理论力学-第十四章虚位移原理PPT
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第十四章虚位移原理.ppt
非定常约束：约束方程中显含时间
y
x
v
y
vt
x
x y cot vt
固执约束：双面约束
非固执约束：单面约束
A
x
l
刚性杆
y
B
x2 y2 l2
A
x
l
绳子
y
B
x2 y2 l2
2、虚位移
（1）定义 在给定瞬时，质点或质点系在约束所允许的情况下， 可能发生的任何无限小的位移称为质点或质点系的虚位移。
纯滚动约束 δWN FR δrA FR 0 0
不可伸长柔索或轻质杆约束
A
δWN FNA δrA FNB δrB
FNA δrA FNA δrB 0
§14－2 虚位移原理
虚位移原理也称为虚功原理，指的是：
对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用 于质系的主动力在质点系任一虚位移上所作虚功的和等于零。
满足此式，不论刚体、变形体还是质点系必定平衡。它 是质点系平衡的最普遍方程。所以，也称为静力学普遍方程。
应用虚位移原理的优越性：
1．应用范围广。既适用不变质点系，也适用可变质点系（包 括变形体）。在静力学里，建立的平衡条件，对于刚体的平 衡是必要和充分的，但对于变形体来说，就不一定总是充分 的。但变形体只要满足虚位移原理就一定平衡。它适用于任 意质点系。
即 δW 0
或
Fi δri 0
或
Fxiδxi Fyiδyi Fziδzi 0
原理推导
Fi FNi 0
Fi
Mi
FNi δri
FFi i δδririFFNiNi δrδi ri 0 0
对于理FFFFFi想ii iiF约δδδ iδδr束rriiirrF，δiiir有iF0Fd0NiirFidFNδirNrFiiFiδNNriδii0rδidr0iFri0Ni00d ri 0
理论力学课件 虚位移原理
f k ( x i ) 0, i 1 ,2 , ,3 n ； k 1,2, , r (约束数 )
x
A
f k ( xi，t ) 0,
i 1,2 , ,3n；k 1,2, , r (约束数)
y B 0 (单侧约束)
y O
B
x
y
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
δW Fi δri 0
r A
δW Fi δri 0
M δ F δrB 0
M δ F rδ 0
M F r
例题：例15-3
图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。 解：研究整个机构。系统的所有约束都是 完整、定常、理想的。 1） 采用分析法。选取角度为广义坐标，有
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示 虚位移。同样也可以定义虚速度。 虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和运动初始条件 无关的，不需经历时间的假想的微小位移。定常约束下，实位移一定 是虚位移中的一个。 F (多种形式)
δ2
k =3n-m-l k =6n-s, k =3n-s s =m+l
n——刚体数 s——约束数
空间刚体系 平面机构
自由度数为1
*自由度计算
k=?
A
解：
k=2n-s=2×3-5=1
B
k=3n-s=3×4-(2×5+1)=1
O1
O2
C
k=3×5-(2×6+2)=1
三种算法，结果相同。
x
A
f k ( xi，t ) 0,
i 1,2 , ,3n；k 1,2, , r (约束数)
y B 0 (单侧约束)
y O
B
x
y
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
δW Fi δri 0
r A
δW Fi δri 0
M δ F δrB 0
M δ F rδ 0
M F r
例题：例15-3
图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。 解：研究整个机构。系统的所有约束都是 完整、定常、理想的。 1） 采用分析法。选取角度为广义坐标，有
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示 虚位移。同样也可以定义虚速度。 虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和运动初始条件 无关的，不需经历时间的假想的微小位移。定常约束下，实位移一定 是虚位移中的一个。 F (多种形式)
δ2
k =3n-m-l k =6n-s, k =3n-s s =m+l
n——刚体数 s——约束数
空间刚体系 平面机构
自由度数为1
*自由度计算
k=?
