，故答案为：．10．解：∵∠CBA＝90°，∠ABE＝60°，∴∠CBE＝150°，∵四边形ABCD为正方形，三角形ABE为等边三角形∴∠BEC＝15°，∵∠FBE＝∠DBA+∠ABE＝105°，∴∠BFE＝60°，在△CBF和△ABF中，，∴△CBF≌△ABF（SAS），∴∠BAF＝∠BCE＝15°，又∠ABF＝45°，且∠AFD为△AFB的外角，∴∠AFD＝∠ABF+∠F AB＝15°+45°＝60°．故答案为60．11．解：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAD＝90°∵△ABE是等边三角形∴AE＝AB，∠BAE＝∠BEA＝60°∴AD＝AE，∠DAE＝150°∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝15°∴∠DEB＝∠BEA﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°故答案为：45．12．解：∵∠ADE＝∠BCE＝90°+60°＝150°，AD＝BC，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵正方形中AD＝DC，等边三角形中DC＝DE，∴AD＝DE，∵∠ADE＝90°+60°＝150°，∴∠DEA＝＝15°，同理∠CEB＝15°，∴∠AEB＝60°﹣15°﹣15°＝30°，∴∠EAB＝＝75°．故答案为75°．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AD∥BC，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，∴∠E＝∠ACB＝22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E＝22.5°．故答案为：22.5°．14．解：过E作EF⊥DC于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO＝EF，在Rt△COE和Rt△CFE中，∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），∴CO＝FC，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝，∴CO＝AC＝，∴CF＝CO＝，∴EF＝DF＝DC﹣CF＝1﹣，∴DE＝＝﹣1，另法：因为四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°＝∠DBC＝∠DAC，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴∠ACE＝∠DCE＝22.5°，∴∠BCE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠CBE＝45°，∴∠BEC＝67.5°，∴BE＝BC，∵正方形ABCD的边长为1，∴BC＝1，∴BE＝1，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝，∴DE＝﹣1，故答案为：﹣1．15．解：如图作FH∥BC交BD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°∵FH∥BC，∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，∴∠OHF＝∠OFH，∴OH＝OF＝1，FH＝＝，∵BF平分∠OBC，∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，∴BH＝FH＝，∴OB＝OC＝1+，∴BC＝OB＝2+．故答案为2+．三．解答题16．证明：（1）如图，连接EC，交BD于点O∵BE＝BC，BD平分∠ABC∴EO＝CO，BD⊥CE∴EF＝FC，DE＝CD，∵CF∥DE∴∠DFC＝∠FDE，且EO＝CO，∠FOC＝∠DOE ∴△DOE≌△FOC（AAS）∴DE＝CF∴EF＝FC＝CD＝DE∴四边形EFCD是菱形（2）当∠ACB＝120度时，四边形CDEF是正方形，理由如下：∵∠ACB＝120°，BC＝AC∴∠ABC＝∠BAC＝30°∵BD平分∠ABC∴∠DBC＝15°，且BD⊥EC∴∠BCO＝75°∴∠ACE＝45°，∵四边形EFCD是菱形∴∠FCD＝2∠ACE＝90°∴四边形CDEF是正方形，∴∠ADE＝90°如图，过点C作CP⊥AB于点P，∵BC＝AC＝6，∠ABC＝30°，CP⊥AB∴CP＝3，BP＝CP＝3，AB＝2BP＝6，∴AE＝AB﹣BE＝6﹣6∵∠A＝30°，∠ADE＝90°∴DE＝AE＝3﹣317．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．18．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH＝DF＝，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM＝，∴HM＝HF﹣FM＝，在Rt△EHM中，EM＝＝．19．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO．∵△ACE是等边三角形，∴AE＝CE．∴BE⊥AC．∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AEB+∠EAO＝90°∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO＝60°，∴∠AEB＝30°∵∠AEB＝2∠EAB，∴∠EAB＝15°，∴∠BAO＝∠EAO﹣∠EAB＝60°﹣15°＝45°．又∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD＝2∠BAO＝90°∴四边形ABCD是正方形．21．解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由（2）知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。

