第十四章动能定理_理论力学
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理论力学课件 动能定理
z m2 m3 C rC O x' x 而
i
mi m1 y
ri
y'
mn
1 2 1 2 T＝ mvC mi vri 2 2
d m v m i ri dt i i 0
质点系的动能，等于系统随质心平移的动能与相 对于质心平移参考系运动的动能之和。
2012年5月3日 Thursday 理论力学CAI 4
第13章
动 能 定 理
动量定理和动量矩定理是用矢量法研究动力学问 题，而动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不 仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机 械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运 动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的 联系，这是一种能量传递的规律。
2012年5月3日 Thursday
Fx =0， Fy =0， Fz =-mg
F mgk
W mgdz mg ( z1 z 2 )
z1 z2
对于质点系
2012年5月3日 Thursday
W mg ( z C 1 z C 2 )
理论力学CAI 11
重力的功与重心运动的高度差成正比，与路径无关。
② 弹性力的功
Jz——刚体对轴的转动惯量
2012年5月3日 Thursday 理论力学CAI 3
z'
柯尼希（Koenig） 定理
质点系动能计算
1 1 T mi vi2 mi (vC vri ) 2 2 2 1 1 2 2 mi vC mi vri mi (vC vri ) 2 2 1 2 1 2 mvC mi vri vC mi vri 2 2 1 2 1 2 mvC mi vri 2 2
理论力学精品课程第十四章 动能定理
d(1 2mivi2)Wi
dTWi
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的
和
微分形式。
T2T1 Wi
质点系在某一段运动过程中动能的改变量，等于作用于质点
系全部力所作功的和
积分形式。
第十四章 动能定理
3. 理想约束
dr
F′ O
F
B A
W F d r F d r 0
第14章 动能定理
※ 力的功 ※ 质点和质点系的动能 ※ 动能定理 ※ 势力场·势能·机械能守恒定律 ※ 功率·功率方程·机械效率 ※ 质点系普遍定理的综合应用 ※ 结论与讨论
第十四章 动能定理
§14-1 力的功
a. 常力的功
WFcoss
F
M
M1
M2
S
功是代数量，其国际单位制为 J（焦耳）。
d1
dt
1,
d1
dt
1
Ⅱ M2
1(M1M i122) (J1iJ1222)
主动力的功：
W 12M 11M 2 2(M 1M i122)1
由动能定理得： 1 2(J1iJ1 222) 1 20(M 1M i12 2) 1
第十四章 动能定理
Ⅰ M1
driC
d
Mi
C
§14-2 质点和质点系的动能
质点的动能
T 1 mv 2 2
动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点速度的平 方成正比，是一个标量；后者与质点速度的一次方成正比，是 一个矢量，它们是机械运动的两种度量。动能与功的量纲相同 ，也为 J 。
质点系的动能
第十四章 动能定理
T
b. 变力的功
理论力学动能定理
12
2
mi ri 2
即
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
1 2
J
p 2
1 2
(JC
md 2 ) 2
得
T
1 2
mvC2
1 2
JC
2
即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和。
§14-3 动能定理
1、质点的动能定理
将 m d F 两端点乘 dt dr ，
1.势力场
力场 F F x, y, z 如：重力场、弹性力场、万有引力场
势力场： 物体在力场内运动，作用于物体的力的功只 与力作用点的始、末位置有关，与路径无关。
