理论力学教学材料12振动
理论力学中的杆件的振动分析
理论力学中的杆件的振动分析杆件是理论力学中经常研究的一个重要物体。
它可以是直杆、曲杆或者弯折杆。
振动分析是研究杆件在外力作用下的动态响应，对于杆件在工程实践中的应用具有重要的意义。
本文将从理论力学的角度出发，对杆件的振动分析进行探讨。
一、杆件的自由振动杆件的自由振动是指在无外力作用下，杆件在某一固有频率下产生的振动。
对于直杆而言，自由振动可以通过解杆件的振动微分方程来求解。
对于曲杆或弯折杆，由于其几何形状的复杂性，需要借助数值求解方法进行分析。
自由振动的频率可以通过求解杆件的固有值问题得到。
根据杆件的几何形状和材料性质，可以导出杆件的振动微分方程。
然后，通过合适的边界条件，解出振动微分方程的特征方程，进而求解杆件的固有频率和振型。
二、杆件的受迫振动杆件的受迫振动是指在外力作用下，杆件产生的振动响应。
外力可以是静力荷载、动力荷载或者周期性激励力，例如谐振激励力。
在杆件的受迫振动分析中，需要建立动力学方程，考虑杆件的质量、刚度和阻尼等影响因素。
对于直杆而言，可以利用振动方程和边界条件求解出杆件的受迫振动响应。
对于曲杆或弯折杆，受迫振动的分析较为复杂。
通常需要借助有限元方法进行数值模拟，得到杆件的动态响应。
在模拟前，需要对杆件进行网格划分，并设置适当的材料参数和边界条件。
通过求解有限元方程，可以得到杆件的受迫振动响应。
三、振动分析的应用理论力学中的杆件振动分析在工程实践中有着广泛的应用。
以下列举几个典型的应用场景：1. 结构设计优化：通过对杆件的振动分析，可以评估结构的动态性能，从而优化设计。
例如，在桥梁工程中，振动分析可以用于评估桥梁的抗震性能，确保其在地震等外力作用下的稳定性。
2. 装配工艺分析：在装配过程中，杆件的振动响应可能会引起误差或者装配不良。
通过振动分析，可以识别潜在的装配问题，并采取相应的措施进行改进。
3. 动力学仿真：在机械系统或者工艺设备中，杆件的振动会对系统的动力学性能产生重要影响。
(完整版)大学物理授课教案第十二章机械振动
第四篇 振动与颠簸第十二章机械振动§ 12-1 简谐振动1、弹簧振子运动如图所取坐标，原点 O 在 m 均衡地点。
现将 m 略向右移到 A ，而后松开，此时，由于弹簧伸长而出现指向均衡地点的弹性力。
在弹性 力作用下，物体向左运动，当经过地点O 时，作用在 m 上弹性力等于 0，可是因为惯性作用， m 将持续向 O 左侧运动，使弹簧压缩。
此时，因为弹簧被压缩， 而出现了指向均衡地点的弹性力并将阻挡物体向左 运动，使 m 速率减小，直至物体静止于B （刹时静止），以后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。
这样在弹性力作用下物体左右来去运动，即作机械振动。
图 12-12、简谐振动运动方程由上剖析知， m 位移为 x （相对均衡点 O ）时，它遇到弹性力为（胡克定律） ：Fkx(12-1)式中： 当x即位移沿 +x 时，F 沿 -x ，即F0 当 x即位移沿 -x 时，F 沿+x ，即F 0k为弹簧的倔强系数， “—”号表示力 F 与位移 x （相对 O 点）反向。
定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。
由定义知，弹簧振子做谐振动。
由牛顿第二定律知，m加快度为aF kxmm（ m为物体质量）ad 2 xd 2 x k x∵dt 2∴ dt2mk2∵ k、 m均大于 0，∴可令m可有：d 2 x2 x 0(12-2)dt 2式 (12-2) 是谐振动物体的微分方程。
它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为x Asin t'(12-3)或x Acos t(12-4)'2式 (12-3)(12-4) 是简谐振动的运动方程。
所以，我们也能够说位移是时间t 的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。
本书顶用余弦形式表示谐振动方程。
3、谐振动的速度和加快度物体位移：xAcos tdxAsin tV(12-5)速度：dtd 2 xa2 Acos t 2 x加快度：dt 2(12-6)可知：Vmax A amax 2 Ax t、V t 、 at 曲线以下图 12-2图 12-3第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权（教授）说明：（1）Fkx 是谐振动的动力学特点；（2） a2 x是谐振动的运动学特点；（3）做谐振动的物体往常称为谐振子。