19年秋北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》同步练习

第 30 题．
时，关于的方程是一元二次方程．
第 31 题．某种洗衣机的包装箱外形是长方体，其高为 1．2 米，体积
为 1．2 立方米，底面是正方形，则该包装箱的底面边长为
米．
5
1.答案： 2.答案：Ｃ
3.答案：Ａ 4.答案：（1），二次项系数为：，一次项系数，常数项为．（2），二次项系数为 2，一次项系数为，常数项为． 5.答案：Ｃ 6.答案：
第 7 题．关于的方程是一元二次方程，求的值．
第 8 题．方程化为一般形式后，二次项系数是
，一次项系数是
，常
数项是
．
第 9 题．若是一元二次方程，则不等式的解集是
．
第 10 题．下列方程中，不是整式方程的是（
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
第 11 题．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（
第 14 题．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）；（2）（3）．
第 15 题．不解方程，估计方程的根的大小（精确到 0．1）
第 16 题．下列方程中属于一元二次方程的是（
）
Ａ．．
Ｂ．．
Ｃ．．
Ｄ．．
第 17 题．关于的一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（
3. 一元二次方程 7x2－2x=0 的二次项、一次项、常数项依次是
A. 7x2,2x,0
B. 7x2,－2x，无常数项
C. 7x2,0,2x
D. 7x2,－2x,0
4. 方程 x2－ =( － )x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是

北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题

北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ，即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形．在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。

北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案

北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若OB=5．则AC=（）A．10 B．8 C．5√3D．52．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则AB的长度为（）A．1 B．√2C．√3D．23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC 的度数是（）A．18°B．36°C．45°D．72°4．如图，在矩形ABCD中E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，且G，H分别是BE，BF的中点，已知BD=20，则GH的长为( )A．4B．5C．8D．105．如图∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点（点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC 于点F，则EF的最小值为（）A．4 B．4.8C．5.2D．66．如图，在矩形纸片ABCD中AB=10，AD=6点E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上点F处，则AE长为（）A．83B．72C．103D．1347．如右图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，则在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（）A．15 B．5+5√5C．10+5√2D．18二、填空题9．在矩形ABCD中AB=2，对角线AC与BD相交于点 O，若∠BAO=60°，则边BC的长为．10．如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°若AB=3cm，则AC=cm．11．如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1=70°，则∠KNC=°12．如图，在矩形ABCD中AB=2AD=6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将ΔADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM,BM，当ΔBCM为等腰三角形时，BP的长为．13．如图，在矩形ABCD中AB=8，BC=12，E为BC上一点，CE=4，M为BC的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且PE=2QE．若PD和AQ交于点F，连接MF，则MF的最小值为．三、解答题14．如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的D′处AB=6cm，BC=10cm求CE的长．15．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，且AB=4，BE=3，EF=6，AF=√61求三角形AEF的面积．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE=CG,BF=DH，连接EG、FH．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）若EG=FH,∠AHE=35°，求∠DHG的度数．17．如图，四边形ABCD中∠DAB=45°，AB=8，AD=3√2，E为AB中点，且CD⊥DE，连接CE．（1）求DE的长度；（2）若∠BEC=∠ADE，求BC的长度．18．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点。

北师大版九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题(含答案,教师版)

北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B) A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为（A）．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．已知关于x的一元二次方程x2－2kx－8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x的方程x2＋mx－2n＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m＋n的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x2－3x－10＝0．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则m＋n＋mn＝－1．11．若x1＋x2＝3，x21＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是x2－3x＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2．13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若a 为正整数，求a 的值；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝16，求a 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0.解得a ＜3. ∵a 为正整数， ∴a ＝1或2.(2)∵x 21＋x 22－x 1x 2＝16， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2， ∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16. 解得a 1＝－1，a 2＝6. 又由(1)知a ＜3， ∴a ＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0. ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k－4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围．解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求m n ＋n m 的值．解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；(3)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，且1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，求m 的值．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4m ＋8＞0.∴m＜2. ∴当m ＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，则x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＝m －1＞0.∴m＞1. ∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m ≤2.∴m 的取值范围是1＜m≤2. (3)由题意可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1. ∵1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，∴1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，即1＋m －1＝22－2(m －1)．解得m ＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0. (1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)． ∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0，即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0，解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2. 当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。