2.势能：在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，
有势力所作的功。
V M0 F dr M
M 0 称零势能点
4．摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功
W
M1M2F
ds
M1M
2
f
'Nds
N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力 N ，摩擦力 F 作用于速度瞬心C，瞬心的元位移
dr vCdt0 W Fdr FvCdt0
dt
得 m d F dr
由于 m d d(1 m2 ), F dr w,
2 因此 d(1 m 2 ) w
2
上式称为质点动能定理的微分形式，即质点
动能的微分等于作用在质点上力的元功。
复试理论力学重点面试问题知识点总结(主要)
复试理力重点知识点总结静力学第一章静力学基础1、掌握平衡、刚体、力的概念以及等效力系和平衡力系，静力学公理。
2、掌握柔性体约束、光滑接触面约束、光滑铰链约束、固定端约束和球铰链的性质。
3、熟练掌握如何计算力的投影和平面力对点的矩，掌握空间力对点的矩和力对轴之矩的计算方法，以及力对轴的矩与对该轴上任一点的矩之间的关系。
4、对简单的物体系统，熟练掌握取分离体并画出受力图。
第二章力系的简化1、掌握力偶和力偶矩矢的概念以及力偶的性质。
2、掌握汇交力系、平行力系、力偶系的简化方法和简化结果。
3、熟练掌握如何计算主矢和主矩；掌握力的平移定理和空间一般力系和平面力系的简化方法和简化结果。
4、掌握合力投影定理和合力矩定理。
5、掌握计算平行力系中心的方法以及利用分割法和负面积法计算物体重心。
第三章力系的平衡条件1、了解运用空间力系（包括空间汇交力系、空间平行力系和空间力偶系）的平衡条件求解单个物体和简单物体系的平衡问题。
2、熟练掌握平面力系（包括平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系）的平衡条件及其平面力系平衡方程的各种形式；熟练掌握利用平面力系平衡条件求解单个物体和物体系的平衡问题。
3、了解静定和静不定问题的概念。
4、掌握平面静定桁架计算内力的节点法和截面法，掌握判断零力杆的方法。
第四章摩擦1、掌握运用平衡条件求解平面物体系的考虑滑动摩擦的平衡问题。
2、了解极限摩擦定律、滑动摩擦系数、摩擦角、自锁现象、摩阻的概念。
运动学第五章点的运动1、掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动方程。
2、熟练掌握如何计算点的速度、加速度及其有关问题。
第六章刚体的基本运动1、掌握刚体平动和定轴转动的特征；掌握刚体定轴转动的转动方程、角速度和角加速度；掌握定轴转动刚体角速度矢量和角加速度矢量的概念以及刚体内各点的速度和加速度的矢积表达式。
2、熟练掌握如何计算定轴转动刚体的角速度和角加速度、刚体内各点的速度和加速度。
理论力学14 动能定理
因此
d ( 1 mv2 ) = δW 2
动能定理的微分形式
即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。 即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
14
将上式沿路径M 1M 2积分，可得
1 mv 2 − 1 mv 2 = W 2 2 2 1
于质点的力作的功. 于质点的力作的功
注意： 注意：功和能的区别
∑ δW
F
= P sin θds
x C' P 3）运动分析，写动能 ）运动分析， F 1 2 1 3P 2 T = mvC + I Cω 2 = vC FN θ 2 2 4g 4）应用动能定理 ） 2 aC = g sin θ 3 P 2 3 d dT = ∑ δWF 4 g vC = P sin θds ds 3P 3P 2vC aC = P sin θ 2vC aC dt = P sin θds dt 4g 4g vC 19
∴W = ∫ − k ( r − l 0 ) dr = − ∫
r1 r2 r2 r1
k d ( r − l0 ) 2 2
令 δ 1 = r1 − l 0 ,δ 2 = r2 − l 0
k = [( r1 − l 0 ) 2 − ( r2 − l 0 ) 2 ] 2