A
解：
k=2n-s=2×3-5=1
B
k=3n-s=3×4-(2×5+1)=1
O1
O2
C
k=3×5-(2×6+2)=1
三种算法，结果相同。
理论力学 课件第14章
得到
δxB tan δyA
图14-6
第三节
虚功与理想约束
虚功与理想约束
设某质点上作用有力 F，并给该质点一个虚位移 δr ，如图 14-7 所示。 则力 F 在虚位移 δr 上做的功称为虚功，即
δW F δr
或
δW F cos(F ，δr) | δr |
（14-4）
显然，虚功也是假设的，并且与虚位移是同阶无穷小量。
第十四章
虚位移原理
目录
01约束及其分类
02虚位移及其计算
03虚功与理想约束
04虚位移原理
05质点系的自由度与 广义坐标
06以广义坐标表示的 质点系平衡条件
第一节
约束及其分类
几何约束与运动约束
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
单摆上一质点M，可绕固定点O在平面Oxy内摆动，摆 杆长l。此时摆杆对质点M的限制条件是：质点M必须在 以点O为圆心，以l为半径的圆周上运动。若用x，y表示 质点的坐标，则约束条件可写成
用点的合成运动来分析A点的虚位移，如图14-10所示，应 有
δrA sin δre
摇杆上A，B两点的虚位移关系为
δre sin δrB
h
l
δrB
l h
δre
sin
l h
sin
2
δrA
（4）列虚功方程（14-6），求解。
由
F2δrB F1δrA 0
得
F1 δrB
F2 δrA
将式（14-6）写成解析形式
δWF (Fixδxi Fiyδyi Fizδzi ) 0
（14-7）
理论力学第十四章 虚位移原理
面
A
δS A
M
O
δSB
P x
B
三 虚功 作用于质点上的力在其虚位移上所作的功。
δW=Fδr 四、理想约束：
约束反力虚功之和为零的约束。
ΣδWN = ΣNδr = 0
那些约束为理想约束？ 回到动能定理里理想约束部分
1、光滑面 N δr
3、固定支座 Y X
Nδr = 0
δr = 0
2、可动支座 N
δr
因为： δrB = δxB = tanϕ δrA δyA
将虚位移间的关系代入虚 功方程，求解可得：
所以，同样可以得到：δrB = δrA ⋅ tanϕ
y A
FA = δrB = tanϕ FB δrA
δ rA vA FA
O
FB ϕ B
x
vB
δ rB
切
δr1
平
面
A
δS A
M
O
δSB
P x
B
质点：δr 质点系:(δr1 ,δr2 ,…,δrn )
说明: 1.对给定瞬时而言(不同位置位移不同). 2.为约束所允许的(不能破坏约束). 3.无限小位移(不是有限位移).
4.任何无限小位移(不只一个;对质点 系来说不只一组).
M（x,y,z)
切
δr1
平
由AB的速度瞬心P可知：
y
vB = PB = tanϕ
vA PA
A
P
于是：δrB = δrA ⋅ tanϕ
δ rA vA FA
O
FB ϕ B
x
vB
δ rB
方法二：坐标变分法
yA = lsinϕ xB = lcosϕ
理论力学—14虚位移原理
由于 ，于是得 0
P 2 Qtg
例2 图示机构中，当曲柄OC绕轴摆动时，滑块A沿曲柄自 由滑动，从而带动杆AB在铅垂导槽K内移动。已知OC=a， OK=l，在C点垂直于曲柄作用一力Q，而在B点沿BA作用一力 P。求机构平衡时，力P与Q的关系。
rC
y
rA re a rr A
y A ltg
C
a
A
O
Q
y A
l cos
2
x C a cos
y C a sin
xC
a sin
l
K
B
x
y C a cos
主动力在坐标方向上的投影为
P
YA P
X C Q sin
Y C Q sin
y
r
O
l
x
2 2
xA yA r
2 2
B (xB , yB )
2 2
(xB xA ) ( yB y A ) l yB 0
几何约束方程的一般形式为
f r ( x1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n ) 0
不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的 速度的约束称为运动约束。
C
Q
O
l
K
B
x
P
解1：（几何法）以系统为 研究对象，受的主动力有P、 Q 。给系统一组虚位移如图。
r A re rr 由虚位移原理 F i ri 0 ，得
y
rA re a rr A
rC
第十四章理论力学PPT教学课件
2、运动分析：
虚位移（按虚
速度对应法分析）；
rrBA
BP AP
3、建立动力学关系：虚位移原理；
F A δrAF B δrB0
4、求解：
FAFBtan
2020/12/12
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例14-2
已知：如图所示曲柄压榨机构中，M=50Nm，
OA=r，
BD=DC=ED=l， ； A
若杆重均不计、
B
忽略各处摩擦， E
W F r
（2）集中力偶的虚功： W M
2）约束力：
（1）光滑面、光滑铰链、固定端等约束力的功：