北师大版数学九年级上册2.3用公式法求解一元二次方程同步练习题及

北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程 2.3用公式法求解一元二次方程同步练习题1.一元二次方程 x2＋2 2x－6＝ 0 的根是 ( )A．x1＝x2＝2 B ．x1＝0，x2＝2 2C．x1＝2， x2＝－32D．x1＝2，x2＝3 22. 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a ≠0) 有实数根，则 b2－4ac 知足的条件是 ( ) A．b2－4ac＝0 B ．b2－4ac＞0 C．b2－4ac＜0 D ．b2－4ac≥03.直角三角形两条直角边之和为 7，面积为 6，则斜边长为 ( )A.37B．5 C.38D． 74.方程x2－4x＝0中，b2－4ac的值为()A．－ 16B． 16C．4D．－ 45.方程 x2＋x－1＝0 的一个根是 ( )A．1－5 B. 1－ 5C ．－ 1＋5 D.－1＋ 52 26.一元二次方程 x2＋2x＋1＝0 的根的状况是 ( )A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根7.已知命题“对于 x 的一元二次方程 x2＋bx＋1＝0，当 b<0 时，必有实数解”，能说明这个命题是假命题的反例是 ( )A．b＝－1 B ．b＝2 C．b＝－ 2 D ．b＝08.以下选项中，能使对于 x 的一元二次方程 ax2－4x＋c＝ 0 必定有实数根的是 ( ) A．a＞0 B ．a＝0 C．c＞0 D ．c＝09.a，b，c 为常数，且 (a －c) 2＞a2＋c2，则对于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的状况是( )A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．有一根为 010.对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a ≠0) ，当 b2－4ac>0 时，方程有的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有的实数根；当b2－4ac<0时，方程____实数根．我们把叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0( a≠0)的根的鉴别式，往常用希腊字母“ ”来表示．11.方程 x2－x－12＝0 的解为．212.一个正方形的边长减少 3 cm后，它的面积比原面积的一半还少 1 cm，则本来的边长为 ____．13.一小球以15m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h( m) 与时间 t( s) 知足关系 h＝15t －5t 2，则小球经过 ____s 达到 10 m 高．14.若对于x的一元二次方程x2－4x－m＝0 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．15.若实数范围内定义一种运算“ * ”，使 a*b ＝(a ＋1) 2－ab，则方程 (x ＋2)*5 ＝0 的解为．16.一元二次方程 2x2－3x－1＝0 中，a＝____，b＝____，c＝____，b2－4ac＝ ____，方程的解为 x1＝， x2＝．17.用公式法解方程：(1)2x 2－3x＋1＝0；(2) x2－23x＋3＝0.18.解方程2x2＋4 3x＝2 2. 有一位同学解答以下：这里 a＝2，b＝4 3，c＝2 2，∴ b2－4ac＝(4 3) 2－4×2×2 2＝32.∴x＝－b± b2－4ac －4 3±326±2，2a＝2＝－2∴x1＝－ 6＋2，x2＝－ 6－2.请你剖析以上解答有无错误，若有错误，指犯错误的地方，并写出正确的结果．19.已知对于x 的一元二次方程ax2＋bx＋ 1＝0(a ≠0) 有两个相等的实数根，求ab2（a－2）2＋b2－4的值．2 220.已知对于x的方程x－2(m＋1)x＋m＝0.(1)当 m取何值时，方程没有实数根；(2)为 m选用一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．21.如图，在宽为 20 米，长为 30 米的矩形地面上修筑两条相同宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551 平方米，则修筑的路宽应为多少米？22. 某新建火车站站前广场需要绿化的面积为2 2 46 000 m，施工队在绿化了22 000 m后，将每日的工作量增添为本来的 1.5 倍，结果提早 4 天达成了该项绿化工程．(1)该项绿化工程原计划每日达成多少平方米？(2)该项绿化工程中有一块长 20 m，宽 8 m的矩形空地，计划在此中修筑两块相同的2矩形绿地，它们的面积之和为56 m，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道( 以下图 ) ，问人行通道的宽度是多少米？参照答案：1---9 CDBBD BADB10. 两个不相等两个相等没有b2－4ac11. x 1＝4，x 2＝－ 312. 10cm13. 1 或 214. m ＞－ 415. x 1＝－1＋ 5 －1－ 5，x 2＝2 216. 2 －3 －1 17 3＋ 173－ 174 43±1 117. (1) ∵Δ＝ 9－4×2×1＝1，∴ x ＝4 ，∴ x 1＝1，x 2＝2(2) ∵Δ＝ 12－4×3＝0，∴ x 1＝x 2＝ 318. 有错误，错误的原由是没有将方程化为一般形式，c 应为－ 2 2，结果是 x ＝－ 6±2 22 ab2 ab2 b219. ∵b －4a ＝0，∴原式＝ a2－4a ＋4＋b2－4＝ a2 ＝ a ＝42 2 120. (1) ∵Δ＝ [ －2(m ＋1)] －4m<0，∴m<－2(2) 取 m ＝0，代入解得 x 1＝0，x 2 ＝221. 设道路宽为 x 米，由题意得 (30 －x) ·(20 － x) ＝551，解得 x 1 ＝1，x 2＝49( 舍去 ) ．答：修筑的道路的宽应为 1 米22. (1) 设该项绿化工程原计划每日达成 x m 2，依据题意得 46 000 －22 000 － 46 000 －22 000 ＝4，解得 x ＝2 000 ，x 1.5x经查验， x＝2 000 是原方程的解，答：该绿化项目原计划每日达成 2 000 平方米(2)设人行通道的宽度为 x m，依据题意得 (20 －3x)(8 －2x) ＝56，26解得 x1＝2 或 x2＝3 ( 不合题意，舍去 ) ．答：人行通道的宽为 2 米。

