高二数学复习 课时提升作业(三十八) 7.1《空间几何体的结构及其三视图和直观图》文 新人教A版
高三数学《空间几何体的三视图》专题复习题含答案
高三数学空间几何体的三视图专题复习题含答案1．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是．A ．43πB ．2πC ．83πD ．103π2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．13πB ．12πC ．2πD ．π3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．54 B ．60 C ．66 D ．724．已知体积为3的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为A ．31B ．32C ．1D ．34 俯视图侧视图正视图俯视图侧视图正视图21222俯视图左视图正视图32545．已知四棱锥P ABCD-的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD-的四个侧面中的最大面积为A．3B．C．6D．86．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A．2B．4C．2+D．57．已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为A．5B．52CD．38．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为．A．28 3B．3C．28D．22+222433侧视图俯视图正视图俯视图侧（左）视图正（主）视图11215212俯视图侧（左）视图正（主）视图222244229．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是π，则它的表面积是A．πB ．4π3C．3πD．4π10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为A．4πB．3πC．4πD．4 3π11．已知某几何体的外接球的半径为3，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为．A．16B．16 3C．8 3D．812．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．15B．20C．25D．303 3侧视图2俯视图正视图13．如图所示，网格纸上小正方体的边长是1，粗实数及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．A．8πB．25 2πC．12πD．41 4π14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．BCD．315．某几何体的三视图，则该几何体体积是A．4B．4 3C．8 3D．2正视图俯视图俯视图侧（左）视图正（主）视图侧视图俯视图正视图16．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的是 A．B． C． D．17．若四面体的三视图如右图所示，则该四面体的外接球表面积为 ．18．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．19．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．正（主）视图俯视图侧视图俯视图正视图3侧视图俯视图正视图复习题详解1．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，则该几何体的体积是．A ．43πB ．2πC ．83πD ．103π解：由三视图可得该几何体是半径为1的半球，和底面半径为1， 高为2的圆锥的组合体，所以3314141122333V π=⨯π⨯+⨯π⨯⨯=．故选A ．2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．13πB ．12πC ．2πD ．π解：分析知该几何体为圆柱的一半，故体积为()2122V =⨯π⨯1⨯=π．故选D ． 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．54 B ．60 C ．66 D ．72俯视图侧视图正视图侧视图正视图俯视图左视图正视图32542543解：该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面积是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积()()25525411343535602222S +⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+++⨯=．故选B ． 4．已知体积为3的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为A ．31B ．32C ．1D ．34解：由正三棱柱的三视图还原几何体，如图所示．据侧视图知，底面正三角形的高为3，则其边长为2，11123234ABC A B C ABC V S h h -=⋅=⨯⨯=△，1h =．故选C ．5．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中的最大面积为A ．3B ．25C ．6D ．8 解：由几何体的三视图，画出其立体图形P ABCD -，如图所示．由题可知，顶点P 在底面上的投影是边CD 的中点，底面是边长为4AB =，2BC =的矩形．PCD △的高为22325-=，所以侧面PCD △的面积为C 1B 1A 1CBA222433侧视图俯视图正视图D CBAP243322142⨯=． 两个侧面PAD △，PBC △的面积相等为12332⨯⨯=．侧面PAB △的面积为1462⨯=．所以四个侧面中的最大面积为6．故选C ．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A ．2B ．4C ．2+D ．5 解：据三棱锥的三视图，还原几何体P ABC -，且PA ⊥平面ABC ，底面ABC △为等腰三角形，12222ABC S =⨯⨯=△，1122PAB PAC S S ==⨯=△△，122PBC S =⨯=△2222PAB PAC ABC PBC S S S S +++=+++=+△△△△．7．已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为A．5B．52C．33D．3俯视图侧（左）视图正（主）视图11215212俯视图侧（左）视图正（主）视图2111P CB A解：由三视图可得该几何体是一个直三棱柱，如图所示． 解法一:3个侧面的面积为2(125)S =++侧，由余弦定理可以求得底面的钝角为34π，所以一个底面三角形的面积为13112sin 242S π=⨯⨯=底，所以总面积为2S 底+S 侧=122(125)322252⨯+++=++．故选D ．解法二:侧面积同解法一．由左视图中的1得棱锥的底面三角形的高为1,所以一个底面三角形的面积为111122S =⨯⨯=底,所以总面积为2S 底+S 侧=32225++．故选D ． 