2017-2018学年人教A版选修4-1课件：第三讲3.2平面与圆柱面的截线

合集下载

高中数学人教A版选修4-1学案第3讲 1 2 3 平行射影平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线 Word版含解析

一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线．了解平行射影的含义，体会平行射影．．会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情况是圆)．(重点)．会用双球证明定理、定理.(难点)[基础·初探]教材整理射影阅读教材～，完成下列问题．．正射影给定一个平面α，从一点作平面α的垂线，垂足为点′，称点′为点在平面α上的正射影．一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．．平行射影设直线与平面α相交(如图--)，称直线的方向为投影方向．过点作平行于的直线(称为投影线)必交α于一点′，称点′为沿的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．图--下列说法正确的是( )．平行射影是正射影．正射影是平行射影．同一个图形的平行射影和正射影相同．圆的平行射影不可能是圆【解析】正射影是平行射影的特例，不正确；对于同一图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，故不正确；当投影线垂直于投影面且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，不正确；只有正确．【答案】教材整理两个定理阅读教材～，完成下列问题．．椭圆的定义平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．．两个定理定理：圆柱形物体的斜截口是椭圆．定理：在空间中，取直线为轴，直线′与相交于点，夹角为α，′围绕旋转得到以为顶点，′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴的交角为β(当π与平行时，记β＝)，则()β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；()β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；()β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．下列说法不正确的是( )。

2.2-2.3 平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线课件(人教A选修4-1)

返回
[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆．分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
返回
证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切．
返回
2．平面与圆锥面的截线
(1)如图，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α，
直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β(0<β<)，则： ① β>α ，l与AB(或AB的延长线)、AC相交； ② β＝α ③ β<α ，l与AB不相交；，l与BA的延长线、AC都相交．
返回
(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O 点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝
返回
在 Rt△PBQ1 中，PB＝PQ1cos α. PQ1 cos β ∴ ＝ . PA cos α PF1 又∵PQ1＝PF1，α＝β，∴ ＝1， PA 即 PF1＝PA，动点 P 到定点 F1 的距离等于它到定直线 m 的距离，故当 α＝β 时，平面与圆锥的交线为抛物线．
返回
本课时考点在高考中很少考查.2012年梅州模拟以
返回
当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因

人教A版高中数学选修4-1-3.2 平面与圆柱面的截线-课件(共17张PPT)

图3 8
也是确定的。这样，我们
就有理由猜想椭圆上的点与l1、l2有一定的关系。
我们还是从特殊情况
开始探究这种关系.由
前面对图 3 5 的探究 E l1 A
Q
可知，对于椭圆的长轴
G1
O1 K1
B
端点G 2，有
F1
G 2F1 G2E
cos
定值。
当点P在椭圆的任意位
置时，过P作l1的垂线，垂
P
下面我们探究椭圆的性质。
如图 3 8，设球O1、O2
与圆柱的交线圆所在
E l1 A Q
O1 K1
B
的平面分别为、，椭
G1 F1
圆所在的斜截面与它们的交线分别为l1、l2，、与所成的二面角
P
F2
G2
D
O2
C
l2 F
为，母线与平面的交
K2
角为。由于、、都是确定的，因此交线l1、l2
平面与圆柱面的截线
一、引入
给定一个平面,从一点A作平面的垂线，垂足为点A’。称点A'为点A在平面上的正射影。一个图形上各点在平面
上的正射影所组成的图形，称为这个图
形在平面上的正射影。
L
A
设直线l与平面相交图 3 1，
称直线l的方向为投影方向。过
A’
点A作平行于l的直线( 称为投
影线 )必交于一点A',称A’为沿 l的方向在平面上的平行射影。
如图 3 4。
图3 4
二、新知探究
探究如图 3 5，AB、CD是
两个等圆的直径 AB // CD ，
A E G1
O1
B
F1