北师大版九年级数学上册同步练习第2章

北师大版数学九年级上册第二章第1节认识一元二次方程同步练习1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ．x 2＋21x＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．3x 2－2xy －5y 2＝0 2．若方程(m ＋2)x ∣m ∣＋3x －1＝0是关于x 的一元二次方程，则m ＝______．3．下列数中：－1，2，－3，－2，3，是一元二次方程x 2－2x ＝3的解的有 ___________． 4．方程()45x x －＝化为一般形式为( )A ．2450x x =－＋B ．2450x x =＋＋C ．2450x x =－－D ．2450x x =＋－ 5．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( )A ．3、7、4B ．3、7、﹣4C ．3、﹣7、4D ．3、﹣7、﹣4 6．将一元二次方程2514x x =－化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为( )A ．5、－4B ．5、4C ．5x 2、4xD ．5x 2、－4x 、 7．一元二次方程x 2－4＝0的根是( )A ．－2B ．±2C ．2D ．以上都不对 8．关于x 的方程x 2＋x －a ＝0一个解是x ＝1，则a 为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－19．下列方程中关于x 2203x =－；②21kx x =－3；③211x x x－－＝；④()210x x x －＋＝；⑤()2320k x kx ＋－＝；⑥221x ax =－；是关于x 一元二次方程的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4 10．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是．11．下列数中－1，－2，1，2，是一元二次方程一元二次方程x 2－x －2＝0的根是___________． 12．若0是一元二次方程22610x x m ＋＋－＝的一个根，则m 的取值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．以上都不是 13．已知关于x 的方程20x bx a =＋＋有一个根是－a (a≠0)，则a －b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．214．在一次聚会时，x 个人见面后每两人握一次手，共握手10次，则可列方程( )A ．()110x x =－B ．()2110x x =－C ．()1102x x =⨯＋D ．()1102x x =⨯－15．某地区的消费品月零售总额持续增长，九月份为⒈2亿元，十月、十一月两个月一共为2．8亿元．设九月份到十一月份平均每月增长的百分率为x ，则可列方程( )A ．()1.212 2.8x ＋＝ B ．()21.212.8x ＋＝ C ．()1.2.21 2.8x =＋1＋ D ．()()21.21 1.212.8x x =＋＋＋16．已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个根，求代数式4m 2－4m －2的值． 17．若()1160m m x mx -＋＋＋2＝是关于x 的一元二次方程，求m 的值．18．把下列一元二次方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项系数，一次项系数，常数项．(1)(3x －2)(2x －3)＝x 2－5； (2)(x 2＋7)＝x ＋2．19．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是x ＝－1，求m 的值．20．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2＋5x ＋m 2﹣3m ＋2＝0有一个根为0，求m 的值．21．已知x 2＋3x ＋5的值为7，求代数式3x 2＋9x ﹣2的值22．试判断：关于x 的方程（2a —4）x 2－2bx ＋c ＝0．（1）何时为一元二次方程？（2）何时为一元一次方程？答案：1．C2．m＝23．－1,34．C5．C6．A7．B8．A9．B10．2x2－x＋12＝0；a＝2，b＝－1，c＝12；11．2，－112．C13．A14．D15．D16．解：由已知，得m2－m－2＝0∴m2－m＝2∴4m2－4m－2＝4(m2－m)－2＝4×2－2＝6．17．m＝118．（1）3x2－5x＋1＝0；a＝3，b＝－5，c＝1；（2）3x2－5x＋1＝0；a＝3，b＝－5，c＝1；19．m＝－320．m＝221．解：由已知，得x2＋3x＋5＝7∴x2＋3x＝2∴3x2＋9x－2＝3(x2＋3x)－2＝3×2－2＝4．22．（1）a≠2；（2）a＝2且b≠0；北师大版数学九年级上册第二章第2节用配方法解一元二次方程（第1课时）1．16的平方根是( )A ．4B ．－4C ．±4D ．±8 2．方程x 2＝9的解是( )A ．x 1＝x 2＝3B ．x 1＝x 2＝－3C ．x 1＝3，x 2＝－3D ．x ＝33．方程x 2＝3的解是( )A ．12x x =＝B ．12x x =＝C ．1x 2x =D ．x ＝34．方程()210x -=的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝x 2＝1C ． x 1＝x 2＝－1D ． x 1＝1，x 2＝－25．方程()219x -=的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ． x 1＝4，x 2＝－4C ． x 1＝4，x 2＝－2D ． x ＝36．若1是一元二次方程x 2＋x －m 2＝0的一个根，则m 为． 7．直接写出方程的解：（1）()2190x -=＋的解是__________；（2）()2316x -=的解是__________． 8．直接写出方程的解：（1）x 2＋2x ＋1＝9的解是；（2）x 2－2x －3＝0的解是__________． 9．用直接开方法解方程．⑴9x 2＝25 ⑵2x 2－98＝0⑶3(x －2)2＝0 ⑷3(x －1)2＝2710．如果12x =是关于x 的方程22320x ax a -=＋的根，求关于y 的方程23y a -=的解．11．一元二次方程2+2990x x -=变形正确的是( )A ．()2+1100x =B ．()21100x =﹣C ．()2+2100x = D ．()22100x -=12．将方程2250x x --=变形为()2+x m n =的形式正确的是( )A ．()2+16x =B ．()2+29x =C ．()216x -= D ．()229x -=13．方程3x 2＝2的根是___________．14．一元二次方程22426x x -＋＝的根是___________．15．解下列方程：⑴()22510x +-= ⑵（x －2）2＝9⑶()23175y -= ⑷2215x x -＋＝⑸()2531250x --= ⑹24415x x -＋＝16．用配方法解下列方程：⑴x 2＋2x －3＝0 ⑵x 2－6x －8＝0⑶x 2－8x ＋7＝0 (4)x 2－4x ＝1(5)x 2－4x －6＝0， (6) x 2＋12x +36＝017．已知x 、y 、z 满足2246130＋＋-=x x y y ，求代数式()zxy 的值．答案：1．C 2．C 3．C 4．B 5．C 6．±27．（1）4或-2；（2）7或-1； 8．（1）2或-4；（2）3或-1；9．（1）x 1＝53，x 2＝－53；（2）x 1＝7，x 2＝－7；（3）x 1＝2＋33，x 2＝2－33；（4）x 1＝4，x 2＝－2； 10．y 1＝2，y 2＝－2； 11．A 12．C13．x 1=63，x 2=-63； 14．x 1＝1＋3，x 2＝1－3； 15．（1）x 1＝－2，x 2＝－3；（2）x 1＝5，x 2＝－1；（3）y 1＝6，y 2＝－4；（4）x 1＝1＋5，x 2＝1－5；（5）x 1＝8，x 2＝－2；（6）x 1＝1＋52，x 2＝1－52；16．（1）x 1＝1，x 2＝－3；（2）x 1＝3＋17，x 2＝3－17；（3）x 1＝7，x 2＝－1；（4）x 1＝2＋5，x 2＝2－5；（5）x 1＝2＋10，x 2＝2－10；（6）x 1＝x 2＝－6； 17．