高中数学必修一几类不同的增长函数模型共22页文档
高中数学必修一《几类不同增长的函数模型》PPT
制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润
达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y
（单位：万元）随销售利润 x（单位：万元）的
增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖
金不超过利润的 25%.现有三个奖励模型：
= 0.25 ， = 7 + 1 ， = 1.002 ，其中
哪个模型能符合公司要求？
问题 2: 奖励方案
上述问题中对模型有哪些制约？
销售利润（自变量）大于等于10万
元，小于等于1000万；
随销售利润的增加而增加；
奖金总数不超过5万元；
奖金不超过利润的25%.
小组讨论
1. 判断哪个奖励模型不符合给出的制约，筛选出
符合要求的模型；
2. 如何判断筛选出的模型符合第4个制约；
155
；
目标检测 (2)
某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播
的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它
就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感
染其他20台未感染的计算机．现有10台计算机
被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算
机有多少台？
作 业
选择一个你所知道的增长模型，通过查找数据，判
断其增长方式，试找到其对应函数模型.
二；
8~10天，应选择方案二；
11天（含11天）以上，应
选择方案三.
日回报图与累计回报图比较
日回报图
方案一
方案三
250
累计回报图
方案二
方案一
方案三
700
600
500
累计回报（元）
日回报（元）
200
方案二
人教版数学高中必修一《几类不同增长的函数模型》ppt
y log7 x 1 0.25 是否成立？
x
x
思考8:综上分析，模型 y log 7 x 符合公
司要求.如果某人的销售利润是343万元，则
所获奖金为多少？
理论迁移
例 某工厂今年1月，2月，3月生产某种产 品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估 计以后每个月的产量，以这三个月的产品数 量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份数x的关系.模拟函数可以选用
累计回 报 0.4 1.2 2.8 6.0 12.4 25.2 50.8 102.0 204.4 409.2 818.8 …
思考4:分析上述三个函数的图象，你对指数 函数模型与线性函数模型的增长速度有何看 法？你对“指数爆炸”的含义有何理解？
y（元）
o
x（天）
思考5:到第30天，三个方案所得的回报分别 是多少元？
y=ax2+bx+c或y=a·bx+c.已知4月份该产品的 产量为1.37万件，试选用一个适当的模拟函 数.
小结作业
P98练习： 2. P107习题3.2A组：1，2.
3.2.1 几类不同增长的函数模型
第二课时 幂、指、对函数模型 增长的差异性
问题提出
1.指数函数y=ax (a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=x n (n>0)在区 间（0，+∞）上的单调性如何？
知识探究（二）：有条件函数模型的选择
问题: 某公司为了实现1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售人员的奖励方案: 在 销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖 励，且奖金y(单位: 万元)随销售利润x(单位: 万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万 元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖 励模型:
几类不同增长的函数模型课件(共22张PPT)
思维启迪:
依据图形建立四边形EFGH的面积S关 于自变量x的目标函数，然后利用解决 二次函数的最值问题求出S的最大值.
高中数学必修1同步辅导课程——几类不同增长的函数模 型
探究提高： 二次函数是我们比较熟悉的基本
不小于总成本）的最低产量是
（）
A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
解析 设利润为f（x）(万元)， 则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2) =0.1x2+5x-3 000≥0,∴x ≥150.
高中数学必修1同步辅导课程——几类不同增长的函数模 型
• [答案] 219.01
• [解析 ] 甲到期本利和为： 10000×[1＋ 2.88%×(1－20%)×5]＝11152(元)
• 乙到期本利和为：10000×[1＋2.25%×(1 －20%)]5＝10932.99(元)
•∴甲、乙所得本息之和的差为 219.01(元)．
2
∴ 面 积 S ＝ x(6 － x) ＝ － x2 ＋ 6x ＝ － (x － 3)2 ＋ 9≤9(m2)(当且仅当 x＝3 时取“＝”)，故选 A.
