复变函数的积分

第三章 复变函数的积分
一、选择题：
1．设c 为从原点沿x y =2
至i +1的弧段，则=+⎰
c
dz iy x )(2
( )
（A ）
i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6
561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则
dz z z z
c
⎰+-2
)1)(1(为( ) （A ）
2i π （B ）2
i
π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则
=⎰+=dz z z
c c c 2
12sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则
=-⎰dz z z
c 2
)
1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π
5．设c 为正向圆周21
=
z ，则=--⎰dz z z z c
2
3)1(2
1
cos
( )
（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-
6．设ξξξξ
d z
e z
f ⎰=-=4
)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）1
7．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分
dz z f z f z f z f c
⎰
+'+'')
()
()(2)( ( )
（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定
8．设c 是从0到i 2
1π
+
的直线段，则积分=⎰c
z dz ze （ ）
（A ）2
1e
π-
(B) 2
1e
π-
- (C)i e
2
1π+
(D) i e
2
1π-
9．设c 为正向圆周022
2
=-+x y x ，则
=-⎰
dz z z c
1
)
4sin(
2π
( ) （A ）
i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π2
2- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则
=-⎰c dz i a z
z 2
)
(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）
e
i
π2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果
)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )
（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分
⎰
=--r
a z dz a
z 1
的值与半径)0(>r r 的大小无关 （B ）
2)(22≤+⎰c
dz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段 （C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析 （D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则
)(z f 在0=z 处解析
13．设c 为任意实常数，那么由调和函数2
2y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )
(A)c iz +2
（B ） ic iz +2
（C ）c z +2
（D ）ic z +2
14．下列命题中，正确的是( )
（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则
x
u
∂∂为D 内的调和函数 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数
15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )
（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -
（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）x
v i x u ∂∂-∂∂
二、填空题
1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰
c
dz z 2
2．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(2
3
3．设⎰
=-=2)
2sin()(ξξξξπ
d z
z f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则
=+⎰
c
dz z
z
z 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c z
dz i z e 5
)
(π
6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰c
dz z f ，那
么)(z f 在B 内
8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为
9．若函数2
3),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a
10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为 三、计算积分 1.
⎰=+-R z dz z z z
)2)(1(62
,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.
⎰=++22
42
2z z z dz
． 四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证
１．在B 内处处有0)(≠z f ； ２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有
0)
()
(=''⎰
c
dz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f r
a z <<==-，
则),2,1()
(!)()
(Λ=≤
n r r M n a f
n
n .
六、求积分⎰=1
z z
dz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e . 七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限
⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()
(lim
并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.
八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分
⎰
=+1
2
2
)
()1(z dz z z f z 并由此得出
⎰
π
θθθ
20
2
)(2
cos d e f i 之值.
九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明
2
222
2
22
2
2)
)(1()
(4)
)(1ln()
)(1ln(z f z f y
z f x
z f +'=
∂+∂+
∂+∂.
十、若)(2
2
y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.
答案 第三章 复变函数的积分
一、1．（D ） 2．（D ） 3．（B ） 4．（C ） ５．（B ）
６．（A ） ７．（C ） ８．（A ） ９．（A ） 10．（C ） 11．（C ） 12．（D ） 13．（D ） 14．（C ） 15．（B ） 二、1．2 2．i π10 3．0 4．i π6 5．
12
i
π 6．平均值 7．解析 8．
C x y +-)(2
122
9．3- 10．),(y x u - 三、1．当10<<R 时，0； 当21<<R 时，i π8； 当+∞<<R 2时，0.
2．0. 六、i π2. 七、0. 八、
,8)
()1(1
22
i dz z
z f z z π=+⎰
=π=θθ
⎰
π
θ2)(2
cos 20
2
d e f i . 十、321ln 2)(ic c z c z f ++=（321,,c c c 为任意实常数）.。