理论力学振动基本理论
理论力学 第十章振动
k2
k1
δ st
r F1
k eq = k1 + k 2
δ st r
r mg
keq k1 + k 2 = m m
m
r F2
mg = k eqδ st
keq称为等效弹簧刚性系数 并联系统的固有频率为
mg k2
ωn =
当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。 这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
O
δ st
x
r F r P
则解为：
x = A sin(ω nt + θ )
表明：无阻尼自由振动是简谐振动。 其运动图线为：
x
A
x
x0
θ ωn
O
t
t+T
x
2.无阻尼自由振动的特点 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率 ）
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t， 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时 ，其 运动规律x（t）总可以写为: 运动规律 （ ）总可以写为: x（t）= x（t+T） （） （ ） T为常数，称为周期，单位符号为s。 为常数， 周期， 符号为 为常数 称为周期 单位符号 。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动 后又重复原来的运动。 这种振动经过时间 后又重复原来的运动。 考虑无阻尼自由振动微分方程 考虑无阻尼自由振动微分方程
r F r P
x
两个根为： r1 = +iω n 方程解表示为：
r2 = −iω n
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
理论力学中的杆件的振动分析
理论力学中的杆件的振动分析杆件是理论力学中经常研究的一个重要物体。
它可以是直杆、曲杆或者弯折杆。
振动分析是研究杆件在外力作用下的动态响应，对于杆件在工程实践中的应用具有重要的意义。
本文将从理论力学的角度出发，对杆件的振动分析进行探讨。
一、杆件的自由振动杆件的自由振动是指在无外力作用下，杆件在某一固有频率下产生的振动。
对于直杆而言，自由振动可以通过解杆件的振动微分方程来求解。
对于曲杆或弯折杆，由于其几何形状的复杂性，需要借助数值求解方法进行分析。
自由振动的频率可以通过求解杆件的固有值问题得到。
根据杆件的几何形状和材料性质，可以导出杆件的振动微分方程。
然后，通过合适的边界条件，解出振动微分方程的特征方程，进而求解杆件的固有频率和振型。
二、杆件的受迫振动杆件的受迫振动是指在外力作用下，杆件产生的振动响应。
外力可以是静力荷载、动力荷载或者周期性激励力，例如谐振激励力。
在杆件的受迫振动分析中，需要建立动力学方程，考虑杆件的质量、刚度和阻尼等影响因素。
对于直杆而言，可以利用振动方程和边界条件求解出杆件的受迫振动响应。
对于曲杆或弯折杆，受迫振动的分析较为复杂。
通常需要借助有限元方法进行数值模拟，得到杆件的动态响应。
在模拟前，需要对杆件进行网格划分，并设置适当的材料参数和边界条件。
通过求解有限元方程，可以得到杆件的受迫振动响应。
三、振动分析的应用理论力学中的杆件振动分析在工程实践中有着广泛的应用。
以下列举几个典型的应用场景：1. 结构设计优化：通过对杆件的振动分析，可以评估结构的动态性能，从而优化设计。
例如，在桥梁工程中，振动分析可以用于评估桥梁的抗震性能，确保其在地震等外力作用下的稳定性。
2. 装配工艺分析：在装配过程中，杆件的振动响应可能会引起误差或者装配不良。
通过振动分析，可以识别潜在的装配问题，并采取相应的措施进行改进。
3. 动力学仿真：在机械系统或者工艺设备中，杆件的振动会对系统的动力学性能产生重要影响。
《理论力学 动力学》 第十一讲 两个自由度系统的自由振动
两个自由度系统的振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、两个自由度系统的自由振动2、两个自由度系统的受迫振动1、两个自由度系统的自由振动（1）模型的简化同一物体的振动可以简化为不同的振动模型。
