结构力学专题七(3月23日)

1）在正确确定[K]、[M]前提下，可用它校核振型 计算的正确性； 2）已知振型、 [K]、[M]的条件下，可用它求振 型对应的频率；
3）可用正交性将任意位移分解成振型的组合； 4）可将多自由度问题化成单自由度问题来解决， 从而为多自由度体系强迫振动分析打下基础。
五、广义质量与广义刚度
定义
M * T M
n
y0 A i 0 B y i
将ｎ个特解进行线性组合，就得到微分方程的通解。
y(t ) ci ｉ sin(ｉ t ｉ )
0 确定。 其中系数c1 cn ,1 n由 2n个初始条件y0 、 y
按某一振型振动，只是多自由度体系自由振动的 特殊情况。
m, EI
(e)
sh L
n nL
sin L
sh L sin L
0
l
n 1,2,
（３）自振频率
n
（４）振型方程
n2 2 L2
EI m
Yn ( x) c4 sin nL x
(t ) 2T (t ) 0 T
T (t ) a sin( t )
(b)
(d )
Y ( x) 4Y ( x) 0
Y ( x) c1ch x c2sh x c3 cos x c4 sin x 则: y(t , x) aY ( x)sin( t )
例 7：
l
m
EI c
l
m
m
l l
2 2
l
l
l
2
2
第十章
结构动力计算
§10-4 无限自由度体系的自由振动* （１）任何弹性体系都是无限自由度体系； （２）无限自由度体系可用近似方法计算； （３）用精确法计算可以了解近似法的应用范 围和精确程度； （４）无限自由度体系与有限自由度体系相比， 除是时间函数外，还是位置坐标的函数； （５) 本节只讨论弹性等截面梁,弯曲振动。
i K j 0
T
(i j )
四、主振型正交性
振型正交性的物理意义 体系按某一振型振动时，在振动过程中，其惯性力 不会在其它振型上做功，这样能量就不会转移到其它振 型上，从而引起其它振型振动，这就是为什么当初始条 件与某一振型相符后，可以单独振动的原因。
四、主振型正交性 振型正交性的作用：
i 1
四、主振型正交性 对于同一个振动体系，它的两个不同振型之间存在 一个重要特性， 即主振型正交性。
第一振型正交性： 取两个不同振型，必对质量矩阵正交， 称为振型对质量矩阵正交；
i M j 0
T
(i j )
第二振型正交性： 取两个不同振型，必对刚度矩阵正交， 称为振型对刚度矩阵正交。
§10.4.1 无限自由度体系的运动方程
EI
4 y (t , x ) x4
2 y (t , x ) m t2
0
运动微分方程是偏微分方程。
§10.4.2 无限自由度体系的自由振动
EI
4 y x 4
2 y m 2 t
0
(a)
设： y（t，x） Y（x） T（t）
k3 k
k2 2k k1 2.5k
2.92
1.46 0.86 1
0.36 0.95 1
1.96
1
第一振型
第二振型
第三振型
草绘以下结构的振型图： 一班尝试求出频率 例 4：
m1 m m2 m
例 5：
m1
m2
5 l
m2
m1
l /3
EI l /3
EI c
l /3
例 6：
m
m
EI c
在( f )式中, Y(x) 是振型, 是自振频率;
(c)
(e) (f)
在( ｅ）式中，c1、c2、c3、c4由边界条件确定。
Y ( x) c1ch x c2sh x c3 cos x c4 sin x
(e)
y(t , x) aY ( x) sin( t )
(f)
①根据边界条件，得到求ｃ１—ｃ４的齐次方程； ②为使求ｃ１—ｃ４不全为零，得到求λ 的特征方程； ③对于无限自由度体系，λ 有无限个根；
④ 由
2
EI m
可得到无限个自振频率；
⑤对应于任一个频率ωn，得到ｃ１—ｃ４一组比值， 于是得到主振型Ｙｎ（ｘ）。 最后方程（ａ）的全解为无限个特解的线性组合。
?
k
2.92 1.96 1
1.46 0.86
0.36 0.95 1
1 13.36(1 / s)
2 29.40(1 / s)
1
3 44.61(1 / s)
第一振型 第二振型
第三振型
三、按主振型振动的条件
体系按第ｉ个振型振动的条件是初始条件应满足下 述条件之一： 若振动由初位移引起，则 若振动由初速度引起，则
M 1* 0 0 M n*
为广义质量矩阵
M
*
为对角阵，其中：
Mi i M i
* T
五、广义质量与广义刚度
同样定义
K
*

T
K
0 * Kn
为广义刚度矩阵
K *
K1* 0
k2
1
0.5
1
0.5
1
1
1 1
第一振型
第二振型
例2：用振型正交性验证主振型的正确性。
y1 (t )
l
EI
EI
m
y2 (t )
m
l/2 l/2
1
1
3.612
第一振型
0.276
第二振型
例3：用振型正交性验证主振型的正确性。
y3 (t ) y2 (t )
y1 (t )
m3 m
m2 1.5m m1 1.75m

y (t , x) anY ( x) sin( n t n )
n 1
其中待定系数ａｎ、α
ｎ由初始条件（初位移、初速度）确定。
Y ( x) c1ch x c2sh x c3 cos x c4 sin x
例１：计算图示结构的自振频率和振型。
m, EI
(e)
例３：求图示三层刚架的自振频率和振型。
已知 : m 180t, k 98MN/m。
y3 (t ) y2 (t )
y1 (t )
m3 m
m2 1.5m m1 1.75m
解：（ 1 ）首先确定位移方向；
（）求系数矩阵；
k3 k
k2 2k k1 2.5k
K
解：（１）边界条件
l
x 0,
x 0,
Y ( x) 0, Y ( x) 0, Y ( x) 0,
Y ( x) 0,
x L,
x L,
Y ( x) c1ch x c2sh x c3 cos x c4 sin x
例１：计算图示结构的自振频率和振型。 （２）特征方程
T

为对角阵, 其中 :
Ki i K i
*
例１：已求出图示体系的振型：
y1 (t )
m1
EI1
1 T 1
0.5;
2 T 1
1
y2 (t )
k1 m
2
EI1
用振型正交性验证主振型的正确性，
并求广义刚度与广义质量，进而求频率。