M08TA20函数与一次函数
八年级数学一次函数知识点总结
千里之行，始于足下。
八年级数学一次函数知识点总结
一次函数是指形如y = ax + b的函数，其中a和b为常数。
一次函数的特点是：
1. 直线的图像：一次函数的图像是一条直线，因为它的函数关系是线性的。
2. 斜率和截距：a表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距。
3. 变量：x表示自变量，y表示因变量，即函数的值。
一次函数的关系：
1. y = ax + b表示函数关系，其中a表示斜率。
斜率是指函数图像上任
意两点之间的垂直距离与水平距离的比值。
2. 直线的方程：直线的方程可以由两点确定，也可以由斜率和一个已知点来确定。
常用的直线方程有点斜式（y - y1 = m(x - x1)）、斜截式（y = mx + b）和一般式（Ax + By + C = 0）。
3. 平行和垂直：两条直线平行的条件是它们的斜率相等，垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
一次函数的应用：
1. 实际问题：一次函数可以用于描述线性关系的实际问题，如速度和时间之间的关系、成本和产量之间的关系等。
2. 线性方程组：一次函数可以用于解决线性方程组的问题，通过求解方程组的交点可以得到函数的解。
总结：
一次函数是数学中最简单的函数之一，它以直线的形式描述了变量之间的
线性关系。
理解一次函数的概念和特点，掌握直线方程的表示和应用，能够解
决实际问题和线性方程组等数学应用。
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一次函数的概念与图像
一次函数的概念与图像在我们的数学世界中，一次函数是一个非常基础且重要的概念。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，还与我们的日常生活息息相关。
那么，什么是一次函数？它的图像又有怎样的特点呢？让我们一起来探索一下。
一次函数的定义可以简单地表述为：形如 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。
其中，x 是自变量，y 是因变量，k 被称为斜率，b 被称为截距。
先来说说斜率 k。
它反映了函数图像的倾斜程度。
当 k 大于 0 时，函数图像是从左到右上升的，意味着 y 随着 x 的增大而增大；当 k 小于 0 时，函数图像从左到右下降，y 随着 x 的增大而减小。
比如，y ＝2x ＋ 1 中，k ＝ 2 大于 0，图像是上升的；而在 y ＝－3x 2 中，k ＝－3 小于 0，图像是下降的。
再谈谈截距 b。
截距 b 表示当 x ＝ 0 时，y 的值。
也就是说，它决定了函数图像与 y 轴的交点。
如果 b 大于 0，图像与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴；b 小于 0 时，交点在 y 轴的负半轴；b ＝ 0 时，函数图像经过原点。
例如，y ＝ 5x ＋ 3 中，b ＝ 3 大于 0，图像与 y 轴交于点（0, 3）；y ＝－2x 4 中，b ＝－4 小于 0，图像与 y 轴交于点（0, －4）。
那么，一次函数的图像究竟是怎样的呢？一次函数的图像是一条直线。
我们可以通过“两点确定一条直线”的原理来画出它的图像。
比如说，要画 y ＝ 2x ＋ 1 的图像。
我们可以先令 x ＝ 0，算出 y ＝1，得到一个点（0, 1）；再令 x ＝ 1，算出 y ＝ 3，得到另一个点（1, 3）。
然后连接这两个点，就得到了这条直线。
而且，一次函数的图像还有一些特殊情况。
当 b ＝ 0 时，函数就变成了 y ＝ kx，这时的图像一定经过原点。
比如 y ＝ 4x，它的图像就是经过原点且斜率为 4 的直线。
一次函数在我们的生活中有着许多实际的应用。
一次函数知识点
一次函数知识点一次函数知识点总结一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0)的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。
当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数。
1.一次函数的解析式的形式是y=kx+b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式。
2.当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数。
3.当k=0，b≠0时，它不是一次函数。
4.正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数。
一次函数的图像及性质1.在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
2.一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)。
3.正比例函数的图像总是过原点。
4.k，b与函数图像所在象限的关系：当k>0时，y随x的增大而增大;当k<0时，y随x的增大而减小。