C研究上下平移振动研究前后颠簸振动两个自由度系统的自由振动模型112122222122()00mxk k x k x m x k x k x ++-=üý-+=þ&&&&2212121m k d m k c m k k b ==+=，，令方程变为：11221200xbx cx x dx dx +-=-+=&&&&，根据微分方程理论，可设上列方程组的解为：)sin()sin(21q w q w +=+=t B x t A x ，其中：A 、B 是振幅；ω为角频率，θ是初始相位角。
将上式代入微分方程组，得到：)sin()sin()sin(0)sin()sin()sin(22=+++++-=+-+++-q w q w q w w q w q w q w w t dB t dA t B t cB t bA t A 整理后得到：0)(0)(22=++-=--B d dA cB A b w w ，系统振动时，方程组具有非零解, 则方程组的系数行列式必须等于零，即：22=----ww d dc b —频率行列式①固有频率1、两个自由度系统的自由振动)()(24=-++-c b d d b w w 行列式展开后得到：—系统的本征方程，又称为频率方程21,22b d w +=m 2b d +=m i ω2的两个根都是实数，而且都是正数。
ii ω2的第一个根较小，称为第一固有频率。
iii ω2的第二个根较大，称为第二固有频率。
结论：两个自由度系统具有两个固有频率，这两个固有频率只与系统的质量和刚度等参数有关，而与振动的初始条件无关。
理论力学经典课件-振动
2 n
x C1er1t C2er2t
本征值与运动微分方程旳通解旳形式与阻尼比有关。
3. 小阻尼情形
当 n< n 时，阻尼系数 c 2 mk ，这时阻尼较小，
称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即：
r1 n i
2 n
n2
r2 n i
2 n
n2
其方程旳解为
或
x Aent sin(
2 n
F l 3 3EI
Fl 3 3EI
F ky yst
k
3EI l3
k－等效刚度
Wl 3 mgl 3 yst 3EI 3EI
k
3EI l3
my mg F
F ky yst
my ky 0 此即梁－物块旳运动微分方程
y Asin(nt )
串联弹簧与并联弹簧旳等效刚度
1. 串 联
meq－等效质量：使系统在广 义坐标方向产生单位加 速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
meq q keq q＝0
q＝C1cosnt C2cosnt
q
2 n
q＝0
q＝Asinnt
＝
n
keq －系统的固有频率；A meq
q02
q0
n
2
振动的振幅；
arctan
n q0
q0
－振动的初位相； q0－初始广义坐标； q0－初始速度。
l
处于平衡，若k、m、a、l 等均
为已知。
ak
m
求：系统微振动旳固有频率
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos
理论力学---第十五章 单自由度系的振动 [同济大学]
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d2x k x 0, dt 2 m
d2x 2 n x 0, dt 2
n2
k , m
F
δs mg k
k
xO
n
v0
s
x mg x
y
A xo (
2π
2
n
v0
)2 ,
ωx α arctan n 0 v0
解 : x c1 cos nt c2 sin nt
第十五章 单自由度系统的振动 §15-1 有阻尼自由振动
1.弹簧力 2.静伸长 3.阻尼力 4. 4 方程
m
Fk k ( s x ),
δs mg k
c Fc
k F
s
x
y
Fc cv
d2 x dx k(x δs ) c mg kx c dx dt 2 dt dt 2 k c x dx 2 2 n , 2n , d 2 2n ωn x0 m m dt dt
m1 m
d T 0, dt d T , m x dt x
V k 2b 2 k1 ( x a )(a )
x0=0 (碰撞时位移、重力不计)
2 ωn
(m1 m) kx 0, x
x A sin(n t )
Ae nTn Ai 1
4 π 2 A2c 2 P 2 4 π 2 2 , T2 g2 Td
c
2 πP 2 2 Td T 2 gATTd
如:=0.05, 10次后振幅仅原4.3%。
Td T
d 2 x 2 Ac dx 2 ωn x0 dt 2 m dt
1
1. 无阻尼的自由振动