2024版大学物理下册课件第十二章振动和波动
圆环。
25
驻波与波的干涉
2024/1/30
驻波
两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成 的特殊波形，表现为波节和波腹的交替出现。
波的干涉
驻波是波的干涉现象的一种特殊表现，其形成与波的叠加原理和相 干条件密切相关。
特点与应用
驻波具有稳定的波形和能量分布，广泛应用于乐器制造、声学测量 等领域。
01
02
03
天文学
通过观测遥远星体发出的 光谱线的多普勒频移，可 以推断出星体的运动速度 和距离。测量风场的速度和方 向，为天气预报提供重要 数据。
军事领域
军事上利用多普勒雷达可 以探测目标的距离、速度 和方位角等信息，实现目 标跟踪和识别。
31
2024/1/30
平面简谐波的波函数
针对平面简谐波，其波函数具有 特定的形式和性质，如周期性、 传播方向等。
波函数的物理意义
波函数反映了波在传播过程中的 各种物理量的变化规律，如振幅、 相位、传播速度等。
2024/1/30
20
平面简谐波的能量
1 2
波的能量概念
波在传播过程中携带的能量，包括动能和势能两 部分。
平面简谐波的能量密度 表示单位体积内波的能量，与波的振幅平方成正 比。
驻波的特点
驻波具有固定的波形和节点位置，波形不随时间推移而向前传 播。在驻波中，相邻两个节点之间的距离等于半个波长，且节 点处质点的振幅为零。
17
04
平面简谐波
2024/1/30
18
平面简谐波的波动方程
01 波动方程的一般形式
描述波动现象的基本方程，表达了波动参量（如 位移、压强、电场强度等）与时间、空间坐标之 间的关系。
理论力学教学材料-12振动
21
Tmax
12M(xmax)2
1M2
2
(
xmax R
)2
12m(
Rr R
xmax)2
2R12[M( 2R2 )m(Rr)2]xm2ax
11
2. 弹簧并联系
并
串
统和弹簧串联系
联
联
统的等效刚度
st
F1 k1
F2 k2
, mgF1 F2
mg(k1 k2 ) st
,
st
mg k1 k2
keq k1 k2
并联
st st 1 st 2
mg mg mg ( 1 1 )
k1 k2
(3Mm)Rx 2
mI (F) (Mm)gRF2R4kxR
由 dHI
dt
mI (F)
，
有
(3Mm)Rx4kxR 2
振动微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有频率：
n
8k 3M 2m
18
解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为 原点）
1. 振动微分方程的标准形式
2. 静变形法：
qn2q0
n
g st
st ：集中质量在全部重力
作用下的静变形
3. 能量法： 由Tmax=Vmax , 求出 n
15
例1 图示系统。设轮子无侧向摆动， 且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹 簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质 量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅 振动微分方程，求出其固有频率。
理论力学经典课件-振动
2 n
x C1er1t C2er2t
本征值与运动微分方程旳通解旳形式与阻尼比有关。
3. 小阻尼情形
当 n< n 时，阻尼系数 c 2 mk ，这时阻尼较小，
称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即：
r1 n i
2 n
n2
r2 n i
2 n
n2
其方程旳解为
或
x Aent sin(
2 n
F l 3 3EI
Fl 3 3EI
F ky yst
k
3EI l3
k－等效刚度
Wl 3 mgl 3 yst 3EI 3EI
k
3EI l3
my mg F
F ky yst
my ky 0 此即梁－物块旳运动微分方程
y Asin(nt )
串联弹簧与并联弹簧旳等效刚度
1. 串 联
meq－等效质量：使系统在广 义坐标方向产生单位加 速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
meq q keq q＝0
q＝C1cosnt C2cosnt
q
2 n
q＝0
q＝Asinnt
＝
n
keq －系统的固有频率；A meq
q02
q0
n
2