k 2 2 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形 即 W= (δ1 −δ2 ) 有关，而与质点运动的路径无关。 2 有关，而与质点运动的路径无关。
FX = 0, FY = 0, FZ = −mg
W = ∫ − mgdz = mg ( z1 − z 2 )
z1 z2
质点系： W = ∑Wi = ∑mi g ( zi1 − zi 2 ) = Mg ( zC1 − zC 2 ) 质点（质点系）重力的功， 质点（质点系）重力的功，等于质点系的重量与其在始 末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。 末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。
理论力学13-动能定理
理论力学13-动能定理
动能定理是理论力学中重要的定理之一，描述了物体动能的变化与外力做功 的关系。它为解决各种实际问题提供了有力的工具。
动能的定义与计算方法
动能定义
动能是物体由于运动而具有的能量。
动能计算方法
动能等于物体质量与速度平方的乘积乘以常数1/2。
举例
例如，一个质量为m的物体速度为v，它的动能为Ek=1/2mv^2。
碰撞实验
通过观察简谐摆的运动过程， 可以验证动能定理在实验中 的有效性和准确性。
利用碰撞实验可以验证动能 定理在不同碰撞情况下的适 用性。
滚动小球实验
通过观察滚动小球的动能变 化，可以验证动能定理在滚 动运动中的应用。
结论和要点
结论
动能定理是描述物体动能变化与外力做功关系的重要定理。
要点
动能定理的表达式是功等于动能的变化量，可以通过实验验证。
动能定理的提出及其重要性
1 提出背景
动能定理最早由牛顿提出，是牛顿运动定律的一部分。
2 重要性
动能定理能够精确描述物体动能的变化与外力做功的关系，对研究运动学和动力学等科 学领域具有重要意义。
动能定理的表达式及推导过程
动能定理表达式 推导过程 推导公式
功等于动能的变化量 根据牛顿第二定律和功的定义推导得出 W = ΔK = (1/2)mvf^2 - (1/2)mvi^2
动能定理在实际问题中的应用
1
碰撞问题
2
动能定理在研究碰撞问题中起到关 键作用，如弹性碰撞和非弹性碰撞。
3
机械能守恒
动能定理与势能定理结合可以帮助 解决机械能守恒的问题。
动能定理与其他物理定律的 关系
动能定理与动量定理、能量守恒定 律等相互关联，共同构成了理论力 学的核心部分。
动能定理是理论力学中重要的定理之一，描述了物体动能的变化与外力做功 的关系。它为解决各种实际问题提供了有力的工具。
动能的定义与计算方法
动能定义
动能是物体由于运动而具有的能量。
动能计算方法
动能等于物体质量与速度平方的乘积乘以常数1/2。
举例
例如，一个质量为m的物体速度为v，它的动能为Ek=1/2mv^2。
碰撞实验
通过观察简谐摆的运动过程， 可以验证动能定理在实验中 的有效性和准确性。
利用碰撞实验可以验证动能 定理在不同碰撞情况下的适 用性。
滚动小球实验
通过观察滚动小球的动能变 化，可以验证动能定理在滚 动运动中的应用。
结论和要点
结论
动能定理是描述物体动能变化与外力做功关系的重要定理。
要点
动能定理的表达式是功等于动能的变化量，可以通过实验验证。
动能定理的提出及其重要性
1 提出背景
动能定理最早由牛顿提出，是牛顿运动定律的一部分。
2 重要性
动能定理能够精确描述物体动能的变化与外力做功的关系，对研究运动学和动力学等科 学领域具有重要意义。
动能定理的表达式及推导过程
动能定理表达式 推导过程 推导公式
功等于动能的变化量 根据牛顿第二定律和功的定义推导得出 W = ΔK = (1/2)mvf^2 - (1/2)mvi^2
动能定理在实际问题中的应用
1
碰撞问题
2
动能定理在研究碰撞问题中起到关 键作用，如弹性碰撞和非弹性碰撞。
3
机械能守恒
动能定理与势能定理结合可以帮助 解决机械能守恒的问题。
动能定理与其他物理定律的 关系
动能定理与动量定理、能量守恒定 律等相互关联，共同构成了理论力 学的核心部分。
理论力学-动能定理
第 页1 教学目标知识目标： 常力的功，变力的功，平面运动刚体上力系的功，重力的功，弹性力的功，质点系的功能，质点的动能定理，质点动能定理的微分、积分形式，功率方程。
能力目标：素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。