解：由已知，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0∴（x －2）2＋（y ＋3）2＋z ＋2＝0 ∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2．∴（xy）z＝[2×（－3）]－2＝（－6）－2＝1 36．北师大版数学九年级上册第二章第4节用因式分解法解一元二次方程同步练习1．方程x（x+3）＝x的解是（）A．x1＝x2＝﹣3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0．x2＝﹣2 2．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝33．方程（x+1）（x﹣3）＝﹣4的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝x2＝14解方程（5x﹣3）2＝2（5x﹣3），选择最适当的方法是（）A．.直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法5．方程x2－3x－4＝0的所有根为( )A．x1＝－1，x2＝－4；B．x1＝－1，x2＝4 ；C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－46．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )A．x＝2 B．x＝－3 C．x1＝2，x2＝－3 D．x1＝－2，x2＝37．方程x(x－2)＝x－2的根是( )A．x＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝1，x2＝2 D．x＝28．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A．16 B．24 C．16或24 D．489．若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则这个三角形的周长为（）A．7 B．3或7 C．15 D．11或15 10．将下列多项式分解因式（1）x2－5x＝＝___________；（2）2x(x－3)－5(x－3) ＝___________；（3）x2＋2x－8 ＝___________；（4）9x2－6x＋1＝0＝___________；11．元二次方程x(x－1)＝x的解是____ ．12．小华在解一元二次方程x2－4x＝0时，得出一个根是x1＝4，则另一个根是x2＝______．13．用适当解下列方程：(1)5x2－2x＝0；（可提公因式）⑵9x2－4＝0（平方差公式）(3)y2＋2y＝15．(4) (x－1)2－2(x－1)＝02＝3x（可移项再提公因式）； (6)(x－2)(x＋3)＝0(5)x14．已知：m是关于x的一元二次方程mx2－2x＋m＝0的一个根，求m的值．15．阅读材料，解答问题：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程化为y2－5y＋4＝0．解得y1＝4，y2＝1．①当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5．②当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±2．∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－5．在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．利用上面的方法解方程x 4－x 2－6＝0．16．已知：在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴上，且线段OA 、OB （OA ＜OB ）的长分别等于方程x 2﹣5x +4＝0的两个根，点C 在y 轴正半轴上，且OB ＝2OC ．（1）求A 、B 、C 三点坐标；（2）将△OBC 绕点C 顺时针旋转90°后得到△O ′B ′C ，求直线B ′C 的表达式．xy –1–2–3–41234–1–2–3–41234O答案： 1．D 2．D 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．C10．（1）x (x －5)；（2）(x －3)(2x －5)；（3）(x ＋4)(x －2)；（4）(3x －1)2； 11．x 1＝0，x 2＝2； 12．013．（1）x 1＝0，x 2＝25；（2）x 1＝23，x 2＝－23；（3）y 1＝－5，y 2＝3；（4）x 1＝1，x 2＝3；（5）x 1＝0，x 2＝3；（6）x 1＝2，x 2＝－3； 14．m ＝0，－1,1； 15．x ＝± 316．解：（1）解方程x 2﹣5x +4＝0得x 1＝1，x 2＝4， ∵OA ＜OB ， ∴OA ＝1，OB ＝4，∵A 、B 分别在x 轴正半轴上， ∴A （1，0）、B （4，0）；又∵OB ＝2OC ，且点C 在y 轴正半轴上 ∴OC ＝2，则C （0，2）；（2）∵将△OBC 绕点C 顺时针旋转90°后得△O ′B ′C ，∴OB ＝O ′B ′＝4，OC ＝O ′C ′＝2，∠COB ＝∠C O′B ′＝90°，∠OCO ′＝∠BCB ′＝90° ∴O ′（﹣2，2）、B ′（﹣2，﹣2），设直线B ′C 的解析式为y ＝kx +b ，把B ′（﹣2，﹣2），C （0，2）代入得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝－2b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝2b ＝2， ∴直线B ′C 的解析式为y ＝2x +2．xyA BCB'O'O北师大版数学九年级上册第二章第5节一元二次方程根与系数的关系同步练习1．若x 1、x 2是一元一次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是 ( ) A ．1 B ．5 C ．－5 D ．6 2．若x 1、x 2是一元一次方程x 2＋x －2＝0的两个根，则x 1·x 2的值是 ( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2 3．以3和—2为根的一元二次方程是（）A ．x 2＋x －6＝0 B ．x 2＋x ＋6＝0 C ．x 2－x －6＝0 D ．x 2－x ＋6＝0 4．已知x 2－(m －1)x －(2m －2)＝0两根之和等于两根之积，则m 的值为（） A ．1 B ．—1 C ．2 D ．—2 5．已知方程3x 2－5x －7＝0的两根为x 1、x 2，则下列各式中正确的是 ( ) A ．x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝7 B ．x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝－7 C ．x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝－73 D ．x 1＋x 2＝－53，x 1·x 2＝－73 6．设方程x 2＋x ﹣2＝0的两个根为α，β，那么α＋β﹣αβ的值等于（） A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．37．关于x 的一元二次方程x 2＋（a 2﹣3a ）x ＋a ＝0的两个实数根互为倒数，则a 的值为（） A ．﹣3B ．0C ．1D ．﹣3 或 08．关于x 的一元二次方程2x 2＋kx ﹣4＝0的一个根x 1＝﹣2，则方程的另一个根x 2和k 的值为（） A ．x 2＝1，k ＝2B ．x 2＝2，k ＝2C ．x 2＝1，k ＝﹣1D ．x 2＝2，k ＝﹣19．关于x 的一元二次方程x 2﹣5x ＋2p ＝0的一个根为1，则另一根为（） A ．﹣6B ．2C ．4D ．110．已知m 、n 是一元二次方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两个实数根，则1m +1n ＝（） A ．3B ．﹣3C ．13D ．﹣1311．一元二次方程x 2－4x －c ＝0的一个根是3，则c ＝_________，另一个根是_________． 12．一元二次方程x 2－x －3＝0两根的倒数和等于__________．13．