8．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为． A ．283B ．2823C ．28D ．2263+ 解：由题意,还原的几何体ABC DEF -如图所示,上底面ABC △是直角边长为2的等腰直角三角形,下底面DEF △是直角边长为4的等腰直角三角形,高2CF =．则几何体ABC DEF -的体积为11112844422232323⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=．故选A ． 9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是π，则它的表面积是 A ．π22224422FEDCBAB ．4π3C ．3πD ．4π 解：由三视图知，原几何体为球体挖去14的部分而形成的几何体，设球的半径为r ，334=43V r =⨯ππ，1r =，2234+=44S r r =⨯πππ．故选D ．10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为A ．4πB ．3πC ．4πD ．43π 解：由三视图可得几何体为如图所示的四棱锥，其中PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，4PA =，所以5PB PD ==，所以13462PAD PAB S S ==⨯⨯=△△，115=3522PCD PBC S S =⨯⨯=△△，239ABCD S ==，所以11491233P ABCD ABCD V PA S -=⋅⋅=⨯⨯=，1562+2+9=362P ABCD S -=⨯⨯．设内切圆半径为R ，则球心到棱锥各面的距离均为R ，所以13P ABCD P ABCD S R V --⋅=，所以1R =，所以内切球的表面积244S R =π=π．故选C ．11，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为． A ．16俯视图正视图PDABCB ．163C ．83D ．8 解：为了便于理解，在正方体中还原此几何体，如图所示． 设正方体棱长为a ，则323a =，得2a =， 三棱锥的体积1182224222323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=．故选C ．12．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 解：该几何体的直观图如图所示，1134345520232V ⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=．故选B ．13．如图所示，网格纸上小正方体的边长是1，粗实数及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为． A ．8π B ．252π C ．12π D ．414π 解：由三视图可知，该多面体是四棱锥S ABCD -，如图所示，四棱锥所在正方体的棱长为2，SC BC ==()222223cos 52SCB ⨯-∠==⨯，则4sin 5SCB ∠=，所以SBC △的外接圆的半径152sin 4SB r SCB =⋅=∠，所以四棱锥的外接球的半径4R ==，故外接球的表面积24144S R π=π=．故选D ． 14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．BC．3 D．3解：体积为1(12)2×32+⨯=．故选B ．15．某几何体的三视图，则该几何体体积是 A ．4B ．43C ．83D ．2正视图俯视图122PC BA俯视图侧（左）视图正（主）视图解：借助长方体，在长方体中构建几何体．据三视图分析可得，还原后的几何体如图所示，三棱锥P ABC -．该几何体的体积1142323V =⨯⨯⨯=．故选B ．16．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的是 A．B． C．D． 解：由三视图还原几何体四棱锥D ABC -，如图所示，由主视图知CD ABC ⊥平面，设AC 的中点为E ，则BE AC ⊥，BE =2AE CE ==，由左视图得4CD =，BE =Rt BCE △中，4BC ===，同理4AB =，在Rt BCD△中，BD == 在Rt ACD△中，AD ===综上，四面体的六条棱中，长度最长的是A ．DCBA正（主）视图俯视图1侧视图俯视图正视图17．若四面体的三视图如右图所示，则该四面体的外接球表面积为 ． 解：由三视图得四面体的直观图，如图所示为三棱锥A BCD -，且该四面体的外接球即为图中的长方体的外接球，得()222222219R =++=，则249S R =π=π表．18．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．解：由几何体的三视图，在长为22的长方体中，还原其立体图形，如图中所示的AEF BCD -．故13V S h S h =-柱锥底底=11122212323⨯-⨯⨯=． 19．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．DCBA 122侧视图俯视图正视图32侧视图俯视图正视图解：如图所示,还原该几何体为四棱锥B ACED -,其中CE ⊥底面ABC ,AD ⊥底面ABC ,且四边形ACED 为矩形,ABC △为等腰三角形,AC AB ⊥,2EC DA BC ===,AC AB ==则=ABC DAB ECB EDB ACED S S S S S S ++++△△△△四边形=21111222232222+⨯⨯⨯+=+故填3+．EDCBA。
高中数学课时提升作业(三)中心投影与平行投影空间几何体的三视图
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一、选择题(每小题 4 分,共 8 分) 1.(2013·江西高考改编)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的构成为
()
A.一个半圆和一个圆柱 B.一个半圆柱和一个长方体 C.一个半圆柱和一个半球 D.一个圆柱和一个长方体 【解析】选 B.由三视图知,该几何体是一个组合体,上部分是半圆柱,底面半径为3, 高为 3;下部为长方体,长、宽、高分别为 10,4,5. 【变式训练】已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则在下列图形中,可 以是该几何体的俯视图的图形为 ( )
课时提升作业(三)
中心投影与平行投影 空间几何体的三视图
一、选择题(每小题 4 分,共 12分)
1.下列哪个实例不是中心投影 ( )
A.工程图纸
B.小孔成像
C.相片
D.人的视觉
【解析】选 A.根据中心投影的定义知道其为光线由一点发出来形成的投影,在这
几个选项中小孔成像、相片、人的视觉都是中心投影,只有工程图纸是平行投影,
【解析】由三视图可知,此几何体为一个正方体和四棱锥的简单组合体. 答案:正方体和四棱锥的简单组合体 【变式训练】(2014·西安高一检测)如图,下列选项不是几何体的三种视图的为
()
【解析】选 D.选项 A 为该几何体的侧视图; 选项 B 为该几何体的正视图;