当k>0，b>0时，直线通过一、二、三象限;当k>0，b<0时，直线通过一、三、四象限;当k<0，b>0时，直线通过一、二、四象限;当k<0，b<0时，直线通过二、三、四象限;当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。
一次函数的图象与性质的口诀一次函数是直线，图象经过三象限;正比例函数更简单，经过原点一直线;两个系数k与b，作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与y轴来相见，k为正来右上斜，x增减y增减;k为负来左下展，变化规律正相反;k的绝对值越大，线离横轴就越远。
学好数学的技巧1、实践，实践和更多实践。
通过阅读和聆听来学习数学是不可能的。
要学习数学，你必须卷起袖子，实际上解决一些问题。
练习回答数学问题越多越好。
每个问题都有自己的特点，在解决考试之前以多种方式解决问题非常重要。
2、查看错误。
当您练习这些问题时，为每个解决方案完成整个过程非常重要。
八年级上册数学一次函数
八年级上册数学一次函数一次函数是初中数学中的一个重要概念，也是数学的一个基础知识点。
在八年级上册中，一次函数作为数学的一个重点内容被引入。
本文将探讨八年级上册数学中一次函数的基本概念、性质以及应用。
一、一次函数的基本概念在数学中，一次函数是指函数的定义域中的每一个元素与其值之间存在一个线性关系的函数。
一次函数的表达式一般可以写成 y = kx + b 的形式，其中 k 和 b 是常数，k 称为斜率，b 称为截距。
在一次函数中，x 称为自变量，y 称为因变量。
自变量的变化会引起因变量的相应变化。
斜率 k 表示了函数在直线上的斜率，它反映了函数的变化速度和方向。
截距 b 则表示了函数与 y 轴的交点，反映了函数的起始位置。
二、一次函数的性质1. 斜率的意义和性质：斜率 k 的正负表示了一次函数的增减性质。
当 k > 0 时，函数增加；当 k < 0 时，函数减少；当 k = 0 时，函数不变。
斜率的绝对值大小表示了函数增长或减少的速度。
绝对值越大，函数的变化越快。
斜率为零表示函数是一个常函数，即自变量的变化不影响因变量的值。
2. 截距的意义和性质：截距 b 表示了函数与 y 轴的交点。
当 x = 0 时，y = b，即函数在 y 轴上的值。
截距的正负表示了函数的起始位置，当 b > 0 时，函数在 y 轴的上方；当 b < 0 时，函数在 y 轴的下方。
3. 零点的意义和性质：零点是指函数在 x 轴上的点，即 y = 0 的解。
求零点就是求函数的解。
一次函数有且仅有一个零点。
三、一次函数的应用一次函数在实际生活中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景。
1. 速度与时间的关系：一次函数可以用来描述速度与时间之间的关系。
以汽车驾驶为例，假设驾驶的速度为 v km/h，驾驶的时间为 t 小时，那么驾驶的路程就可以表示为一次函数 y = vt。
斜率就代表了驾驶的速度，截距则表示了驾驶的起始位置。
初二数学一次函数知识点总结
初二数学一次函数知识点总结一次函数是中学数学中的重要内容，也是初中数学的基础知识之一。
学好一次函数对于学习高中数学和大学数学都有着非常重要的作用。
下面我们来总结一下初二数学一次函数的知识点。
一、一次函数的定义。
一次函数是指函数y=kx+b（k和b为常数且k不等于0）称为一次函数，其中x是自变量，y是因变量，k称为斜率，b称为截距。
二、一次函数的图像特征。
1. 斜率k的作用。
斜率k决定了一次函数图像的斜率，斜率为正表示图像向上倾斜，斜率为负表示图像向下倾斜，斜率的绝对值大小决定了图像的陡峭程度。
2. 截距b的作用。
截距b决定了一次函数图像与y轴的交点，也就是函数图像的纵坐标偏移量。
三、一次函数的性质。
1. 一次函数的增减性。
当斜率k大于0时，函数图像是递增的；当斜率k小于0时，函数图像是递减的。
2. 一次函数的奇偶性。
一次函数一般情况下是奇函数，即f(-x)=-f(x)，也就是图像关于原点对称。
3. 一次函数的零点。
一次函数的零点就是使得函数值为0的x值，即解方程kx+b=0得到的x值。
四、一次函数的应用。
1. 直线方程的求解。
一次函数可以表示直线的方程，通过斜率和截距可以确定一条直线的位置和特征。
2. 实际问题的建模。
在实际问题中，很多情况下可以利用一次函数对问题进行建模，通过一次函数的分析可以得到问题的解决方案。
以上就是初二数学一次函数的知识点总结，希望同学们能够认真学习，掌握好这些知识点，为以后的学习打下坚实的基础。
同时也希望同学们能够在学习中勇于探索，善于思考，不断提高自己的数学水平。
祝大家学习进步！。
一次函数的概念与应用
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在一次函数中，当b=0时，函数为 正比例函数。
一次函数的定义域为全体实数。
一次函数的表达式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b为常数，且k≠0 当b=0时，一次函数退化为正比例函数，形式为y=kx 一次函数的图像是一条直线，其斜率为k，截距为b 一次函数在平面坐标系中的图像是一条通过原点的直线
一次函数的图象
一次函数的标准形式为y=kx+b，其中k和b为常数，且k≠0
