理论力学 第14章 振动
高中物理第十四章 第1讲 机械振动
答案：BDE
2． [共振曲线的应用 ]
(2017· 福州高三质检 )如图所示
为两个单摆的受迫振动的共振曲线，则下列说法正确 的是 ( )
A．若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆 长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线 B． 若两个受迫振动是在地球上同一地点进行， 则两个摆长之比 LⅠ∶ LⅡ＝ 25∶ 4 C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该单摆摆长约为 1 m D．若摆长均为 1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的 E． 若两个单摆在同一地点均发生共振， 图线Ⅱ表示的单摆的能量一定大于图线 Ⅰ表示的单摆的能量
答案：ABC
解析
3． [共振现象 ] 如图所示， A 球振动后，通过水平细绳 迫使 B、C 振动，振动达到 稳定时，下列说法中正确的 是 ( CDE ) A．只有 A、 C 的振动周期相等 B． C 的振幅比 B 的振幅小 C． C 的振幅比 B 的振幅大 D． A、 B、 C 的振动周期相等
答案
解析
答案
2． [振动图象的理解 ] 如图所示，弹簧振子
由题意，向右为 x 轴的正方向，
在 M、N 之间做简谐运动．以平衡位置 O 为 振子位于 N 点时开始计时，因此 原点，建立 Ox 轴，向右为 x 轴正方向．若振 t＝0 时，振子的位移为正的最大 子位于 N 点时开始计时，则其振动图象为 值，振动图象为余弦函数，A 项 ( A )
π 答案：(1) 2
R g
π (2) 2
R 1 － Δt g 2
分析简谐运动各物理量变化的方法 求解简谐运动问题的有效方法就是紧紧抓住一个模型 ——水平方向振 动的弹簧振子，熟练掌握振子的振动过程以及振子振动过程中各物理量 的变化规律，遇到简谐运动问题，头脑中立即呈现出一幅弹簧振子振动 的图景，再把问题一一对应、分析求解 .
理论力学中的杆件的振动分析
理论力学中的杆件的振动分析杆件是理论力学中经常研究的一个重要物体。
它可以是直杆、曲杆或者弯折杆。
振动分析是研究杆件在外力作用下的动态响应，对于杆件在工程实践中的应用具有重要的意义。
本文将从理论力学的角度出发，对杆件的振动分析进行探讨。
一、杆件的自由振动杆件的自由振动是指在无外力作用下，杆件在某一固有频率下产生的振动。
对于直杆而言，自由振动可以通过解杆件的振动微分方程来求解。
对于曲杆或弯折杆，由于其几何形状的复杂性，需要借助数值求解方法进行分析。
自由振动的频率可以通过求解杆件的固有值问题得到。
根据杆件的几何形状和材料性质，可以导出杆件的振动微分方程。
然后，通过合适的边界条件，解出振动微分方程的特征方程，进而求解杆件的固有频率和振型。
二、杆件的受迫振动杆件的受迫振动是指在外力作用下，杆件产生的振动响应。
外力可以是静力荷载、动力荷载或者周期性激励力，例如谐振激励力。
在杆件的受迫振动分析中，需要建立动力学方程，考虑杆件的质量、刚度和阻尼等影响因素。
对于直杆而言，可以利用振动方程和边界条件求解出杆件的受迫振动响应。
对于曲杆或弯折杆，受迫振动的分析较为复杂。
通常需要借助有限元方法进行数值模拟，得到杆件的动态响应。
在模拟前，需要对杆件进行网格划分，并设置适当的材料参数和边界条件。
通过求解有限元方程，可以得到杆件的受迫振动响应。
三、振动分析的应用理论力学中的杆件振动分析在工程实践中有着广泛的应用。
以下列举几个典型的应用场景：1. 结构设计优化：通过对杆件的振动分析，可以评估结构的动态性能，从而优化设计。
例如，在桥梁工程中，振动分析可以用于评估桥梁的抗震性能，确保其在地震等外力作用下的稳定性。
2. 装配工艺分析：在装配过程中，杆件的振动响应可能会引起误差或者装配不良。
通过振动分析，可以识别潜在的装配问题，并采取相应的措施进行改进。
3. 动力学仿真：在机械系统或者工艺设备中，杆件的振动会对系统的动力学性能产生重要影响。
理论力学振动基本理论
在物块重力作用下，每个弹簧产生的静变形相 等，由物块的平衡条件可得
mg k1 s t k2 s t 将并联弹簧看成为一个弹簧，其刚度 系数 keq mg s t ，称为等效刚度系 数（Equivalent stiffness）。
keq k1 k2 （17-11）
k1
k2
m
k1 m
k2
（a）
消耗能量，降低精度等。
研究振动的目的：
消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服 务。
振动的分类：
按系统的自由度分