良好的职业道德和严谨的工作作风教 学 内 容 与 教 学 过 程 设 计注 释理论力学-动能定理〖理论学习〗13.1力的功13.1.1常力的功功是对力在一段路程上积累效应的度量，是一个过程量。
如图13-1所示，物体在常力F作用下，沿直线从M1运动到M2，其路程为s ，力F 在这段路程上所做的功定义为力F 在位移方向的投影与其路程的乘积，以W 表示，即 (13-1)。
图13-113.1.2变力的功设质点M 做曲线运动，从位置M1运动到位置M2，受到变力F 的作用，如图13-2所示。
为了计算变力F 在曲线上的功，考虑微弧段ds ，在此微段上力F 可视为常力，ds 也可视为直线。
力F 在此无限小位移上所做的功称为元功，记为δW 。
此时，力F 的元功为δW=Fcos θds (13-2)图13-213.1.3平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功等于刚体所受各力做功之代数和。
(1)当刚体在平面上平移时，各点的位移都与质心的位移相同，ri=rC 。
则力系的功为 (13-6)。
即平移刚体上力系的功等于力系的主矢在质心位移上所做的功。
(2)当刚体绕z 轴做定轴转动时，如图13-3所示。
比较常力的功和变力的功。
教师讲解平面运动刚体上力系的功。
第页2图13-3(3)当刚体平面运动时，受到多个力作用，如图13-4所示。
取刚体的质心C 为基点，把该力系向基点简化得到一个力F ′R 和一个力偶MC ，分别在质心位移和转角位移上做功。
平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力和力偶做功之和。
图13-413.1.4典型力的功 1．重力的功设质点受重力P=mg 的作用，沿曲线从位置M1运动到位置M2，如图13-5所示。
理论力学10—动能定理1
FT A x 20 cm 15 cm B
P FT
F
a
FN
解: 滑块在任一瞬时受力如图。只需计算FT与F 的功。先计算FT 的功:
在运动过程中, FT的大小不变， 但方向在变， FT 因此FT的元功为
δ W T F T co s a d x
cos a 20 x (20 x) 15
Pl
2
2
s in a
2
A
6g
10.3 动能定理 1. 质点的动能定理 根据牛顿第二定律 m
方程两边点乘d r
dv dt
F
得 m
dv
d r F d r
dt 因 d r = v d t , 于是上式可写成
mv d v F d r
FT 15 cm B
d 2 5 2 0 2 5cm
因此弹簧力在整个过程中所作的功为
WF 1 2 k (d 1 d 2 )
2 2
1 2
0 .5 (5 2 5 ) 1 5 0 N c m
2 2
因此所有力的功为W
W T W F 2 0 0 1 5 0 5 0 N cm
2 在运动过程中所有的力所作的功为
W12 b g (l b ) (l b ) g 1 2 (l b ) 1 2
2
T1 0
T2
1
lb
lv 2
2
b
g (l b )
2
解得
v2
g (l b )
2 2
l
牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:
C
vC
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，此时
。
例 14-3 卷扬机如图 14-13 所示。鼓轮在常力偶矩 作用下将圆柱体沿斜面上拉。已知
鼓轮的半径为 ,质量为 ，质量分布在轮缘上；圆柱体的半径为 ，质量为 ，质量均 匀分布。设斜面的倾角为 ，圆柱体沿斜面只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱体中心
的速度与其路程之间的关系。 解：★ 以鼓轮和圆柱体组成的整个系统作为分析对象；
★ 应用动能定理解题的步骤： （1）明确分析对象，一般以整个系统为研究对象； （2）分析系统的受力，区分主动力与约束力，在理想约束的情况下约束力不做功； （3）分析系统的运动，计算系统在任意位置的动能或在起始和终了位置的动能； （4）应用动能定理建立系统的动力学方程，而后求解； （5）对问题的进一步分析与讨论。 §14-5 功率、功率方程、机械效率 1. 功率 单位时间内力所做的功。用功率来衡量机器做功的快慢程度，是衡量机器性能的一项重 要指标。
力在有限路程上的功：力在有限路程