一次函数的图象是一条直线，当k>0时，函数图象经过一、三象限；当k<0 时，函数图象经过二、四象限
一次函数的图象可以由正比例函数y=kx的图象平移得到
一次函数图象的斜率k表示函数的增减性，k>0表示函数为增函数，k<0表 示函数为减函数
掌握一次函数的基本概念 和性质
理解函数图像与性质的关 系
培养数形结合的思维方式
强化逻辑推理的训练
THANK YOU
汇报人：XX
一次函数与反比例函数的比较
定义域：一次函数定义域为全体实数，反比例函数定义域为除0以外的全体实数 值域：一次函数值域为全体实数，反比例函数值域为除0以外的全体实数 图像：一次函数图像为直线，反比例函数图像为双曲线 增减性：一次函数单调递增或递减，反比例函数在各自象限内单调递减或递增
一次函数与指数函数的比较
索等算法。
一次函数在日常生活中的应 用，如路程与速度的关系、
时间与工作量的关系等。
一次函数在数学问题中的应用
线性方程：一次函数可以用来求解线性方程 最大值最小值：利用一次函数求最大值或最小值 斜率计算：一次函数可以用来计算斜率 代数运算：一次函数在代数运算中也有广泛应用
一次函数解析式求法
斜率 $k$ 的意义
截距 $b$ 的意义
解析式求法
表示函数图像的倾斜程度，$k > 0$ 时图像上升，$k < 0$ 时图像下降。
表示函数图像与 $y$ 轴交点的纵坐标。
通过已知的两个点坐标，利用两点式或点斜式求出一次函数的解析式。
关键知识点总结
忽视斜率 $k neq 0$ 的条件，将常数函数误认为一次函数。
已知斜率和一点坐标求解析式
已知一次函数的图像经过点 $(2, 3)$ 和 $(-1, -2)$，求这个一次函数的解析式。
例题
设一次函数解析式为 $y = kx + b$，根据已知条件列方程组
解
实际应用举例
$$begin{cases}
3 = 2k + b
2 = -k + b
实际应用举例
end{cases}$$
将求得的待定系数代回原解析式后，必须验证是否满足已知条件。
误区提示：常见的误区有以下几点
注意事项与误区提示
忽略了已知条件对解析式的限制；
在列方程或方程组时出现了错误；
在解方程或方程组时出现了计算错误；
没有验证求得的解析式是否满足已知条件。
01
02
03
04
注意事项与误区提示
04
解析式求法之图像法
创新思维在求解过程中运用
逆向思维
从问题的结论出发，逆向推导问题的条件，从而找到解决问题的新思路。
类比思维
将问题与其他类似问题进行类比，借鉴其他问题的解决方法，以启发新的解题思路。
转化思维
将问题转化为另一种形式或模型，以便利用已知的知识和方法进行求解。
06
总结回顾与拓展延伸
一次函数的性质和计算
一次函数的性质和计算一次函数，也称为线性函数，是数学中的一种基本函数类型。
它的一般形式可以表示为 y = mx + b，其中 m 和 b 是常数，且m ≠ 0。
在本文中，我们将讨论一次函数的主要性质和如何进行计算。
一次函数的性质：1. 函数图像为一条直线：由于一次函数的表达式为 y = mx + b，其中 x 的幂次为 1，所以它的图像是一条直线。
函数的斜率 m 决定了直线的斜率，常数 b 决定了直线的截距。
2. 斜率代表速率和变化率：一次函数的斜率 m 可以表示函数图像上每单位 x 变化所对应的 y 的变化。
斜率越大，表示函数变化越快；斜率为正值表示函数图像是上升的，斜率为负值表示函数图像是下降的。
3. 截距代表函数在 y 轴上的值：在一次函数的表达式中，常数 b 表示函数图像与 y 轴的交点，也就是当 x = 0 时的 y 值。
截距表示了函数在 y 轴上的起始值。
4. 函数的定义域和值域：对于一次函数 y = mx + b，定义域为所有实数，因为任意实数的代入都能得到一个相应的 y 值。
值域也是所有实数，因为我们可以找到斜率和截距相应的 x 和 y 值。
计算一次函数的性质：1. 计算斜率：一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度。
斜率可以通过任意两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 来计算，公式为 m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
如果已知函数表达式，则斜率就是表达式中的 m。
2. 计算截距：一次函数的截距表示函数图像与 y 轴的交点，在一次函数的表达式 y = mx + b 中，截距就是常数 b。
如果已知函数表达式，则截距就是表达式中的 b。
3. 确定函数图像：通过计算斜率和截距，我们可以确定函数图像的形状和位置。
斜率决定了直线的斜率方向和倾斜程度，截距决定了直线与 y 轴的交点。
4. 描点绘制函数图像：为了绘制一次函数的图像，我们可以根据已知的斜率和截距，在直角坐标系上描绘出至少两个点，并通过这些点作出函数的图像。
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函数与一次函数的意义
【知识要点】
一、变量与常量的概念
变量：在某个变化过程中，发生改变的量叫变量。
常量：在某个变化过程中，不发生改变的量叫常量。
二、函数的定义
在某个变化过程中，有两个变量x，y，如果给定一个值x，就可以对应
地确定一个y值，则y是x的函数。
其中x叫自变量，y叫因变量。
三、一次函数的概念
1.一次函数：如果y=kx+b(k、b是常数，k≠0)，那么，y叫做x的一次函数.