单自由度系统的振动 多自由度系统的振动 弹性体的振动
按振动产生的原因分：
自由振动
无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动）
强迫振动
无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动
自激振动
17.1 单自由度系统的自由振动 实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需
其单位与频率 f 相同，为赫兹（Hz）。
mG g
k G
st
n2
k m
n
g
st
（17-10）
（2）振幅和初位相
x Asinn t
A表示物块偏离振动中心的最大距离，称为振幅 （Amplitude），它反映自由振动的范围和强弱；
nt 称为振动的相位（Phase）（或相位角）
，单位是弧度（rad），相位决定了物块在某瞬时t
的位置，而 称为初相位，它决定了物块运动的
起始位置。
例17-1 求如图17-3所示单摆的微幅振动周期。
已知摆球质量为m，摆绳长为l。
解： 单摆的静平衡位置为铅垂位置，用摆绳偏
离垂线的夹角 j 作为角坐标。摆球受到重力 mg和绳
拉力 F 的作用。取j 的增大方向为正向，依据动量矩
理论力学经典课件-振动
2 n
x C1er1t C2er2t
本征值与运动微分方程旳通解旳形式与阻尼比有关。
3. 小阻尼情形
当 n< n 时，阻尼系数 c 2 mk ，这时阻尼较小，
称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即：
r1 n i
2 n
n2
r2 n i
2 n
n2
其方程旳解为
或
x Aent sin(
2 n
F l 3 3EI
Fl 3 3EI
F ky yst
k
3EI l3
k－等效刚度
Wl 3 mgl 3 yst 3EI 3EI
k
3EI l3
my mg F
F ky yst
my ky 0 此即梁－物块旳运动微分方程
y Asin(nt )
串联弹簧与并联弹簧旳等效刚度
1. 串 联
meq－等效质量：使系统在广 义坐标方向产生单位加 速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
meq q keq q＝0
q＝C1cosnt C2cosnt
q
2 n
q＝0
q＝Asinnt
＝
n
keq －系统的固有频率；A meq
q02
q0
n
2
振动的振幅；
arctan
n q0
q0
－振动的初位相； q0－初始广义坐标； q0－初始速度。
l
处于平衡，若k、m、a、l 等均
为已知。
ak
m
求：系统微振动旳固有频率
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos
知识资料理论力学(十四)(新版)(1)
五、达朗伯原理达朗伯原理是一种解决非自由质点系动力知识题的普遍主意。
这种主意将质点系的惯性力虚加在质点系上，使动力知识题可以应用静力学写平衡方程的主意来求解，故称为动静法，动静法在工程技术中得到广泛的应用。
（一）惯性力当质点受到其他物体的作用而改变其本来运动状态时，因为质点的惯性产生对施力物体的反作使劲，称为质点的惯性力。
惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，并作用在施力物体上。
惯性力的表达式为（二）达朗伯原理在非自由质点M运动中的每一瞬时，作用于质点的主动力F、约束反力N和该质点的惯性力FI构成一假想的平衡力系。
这就是质点达朗伯原理，其表达式为在非自由质点系运动中的每一瞬时，作用于质点系内每一质点的主动力Fi、约束反力N，和该质点的惯性力FiI构成一假想的平衡力系。
这就是质点系达朗伯原理。
即（三）刚体运动时惯性力系的简化对刚体动力知识题，可以将刚体上每个质点惯性力组成惯性力系，使劲系简化的主意，得出简化结果。
这些简化结果与刚体的运动形式有关。
详细结果见表4-3-9。
（四）动静法按照达朗伯原理，在质点或质点系所受的主动力、约束反力以外，假想地加上惯性力或惯第1 页/共7 页性力系的简化结果，则可用静力学建立平衡方程的主意求解动力知识题，这种求解动力知识题的主意称为动静法。
必须指出，动静法只是解决动力知识题的一种主意，它并不改变动力知识题的性质，因为惯性力并不作用在质点或质点系上，质点或质点系也不处于平衡状态。
动静法中“平衡”只是形式上的平衡，并没有实际意义。
应用动静法列出的平衡方程，实质上就是运动微分方程。
（五）例题[例4—3—13] 长方形匀质薄板重W，以两根等长的软绳支持如图4—3—37所示。
设薄板在图示位无初速地开始运动，图中α=30°。
求此时绳子中的拉力。
[解](1)对象以平板的为研究对象。