高中数学人教A版选修4-1课件：3-2平面与圆柱面的截线

3.椭圆 (1)椭圆中的有关概念如图,F1,F2是椭圆的焦点,B1B2是F1F2的中垂线.我们把A1A2叫做椭圆的长轴,B1B2叫做椭圆的短轴,F1F2叫做椭圆的焦距.如果长轴长为2a,短轴长为2b,那么焦距2c=__________. 2 ��2 -��2
课前篇自主预习
(2)椭圆的性质 ①椭圆的准线椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比为定值 cos φ,我们把直线l1叫做椭圆的一条准线. 椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到直线l2的距离之比也为定值cos φ,所以l2是椭圆的另一条准线. ②椭圆的离心率记e=cos φ,我们把e叫做椭圆的离心率(其中φ是截面β与圆柱母线的交角).
课前篇自主预习
【做一做 2】已知一个平面截圆柱所得的截口是椭圆,其长轴长为 4.若圆柱底面半径为 3,则该椭圆的离心率等于 .
解析:依题意 2a=4,b= 3, 所以 c= ��2 -��2 =1,故 e=2.
答案:2
1
1
课前篇自主预习
思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”. (1)圆柱形物体的截口是椭圆. ( ) (2)椭圆的离心率越大,椭圆就越扁. ( ) (3)任何椭圆都有两条准线. ( ) (4)椭圆上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离之比为定值. ( ) (5)当圆柱形物体的斜截口是椭圆时,该椭圆的短轴长等于圆柱底面圆的直径. ( ) 答案:(1)× (2) (3) (4)× (5)
1 2
2 3 . 3
BG2=O1Btan∠G2O1B=2tan 60° =2 3.
∴G2F1+G2F2=BC=G2C+BG2=

人A版数学选修4-1讲义：第3讲 1 平行射影 2 平面与圆柱面的截线 3 平面与圆锥面的截线

一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线1．了解平行射影的含义，体会平行射影．2．会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情况是圆)．(重点)3．会用Dandelin双球证明定理1、定理2.(难点)[基础·初探]教材整理1射影阅读教材P43～P44，完成下列问题．1．正射影给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．2．平行射影设直线l与平面α相交(如图3-1-1)，称直线l的方向为投影方向．过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．图3-1-1下列说法正确的是()A．平行射影是正射影B．正射影是平行射影C．同一个图形的平行射影和正射影相同D．圆的平行射影不可能是圆【解析】正射影是平行射影的特例，A不正确；对于同一图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，故C不正确；当投影线垂直于投影面且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，D不正确；只有B 正确．【答案】 B教材整理2两个定理阅读教材P44～P51，完成下列问题．1．椭圆的定义平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．2．两个定理定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交。

高中数学新人教A版选修4-1课件：3.3平面与圆锥面的截线

分截的圆分别为S1,S2.
在截口上任取一点P,连接PF1,PF2.过点P和
圆锥的顶点O作母线,分别与两球切于Q1,Q2点,
则PF1=PQ1,PF2=PQ2,所以|PF1-PF2|=|PQ1PQ2|=Q1Q2,所以Q1Q2是两圆S1,S2所在平行平
面间的母线段的长,且为定值.
所以由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲
成角为α,当截面是椭圆时,其离心率等于(
)
sin cos sin cos
A.
B.
C.
D.
sin cos sin cos
答案:B
【做一做2-2】双曲线的焦距为4,实轴长为3,则离心率
e=
.
解析:设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则
2c=4,2a=3,
3
2

4
3
于是 c=2,a= . 故e= = .
M 目标导航
UBIAODAOHANG
题型一
题型二
Z 知识梳理
Z 重难聚焦
HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
解:点P是双曲线上任意一点,连接PF2,过点P作PA⊥m于点A,过点
P作PB⊥平面π'于点B,连接AB,过点P作母线交S2于点Q2,连接BQ2.
语
言
一条抛物线;如果平面不与母线平行,当平面只与圆锥的一半
相交,这时的交线为椭圆;当平面与圆锥的两个部分都相交,这
时的交线叫做双曲线
M 目标导航
UBIAODAOHANG
1
2
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦

