2018年数学同步优化指导练习：第3章1.1导数与函数的单调性(第二课时)活页11

数，可得 h(x)＝ xf(x)是 R 上的奇函数．
又当 x∈(－∞ ， 0)时， h′ (x)＝ f(x)＋ xf′ (x)<0.
∴函数 h(x)在 x∈ (－ ∞ ， 0)上为单调递减函数． ∴ h(x)在 x∈ (0，＋ ∞ )上为单调递减函数． ∵ 2>2 0.2>1,0<ln 2<1 ， log 0.50.25＝2， ∴ log0.50.25>20.2>ln 2. ∴b>a>c. 答案： C
∴ f′ (x)＝ x2＋ 2x－ a≥ 0 在区间 (1，＋ ∞ )上恒成立．
∴ a≤ x2＋ 2x， x∈ (1，＋ ∞ )恒成立．
∵当 x>1 时， x2＋ 2x>3，
∴ a≤ 3.①
∵函数
f
(x)＝
1 3
x3＋
x2－
ax
在区间
(1，＋
∞ )上是增加的，且在区间
(1,2) 上有零点，
∴ f(1)<0 ， f(2)>0.
(1)求 F (x)的单调区间；
(2)若以 y＝ F(x)(x∈ (0,3]) 图像上任意一点 P(x0，y0)为切点的切线的斜率 k≤ 12恒成立， 求
实数 a 的最小值．
解： (1)F (x)＝ f(x)＋ g(x)＝ ln x＋ax( x>0) ，
F
′
(
x)
＝
1－ x
a x2
＝
x－ a x2
(x>0)
答案： C
2．若函数 f(x)＝ 13x3＋ x2－ ax 在区间 (1，＋∞ )上是增加的，且在区间 (1,2)上有零点，则
实数 a 的取值范围是 ( )
A ． 43， 3
B．
43，
10 3
C．
4， 3 3
D． (－∞， 3]
解析： ∵函数
f(x)＝
1 3
x3＋
x2－
ax
在区间
(1，＋
∞ )上是增加的，
∴
k＝
F
′
(x0)
＝
x0－ x20
a ≤
1 2
(0<
x0≤
3)
恒成立．
即
a≥
－
1 2
x20＋
x0
max .
当
x0＝ 1
时，－
1 2
x20＋
x0
取得最大值
12，
∴
a≥
1 2
.∴
a
min
＝
1 2
.
10．设
f(x)＝－
13x3＋
1 2
x2＋
2
ax.若
f (x)在
23，＋∞
上存在单调递增区间，
求 a 的取值范围．
20.2f(20.2)， b＝ ln 2 f·(ln 2) ， c＝ log 0.50.25 f·(log 0.50.25)，则 a，b， c 的大小关系是 (
)
A ． a>b>c
B． c>a>b
C． b > a> c
D． a>c>b
解析： 构造函数 h(x)＝ xf(x)，由函数 y＝f (x)是 R 上的偶函数，函数 y＝ x 是 R 上的奇函
解析： 若原函数在 R 上为增函数，则当 x<0 时， f′ (x)＝ 3x2－ (a－ 1)≥ 0 恒成立．因此
有 a≤ 1.还需注意函数在分段点处函数值的大小，应有
a2－ 3a－ 4≤0，解得－ 1≤ a≤ 4.综上
－1≤ a≤ 1. 答案： B
4．已知定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足 x∈ (－∞， 0)时， f(x) ＋xf′ (x)<0 成立，若 a＝
∴
4－
3m≤
0.∴
m≥
4 3.
又当
m＝4时， 3
பைடு நூலகம்f(x)
＝ x3
＋
2x2＋
43x＋
1＝
2 x＋3
3＋ 19在 27
R
上单调递增，∴
m≥ 43.∴p 是 q
的充要条件．
答案： A 6．若函数 f(x)＝ x3＋ bx2＋ cx＋ d 的递减区间为 [－ 1， 2] ，则 b＝ ________，c＝ ________. 解析： 由题意知， f′( x)＝ 3x2＋ 2bx＋ c≤ 0 在 [－ 1,2] 上恒成立，所以－ 1,2 为方程 3x2＋
5．设 p：f(x)＝ x3＋ 2x2＋ mx＋ 1 在 (－∞，＋∞ )内单调递增， q：m≥43，则 p 是 q 的 ________
条件． ( )
A ．充要
B．充分不必要
C．必要不充分
D ．既不充分又不必要
解析： 对于 p，由题意知 f′ (x)＝ 3x2＋ 4x＋m≥ 0 在 R 上恒成立，即 Δ≤ 0.
∴
4 3<
10 a< 3 .
②
由①②得，
4 3 < a≤ 3.
答案： C
x2 x≥ 0 ， 3．已知 f(x)＝ x3－ a－1 x＋ a2－ 3a－ 4 x<0
在 (－∞，＋∞ )上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ( )
A ． (－∞， 1]
B． [－ 1,1]
C．( －∞， 1)
D． [－ 1,4]
a 的取值范围是 ________．
答案： (－∞， 0)
8．已知函数
f
(x)
＝
3
x
－
ax
在 [1，＋∞
)上是单调递增函数，则
a 的最大值是 ________．
解析： 由题意得 f′ (x)＝ 3x2－ a≥0 在[1 ，＋ ∞ )上恒成立，因此 a≤ 3.故 a 的最大值为
3. 答案： 3
a 9．已知函数 f(x) ＝ln x， g(x)＝ x(a>0) ，设 F (x)＝ f(x)＋g(x)．
．
∵ a>0 ，由 F ′(x)>0 得 x∈ (a，＋ ∞) ，
∴ F(x)在 (a，＋ ∞ )上是增加的．
由 F′ (x)<0 得 x∈ (0， a)，
∴ F(x)在 (0， a)上是减少的．
∴ F(x)的递减区间为 (0，a)，递增区间为 (a，＋ ∞)．
x－a
(2)∵ F ′ (x)＝
2
x
(0< x≤3)，
2bx＋ c＝ 0 的两根，则 b＝－ 32， c＝－ 6. 答案： － 3 － 6 2 7．若函数 f( x)＝ ax3＋ x 恰有三个单调区间，则实数 解析： ∵ f ′(x)＝3ax2＋ 1， f(x) 有三个单调区间， ∴方程 3ax2＋ 1＝ 0 有两个不等实根． ∴ Δ＝ 0－4× 3a× 1>0.解得 a<0.
活页作业 (十一 ) 导数与函数的单调性 (第二课时 )
1．函数 f(x)＝ 2x3＋ ax2＋ 1(a 为常数 )在区间 (－∞， 0)和 (2，＋∞ )内单调递增，且在区间
(0,2) 内单调递减，则 a 值为 ( ) A．1
B．2
C．－ 6
D．－ 12
解析： f′ (x)＝ 6x2＋ 2ax，依题意得 f′ (2) ＝24＋ 4a＝0，∴ a＝－ 6.
解： f′ (x)＝－ x2＋ x＋ 2a＝－
1 x－ 2
2＋ 1＋ 2a， 4
当 x∈ 23，＋ ∞ 时， f′ ( x)的最大值为
f′
2 3
＝ 29＋ 2a.