高中数学必修1同步辅导课程——几类不同增长的函数模 型
变式：如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a， BC=b（b<a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取
函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决 实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意 自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在 数轴上所表示的区间之间的位置关系讨论求解.
高中数学必修1同步辅导课程——几类不同增长的函数模 型
人教A版数学必修一几类不同增长的函数模型(二).pptx
f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )
目 链
接
自测 自评
解析：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A 错误；
开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，在任何时刻其变化幅
度应该小于即时价格变化幅度，B、D 均错误．
栏 目
链
答案：C
接
栏 目 链 接
题型一增长率模型
例1某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人 口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式． 栏
接
y＝ax(0＜a＜1) logax0＜x＜ax0
基础 梳理
栏 目 链 接
思考 应用
1．建立函数模型时常用的分析方法有哪些？
解析：建立函数模型常用的分析方法有：关系分析法．即通过
栏
寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型
目
链
的方法；列表分析法，即通过列表的方式探求问题的数学模型的方
接
3．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函
数类型增长的含义．
栏 目 链 接
基础 梳理
y＝ax(a＞1) y＝xn(n＞0) y＝logax(a＞1) logax0＜x＜ax0
栏 目 链
接
y＝2x，y＝x2，y＝log2x
基础 梳理
栏
目
链
答案：y＝logax(0＜a＜1) y＝xn(n＜0)
栏 目 链 接
自测 自评
答案：C
自测 自评
3．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲
线y＝f(x)，一种是平均价格曲线y＝g(x)[如f(2)＝3表示开始交易后第
【优质文档】2021届高中数学新人教版高中数学第一册几类不同增长的函数模型含解析
(1)设模拟函数为 y＝ax＋b 时，将 B，C 两点的坐标代入函数式，
3a＋ b＝1.3，
a＝ 0.1，
得
解得
2a＋ b＝1.2，
b＝ 1.
所以有关系式 y＝0.1x＋1.
不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模型恰好反映了这种 趋势．因此选用指数函数 y＝－ 0.8×0.5x＋1.4 模拟比较接近客观实际 .
通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找 出与实际最接近的函数模型．
方法归纳 数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世 界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学 模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问 题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增 长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．
1 3
1
0.2<1， c＝2 3 >1， ∴ 有
a<b<c.故选
A.
a＝log 1 3<log 1 1＝
2
2
答案： A
4．某同学最近 5 年内的学习费用 y(千元 )与时间 x(年)的关系如图
所示，则可选择的模拟函数模型是 ( )
A．y＝ax＋ b B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b
－0.8× 0.5x＋1.4.结论为： 当把 x＝4 代入得 y＝－ 0.8×0.54＋1.4＝1.35.
比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑
人教A版数学必修一几类不同增长的函数模型(一)
数学模型，对于一般的应用问题，不会让数学模型完全符合，只是
基本符合，对此，无最优解，只有满意解．
跟踪 训练
3．光线通过一块玻璃时，其强度要损失10%，把几块这样的
玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃后的强 度为y，则y关于x的函数关系式为________y＝__a_0_._9_x．
栏 目
栏 目 链 接
题型三 指数型函数模型的应用
例3按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为
r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数
关系式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5 期后本利和是多少？
栏 目
链
(“复利”：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金， 接
跟踪 训练
解析：本题是一分段函数应用题，函数关系已给出，关键是正确
理解题意，分段取值验算先取 k(n)＝0.03，由 0.03(n－5 000)＝400 解 栏
出
n>10
000，故不符合，再取
k(n)＝0.04，同样解得
n＝15
000，知
目 链
10 000<n<20 000 时，符合题意．
接
答案：D
关系，分(析2)：函由数题模目型可为获直取线以型下，主(3)要比信较息两：种(函1)通数过的图增象长给差出函数栏目链 异．答本题可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值 接 大小的比较．
解析：(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30， 35)，C(30,15)分别代入y1，y2得
目 链
的最值，从而解决实际问题中的最值问题．利用二次函数求最值时 接 特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
高中数学必修1基本初等函数常考题型几类不同增长的函数模型