数学人教A版选修4-1学案：课前导引第三讲第二节平面

第二节平面与圆柱面的截线
课前导引
情景导入
圆柱底面圆沿母线方向在斜截平面的平行投影,可以看作该平面与圆柱面的截线,直观上看是一个椭圆.果真是椭圆吗?
知识预览
1.椭圆的定义
平面上到两个定点(焦点)的距离之和等于定长(长轴长2a)的点的轨迹叫做椭圆.
2.定理1
圆柱形物体的斜截口是椭圆.
3.椭圆的性质
(1)如果长轴为2a,短轴为2b,那么2c=2a 2-b 2.
(2)准线:底面与截面的交线.
(3)离心率:e=cosφ=a
c ,其中φ是截面与母线的夹角. 5.Dandlin 双球是证明椭圆和探究性质的关键.
Dandlin 双球与截平面的切点是椭圆焦点.
Dandlin 双球的半径等于椭圆短半轴的长(b).。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

反之，如果根据所给条件能确定斜截面与已知圆柱母线的夹角，也可以确定两焦球的球心距离．
[变式训练] 一圆柱面底半径为 2，一截面与轴成 60°，从割平面上、下放入圆柱的两个内切球，使它们都与截面相切，则这两个切点的距离为( 2 3 A. 3 4 C. 3 答案：B 4 3 B. 3 8 D. 3 )
2．椭圆的组成元素如右图所示，F1、F2 叫做椭圆的焦点， F1F2 叫做椭圆的焦距，AB 叫做椭圆的长轴， CD 叫做椭圆的短轴． 3．椭圆的性质
2 2 2 a － b (1)如果长轴为 2a，短轴长为 2b，那么 2c＝________．
(2)准线：底面与截面的交线．
c (3)离心率：e＝cos φ＝a，其中 φ 是截面与母线的夹角．温馨提示在 Dandelin 双球模型中，双球与斜截面的切点，就是椭圆的焦点．并且椭圆的短轴长等于两球的直径，也就是圆柱底面圆的直径．
5c b2 B－ 3 ，－ 3 ，
2 2 4 y 25 c b 代入 x2＋ 2＝1 得＋ 2＝1， b 9 9b
2 又 c ＝1－b ，所以 b ＝ . 3
2 2 2
32 故椭圆 E 的方程为 x ＋ y ＝1. 2
2
32 答案：x ＋ y ＝1 2
2
类型 1 求椭圆的几何性质 [典例 1] 已知圆柱面的半径 r＝6，截割平面 β 与母线所成的角为 60°，求此截割面的两个焦球球心距离，并指出截线椭圆的长轴、短轴和离心率 e. 解：由两焦球球心距离等于截线椭圆的长轴长，故两 2r 焦球球心距离为＝8 3. sin 60°
证明：连接 AB，作 G1H⊥BG2，H 为垂足，则四边形 ABHG1 是矩形．
所以 G1H＝AB. 因为 Q1、Q2 分别是 P1、P2 的平行射影，所以 P1Q1 綊 P2Q2.
所以四边形 P1Q1Q2P2 是平行四边形．所以 Q1Q2＝P1P2，
即 Q1Q2 等于底面圆直径．所以 G1H＝AB＝Q1Q2＝2b. 又由切线长定理，G1A＝G1F1＝G2F2，G2F1＝G2B，所以 G2F1－G2F2＝G2B－G1A. 又 G1A＝BH，所以 G2F1－G2F2＝G2B－BH. 所以 F1F2＝G2H.
[变式训练] 已知圆柱的底面半径为 r，平面 α 与圆柱母线的夹角为 30°，则它们截口椭圆的焦距是( A．2 3r C. 3r 答案：A B．4 3r D．3r )
类型 2 椭圆性质的应用 [典例 2] 如图所示，已知球 O1、O2 分别切平面 β 于点 F1、F2.G1G2＝2a，Q1Q2＝2b， G1G2 与 Q1Q2 与垂直平分，求证：F1F2＝2 a2－b2.
2．用平面截下列曲面，所得的截线一定不是椭圆的是( ) A．球面 C．圆锥面 B．圆柱面 D．圆台面
解析：用平面截圆柱面、圆锥面、圆台面都可以得到椭圆，而用平面截球面所得到的截线是圆．答案：A
3．已知圆柱的底面半径为 r，平面 α 与圆柱母线的夹角为 30°，则它们截口椭圆的焦距是( A．2 3r C. 3r B．4 3r D．3r )