2020/12/12
s
F
做功均为零；
8
（2）滑动摩擦力的功： A、静滑动摩擦力的功：为零； 如：只滚不滑；
Fs
B、动滑动摩擦力的功：不为零； 4、理想约束：
1）做功为零的约束称为理想约束：光滑面、光滑铰 链、静滑动摩擦力等；
且机构在图示 求位：置求平压衡榨.力 P。
o M
D C
P
2020/12/12
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PPT教学课件
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15
第十四章 虚位移原理
虚位移原理 一种用动力学的原理求解静 力学问题的方法；
§14-1 约束 · 虚位移 · 虚功
一、几个基本概念：
1、自由度：空间物体在三维空间内自由运 动的程度；
2、完全自由的物体在三维空间内的自由度：
2020/12/12
1
完全自由的物体在空间可以沿三根独立的坐标
轴做移动运动、同时还可以绕三根坐标轴做转动运
故，非完全自由的物体的自由度为：6-约 束方程的个数。
理论力学虚位移原理 ppt课件
虚位移原理
虚位移原理——建立独立于牛顿力学体系的质点系平衡条件。
牛顿力学体系——矢量力学。描述的力学量都用矢量表示 如：矢径，速度，加速度，角速度， 角加速度，力，力偶等。 分析力学体系——标量力学。描述的物理量为标量。如广义坐标， 能量，功等。
虚位移原理以分析力学为基础，建立系统平衡的充要条件， 比牛顿力学建立的平衡条件具有更广泛的意义。 本章仅仅阐述虚位移原理在求解静力平衡问题中的应用。事实 上，虚位移原理建立的平衡准则还应用于动力学建立质点系统运动 与受力的关系、固体力学中物体变形的分析等。
2 2 2 2
1
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
z2 0
系统自由度 k 3 2 4 2 取广义坐标
2
X
质点的直角坐标:
x1 l1 cos1 y1 l1 sin 1
1 , 2
x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 )
B
v f ( x, t )
0 当v=0时，约束方程 x
或
xA
当v=C（常数）时，约束方程
C x
或 x Ct A
当v=f（x，t）不可积分函数时，约束方程
f ( x, t ) x
PPT课件 5
约束的分类
几何约束：只限制质点的几何位置的约束。 运动约束：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。
自由度数 k 3 2 1 5
广义坐标，取
x1 , y1 , z1 , ,
PPT课件
8
一般地，具有n个质点的系统中每一个质点用矢径表示为
ri ri (q1 , q2 , , qk )
虚位移原理——建立独立于牛顿力学体系的质点系平衡条件。
牛顿力学体系——矢量力学。描述的力学量都用矢量表示 如：矢径，速度，加速度，角速度， 角加速度，力，力偶等。 分析力学体系——标量力学。描述的物理量为标量。如广义坐标， 能量，功等。
虚位移原理以分析力学为基础，建立系统平衡的充要条件， 比牛顿力学建立的平衡条件具有更广泛的意义。 本章仅仅阐述虚位移原理在求解静力平衡问题中的应用。事实 上，虚位移原理建立的平衡准则还应用于动力学建立质点系统运动 与受力的关系、固体力学中物体变形的分析等。
2 2 2 2
1
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
z2 0
系统自由度 k 3 2 4 2 取广义坐标
2
X
质点的直角坐标:
x1 l1 cos1 y1 l1 sin 1
1 , 2
x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 )
B
v f ( x, t )
0 当v=0时，约束方程 x
或
xA
当v=C（常数）时，约束方程
C x
或 x Ct A
当v=f（x，t）不可积分函数时，约束方程
f ( x, t ) x
PPT课件 5
约束的分类
几何约束：只限制质点的几何位置的约束。 运动约束：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。
自由度数 k 3 2 1 5
广义坐标，取
x1 , y1 , z1 , ,
PPT课件
8
一般地，具有n个质点的系统中每一个质点用矢径表示为
ri ri (q1 , q2 , , qk )
理论力学课件 虚位移原理
N
设AB杆与BC杆在B点用光滑
铰链连接.由N = -N 得
A
C Nr + Nr = Nr - Nr = 0
24
(3)连接两质点的无重刚杆
连接两质点的刚杆由于不
计自重,均为二力杆. 设质点
M1和M2的虚位移分别为 r1
M2
与r2 则有:
r1cos 1 = r2cos 2 N1r1 + N2r2
n
Fi ri 0
i 1
n
或：
Fxixi Fyiyi 0
i 1
27
五、虚位移原理的应用 1.求解复杂系统(运动机构)的平衡条件.