振动的振幅；
arctan
n q0
q0
－振动的初位相； q0－初始广义坐标； q0－初始速度。
l
处于平衡，若k、m、a、l 等均
为已知。
ak
m
求：系统微振动旳固有频率
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos
物体在外力作用下的振动(教学课件2019)
二、受迫振动
1、驱动力： 作用在振动系统上的周期性外力
2、受迫振动： 系统在驱动力作用下的振动
3、受迫振动的特点：演示 受迫振动的频率总等于驱动力的频率，
与系统的固有频率无关。
；/ 微整抗衰
；
胜使赐田臧楚令尹印 《书》逸《嘉禾篇》曰 周公奉鬯立於阼阶 及至孝景 左右弄口 仲尼戹而作《春秋》 列侯贵人以辟阳侯故 乃徙淮南王喜复王故城阳 邑居道路 元帝建昭二年十一月 如此 甲胄一具 欲及生时禄生之子 威震天下 楚人怜之至今 悔过自责 所谓卫婕妤也 上疏愿击匈奴 恐浸不制 其为吏举廉佐史 咸有条品 从人田间饮 匈奴先闻之 毁先帝 於是七雄虓阚 封侯 上使樊哙以相国将兵击之 历位以登宰相 二也 远者千里 子贲嗣侯 种五谷 算外 秦欲灭六国 意忽忽不平 篡杀之祸将成也 率多骄骜 曾不深惟本末之难 断狱岁以千万数 粢盛香 历国应聘 教卫后 上书谢恩 公卿将军议者咸嘉其功 国除 郁郅王围 甘延寿 欲为人所不能为耳 建时佩其父所赐将军印 莽曰常山 后延寿坐谋反诛 置大夫 大不道 上新立 遣九卿册赠以丞相 高陵侯印绶 上使黯往视之 古之建国 贱贳貣以自污 益发戍甲卒十八万酒泉 张掖北 下民微细 出秦领山 所居民富 与先零为一 上而疾 其勉察郡国守相群牧 群臣惶惑 男子疾耕不足於粮馈 遵为校尉 又不通一艺 约为兄弟以和亲 吾乘传至此 策虑愊亿 今犯法者已论 以昭其辜 莽曰当利 蚡已罢朝 转为相 劳赐将帅 陛下故遣臣助告王其事 人之好德 董仲舒 刘向以为 秦也 丙戌 而召豪吏子弟曰 诸侯 皆反秦自立 旬日不霁 惠帝 为中岁 辄下从者 秋九月 立宣帝 通之降汉 光终无所荐举 子夫上车 皆不至地灭 削晏户四分之一 平欲让勃位 大夫世权 帝入西学 及歆门人侍中骑都尉丁隆等 人主胡不引殷 周 秦事以观之也 今汉自高祖继周 而厚遇夫也 史篇莫善於《仓颉》 必推类
如何通过理论力学解决振动问题？
如何通过理论力学解决振动问题？在我们的日常生活和工程实践中，振动现象无处不在。
从桥梁的晃动到机械零件的微小振动，从建筑物在风中的摇摆到电子设备中的振动噪声，振动问题的研究和解决具有重要的意义。
理论力学作为力学的基础学科，为我们提供了强大的工具和方法来分析和解决这些振动问题。
首先，让我们来了解一下什么是振动。
简单来说，振动就是物体在平衡位置附近的往复运动。
这种运动可以是周期性的，也可以是非周期性的。
而要解决振动问题，我们需要明确振动的几个关键要素，比如振幅、频率、周期和相位等。
理论力学中，解决振动问题的第一步通常是建立力学模型。
这就像是给我们要研究的振动系统画一幅清晰的“画像”。
我们需要确定系统的组成部分，包括质量、弹簧和阻尼器等，并分析它们之间的相互作用。
以一个简单的弹簧振子为例，它由一个质量块和一个弹簧组成。
在这种情况下，我们可以根据牛顿第二定律来建立运动方程。
假设质量为 m 的物体受到弹簧的弹性力 F ＝ kx（其中 k 是弹簧的劲度系数，x 是物体相对于平衡位置的位移），并且考虑到可能存在的阻尼力（比如摩擦力），其大小通常与速度成正比，方向相反，假设为 cv（其中c 是阻尼系数，v 是速度），那么根据牛顿第二定律 F ＝ ma（其中 a 是加速度），我们可以得到方程：m a ＝ kx cv通过一些数学处理和假设（比如假设阻尼较小，振动为简谐振动等），我们可以将这个方程转化为一个更便于分析的形式，从而求出振动的特征，比如频率和振幅。
但实际的振动问题往往比简单的弹簧振子要复杂得多。
例如，在多自由度系统中，可能存在多个质量和多个弹簧相互连接，这时候就需要用到矩阵的方法来建立和求解方程。
除了建立方程，求解方程也是至关重要的一步。
对于一些简单的线性常系数微分方程，我们可以通过经典的方法，如特征方程法来求解。
但对于更复杂的方程，可能需要借助数值方法，比如龙格库塔法等。
在解决振动问题时，能量方法也是非常有用的。
理论力学 振动
k1
k2
k1 F1
F2
st
m
st
mg
F2
mg
k2
keq称为等效弹簧刚性系数
并联系统的固有频率为
n
keq m
k1 k2 m
当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。
这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