关于x 的方程x 2＋px ＋a ＝0的根为x 1＝1＋2，x 2＝1－2，则p ＝______，q ＝____． 14．若x 1、x 2是方程x 2－5x －7＝0的两根，那么（1）x 2 1＋x 2 2＝________；（2）(x 1－x 2)2＝__________；15．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca ．根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 1x 2＋ x 2x 1＝．16．利用方程的根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积：（1）x 2－3x －5＝0 （2）2x 2＋5x －5＝017．已知x 1、x 2是一元二次方程2x 2－2x ＋1－3m ＝0的两个实数根，且x 1·x 2＋2(x 1＋x 2)＞0，求实数m 的取值范围．18．已知实数a 、b 满足等式a 2－2a －1＝0，b 2－2b －1＝0，求b a ＋ab 的值．19．已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0的两根是一个长方形形两邻边的长．（1）k 为何值时，方程有两个实数根；（2）当该长方形形的对角线长为5时，求k ．（3）当k 为何值时，矩形变为正方形？20．关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋m 2＋m ＝0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围．（2）设出x 1、x 2是方程的两根，且x 12＋x 22＝12，求m 的值．21．已知：关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）设方程的两根为x 1、x 2，且满足（x 1﹣x 2）2﹣17＝0，求m 的值．22．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＋k＋2＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使得等式1x1＋1x2＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．答案： 1．B 2．B 3．C 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 9．C 10．B 11．－3；1 12．－13 13．－2；－1 14．39；53 15．10；16．（1）x 1＋x 2＝3，x 1•x 2＝-5；（2）x 1＋x 2＝-52，x 1•x 2＝-52． 17．解：∵x 1、x 2是一元二次方程2x 2﹣2x ＋1﹣3m ＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝1，x 1•x 2＝1－3m2．又∵x 1﹣x 2＋2（x 1＋x 2）＞0， ∴1－3m 2＋2＞0 解得：m ＜53 （4分），又∵原方程有实数根，∴b 2﹣4ac ＝（﹣2）2﹣4×2×（1﹣3m ）＝4﹣8＋24m ＝﹣4＋24m ≥0， ∴m ≥16 （7分） ∴16≤m ＜53 （8分）18解：当a ＝b 时，原式＝1＋1＝2；当a ≠b 时，可以把a 、b 看作方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根， ∴a ＋b ＝2，ab ＝﹣1，∴b a ＋a b ＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝4＋2－1＝﹣6．综上所述：b a ＋ab 的值为2或﹣6．19．解：（1）△＝[﹣（k ＋1）]2﹣4×1×（14k 2＋1）＝2k ﹣3， ∵方程有两个实数根， ∴△≥0，即2k ﹣3≥0，解得：k ≥32，∴当k ≥32时，方程有两个实数根．（2）设方程x 2﹣（k ＋1）＋14k 2＋1＝0的两根分别为a 、b ，则a ＋b ＝k ＋1，ab ＝14k 2＋1，∵矩形的对角线长为5，即a 2＋b 2＝5，∴a 2＋b 2＝（a ＋b ）2﹣2ab ＝（k ＋1）2﹣2×（14k 2＋1）＝5，整理得：k 2＋4k ﹣12＝0，解得：k ＝2或k ＝﹣6（舍去）．∴当矩形的对角线长为5时，k 的值为2．（3）当矩形为正方形时，方程两根相等， ∴△＝2k ﹣3＝0，解得：k ＝32．∴当k 为32时，矩形变为正方形． 20．解：（1）根据题意得： △＝（2m ）2﹣4（m 2＋m ）＞0，解得：m ＜0．∴m 的取值范围是m ＜0．（2）根据题意得：x 1＋x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝m 2＋m ， ∵x 12＋x 22＝12， ∴(x 1＋x 2)2﹣2x 1x 2＝12，∴（﹣2m ）2﹣2（m 2＋m ）＝12，∴解得：m 1＝﹣2，m 2＝3（不合题意，舍去）， ∴m 的值是﹣2．21．解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根，∴△＝[π]2﹣4×1×（﹣2）＝m ＋8≥0，且m ≥0，解得：m ≥0．（2）∵关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根x 1、x 2，∴x1＋x2＝﹣π，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1＋x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m＋8﹣17＝0，解得：m＝9．22．解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x＋k＋2＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k＋2）≥0，解得：k≤﹣1．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＋k＋2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝2，x1·x2＝k＋2．∵1x1＋1x2＝k﹣2，∴x1＋x2x1·x2＝2k+2＝k﹣2，∴k2﹣6＝0，解得：k1＝﹣6，k2＝6．又∵k≤﹣1，∴k＝﹣6．∴存在这样的k值，使得等式1x1＋1x2＝k﹣2成立，k值为﹣6．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（1）x1＝，x2＝；（2）x1＝，x2＝；（3）x1＝，x2＝；（4）x1＝，x2＝；（5）x1＝，x2＝；（6）x1＝，x2＝；北师大版数学九年级上册第二章第6节应用一元二次方程（第1课时）同步练习1．在长为100m，宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽应为xm，则可列方程为（）A．100×80－100x－80x＝7644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644C．(100－x)(80－x)＝7644 D．100x＋80x＝3562．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．100(1＋x)＝121 B．100(1－x)＝121 C．100(1＋x)2＝121D．100(1－x)2＝1213．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560(1＋x)2＝315 B．560(1－x)2＝315 C．560(1－2x)2＝315D．560(1＋x2)＝3154．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为()A．200(1＋x)2＝1000 B．200＋200×2x＝1000C．200＋200×3x＝1000 D．200[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝10005．某厂今年一月的总产量为500吨，前三个月的总产量为720吨，平均每月增长率是x，根据题意可列方程___________ _____．6．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