1)画虚位移图.
2)利用几何法或解析法求各虚位移之 间的关系.
3)计算各主动力的虚功. 4)利用虚位移原理求解平衡条件.
28
例题5. 套筒分别置于光 滑水平面上互相垂直的 滑道中,受力分别为P和 Q如图所示.长为 l 的连 杆和水平方向夹角为 , 摩擦均不计.求系统的平 衡条件.
以Ni表示质点系中质点Mi的约束力的合 力 , ri表示该质点的虚位移 , 则质点系的理想 约束条件可表示为
n
Ni·ri = 0
i 1
23
(1)光滑接触面
光滑接触面的约束反力恒垂直
N
于接触面的切面 , 而被约束质点的
r
虚位移总是沿着切面的 , 即N r
Nr = 0
r B N (2)连接两刚体的光滑铰链
l
A(x,y) x 图1-3
6
O
y 左图中摆锤A的约束方程为
l
(细绳)
x2 + y2 l 2
A(x,y) x
图1-4
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y
A
r
l
B
O
x
平面单摆
x2 y2 l2
曲柄连杆机构
yB 0 (xx AB 2 x yA A) 22 r(2yB图yA )2l6 2
§14–1 约束和约束方程
纯滚动轮
yA r
vA r0
图
(x& Ar&0) 7
§14–1 约束和约束方程
导弹A追击目标B，要求导弹速度方向 总指向目标。
x&A y&A 0 , xB xA yB yA
x2 y2 l2
13
x2 y2 l2 图
§14–1 约束和约束方程
双面约束
图
单面约束 图
本章我们主要研究完整的、定常的、双面约束。
约束方程一般形式为：
f( x 1 ,y 1 ,z 1 ,L ,x n ,y n ,z n ) 0 14
§14–2 广义坐标和自由度
一、自由度
一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z ) 需用3个坐标表示 一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2……n) 需 用 3n个坐标表示，这3n个坐标是独立的。
xB r cos l2 r 2 sin2
yB 0
18
§14–2 广义坐标和自由度
例1：曲柄连杆机构中, 可取曲柄OA的转角为广义坐标，
则可惟一确定质点系的位置。 广义坐标选定后，质点 系中每一质点的直角坐标都 可表示为广义坐标的函数。
1、完整约束和非完整约束
几何约束：约只束限fj方 制(x程质i,中点y不的i,包几zi含何,t坐位)标置对，(时而)间不0的限导制数速，度约。束
运动约束：约了fj 束限(x 方 制i,程质y 中点i,包的z i含几,x & 坐何i,标位y & i对移,z & 时还i,间限t) 的制 导质( 数点 ) ，的0 约速束度除。
17
§14–2 广义坐标和自由度
二、广义坐标
一般，用直角坐标系表示非自由质点系的位置不太方便， 可选择任意变量来表示质点系的位置。
用来确定质点或质点系位置的独立变量或参数， 称为广义坐标。
（x,广y, 义z, 坐s 等标）的也选可择以不取是角唯位一移的（。如广xyA义A ,坐rr,标csoin,可s以等取）线。位移
对一个非自由质点系，受s个完整约束，3n个坐标需满 足s个约束方程。只有（3n-s )个独立坐标。通常，n 与 s 很 大而3n-s 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的3n-s 个相互独立的参数，要比用3n个直角坐标和s个约束方程方 便得多。
确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的 数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。