解析：如图所示，过 G2 作 G2H⊥AD 于点 H. 因为在 Rt△G1HG2 中， ∠HG1G2＝30°，HG2＝2r. 所以 G1G2＝2HG2＝4r.
所以截口椭圆的长轴 2a＝G1G2＝4r，短轴 2b＝2r. 所以焦距 2c＝2 a2－b2＝2 （2r）2－r2＝2 3r. 答案：A
4．已知圆柱的底面半径为 2，平面 π 与圆柱斜截口 1 的离心率为，则椭圆的长半轴是________． 2 4 3 答案： 3
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面与圆柱面的截线一定是椭圆．( (2)平面与圆柱面的截线可能是抛物线．( ) )
(3)圆柱面被斜截面截得的椭圆的短轴长等于圆柱的底面圆直径．( )
(4)改变斜截面与圆柱底面的夹角，所截得椭圆的离心率不变．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2 y 5．设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋ 2＝1(0<b<1)的左、 b
右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点．若|AF1| ＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为________．解析：不妨设点 A 在第一象限(如图)，因为 AF2⊥x 轴，
所以 A(c，b2)(其中 c2＝1－b2，0<b<1，c>0)．又因为|AF1|＝3|F1B|， → → 所以由AF1＝3F1B得
第三讲
圆锥曲线性质的探讨
3．2 平面与圆柱面的截线
பைடு நூலகம்
[学习目标] 1.能将一条直线与两个等圆的内公切的情形，推广为两个半径相同的球在一个平面的两侧均与该平面相切的情形，通过从平面图形向空间图形的过渡，探究定理 1 的证明，提高空间想象能力． 2.通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解．
截线椭圆的长轴长为 8 3，短轴长为 2r＝12，离心率 1 e＝cos 60°＝ . 2
归纳升华设斜截面与圆柱面的母线的交角为 φ，圆柱面的半径 2r 为 r，则截线椭圆的长轴长 2a＝，短轴长 2b＝2r，离 sinφ 心率 e＝cos φ，焦距 2c＝2acos φ＝2rcot φ.
[知识提炼· 梳理] 1．定理 1 圆柱形物体的斜截口是椭圆．温馨提示 (1)内切球：圆柱面与球面相切，该球叫做圆柱的内切球．(2)焦球：设平面 m 截割圆柱面，与平面 m 相切的圆柱面的内切球叫截割平面 m 的焦球．
圆柱的截割面的两侧各有一个焦球．若截割面是圆柱面的直截面时，两焦球与直截面切于同一点，即截线圆的圆心；若截割面是圆柱面的斜截面时，两焦球与斜截面的切点恰好是截线椭圆的两个焦点，此时称两焦球为丹德林 (Dandelin)双球．
2 在 Rt△G1G2H 中，G2H＝ G1G2 －G1H2＝
（2a）2－（2b）2＝2 a2－b2.故 F1F2＝2 a2－b2.
归纳升华设圆柱面的半径为 r，某截面的两焦球的球心距为 d(d>2r)，则截线椭圆的长轴长为 d，短轴长为 2r，焦距为
2 2 d － 4 r d2－4r2，离心率为 . d

2017-2018学年人教A版选修4-1课件：第三讲3.2平面与圆柱面的截线

高中数学人教A版选修4-1学案第3讲 1 2 3 平行射影 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 Word版含解析

2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)