《理论力学 动力学》 第十一讲 两个自由度系统的受迫振动
2、两个自由度系统的受迫振动将特解代入简化后的微分方程组，得到关于振幅的方程组：)()(22=-+-=--B d dA h cB A b w w ，解上述代数方程组得到两个振幅为：cd d b d h A ----=))(()(222w w w cdd b hdB ---=))((22w w （1）当激振频率ωà0此时激振周期T à∞，表示激振力变化极其缓慢，实际上相当于静力作用。
01b k H c b h B A ==-==b 0相当于在大小等于力幅H 的常力作用下主物体m1的静位移，这时两个物体具有相同的位移量。
（2）固有频率))((2222=---=----cd d b d d c b w w w w 频率方程：可解得系统的固有频率ω1和ω2。
当激振频率ω=ω1或ω=ω2时，，A 、B à∞，系统发生共振。
22()()0b d cd w w ---=两个自由度的系统具有两个共振频率。
2、两个自由度系统的受迫振动（3）振幅比d d B A 2w -=两物体的振幅比与激振频率有关，不再是自由振动的主振型。
d d B A 21w -=dd 22w -当激振频率ω=ω1或ω=ω2时，或，与自由振动对应的主振型相同。
当系统发生各阶共振时，受迫振动是各阶主振型。
利用实验测固有频率和固有振型。
（4）振幅与激振频率的关系实例：12k k k ==122m m m==20202w w ===c d b ，1222112122k k k kk k k H Hb c d h m m m m m m m m+=======，=，，令0w ==为没有m2时，主质量系统的固有频率222241.3586.0w w w w ==，2、两个自由度系统的受迫振动0H b k =20220011212112A b w w a w w æö-ç÷èø==éùæö--êúç÷êúèøëû2200112112B b b w w ==éùæö--êúç÷êúèøëû引入静变形并代入b 、c 、d 、h ，得到两个物体关于静变形的振幅比：α, β10234-4-3-2-1ω01ω0ωω02振幅比│频率比曲线i 当ω=0时, α=β=1, 即A =B =b 0。
如何理解理论力学中的自由振动和强迫振动？
如何理解理论力学中的自由振动和强迫振动？在理论力学的世界里，自由振动和强迫振动是两个非常重要的概念。
它们不仅在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，也深深影响着我们对自然界中各种振动现象的理解。
首先，让我们来谈谈自由振动。
想象一下，你有一个弹簧，一端固定，另一端连接着一个质量块。
当你把这个质量块拉离平衡位置然后松手，它就会开始振动，这种振动就是自由振动。
在自由振动中，系统仅依靠其自身的初始能量和内部特性来维持振动。
自由振动的特点之一是其振动频率是由系统本身的物理参数决定的，这个频率被称为固有频率。
比如说，弹簧的劲度系数和质量块的质量就会影响固有频率。
而且，在没有外界干扰的理想情况下，自由振动会一直持续下去，但由于不可避免的阻尼作用，振动的幅度会逐渐减小，最终停止。
阻尼是自由振动中一个不可忽视的因素。
阻尼可以来自于空气阻力、摩擦力等。
它就像是一个“能量消耗者”，不断地把振动系统的机械能转化为热能等其他形式的能量，导致振动逐渐减弱。
举个简单的例子，一个秋千如果没有人推动，在摆动的过程中就会因为空气阻力和秋千与支架之间的摩擦力而逐渐减慢，最终停下来，这就是一种自由振动受到阻尼影响的表现。
接下来，我们再看看强迫振动。
强迫振动与自由振动最大的不同在于，它是由外部周期性的驱动力作用于系统而产生的振动。
比如说，一个发动机运转时产生的周期性力作用在机器的某个部件上，导致该部件产生振动，这就是强迫振动。
在这种情况下，振动的频率是由外部驱动力的频率决定的，而不是系统的固有频率。
强迫振动有一个很有趣的现象，叫做共振。
当外部驱动力的频率与系统的固有频率相等时，振动的幅度会达到极大值，这就是共振现象。
共振在很多领域都有着重要的应用，同时也可能带来一些潜在的危险。
比如，在桥梁设计中，如果桥梁的固有频率与过往车辆的振动频率接近，就可能在特定情况下发生共振，导致桥梁的损坏。
但在另一方面，我们也可以利用共振来实现一些有益的目的，比如在无线电通信中，通过调整电路的参数，使其与接收信号的频率产生共振，从而提高信号的接收效果。
《理论力学 动力学》 第九讲 单自由度系统的无阻尼受迫振动