上的功为力在此路程上元功的定积分。即 （14-8）
或
功的单位为焦耳(J),
。
（14-9）
2. 常见力的功 ★ 重力的功
如图 14-3 所示，质点沿轨迹由 为
运动到
，其重力
在直角坐标轴上的投影
所以重力的功为
（14-10） 由此可见，重力的功仅与质点运动开始和终了位置的高度差有关，而与运动轨迹无关。
§14-1 质系动能定理 质点动能定理 牛顿第二定律给出
上式两边点乘 ，得
因
，于是上式可写为
或
（14-1）
式中
称为质点的动能，
称为力的元功。参看图 14-1。式（14-1）称为质
点动能定理的微分形式，即作用于质点上力的元功等于质点动能的微分。
将上式积分，得
（14-2）
式中
为作用于质点上的力在有限路程上的功。式（14-2）为质点动能定理的
力 F 的元功为 则力的功率为
（14-22）
上式表明：力的功率等于力在力的作用点的速度方向上的投影与速度的乘积。
力矩或转矩 的元功为
则力矩或转矩的功率为 上式表明：力矩或转矩的功率等于力矩与物体转动的角速度的乘积。
① 所以，重物的速度
·上式建立了重物的速度与上升距离之间的关系。在一般情况下，对于一个自由度系统 应用动能定理可直接建立系统的速度与系统的位移之间的关系。
★ 求重物的加速度
将式①两边对时间求导数，并注意到
及
的关系，可得，
由此得
·由上面加速度 的表达式中可看出，分母恒为正值。在启动时
，故要求驱动力矩
，启动后若重物匀速上升，
，因此不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零，即
以上所介绍的理想约束，其约束力的元功之和均等于零。质系内力的功之和一般不为零， 因此在计算力的功时，将作用力分为外力和内力并不方便，在理想约束的情形下，若将作用 力分为主动力与约束力，可使功的计算得到简化。若约束是非理想的，如需考虑摩擦力的功， 在此情形下可将摩擦力当作主动力看待。 §14-3 质系和刚体的动能 1. 质系的动能
解得
由于弹簧的变形量是正值，因此取正号，即
·上述两个阶段，也可以合在一起考虑，即
解得的结果与前面所得相同。 ·上式说明，在物块从位置Ⅰ到位置Ⅲ的运动过程中，重力做正功，弹性力做负功，恰
好抵消，因此物块运动始末位置的动能是相同的。显然，物块在运动过程中动能是变化的，
但在应用动能定理时不必考虑始末位置之间动能是如何变化的。
单位时间内力所做的功
5. 功率方程
6. 机械效率
7. 势能 在势力场中质点从某一位置 移至选定的基点 的过程中势力所做的功。势力的功
仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关。 ★ 重力场中的势能
或 对于质点系或刚体
其中 是系统的重量， 是质心的坐标。
★ 弹性力场中的势能
如取弹簧的自然位置为基点
于是绕定轴转动刚体的动能为 为刚体对 轴的转动惯量，所以得
（14-20）
4. 平面运动刚体的动能 刚体作平面运动时，可视为绕通过速度瞬心 并与运动平面垂直的轴的转动，动能可写
为
根据转动惯量的平行轴定理有
代入上式得
而
是质心 的速度的大小，因此
（14-21） 式(14-20)表明，平面运动刚体的动能等于跟随质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动 能之和。 §14-4 动能定理应用举例
对于质系，所有质点重力做功之和为
由质心坐标公式，有
由此可得
（14-11）
式中 为质系的质量，
为质系运动起始与终了位置质心的高度差。所以质系重力
的功也与质心运动轨迹的形状无关。 ★ 弹性力的功
设质点受指向固定中心 点的弹性力作用，当质点的矢径表示为
时，在弹性限
度内弹性力可表示为：
这里， 为弹簧的刚度系数， 为弹簧的原长， 为沿质点矢径方向的单位矢量。
★ 万有引力场中的势能
如势能基点选在无穷远处
8. 机械能守恒定律 保守系统在运动过程中，其机械能保持不变。或质系的动能和势能可以互相转化，但总
的机械能保持不变。 （常量）
质系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能。 质系动能定理建立了质系动能的变化与作用于质系上的力的功之间的关系。与动量定理和
动量矩定理不同的是动能定理从能量的角度建立了质系的运动变化和受力间的关系。对于保 守系统机械能守恒。
而 于是 力 在有限转动中的功为
（14-13）