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选项 C 为该几何体的俯视图; 而选项 D 中正侧视图上面应为矩形,而不是圆,俯视图下面的应为三角形而非矩 形,故 D 错误. 5.如图,点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心,点E为面B′BCC ′的中心,点 F 为 B′C′的中点,则空间四边形 D′OEF在该正方 体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号).
高中数学必修2 空间几何体的结构特征及三视图和直观图附答案
空间几何体的结构特征及三视图和直观图一．相关知识点1．空间几何体的结构特征2．空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。
(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线。
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线。
3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直。
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中还是平行于坐标轴的线段。
平行于x轴和z一、细品教材1．(必修2P15练习T4改编)如图为一个几何体的三视图，则该几何体是()A．四棱柱B．三棱柱C．长方体D．三棱锥2．(必修2P29B组T1改编)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积为()A．9π B．10π C．11π D．12π答案：1.B， 2.D二、基础自我检测1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体2．下列三种叙述，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。
A．0个B．1个C．2个D．3个3．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()4．如图所示，等腰△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形5．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是________。
第七章第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图
2016高考导航第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．多面体的结构特征(1)棱柱⎩⎪⎨⎪⎧底面：互相平行侧面：都是四边形，且每相邻两个侧面的公 共边都平行且相等(2)棱锥⎩⎪⎨⎪⎧底面：是多边形侧面：都是有一个公共顶点的三角形(3)棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分．2．3.(1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线． [做一做] 1．(2014·高考福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体 D ．三棱柱解析：选A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球体 D ．圆柱、圆锥、球体的组合体 解析：选C.当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．1．辨明三个易误点(1)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要强调截面与底面平行． (2)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．(3)几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系． 2．由三视图还原几何体的方法3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.[做一做]3．(2014·高考江西卷)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )解析：选B.该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.4．如图所示的直观图，其表示的平面图形是( )A ．正三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形答案：D考点一__空间几何体的结构特征________________给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3[解析]①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．[答案] B[规律方法]判定与空间几何体结构特征有关命题的方法：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．1.给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误的命题的序号是________．解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不准确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．答案：①②③④考点二__空间几何体的三视图(高频考点)________空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题．高考对三视图的考查常有以下三个命题角度：(1)根据几何体的图形，识别三视图；(2)三视图还原直观图；(3)根据几何体三视图中的两个视图，判断第三个视图．(1)(2013·高考四川卷) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)(2015·济宁模拟)点M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1所示，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图2中的()A．①②③B．②③④C．①③④D．②④③[解析](1)由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.(2)由正视图的定义可知：点A，B，B1在后面的投影点分别是D，C，C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②；同理可得侧视图为③，俯视图为④.[答案](1)D(2)B[规律方法](1)由实物图画三视图或判断、选择三视图，此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则；(2)由三视图还原实物图，解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次，要遵循以下三步：①看视图，明关系；②分部分，想整体；③综合起来，定整体．