y
A
r
l
B
O
x
(xBxA )2(yByA )2l2
定常约束
x2y2l0vt2
12
非定常约束
§14–1 约束和约束方程
3、双面约束和单面约束
双面约束：约f束j(在x i,两y 个i,z 方i,向x & i都,y & 能i,起z & i,限t) 制 运0 动的作用。（用等式表示）
单面约束：约松束弛fj( 只或x i在消,y 一失i,个 。z i方,x & 向i,起y & i,作z & i用,t，) 另0 一方向能 （不等式表示）
y FG
D AθEBiblioteka CBθF1 x
3
引言
问题的提出
静力学问题是否可以借助动力学的分析方法来求解呢？
杠杆
平衡条件：
F1aF2b0 （a）
——— 微小角度
s1 atg
s2 btg
杠杆的平衡条件可用作用力在由平于衡在附新近的的位微置小系位统移仍中然所平衡
作 平条的衡件功条（来 件a建呢）立？和。答条案对件是于（肯一b）定般是的的等。非价自的由质点F 系1S 是1否F 能2S 写2出类0似（的b）4
运动约束
几何约束 可积几分何的约运束动约束
完整约束
不可积分的运动约束 -非完整约束
运动约束
x2 y2 l2
x&Ar&0 xA r 0 11
§14–1 约束和约束方程
2、定常约束和非定常约束
定常约束(稳定约束）：约fj束(x 方i,程y i 中,z 不i,显x & 含i,时y & i间,z & ti。) ( )0 非定常约束(非稳定约fj 束(x ）i,：y 约i,束z i方,x & 程i,中y & 显i,z 含& i,时t) 间 t。( )0
x&A z&A 0 xB xA zB zA
图
8
§14–1 约束和约束方程
初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子
x2y2l0vt2
图 约束方程中显含时间t 9
§14–1 约束和约束方程
x2 y2 l2
10
§14–1 约束和约束方程
二、约束的分类 fj(x i,y i,z i,x & i,y & i,z & i,t) ( )0
又例如：曲柄连杆机构中，空间A、B两个点3n六
个坐标，但xA,yA,zA和xB,yB,zB需满5个 足方程式，
x
2 A
即 y A2 有 5个 r 2 ,约束方 (x yB 程 xA )2(yByA )2l2
yB 0
A
r
l
B
zA 0
O
x
zB 0
6-5=1，只有一个独立坐标，故此系统只有一个自
由度
1
第十四章 虚位移原理
§14–1 约束和约束方程 §14–2 自由度和广义坐标 §14–3 虚位移 §14–4 理想约束 §14–5 虚位移原理 §14–6 以广义坐标表示的质点系的平衡条件 §14–7 质点系在势力场中平衡的稳定性
2
引言
已知如图所示结构，
AC=CE=BC=CD=DG=GE =l，各杆自重不计。求系 统 平 衡 时 力 F 和 力 F1 之 间 的关系。
§14–1 约束和约束方程
一、约束
1、约束：事先对质点或质点系的位置或速度所加的限制条件。
图
5
§14–1 约束和约束方程
2、约束方程：将约束的限制条件通过质点或质点
系中各质点的坐标或速度以数学方程来表示。
fj(rri,rr& i,t)()0或 fj(x i,y i,z i,x & i,y & i,z & i,t) ( )0
15
§14–2 广义坐标和自由度
对一个非自由质点系，受s个完整约束，其自由
度为 k=3n-s 。
例如：此球摆需满足一个
约束方程
x2 y2 l2
此平面小球是受约束的，如 是自由质点则需2个坐标表示， 有1个作用方程，2-1=1有一 个独立的坐标，所以，此球 摆具有一个自由度
16
§14–2 广义坐标和自由度