(2)受力分析运动开始时板受重力w、软绳约束反力T1、T2。
第十四章理论力学PPT教学课件
2、运动分析：
虚位移（按虚
速度对应法分析）；
rrBA
BP AP
3、建立动力学关系：虚位移原理；
F A δrAF B δrB0
4、求解：
FAFBtan
2020/12/12
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例14-2
已知：如图所示曲柄压榨机构中，M=50Nm，
OA=r，
BD=DC=ED=l， ； A
若杆重均不计、
B
忽略各处摩擦， E
W F r
（2）集中力偶的虚功： W M
2）约束力：
（1）光滑面、光滑铰链、固定端等约束力的功：
2020/12/12
s
F
做功均为零；
8
（2）滑动摩擦力的功： A、静滑动摩擦力的功：为零； 如：只滚不滑；
Fs
B、动滑动摩擦力的功：不为零； 4、理想约束：
1）做功为零的约束称为理想约束：光滑面、光滑铰 链、静滑动摩擦力等；
且机构在图示 求位：置求平压衡榨.力 P。
o M
D C
P
2020/12/12
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PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
15
第十四章 虚位移原理
虚位移原理 一种用动力学的原理求解静 力学问题的方法；
§14-1 约束 · 虚位移 · 虚功
一、几个基本概念：
1、自由度：空间物体在三维空间内自由运 动的程度；
2、完全自由的物体在三维空间内的自由度：
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1
完全自由的物体在空间可以沿三根独立的坐标
轴做移动运动、同时还可以绕三根坐标轴做转动运
故，非完全自由的物体的自由度为：6-约 束方程的个数。
如何通过理论力学解决振动问题？
如何通过理论力学解决振动问题？在我们的日常生活和工程实践中，振动现象无处不在。
从桥梁的晃动到机械零件的微小振动，从建筑物在风中的摇摆到电子设备中的振动噪声，振动问题的研究和解决具有重要的意义。
理论力学作为力学的基础学科，为我们提供了强大的工具和方法来分析和解决这些振动问题。
首先，让我们来了解一下什么是振动。
简单来说，振动就是物体在平衡位置附近的往复运动。
这种运动可以是周期性的，也可以是非周期性的。
而要解决振动问题，我们需要明确振动的几个关键要素，比如振幅、频率、周期和相位等。
理论力学中，解决振动问题的第一步通常是建立力学模型。
这就像是给我们要研究的振动系统画一幅清晰的“画像”。
我们需要确定系统的组成部分，包括质量、弹簧和阻尼器等，并分析它们之间的相互作用。
以一个简单的弹簧振子为例，它由一个质量块和一个弹簧组成。
在这种情况下，我们可以根据牛顿第二定律来建立运动方程。
假设质量为 m 的物体受到弹簧的弹性力 F ＝ kx（其中 k 是弹簧的劲度系数，x 是物体相对于平衡位置的位移），并且考虑到可能存在的阻尼力（比如摩擦力），其大小通常与速度成正比，方向相反，假设为 cv（其中c 是阻尼系数，v 是速度），那么根据牛顿第二定律 F ＝ ma（其中 a 是加速度），我们可以得到方程：m a ＝ kx cv通过一些数学处理和假设（比如假设阻尼较小，振动为简谐振动等），我们可以将这个方程转化为一个更便于分析的形式，从而求出振动的特征，比如频率和振幅。
但实际的振动问题往往比简单的弹簧振子要复杂得多。
例如，在多自由度系统中，可能存在多个质量和多个弹簧相互连接，这时候就需要用到矩阵的方法来建立和求解方程。
除了建立方程，求解方程也是至关重要的一步。
对于一些简单的线性常系数微分方程，我们可以通过经典的方法，如特征方程法来求解。
但对于更复杂的方程，可能需要借助数值方法，比如龙格库塔法等。
在解决振动问题时，能量方法也是非常有用的。
理论力学 第14章 振动
(2)运动分析，选择坐标系。根据系统的运动特性，选出
相应的广义坐标。一般选取系统的静平衡位置为广义坐标的原 点，坐标轴沿振动的方向。 (3)受力分析。为计算方便，最好把系统置于广义坐标为 正值的任意位置，然后画受力图。这时，弹性恢复力与粘滞阻
力应指向坐标的负方向。
Theoretical Mechanics
振幅 周期
2 0 x 2 A x0 2 pn
x A sin( pnt )
pn x0 tan 0 x
f 1 pn T 2π
初相位 频率
2π T pn
系统的固有频率和周期仅与系统的质量与刚度有关，与运 动初始条件无关。振幅和初位相则由运动初始条件决定。
Theoretical Mechanics
pn
――频率比
H b0 ――激振力之最大值引起的弹簧静伸长 k
n ――阻尼比 pn
受迫振动的频率等于激振力频率。