单自由度系统的受迫振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、单自由度系统的无阻尼受迫振动2、单自由度系统的有阻尼受迫振动1、单自由度系统的无阻尼受迫振动受迫振动在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。
km简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力。
简谐激振力随时间的变化关系可写成：)sin(j w +=t H F 其中：H 称为激振力的力幅，即激振力的最大值；ω是激振力的角频率；j 是激振力的初相角。
（1）振动微分方程m 取物块的平衡位置为坐标原点，x 轴向下为正。
物块的受力为恢复力F e 和激振力F 。
F e F方程两边同除以m ，并令, 得到：m k =20w H h m=)sin(d d 2022j w w +=+t h x tx ——无阻尼受迫振动微分方程的标准形式解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。
齐次方程的通解可写为：)sin(01q w +=t A x 特解可写为：2sin()x b t w j =+将x 2 代入微分方程，得到:)sin()sin()sin(22j w j w w j w w +=+++-t h t b t b 解得：220ww -=hb 微分方程的全解为：)sin()sin(2200j w ww q w +-++=t ht A x 结果表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。
第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。
第一部分会逐渐衰减，而第二部分则是稳定的。
0sin()A t w q +220sin()ht w f w w+-1、单自由度系统的无阻尼受迫振动（2）受迫振动的振幅2220sin()hx t w j w w=+-系统的受迫振动为简谐振动，振动频率也等于激振力的频率，振幅大小与运动的初始条件无关，而与振动系统的固有频率ω0、激振力的频率ω、激振力的力幅H 相关。
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在物块重力作用下，每个弹簧产生的静变形相 等，由物块的平衡条件可得
mg k1 s t k2 s t 将并联弹簧看成为一个弹簧，其刚度 系数 keq mg s t ，称为等效刚度系 数（Equivalent stiffness）。
keq k1 k2 （17-11）
k1
k2
m
k1 m
k2
（a）
消耗能量，降低精度等。
研究振动的目的：
消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服 务。
振动的分类：
按系统的自由度分
单自由度系统的振动 多自由度系统的振动 弹性体的振动
按振动产生的原因分：
自由振动
无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动）
强迫振动
无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动
自激振动
17.1 单自由度系统的自由振动 实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需
其单位与频率 f 相同，为赫兹（Hz）。
mG g
k G
st
n2
k m
n
g
st
（17-10）
（2）振幅和初位相
x Asinn t
A表示物块偏离振动中心的最大距离，称为振幅 （Amplitude），它反映自由振动的范围和强弱；
nt 称为振动的相位（Phase）（或相位角）
，单位是弧度（rad），相位决定了物块在某瞬时t
的位置，而 称为初相位，它决定了物块运动的
起始位置。
例17-1 求如图17-3所示单摆的微幅振动周期。
已知摆球质量为m，摆绳长为l。
解： 单摆的静平衡位置为铅垂位置，用摆绳偏
离垂线的夹角 j 作为角坐标。摆球受到重力 mg和绳
拉力 F 的作用。取j 的增大方向为正向，依据动量矩
定理，得
ml 2
d 2j
dt 2
m g l sinj
O jl
d2j g sinj
0
dt 2
l
Fv
mg 图 17-3