2.正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么，y叫做x的正比例函数.
四、正比例函数与一次函数的关系
对于一次函数y=kx+b，当b=0时即是正比例函数y=kx，所以正比例函数即
是一次函数的特例.但一次函数不一定是正比例函数.
五、一次函数的应用
1.理解一次函数的概念：①函数是关于自变量的一次式；②k≠0，但b可以为零；
2.根据实际问题建立一次函数：给定一些相关实际问题（数学的、物理的、化学的、经济的等）建立一次函数关系式的方法：先根据实际问题分析并设自变量和函数的字母，然后建立等量关系（类似于方程），然后将所列等式化成函数解析式；有些实际问题还要分断分类讨论列函数解析式，此时尤其要注意自变量的取值范围.
【典型例题】
例1 下列各题中，哪些是函数关系，哪些不是函数关系：
（1）在一定的时间内，匀速运动所走的路程和速度.
（2）在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的波纹的周长与半径.
（3）x+3与x.
（4）三角形的面积一定，它的一边和这边上的高.
（5）正方形的面积和梯形的面积.
（6）水管中水流的速度和水管的长度.
（7）圆的面积和它的周长.
（8）底是定长的等腰三角形的周长与底边上的高.
例2 某书店将一周的售书情况记录如下：
（2）你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
例3 列出下列函数关系式,找出其结构的共同特征,探讨一次函数性质。
(1)已知等腰三角形的周长为30,底边长为y,腰长为x,试写出y 与x 之 间的函数关系式.
(2)小红的爸爸把10000元钱存入银行,如果年利率是1.98%,x 年后取出 的本息和为y(元)(扣去利息税),试写出y 与x 之间的函数关系式.
(3)一根蜡烛长20厘米,点燃后匀速燃烧,每分钟燃烧0.2厘米,燃烧x 分 钟后剩下的蜡烛长为y(厘米),求y 与x 之间的函数关系式.
(4)某种商品每件进价100元,售出每件获利20%,售出x(件)的总利润为 y(元),试写出y 与x 之间的函数关系式.
例4 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ （1）3x y -=；（2）x
y 8-=；（3）)81(82x x x y -+=；（4）x y 81+=
例5 当n m ,为何值时，函数)()35(2n m x m y n
++-=-是一次函数？正比例函数？
例6 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2 m/s ， 到达坡底时小球的速度达到40 m/s.
(1)求小球的速度v (m/s)与时间t (s)之间的函数关系式； （2）求t 的取值范围；
（3）求3.5 s 时小球的速度；
（4）求n (s)时小球的速度为16 m/s.
例7 当一次函数()838
2
-+=-a x
a y 的函数值是4时，求 x 的值.
例8 已知y-m 与3x+n 成正比例函数（m 、n 为常数），当 x=2时，y=4； 当x=3时，y=7，求y 与x 之间的函数关系式.
例9 某辆摩托车的油箱内可装汽油10L ，原来装有汽油2L ，现再加入汽油xL. （1）若每升汽油2.3元，求出油箱内的汽油总价y 与x 之间的函数关系式， 并写出 x 的取值范围；
（2）该摩托车上坡每升汽油可行驶S 千米，下坡每升汽油可行驶b 千米，若加 满油上坡行驶5千米后，按原路返回原地（中途不加油），S 的值最大是多少？
例10 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂 物体的质量成正比例.如果挂上3kg 物体后，弹簧总长是13.5cm ，求弹簧总长是 y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm ， 求自变量x 的取值范围.