2. (2015·河南郑州质量检测)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选C.注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C中，，与题中所给的侧视图的宽度1不相等．其宽度为32考点三__空间几何体的直观图__________________已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．[解]如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则D′到x ′轴的距离为32a . ∵∠D ′A ′B ′＝45°，∴A ′D ′＝62a .由斜二测画法的规则知，在△ABC 中，AB ＝A ′B ′＝a ，AB 边上的高是A ′D ′的二倍，即为6a ，∴S △ABC ＝12a ·6a ＝62a 2.若将本例中△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形改为△ABC 是边长为a 的正三角形，求直观图△A ′B ′C ′的面积．解：如图所示的实物图和直观图．由图可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .在图中作C ′D ′⊥A ′B ′交x ′轴于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.[规律方法] 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出相应的多边形，因此平面多边形的直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．考题溯源——由三视图还原几何体(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱[解析] 如图，几何体为三棱柱．[答案] B[考题溯源]本考题是由教材人教A版必修2P15练习题第4题“如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．”演变而来．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有()A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D．①②③④答案：D1. (2015·青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为()解析：选C.长方体的侧面与底面垂直，所以俯视图是C.2．给出下列几个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选A.反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③显然错误，故选A.3．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()解析：选B.由于球与侧棱不相交，因此截面图中截面圆不可能与三角形的三条边都相切，排除A 、D ，又圆锥的高一定过球心，因此在截面图中三角形的高一定过截面圆的圆心，排除C ，故选B.4．(2015·山西省高三年级四校联考)如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A.根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体，∴几何体的体积V ＝3×2×1＋13×3×2×x ＝10，解得x ＝2.5．(2015·昆明三中、玉溪一中统考) 如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32B.33 C.34 D.36 解析：选B.设三棱锥V -ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高，还有VB 组成的直角三角形，其面积为12×32×43＝33，故选B.6．如图所示的Rt △ABC 绕着它的斜边AB 旋转一周得到的图形是________．解析：过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．答案：两个圆锥的组合体7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．解析：由三视图知该几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形．答案：28．(2014·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P-ABC.由三视图的形状特征及数据，可推知P A⊥平面ABC，且P A＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC ＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝2，所以最长的棱为PC，PC＝P A2＋AC2＝2 2.答案：2 29. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求P A .解：(1) 该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2 cm.由正视图可知AD ＝6 cm ，且AD ⊥PD ，所以在Rt △APD 中， P A ＝PD 2＋AD 2＝（62）2＋62＝6 3 (cm)．10．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积． 解：(1)正六棱锥．(2)其侧视图如图：其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，∴该平面图形的面积S ＝123a ·3a ＝32a 2.。
空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积高中数学分类题复习练习含答案解析北京海淀