微幅振动 sinj j
d 2j
dt 2
g l
j
0
固有圆频率
n
g l
周期为
T 2 2 l
n
g
例17-2 滑轮重量为 G，重物 M1，M2重量为 G1， G2。弹簧的刚度系数为k，如图17-4所示。设滑轮为 均质圆盘，略去弹簧与绳子的质量，求重物垂直振动
s t1
mg k1
s t2
mg k2
弹簧总的静变形为
st
s t1
s t2
mg
1 k1
1 k2
k1
k2 m 图 17-6
将则串有联弹簧看成为一个s t 弹 k簧megq，其等效刚度系数为keq，
1 11
keq k1 k2
（17-12）
表明串联弹簧系统的等效刚度系数的倒数等于各弹
簧刚度系数的倒数之和。
G 2
G1
G2
r2 g
系统在平衡位置时弹性力对点O之矩与重物重力对
点O之矩相互抵消，即
kstr G1r G2r 0
G 2
G1
G2
r2 j kr2j
g
j 2gk j 0
G 2G1 2G2
n
2gk G 2G1 2G2
T 2 2 G 2G1 2G2
n
2gk
17.1.3 弹簧的并联与串联 （1）弹簧并联。图17-5表示刚性系数为k1，k2 的弹簧组成的两种并联系统。
F
取物块的静平衡位置为坐标原点，x轴铅垂向
x
下，当物块在任意位置x处时，弹簧对物块的 G
作用力大为
F k st x
x 图 17-1
根据牛顿第二定律，物块的运动微分方程为
d2x
m d
t2
mg k st
x
m
d2x dt2
k
x
令
2 n
k m
（17-2）
d2x dt2
2 n
x
0
（17-3）
单自由度系统无阻尼自由振动（Free vibration）微分方程的标准形式。
（b）
图 17-5
并联弹簧系统的等效刚度系数等于各弹簧刚度系数之 和。
这一结果说明弹簧并联后总的刚度系数增大了。 该系统的固有圆频率为
n
keq m
k1 k2 m
（2）弹簧串联。 图17-6表示两个弹簧串联，两
个弹簧的刚度系数分别为k1，k2。在物块重力作用下 每个弹簧所受的拉力相同，因此每个弹簧的静变形为
通解： x C1 cosnt C2 sin nt
（17-4）
任意瞬时的速度为
v
dx dt
C1 n
sin n
t
C2
n
cos n
t
当t = 0时，x = x0，v = v0，可求出积分常量
C1 x0
C2
v0
n
令 C1 Asin
C2 A cos
式（17-4）可写成
x Asinn t （17-5）
振动（Vibration ）:系统在平衡位置附近作往复 运动。
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电 动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑 物的振动等。
振动的利弊：
利：振动给料机；
弊：磨损，减少寿命，影响强度
振动筛；
引起噪声，影响劳动条件
振动沉拔桩机等。
的周期。
j
解： 以滑轮偏离其平衡位置的转角j O
为确定系统位置的坐标。设滑轮半径为r。
当系统在任意位置j 时，弹簧的变形量
M1
M2
为
s t rj
k1
依据动量矩定理，有
图 17-4
J0j k st rj r G1r G2r
系统对点O的转动惯量
J0
1 2
G g
r2
G1 g
r2
G2 g
r2
A
C12 C22
x02
v0
n
2
tan n x0
v0
无阻尼自由振动是简谐 振动，其运动图线如图 17-2所示。
x t
A0 x0 0
A0
（17-6）
T t
图 17-2
17.1.2 自由振动的特点 （1）周期与频率。物体的无阻尼自由振动是 周期运动，设周期为T
xt xt T n T t n t 2
简化为力学模型。
振 体
质量—弹 簧系统
17.1.1 自由振动微分方程
如图17-1所示振动系统，设物块的质量为m，弹簧
原长为 l0，刚度系数为 k。物块在平衡位置时，弹簧的
变形为 st ，称为静变形。平衡时，重力G与
弹性力相等，即 G mg kst
k
弹簧的静变形为
l0
δs t
st
mg k
（17-1）
无阻尼自由振动的周期
2
T
n
（17-7）
无阻尼自由振动的频率
f 1 n T 2
（17-8）
n 2 f
（17-9）
表示物体在 2 秒内振动的次数，称为圆频率 （Circular frequency）。
只与系统本身的质量m及弹簧刚度k有关，而与运 动的初始条件无关，是振动系统的固有特性，所以称
为固有圆频率（固有频率（Natural frequency））。