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九年级数学第一章证明（二）
班级姓名得分
一、选择题（36分）
1．以下列各组数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（）A．6，8，10 B．5，12，13 C．9，40，41 D．5，6，7
2．已知命题：全等三角形的面积相等，则其逆命题是（）A．不全等三角形的面积不相等
B．面积不相等的两个三角形不全等
C．面积相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积相等
3．对于直角三角形，下列条件不能判定它们全等的是（）A．一锐角和一直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．两个锐角对应相等
D．两条直角边对应相等
4．△ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有（）A．AB=AC B．AB=BC C．AC=BC D．∠B=∠C
5．△ABC中，边AB、AC的中垂线交于点O，则有（）A．O在△ABC 内部 B．O在△ABC 的外部
C．O在BC边上D．OA=OB=OC
6．已知D是△ABC的边BC上的一点，点B和C到AD的距离相等，那么线段AD是△ABC的
（）A．BC的垂直平分线 B．角平分线 C．中线 D．高线
7．如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．不能确定
8．点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（）A．BC的中线上B．BC边的垂直平分线上
C．BC边的高线上D．∠A的平分线所在的直线上
9．如果三角形的一个角的平分线也是中线，则该三角形是（）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．任意三角形
10．若一等腰三角形的腰长为4cm，腰上的高为2cm，则等腰三角形的顶角为（）
A．30° B．150° C．30°或150° D．以上都不对
11．若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形上 D．以上都不对
12．下列定理中逆定理不存在的是（）
A．等边三角形的三个内角都是60°
B．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C．同位角相等，两直线平行
D．全等三角形的对应角相等
二、填空题（36分）
13．若一个等腰三角形的腰长为4，底边上的高为2，则此等腰三角形的顶角为。