空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2018·全国卷I高考理科·T7) 同(2018·全国卷I高考文科·T9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2B.2C.3D.2【解析】选B.将三视图还原为圆柱,M,N的位置如图1所示,将侧面展开,最短路径为M,N连线的距离,所以MN==2.2.(2018·全国卷I高考文科·T5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.12πB.12πC.8πD.10π【解析】选B.截面面积为8,所以高h=2,底面半径r=,所以该圆柱表面积S=π·()2·2+2π··2=12π.3.(2018·全国卷I高考文科·T10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为()A.8B.6C.8D.8【解析】选C.如图,连接AC1和BC1,因为AB⊥平面BB1C1C,AC1与平面BB1C1C所成角为30°,所以∠AC1B=30°,所以=tan30°,BC 1=2,所以CC1=2,所以V=2×2×2=8.4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T3)同(2018·全国Ⅲ高考文科·T3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()【命题意图】本题考查几何体的三视图,考查空间想象能力,体现了直观想象的核心素养.试题难度:易.【解析】选A.由直观图可知选A.5.(2018·全国Ⅲ高考理科·T10)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ()A.12B.18C.24D.54【命题意图】本题考查三棱锥的体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,体现了直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.【解析】选B.设△ABC的边长为a,则S △ABC=a2sin C=a2=9,解得a=6,如图所示,当点D在底面上的射影为三角形ABC的中心H时,三棱锥D-ABC 的体积最大,设球心为O,则在直角三角形AHO中,AH=××6=2,OA=R=4,则OH===2,所以DH=2+4=6,所以三棱锥D-ABC的体积最大值为V =S △ABC×DH=×9×6=18.6.(2018·北京高考理科·T5)同 (2018·北京高考文科·T6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 ()A.1B.2C.3D.4【命题意图】本小题主要考查空间几何体的三视图,意在考查三视图与直观图的转化,培养学生的空间想象能力,体现了直观想象的数学素养.【解析】选C.将四棱锥三视图转化为直观图,如图,侧面共有4个三角形,即△PAB,△PBC,△PCD,△PAD,由已知,PD⊥平面ABCD,又AD⊂平面ABCD,所以PD⊥AD,同理PD⊥CD,PD⊥AB,所以△PCD,△PAD是直角三角形.因为AB⊥AD,PD⊥AB,PD,AD⊂平面PAD,PD∩AD=D,所以AB⊥平面PAD,又PA⊂平面PAD,所以AB⊥PA,△PAB是直角三角形.因为AB=1,CD=2,AD=2,PD=2,所以PA==2,PC==2,PB==3,在梯形ABCD中,易知BC=,△PBC三条边长为2,3,,△PBC不是直角三角形.综上,侧面中直角三角形个数为3.7.(2018·浙江高考T3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8【命题意图】考查由三视图还原几何体的能力及空间几何体的体积.【解析】选C.由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,底面面积S==3,高h=2,所以V=Sh=6.8.(2018·全国Ⅲ高考文科·T12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ()A.12B.18C.24D.54【命题意图】本题考查三棱锥的体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,体现了直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.【解析】选B.设△ABC的边长为a,则S △ABC=a2sin C=a2=9,解得a=6,如图所示,当点D在底面上的射影为三角形ABC的中心H时,三棱锥D-ABC 的体积最大,设球心为O,则在直角三角形AHO中,AH=××6=2,OA=R=4,则OH===2,所以DH=2+4=6,所以三棱锥D-ABC的体积最大值为V=S △ABC×DH=×9×6=18.二、填空题9.(2018·全国卷II高考理科·T16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为.【命题意图】本题考查空间几何体的表面积公式的运用,同时考查了线线角和线面角的有关知识.【解析】如图:设SA=SB=l,底面圆半径为r,因为SA与圆锥底面所成角为45°,所以l=r,在△SAB中,AB2=SA2+SB2-2SA·SB·cos∠ASB=r2,AB=r,AB边上的高为=r,△SAB的面积为5,所以·r·r=5,解得r=2,所以该圆锥的侧面积为πr l=πr2=40π.答案:40π10.(2018·全国卷II高考文科·T16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°,若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.【命题意图】本题考查空间几何体的体积公式的运用,同时考查了线线角和线面角的有关知识.【解析】设底面圆的半径为r,底面圆心为O,因为SA与圆锥底面所成角为30°,所以SA=,SO=r,又直角△SAB的面积为8,所以=8,解得r=2.所以V=πr2·SO=π(2)2··2=8π.答案:8π11.(2018·天津高考理科·T11)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.【命题意图】本题考查四棱锥的概念、体积的求法,直线与平面的垂直,考查考生空间想象能力以及运算求解能力.【解析】依题意得:该四棱锥M-EFGH为正四棱锥,其高为正方体棱长的一半,即为,正方形EFGH的边长为,其面积为,所以四棱锥M-EFGH的体积V M-EFGH= Sh =××=.答案:12.(2018·天津高考文科·T11)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.【命题意图】本题考查四棱锥的概念、体积的求法,直线与平面的垂直,考查考生空间想象能力以及运算求解能力.【解题指南】依据题设条件,先找到四棱锥的高和底,利用体积公式即可求解.【解析】连接A1C1,交B1D1于O1点,依题意得A1O1⊥平面BB1D1D,即A1O1为四棱锥A 1-BB1D1D的高,且A1O1=,而四棱锥A1-BB1D1D的底面为矩形,其面积为,所以四棱锥A 1-BB1D1D的体积V=Sh=××=.答案:13.(2018·江苏高考·T10)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.【解析】平面ABCD将多面体分成了两个以为底面边长,高为1的正四棱锥,所以其体积为××1××2=.答案:。
高中数学 7.1空间几何体的结构特征及三视图和直观图课