几类不同增长的函数模型【知识梳理】指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝x a(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝n x(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝x a(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝n x(n>0)的增长x(a>1)的增长速度则会越来越慢．速度，而y＝loga因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有logx<n x<x a (a>1，n>0)．a【常考题型】题型一、函数模型的增长差异【例1】四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：[解析] 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．故填y2.[答案] y2【类题通法】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝x a(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y ＝nx (n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． 【对点训练】今有一组实验数据如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v1.54.047.51218.01( ) A ．v ＝2log t B ．v ＝12log tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，选C.题型二、指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x 3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 011)，g(2 011)的大小． [解] (1)C 1对应的函数为g(x)＝x 3，C 2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x 1<2,9<x 2<10，∴x 1<6<x 2,2 011>x 2.从图象上可以看出，当x 1<x<x 2时，f(x)<g(x)， ∴f(6)<g(6)．当x>x 2时，f(x)>g(x)，∴f(2 011)>g(2 011)．又g(2 011)>g(6)，∴f(2 011)>g(2 011)>g(6)>f(6)． 【类题通法】[由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．【对点训练】函数f(x)＝lg x ，g(x)＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C 1对应的函数为g(x)＝0.3x －1，C 2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x 1时，g(x)>f(x)；当x 1<x<x 2时，f(x)>g(x)；当x>x 2时，g(x)>f(x)；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f(x)＝g(x).题型三、函数模型的选取【例3】 某汽车制造商在2013年初公告：公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份 2010 2011 2012 产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将模型：二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系？[解] 建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)， 将点坐标代入， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f(x)＝x 2＋7x ，故f(4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g(x)＝1253·65x⎛⎫ ⎪⎝⎭－42，故g(4)＝1253·465⎛⎫⎪⎝⎭－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f(x)＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系． 【类题通法】不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．【对点训练】某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y 随生源利润x 的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝5log x ，y ＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝5log x ，y ＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝5log x的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝5log x 进行奖励才符合学校的要求．【练习反馈】1．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50 B ．y ＝1 000x C ．y ＝2x －1D ．y ＝11 000ln x 解析：选C 指数函数模型增长速度最快，故选C. 2．三个变量y 1，y 2，y 3，随着变量x 的变化情况如下表：则关于xA．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2解析：选C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.3．若a>1，n>0，那么当x足够大时，x a，n x，log a x的大小关系是________．解析：∵a>1，n>0，∴函数y1＝x a，y2＝n x，y3＝log a x都是增函数．由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x足够大时，x a>n x>log a x.答案：x a>n x>log a x4．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比x ln x增长的要快．答案：y＝x25．某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区．甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区．”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元．”丙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．”你觉得哪个公司最慷慨？解：三个公司在10天内捐款情况如下表所示：。
高一数学必修几种不同增长的函数模型-精品文档
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0.4 0.8 1.2
1.6
1.32 1.74 2.30
0.16 0.64 1.44
Байду номын сангаас
-1.32 -0.32 0.26
并在同一直角坐标系中，画出它们的函数图象。
结论1：
一般地，对于指数函数y=ax (a>1)和幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以发现： 在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定 范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长， 因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
x (a>1)的增长速度越来越 (2)、随着x的增大， y=a Evaluation only. 快，会远远大于y=xn (n>0)的增长速度。
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从上节课的两个例子中可以看到，这三类 函数的增长是有差异的，那么，这种差异 的具体情况到底怎么样呢？
函数y=2x， y=x2 ，y=log2x的函数值表
x y=2x y=x2 y=log2x
3.03 2.56 Evaluation only. 0.68 2.0 4.00 4.00 1.00 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 2.4 5.28 5.76 1.26 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 2.8 3.2 3.6 4.0 6.96 7.84 1.49 1.68 1.85 2.00 9.19 12.13 16.00 10.24 12.96 16.00