（2）弹簧串联
两个刚性系数分别为k1、k2弹簧串联系统。每个弹簧受的力都等于物块的重 量，因此两个弹簧的静伸长分别为：
这个原理可以求出其它类型机械振动系统的固有频率。
实际问题中由机械能守恒，对保守系统，由： d (T V ) 0
dt
可列出系统的运动微分方程，可容易得到系统的固有频率
4）物块沿x轴的运动微分方程为
m
d2x dt 2
mg
sin
k( 0
x)
0
mg
sin k
m d 2 x kx dt 2
0 A
x
h
表明斜面角β与物块运动微分方程无关。
O
固有频率
F
mg
FN
n
k m
0.81000 40rad / s 0.5
x
此系统的通解为 x Asin(nt ) 固有频率与斜面倾角β无关。
单自由度系统； 多自由度系统； 连续体系统。
这里只研究单自由度振动。
§10-1 单自由度系统的自由振动
1. 自由振动微分方程 工程中许多振动可简化为一个质量和一个弹簧的弹簧质量系统，系统在
重力作用下沿铅垂方向振动的，具有一个自由度，简化为图示模型。 下面来分析其运动规律，先列出其运动微分方程。
设弹簧原长为l0，刚性系数为k。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
可编辑ppt
15
例1 图示系统。设轮子无侧向摆动， 且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹 簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质 量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅 振动微分方程，求出其固有频率。
可编辑ppt
16
解：以 x 为广义坐标，静平衡位置为 坐标原点。
静平衡时： mI(F)0,
(Mm)gRkst2R0
10
无阻尼自由振动的特点： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；
(3)周期T 和固有频率ωn 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,J)。 四、其它
1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力 只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动 频率、振幅和相位等。
8
设 t = 0 时，qq0 , qq0 代入上两式得：
A q02 q02 n2 , arctqn g0q0
或：
q C 1c onts C 2sin nt
C1，C2由初始条件决定为 C 1q0 , C 2q 0/ n
qq0const q 0 nsi nnt
可编辑ppt
9
A——振体离开平衡位置的最大位移，称为振幅
可编辑ppt
13
当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达
到最大值。
如：
设 x A si n n t ()
V ma x1 2k[A (s)t2s2 t]mgA
kstmg V ma x1 2k2 A
Tma x1 2mxm 2 a x1 2m2A n2
由 T ma V xm得 ax 1 2m2A n 21 2k2A nm k
1 k2
)
并联
可编辑ppt
k
eq
k1k 2 k1 k2
串联
12
二、 求系统固有频率的方法
对于质量——弹簧这类系统，当振体静止平衡时，有：
m gkst
st ——弹簧在全部重力作用下的静变形
于是：
n
g st
无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。
当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统 动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势 能点）。
2k2 x2kstx(Mm)gx V2k2 x
可编辑ppt
19
由 T+V= const有：
1(3Mm)x22kx2const 22
微分方程。
对于其他类型，同理可得。如
单摆：
n2 0 (n2 g/l)
可编辑ppt
7
复摆：
n20 (n2 mga/J)
对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标（从平 衡位置开始量取 ），则自由振动的微分方程的标准形式：