14．直角三角形两直角边分别是5cm,12cm，，则其斜边上的高为 cm。

15．有一个三角形的两边长为3，4，要使这个三角形是直角三角形，则第三边的长应为。

16．“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是。

17．用反证法证明“三角形中最多有一个是直角或钝角”时应假设。

中？答：
（填“能”或“不能”）。

19．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，分别交AB、BC于点D、E，若∠B=30°，
BC=10，则CE= 。

20．已知，如图，AB=CD，CE=DF，请添加一个条件：
，使△ACE≌△BDF。

21．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A的的平分线AD分
对边BC 为BD:DC=3:2，且BC=15cm ，则点D 到AB 边的距离为 cm 。

22．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交
AC 于点E ，如图所示，若△ABC 与△BEC 的周长分别为
30cm 和18cm ，则△ABC 的腰长为。

23．已知32
+42
=52
，52
+122
=132
，72
+242
=252
，那么在112
+a 2
=c 2
中，a= 。

24．△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为
50°，则△ABC 的底角∠B 为。

三、解答题（28分） 25．作图题（8分）
（1）如图，一个三角形状的水池，现要在水池内安装一个喷水头，且喷水头到池边的距离都
要相等，请用尺规找出喷水池的位置点P 。

（2）先用圆规画一个圆，然后在圆弧上确定三个点A 、B 、C ，作线段AB 、BC 的垂直平分线，
你能发现什么结论？
26．（5分）已知，如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分
别为E 、F ，且DE=DF 。

求证：△ABC 是等腰三角形
27．（5分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE 。

C
28．（10分）（1）如图，有四个直角三角形，在提供的三角形中，只有一刀剪下一个与原
三角形相似的三角形，请在图上画出四种不同的裁剪方法（标出必要的记号）。

方法（一）方法（二）方法（三）方法（四）（2）根据（1）的某种剪法，作为解决下列问题的突破口，先按裁剪法构图（作辅助线），
后解决问题。

问题：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，
求BC 和AD 。

D
C
B
A。