【经典练习】
一．填空题
1. 在圆的周长公式中:πγ2=C ,
2. 三角形的高为8cm,底边长用a 表示,当底边长a=5 cm 时,S=___________;_________;S 是a 的函数吗?答:______
3. A 市和B 市相距120千米,一辆汽车以v 时,t=_________;当v=80(千米/时)时
4. 据世界人口组织公布,地球上的人口1600亿,1974年为40亿,1987年为50亿,到1999怎样变化的?答:________________________;
5. 一棵小树每年长高3cm,则x 年后其高度y
6. 购买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元),
7. 设地面气温是20°C,如果每升高1km,__________________.
8. 等腰三角形的顶角的度数y 与底角的度数9. 周长为10 cm 的等腰三角形,腰长y(cm)10. 正方形的边长为4,如果边长增加x,则周长11. 汽车行驶前,油箱中有油55升,s(百公里)之间的函数关系式为驶____________公里.
12. A,B 两地相距30千米,小飞以每小时6步行的时间为x 小时,则y 与x 13. 从科研,生产和生活需要出发,就是随时测量气温,根据右图回答这一天:
(1) 0时, 6时, 10时, 14时, 24答(2) 最高气温与最低气温各是多少? 答二. 解答题
1. 在干燥的路面上,(1) 分别就是当v 分别是48,64,80,96,112(2) 对于每给定的一个v 值, t(时间)
6. 游泳池内有清水12m3,现以每分钟2 m3的流量往池里注水,2小时可将池灌满.
(1) 求池内水量A(m3)与注水时间t(分)之间的函数关系式,并指出自变量t的取值范围;
(2) 当游泳池水注满后,以每分钟4 m3的流量放出废水,求池内剩余量B(m3)与放水时间x(分)之间的函
数关系式,并指出自变量的取值范围.
7. 某校办工厂生产了一批新产品,现有两种销售方案.方案一: 在这学期开学时售出该产品,可获利3000
元,然后将该产品的成本(生产该批产品支出的总费用)和已获利的3000元进行再投资,到这学期结束时又可获利4.8%;方案二: 在这学期结束时售出该产品,可获利35940元,但要付成本的0.2%作保管费.设该批产品的成本为x元,方案一的获利为y1 元,方案二的获利为y2元,分别求出y1, y2与x的函数关系.
8. 某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次,其中变速车保管费是每辆一次0.5元,
一般车保管费是每辆一次0.3元.若设一般车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x 的函数关系式.
9. 某风景区集体门票的收费标准是:20人以内(含20人),每人25元;超过20人的,超出部分,每人10元.
(1) 写出应收门票y(元)与游览人数x(人) (x≥20)之间的函数关系式;
(2) 如果某班共有54名同学去该风景区游览时,为购门票共花了多少元?
10. 某种储蓄的月利率0.2%,存入100元本金后,则本息和y(元)与所存月数x之间的关系式.
三.
1.
·
·
(1)
(2)
2.
五. 综合能力提高题
作业 姓 名：
完成所用时间：
一、选择题
1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ ）
A.y =－
2
x B.y =－
x
2 C.y =－2
1-x
D.y =x
x 12-
2.下列各关系中，符合正比例关系的是（ ） A.正方形的周长P 和它的一边长a B.距离s 一定时，速度v 和时间t C.圆的面积S 和圆的半径r D.正方体的体积V 和棱长a
3.若y =(m －1)x 2
2m -是正比例函数，则m 的值为（ ）
A.1
B.－1
C.1或－1
D.2或－2
4.若函数y =(3m －2)x 2+(1－2m )x (m 为常数)是正比例函数，则m 的值为（ ） A.m ＞
3
2 B.m ＜
2
1 C.m =
3
2 D.m =
2
1 5.若5y +2与x －3成正比例，则y 是x 的（ ） A.正比例函数 B.一次函数 C.没有函数关系 D.以上答案均不正确 二、填空题
6.一次函数y =－7x +3中，k =______,b =______.
7.已知y －2=kx (k ≠0),且当x =1时，y =7,则y 与x 之间的关系式为______. 8.某油箱中有油20升，油从管道中均匀流出10分钟可流尽，则油箱中剩油量G （升）与流出时间t (分)之间的函数关系式为______，自变量t 的取值范围是______.
9.某种国库券的年利率是2.45%,则存满三年的本息和y 与本金x 之间的函数关系式为______. 10.某林场现有森林面积为1560平方千米，计划今后每年增加160平方千米的树林，那么森林面积y (平方千米)与年数x 的函数关系式为______，6年后林场的森林面积为______.
三、解答题
11.写出一次函数和正比例函数的表达式，并指出它们的区别和联系.
12.等腰三角形的周长为12，底边长为y ，腰长为x ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.。