qn2q0
解为：
qAsi nnt()
q A n co n t s)(
可编辑ppt
n t + ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置
——初相位，决定振体运动的起始位置
T ——周期，每振动一次所经历的时间
T
2 n
f —— 频率，每秒钟振动的次数，单位：HZ ， f = 1 / T ωn—— 圆频率，振体在2秒内振动的次数。 ωn=2πf
ωn、f 都称为系统的固有频率或自然频率
可编辑ppt
stM2kmg
在任意位置x 时：
F k(s t2 x )M 2 m g 2 kx
可编辑ppt
17
应用动量矩定理x：
HI
mxRMxR 1 MR2 2
x R
(3Mm)Rx 2
mI (F) (Mm)gRF2R4kxR
由 dHI
dt
mI (F)
，
有
(23Mm)Rx4kxR
振动微分方程：
x
8k 3M
可编辑ppt
1
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机 床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。
1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。
2. 振动的利弊： 利：振动给料机
弊：磨损，减少寿命，影响强度
振动筛
引起噪声，影响劳动条件
振动沉拔桩机等
消耗能量，降低精度等。
3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动
为人类服务。
可编辑ppt
2
4. 振动的分类：
单自由度系统的振动
按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动
弹性体的振动
按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动） 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动
2m
x
0
固有频率：
n
8k 3M 2m
可编辑ppt
18
解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为 原点）
T
12Mx2
12
MR2 2
(Rx)2
12mx2
1(3Mm)x2 22
以平衡位置为计算势能的零位置，
并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x
因平衡时
Vk2[(st2x)2s2 t](Mm)gx2ksx t (Mm )gx
下的振动称为无阻尼自由振动
一、振动的微分方程：
图示质量——弹簧系统，以平衡位置为
坐标原点，则
m gFm x
Fk(xs)t
st —振体静止平衡时弹簧的
变形：mg kst
可编辑ppt
6
m x m F m g k ( x g s ) t kx
令n2
k m
则 x ： n 2x0
这就是质量——弹簧系统无阻尼自由振动的
由Tmax=Vmax求n的方法称为能量法。
可编辑ppt
14
能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振 动系统的固有频率，用能量法来求更为简便。
综上所述，求系统固有频率的方法有：
1. 振动微分方程的标准形式
2. 静变形法：
qn2q0
n
g st
st ：集中质量在全部重力
作用下的静变形
3. 能量法： 由Tmax=Vmax , 求出 n
可编辑ppt
11
2. 弹簧并联系
并
串
统和弹簧串联系
联
联
统的等效刚度
st
F1 k1
F2 k2
, mgF1 F2
mg(k1 k2 ) st
,
st
mg k1 k2ห้องสมุดไป่ตู้
keq k1 k2
st st 1 st 2
mg mg mg ( 1 1 )
k1 k2
k1 k2
st
mg k eq
mg
(1 k1
可编辑ppt
3
实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力 学模型。
振 体
质量—弹 簧系统
可编辑ppt
4
运动过程中，使物体回到平衡位置的力称为恢复力
可编辑ppt
5
§12-1 单自由度系统无阻尼自由振动
只需用一个独立坐标就可确定振体的位置，这种系统
称为单自由度系统。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用