【全程复习方略】（山东专用）2013版高中数学 7.1空间几何体的结构特征及三视图和直观图课时提能训练理新人教B版(45分钟 100分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.(2012·北京模拟)如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为( )2.将如图所示的一个直角三角形ABC(∠C＝90°)绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的主视图是下面四个图形中的( )3.(2012·威海模拟)如图所示的图形的直观图所表示的平面图形是( )(A)正三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形4.(2012·潍坊模拟)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为( )(A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)2 2二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2012·济南模拟)有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母，下图是从3种不同角度看同一骰子的情况，请问H反面的字母是.6.(2012·海淀模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC 的主视图与左视图的面积的比值为.三、解答题(每小题15分，共30分)7.已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成.8.一几何体按比例绘制的三视图如图所示.(1)试画出它的直观图(直接画出即可)；(2)求该几何体的表面积和体积.答案解析1.【解析】选B.主视图是沿垂直于平面ABB1M的方向的投影，注意到正方体的左侧面还有△ADN，其投影仍为原正方体的棱长，上底面有四边形MB1C1N的投影也是原正方体的棱长，故排除A；再注意到线段AM 与DC1的投影(一实线一虚线)，故选B.2.【解析】选B.由题意可得直角三角形绕斜边AB旋转一周所得几何体为具有公共底面的两个圆锥，故其主视图为具有公共底边的两个等腰三角形.【方法技巧】由直观图画三视图的技巧(1)可以想象将一几何体放在自己面前，然后从正前方，左侧及上面观察该几何体，进而得到主视图、左视图和俯视图.(2)在画三视图时，要注意看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线.3.【解析】选D.直观图中三角形中分别有一边和x ′轴、y ′轴平行，故原图形中这两边互相垂直，故选D.4.【解析】选B.由三视图知，该几何体为四棱锥P －ABCD(如图)，其中底面ABCD 是边长为2的正方形， PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2.故PB ＝PD ＝22， PA ＝22＋22＋22＝23，所以最长棱的长为2 3.5.【解析】由正方体共有六个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶点的三个面，又与标有S 的面相邻的面有四个，由图可知，这四个平面分别标有H 、E 、O 、P 四个字母，故能说明S 的反面是D ，翻转②使P 调整到正前面，S 调整到正左面，则O 为正下面，所以H 的反面是O. 答案：O6.【解析】三棱锥P －ABC 的主视图为底边是CD ，顶点在C 1D 1上的三角形，其面积是S 1＝12CD ·CC 1，左视图为底边是BC ，顶点在B 1C 1上的三角形，其面积是S 2＝12BC ·CC 1＝12CD ·CC 1，∴S 1S 2＝1.答案：17.【解析】图①几何体的三视图为：图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体. 8.【解析】(1)直观图如图所示，(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一部分，且该几何体的体积是以A 1B 1，A 1D 1，A 1A 为长，宽，高的长方体体积的34.在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1于E ，则A A 1EB 是正方形. ∴AA 1＝EB ＝1.在Rt △BEB 1中，EB ＝EB 1＝1， ∴BB 1＝ 2.∴几何体的表面积S ＝1111111111AA D D BB C C ABCD A B C D AA B B S 2S S S S 正方形矩形正方形矩形梯形＋＋＋＋＝1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2＝7＋ 2.几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32.即所求几何体的表面积为7＋2，体积为32.【变式备选】如图1，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图2为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形.(1)根据图2所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求侧棱PA 的长.【解析】(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2. (2)由左视图可求得 PD ＝22PC CD + ＝2266+＝6 2.由主视图可知AD ＝6且AD ⊥PD ， 所以在Rt △APD 中，PA ＝22PD AD +＝22(62)6+＝63(cm).。
数学一轮复习课时规范练38空间几何体的结构及其三视图直观图理
课时规范练38 空间几何体的结构及其三视图、直观图基础巩固组1。
下列说法中正确的是()A.斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B。
水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C.一个直四棱柱的主视图和左视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台2.(2020浙江衢州模拟）在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是(）A.圆B。
矩形C。
梯形 D.椭圆或部分椭圆3。
将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为()4.（2020江西南昌八一中学期中)如图,一个水平放置的面积是2+√2的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形,其中A'D’∥B’C'，则等腰梯形面积为（）A.12+√22B.1+√22C。
1+√2D。
2+√25.某三棱锥的三视图如图所示,其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中,最长棱的长度为()A。
2 B.2√2C.√6D.√26.(2020北京丰台一模）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面中,面积等于√3的有(）A。
1个 B.2个C.3个D.4个7。
正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示,则截面图形的形状为()A。
等腰三角形B.直角三角形C.平行四边形D。
梯形8。
(2020广东广雅中学模拟)如图正方形O’A'B’C’的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是cm.9。
（2020北京朝阳一模)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长为.(第8题图）(第9题图）综合提升组10。