（14-14）
作用力的功
★ 平面运动刚体上力系的功 如图 14-6 所示，刚体上任意一点 的无限小位移可写为
其中 为质心的无限小位移， 为点 绕质心 的无限小转动位移。作用于点 上 的力 的元功为 而
作用于刚体上的全部力的元功为
（14-15）
其中 为力系的主矢量， 在有限路程上的功为
读者试分析当自行车爬坡时，那些力做功？若车轮只滚不滑，内力做功吗？ 在特殊情况下，如两质点之间的距离不变，例如刚体上或刚性杆联结的两点，则内力的
元功之和为零，因此刚体内力的功之和恒等于零。
4. 理想约束 约束力的元功的和等于零的约束称为理想约束，即 理想约束有 ★ 光滑固定面和辊轴约束
其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。 ★ 光滑铰链或轴承约束 由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所以约束力的功为零。 ★ 刚性连接的约束 这种约束和刚体的内力一样，其元功之和恒等于零。如图 14-8(c)。
例 14-1 质量为 的物块，自高度 处自由落下，落到有弹簧支承的板上，如图 14-11
所示。弹簧的刚性系数为 ，不计弹簧和板的质量。求弹簧的最大变形。 解：分为两个阶段 ★ 重物由位置Ⅰ落到板上。在这一过程中，只有重力做功，应用动能定理，有
求得
★ 物块继续向下运动，弹簧被压缩，物块速度逐渐减小，当速度等于零时，弹簧被压缩到 最大变形 。在这一过程中，重力和弹性力均做功。应用动能定理，有
式中
分别为鼓轮对于中心轴 ，圆柱体对于过质心 的轴的转动惯量，有
分别为鼓轮和圆柱体的角速度，有如下关系 代入后得
★ 应用质系动能定理并求解：质系动能定理 有 所以，得
·读者还可以继续求圆柱体中心 的加速度。 小结
★ 具有理想约束的一个自由度系统，应用动能定理可直接建立系统的速度量与位移量 之间的关系；进一步对时间求导数，可求出系统的加速度量。所以，在这种情形下应用动能 定理求解已知力求运动的问题是很方便的。
第十四章 动能定理 1. 质系的动能
质系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该瞬时质系的动能，以 表示，即
动能是描述质系运动强度的一个物理量。 ★ 平动刚体的动能：
★ 定轴转动刚体的动能： ★ 平面运动刚体的动能
平面运动刚体的动能等于跟随质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。 2. 力的功
力的元功：在一无限小位移中力所做的功称为力的元功。
★ 计算主动力的功：系统所受的约束为理想约束，只有电动机的转矩 和重力 做
功，则 ★ 计算系统始末位置的动能：系统由静止状态开始运动，所以初始位置的动能
当重物上升高度 时，此时重物的速度 ，轴 和 此位置的动能为
的角速度分别为 和 ，系统在
★ 应用动能定理，并求解重物的速度： 列出方程
运动学关系 得
积分形式，即作用于质点上的力在有限路程上的功等于质点动能的改变量。
2. 质系动能定理 设质系由 个质点组成，其中任意一质点，质量为 ，速度为 vi ，
作用于该质点上的力为 。根据质点动能定理的微分形式有
个方程相加，得
交换微分及求和的次序，有
式中
为质系内各质点动能的和，称为质系的动能，常用 表示，所以质系动能
为力系对质心 的主矩。
3. 质系内力的功
如图 14-7 所示，
（14-16） 两质点间有相互作用的内力 和 ，
，两点对于固定点 的矢径分别为 和 ， 和 的元功之和为
,考虑到 与 方向相反，所以有
（14-17）
式（14-17）说明，当质系内质点间的距离 可变化时，内力的元功之和不为零。如汽 车发动机汽缸内膨胀的气体对活塞和汽缸的作用力都是内力，内力的功的和不为零，内力的 功使汽车的动能增加。
。常见的
★ 联结两个刚体的铰
如图 14-8(a)所示，两个刚体相互间的约束力，大小相等、方向相反，即
，两
力在 点的微小位移 上的元功之和等于零，即 ★ 柔性而不可伸长的绳索约束
如图 14-8(b)所示，绳索两端的约束力 和 大小相等，即
，由于绳索不可伸
长，所以
两点的微小位移 和
在绳索中心线上的投影必相等，即
弹性力在图 14-4 所示有限路程
上的功为
因为
于是
或
（14-12）
式中
分别为质点在起点及终点处弹簧的变形量。由式（ 14-12）可知，弹性力在有限