Theoretical Mechanics
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第14章 振动
振动微分方程的全解为
2 x Ae nt sin( pn 2 t ) B sin(t )
衰减振动
强迫振动
第14章 振动
14.1 主要内容
（5）减振与隔振的概念 为了尽量减小振动，避免在共振区内工作。许多引发振动 的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以采用减振或隔振的 措施。 减振：在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例 如，利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。 隔振：将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹 性装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。
2运动方程振幅初相位周期频率sincostheoreticalmechanics返回首页141主要内容振动计算固有频率用能量法的理论基础是机械能守恒定律动能具有最大值tmax速度为零时t0势能具有最大值umax1412计算固有频率的能量法eqeqeqeq33等效的概念等效的概念eq等效刚度eq等效质量自由振动微分方程等效为广义坐标的形式自由振动微分方程等效为广义坐标的形式并联弹簧串联弹簧maxmaxtu常量其中theoreticalmechanics返回首页141主要内容振动1413单自由度系统的衰减振动1振动微分方程标准形式阻尼对周期影响不大而对振幅有显著影响使其按指数曲线衰减
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x02
x02 pn2
或 x Asin( pnt )
初相位
tan pn x0
x0
周期
T 2π pn
频率
f 1 pn T 2π
系统的固有频率和周期仅与系统的质量与刚度有关，与运
动初始条件无关。振幅和初位相则由运动初始条件决定。
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第14章 振动
14.1 主要内容
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第14章 振动
14.1 主要内容
14.1.1 单自由度系统的自由振动
1. 单自由度无阻尼自由振动
（1）振动微分方程标准形式
x pn2 x 0
固有频率
pn
k m
（2）运动方程 x x0 cos
pnt
x0 pn
sin
pnt
振幅
A
T
1 2
meqq2
V
1 2
keqq
2
x=0时，U=0, 动能具有最大值Tmax，速度为零时，T=0,
势能具有最大值Umax。
Tmax Umax
得
Theoretical Mechanics
pn
keq meq
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第14章 振动
14.1 主要内容
14.1.3 单自由度系统的衰减振动
（1）振动微分方程标准形式
c m
;
h H m
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第14章 振动
1解 x bsin(t )
其中： b――振幅，――相位差
b
h
b0
( pn2 2 )2 4n2 2 (1 2 )2 4 22
其中：
tan
2n
2 n
2
2 1 2
pn
（3）共振
此时n即1时 发生共振b 。 b0
2
2
在共振频率附近阻尼对受迫振动振幅有显著影响。远离
共振区（0.75~1.25），其对振幅的影响可略去不计。
当1时，位相差 /2，与阻尼大小无关。工程上利
用此特点，通过实验测量系统固有频率pn。 （4）转子的临界转速
引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速。这种现象是
――频率比
n ――阻尼比
pn
b0
H k
――激振力之最大值引起的弹簧静伸长
受迫振动的频率等于激振力频率。
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第14章 振动
14.1 主要内容
振动微分方程的全解为
x Aent sin( pn2 2 t ) B sin(t )
衰减振动
强迫振动
由共振引起的。
Theoretical Mechanics
临界角速度
c pn
k m
临界转速
nc
30
c
第14章 振动
14.1 主要内容