如图是某几何体的三视图,则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是(）A.2 B。
√3D.1C。
√3211.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面M，N上取三点A，B,P,其中P为侧面N的对角线上一点(与对角线端点不重合）,A，B为侧面M的一条对角线的两个端点.若以线段AB为直径的圆过点P,则m的最小值为（)A.4 B。
课时作业11：空间几何体的结构、三视图和直观图
§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d2．(2016·全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20πB．24πC．28πD．32π3．(2016·大连一模)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P －A1B1A的侧视图是()4．(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B. 2 C. 3 D．25．(2017·黄山质检)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为()6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是________．(填序号)7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．8．(2015·北京改编)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是________．9.某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？(2)画出该几何体的直观图.10.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值.11.已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如图所示．(1)画出该正三棱锥的侧视图和直观图；(2)求出侧视图的面积.答案精析1．A 2.C 3.D 4.C 5.C 6.① 7.1 8．2＋2 59．解 (1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．10．解 如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的体对角线刚好为几何体的已知棱，则长方体的体对角线A 1C ＝7，则它的正视图投影长为A 1B ＝6，侧视图投影长为A 1D ＝a ，俯视图投影长为A 1C 1＝b ，则a 2＋b 2＋(6)2＝2·(7)2，即a 2＋b 2＝8，又a ＋b2≤ a 2＋b 22，当且仅当“a ＝b ＝2”时等号成立．所以a ＋b ≤4，即a ＋b 的最大值为4. 11．解 (1)如图．(2)侧视图中VA ＝ 42－(23×32×23)2＝12＝23，则S △VBC ＝12×23×23＝6.。
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课时提升作业(三十八)
空间几何体的结构及其三视图和直观图
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·兰州模拟)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )
【解析】选D.如图所示,点D1的投影为C1,点D的投影为C,点A的投影为B,故选D.
【加固训练】(2015·佛山模拟)用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是图中的( )
【解析】选B.截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B.
2.(2015·淄博模拟)某三棱锥的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为
( )
A.2
B.3
C.4
D.6
【解析】选A.由三棱锥的特点知侧视图为直角三角形,根据正视图和俯视图知,侧视图的两直角边长分别为2,2,所以侧视图的面积为×2×2=2.
3.(2015·安庆模拟)某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示的图形,则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )
A.(1)(3)
B.(1)(4)
C.(2)(4)
D.(1)(2)(3)(4)
【解析】选A.由几何体的正视图与侧视图可得出,此几何体上部一定是一个球,下部可以是一个正方体,或是一个圆柱体,故(1)(3)一定正确,第二个几何体不符合要求,这是因为球的投影不在正中,第四个不对的原因与第二个相同,综上,A选项符合要求.故选A.
【加固训练】(2015·广州模拟)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )
【解析】选D.由几何体的正视图和侧视图均为题干图中左图.结合四个选项中的俯视图知,若
为D,则正视图应为,故D不可能,所以选D.
4.(2015·绍兴模拟)如图,在下列四个几何体中,其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且
仅有两个相同的是( )
A.②③④
B.①②③
C.①③④
D.①②④
【解析】选A.①的三个视图都是边长为1的正方形;②的俯视图是圆,正视图、侧视图都是边长为1的正方形;③的俯视图是一个圆,正视图、侧视图是相同的等腰三角形;④的俯视图是边长为1的正方形,正视图、侧视图是相同的矩形.
【方法技巧】由直观图确定三视图的技巧
(1)将几何体放在自己的前面,从正面、左面、上面观察几何体,得到三视图.
(2)画三视图时,看得到的轮廓线画成实线,看不到的轮廓线要画成虚线.
5.如图,在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水,将容器底面一边BC固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法:
①水的部分始终呈棱柱状;
②水面四边形EFGH的面积不改变;
③棱A1D1始终与水面EFGH平行;
④当E∈AA1时,AE+BF是定值.
其中正确说法是( )
A.①②③
B.①③
C.①②③④
D.①③④
【解析】选D.显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状,故①正确;容器倾斜度越大,水面四边形EFGH 的面积越大,故②不正确;显然棱A1D1始终与水面EFGH平行,故③正确;由于水的体积不变,四棱
柱ABFE-DCGH的高不变,所以梯形ABFE的面积不变,所以AE+BF是定值,故④正确.所以四个命题中①③④正确.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的
(填入所有可能的几何体的编号).