（5）减振与隔振的概念
为了尽量减小振动，避免在共振区内工作。许多引发振动
的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以采用减振或隔振的
措施。
减振：在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例
Ai1
ln nTd ――对数减幅系数
阻尼对周期影响不大，而对振幅有显著影响，使其按指数 曲线衰减。当n>pn时，运动不具有振动特性。
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第14章 振动
14.1 主要内容
14.1.4 单自由度系统的受迫振动 （1）受迫振动微分方程式 简谐激振力的三种形式：
x 2nx pn2 x 0
n c 2m
（2）运动方程（n< pn即小阻尼情形）
x Aent sin( pdt )
A
x02
( x0
nx0 pd2
)2
tan x0 pd x0 nx0
其中
pd
pn2 n2
Td
2 pd
pd
T 1 2
pn 1 2
n
pn
――衰减振动周期
为阻尼比
Ai enTd ――振幅缩减率（即减幅系数）
14.1 主要内容
（3）等效的概念
自由振动微分方程等效为广义坐标的形式
meq q keq q＝0
meq---等效质量
keq---等效刚度
并联弹簧 keq k1 k2
串联弹簧
k eq
k1k2 k1 k2
14.1.2 计算固有频率的能量法
计算固有频率用能量法的理论基础是机械能守恒定律
T＋U=常量 其中
为了取得较好的隔振效果，系统应当具有较低的固有频率
和较小的阻尼。不过阻尼也不能太小，否则振动系统在通过共
振区时会产生较大的振动。
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第14章 振动
14.2 基本要求
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第14章 振动
14.2 基本要求
14.2 基本要求 1 .能建立单自由度系统线性自由振动、衰减振动和受迫振 动的微分方程，熟悉振动的特征及运动方程。 2 ..利用等效的概念计算系统的等效刚度、等效质量。 3 .能熟练地应用能量法计算系统的固有频率。 4 .能熟练地求解单自由度振动线性系统的自由振动、衰减 振动和强迫振动的微分方程。 5 .能熟练地计算系统的振动周期、频率、振幅、振幅缩减 率（即减幅系数）、对数减幅系数等。 6 .掌握共振的条件，了解临界转速的基本概念。 7 .了解隔振的基本概念。
理论力学第三篇 动 力 学 第14章 振动
Theoretical Mechanics
制作与设计 贾启芬 刘习军
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第14章 振动
14.1 主要内容 14.2 基本要求 14.3 重点讨论 14.4 例题分析 14.5 典型习题
Theoretical Mechanics
目录
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第14章 振动
直接作用激振力
F1 H1 sint
弹簧悬挂点简谐运动引起的激振力 F2 H2 sint kasint
偏心转子引起的激振力
F3 H 3 sin t me 2 sin t
有阻尼强迫振动微分方程的标准形式，是二阶常系数 非齐次微分方程
其中
x 2nx pn2 x h sin t
pn2
k m
;
2n
如，利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。
隔振：将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹 性装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。
隔振有两种形式 a.主动隔振：将振源与基础隔离开。
主动隔振的效果用力传递率或隔振系数来衡量，定义为
a
HT H
其中H和HT分别为隔振前后传递到地基上的力的幅值。
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第14章 振动
14.1 主要内容
b.被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开。
被动隔振是将防振的物体与振源隔离（振源来自地基的 运动），防止或减小地基振动对物体的影响。
被动隔振的效果位移传递率表示，定义为
a
B b
B为隔振后传到物体上的振动幅值，b地基运动的振动幅值。
通过计算可知位移传递率与力传递率具有完全相同的形式。