①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.
【解析】四棱柱与圆柱的正视图不可能为三角形,三棱锥、四棱锥、三棱柱、圆锥的正视图都有可能是三角形.
答案:①②③⑤
7.等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为.
【解析】如图所示:
因为OE==1,所以O′E′=,E′F=,
则直观图A′B′C′D′的面积为S′=×(1+3)×=.
答案:
8.(2015·武汉模拟)某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度是.
【解析】根据三视图可知原图为如图,最长棱为AC,
所以AE=2,EB=2,ED=3,DC=4,
所以EC=5,所以AC=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图是一个几何体的正视图和俯视图.
(1)试判断该几何体是什么几何体.
(2)画出其侧视图,并求该平面图形(侧视图)的面积.
【解析】(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.
(2)该几何体的侧视图如图:
其中AB=AC,AD⊥BC,且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离,即BC=a,AD是正六棱锥的高,则AD=a,所以该平面图形(侧视图)的面积为S=×a×a=a2.
【加固训练】已知正三棱锥V-ABC的正视图和俯视图如图所示.
(1)画出该三棱锥的侧视图和直观图.
(2)求出侧视图的面积.
【解析】(1)如图.
(2)侧视图中VA=
==2.
则S△VBC=×2×2=6.
10.(2014·辽宁高考改编)某几何体的三视图如图所示.
(1)判断该几何体是什么几何体?
(2)画出该几何体的直观图.
【解题提示】根据俯视图可得这是一个切割后的几何体,再结合另外两个视图,得到几何体. 【解析】(1)该几何体是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体.
(2)直观图如图所示.
(20分钟40分)
1.(5分)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为,则原梯形的面积为( )
A.2
B.
C.2
D.4
【解析】选D.直观图为等腰梯形,若上底设为x,高设为y,则S直观图=y(x+2y+x)=,而原梯形为直角梯形,其面积为S=·2y(x+2y+x)=2×=4.
2.(5分)(2015·长沙模拟)如图,三棱锥V-ABC的底面ABC为正三角形,侧面VAC
与底面ABC垂直,且VA=VC,以平面VAC为正视图的投影面,其正视图的面积为,
则其侧视图的面积为( )
A. B. C. D.
【解题提示】关键由题设条件确定侧视图的形状.
【解析】选B.取AC中点H,连接VH,BH,在△VAC中,VA=VC,所以VH⊥AC,因为平面VAC⊥平面ABC且其交线为AC,所以VH⊥平面ABC,因为△ABC是等边三角形,则BH⊥AC,所以AC⊥平面VHB,即侧视图为△VHB,设AB=a,VH=h,根据等体积法得S△ABC·h=S△VHB·AC,即·a2·h=S△VHB·a,所以S△VHB=a·h,又正视图面积为S=a·h=,所以S△VHB=×=.
【加固训练】(2014·成都模拟)三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为2的等边三角形,其正视图(如图所示)的面积为8,则侧视图的面积为( )
A.8
B.4
C.4
D.
【解析】选C.由正视图面积为8知,三棱柱的侧棱长为4,侧视图是一个矩形,它的一边长为4,另一边长是底面正三角形的高,所以侧视图的面积为4×=4.
3.(5分)(2015·杭州模拟)多面体MN-ABCD的底面ABCD为矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则AM的长为( )
A. B. C. D.2
【解析】选C.在直观图中,过M作MH垂直于AB,垂足为H,则在直角三角形AHM中,AH=1,MH=,所以AM=.
4.(12分)(2015·石家庄模拟)如图的三个图中,上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).
(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图.
(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积.
【解析】(1)如图.
(2)所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥
=4×4×6-××2=(cm3).
5.(13分)(能力挑战题)某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,求a+b的最大值.
【解题提示】可将该几何体放在长方体中,且已知长为的棱为长方体的体对角线来解决.
【解析】如图,把几何体放到长方体中,使得长方体的体对角线刚好为几何体的
投影长为A1D=a,俯视图投影长为A1C1=b,则a2+b2+()2=2·()2,即a2+b2=8,
又≤,当且仅当“a=b=2”时等号成立.
所以a+b≤4,即a+b的最大值为4.。