二次函数的性质与应用
推导二次函数的性质与应用
推导二次函数的性质与应用二次函数是代数学中的重要概念之一，在数学和应用中有着广泛的应用。
本文将从推导二次函数的性质开始，逐步展开探讨二次函数的应用领域。
一、推导二次函数的性质二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
我们可以通过对二次函数进行完善平方来推导出它的一些性质。
1. 首先，将二次函数的一般形式进行完善平方变形，得到y=a(x-h)^2+k。
其中，h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标，a为二次函数的开口方向和大小。
2. 从完善平方的形式可以看出，二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线，并且在顶点处取得极值。
如果a>0，则抛物线开口向上，函数的最小值为k；如果a<0，则抛物线开口向下，函数的最大值为k。
3. 通过求导，我们可以进一步证明二次函数的导数为一次函数，即dy/dx=2ax+b。
通过对导数的研究，可以得到二次函数的增减性以及凹凸性质。
4. 当a>0时，即抛物线开口向上时，函数单调递增。
当a<0时，即抛物线开口向下时，函数单调递减。
5. 二次函数的凹凸性质取决于a的正负。
当a>0时，函数为凹函数，曲线向上弯曲；当a<0时，函数为凸函数，曲线向下弯曲。
6. 二次函数的对称轴为直线x=h，其中h为顶点的横坐标。
对称轴将抛物线分为两个完全对称的部分。
二、二次函数的应用二次函数的性质使得它在许多应用领域中有着广泛的运用。
下面将介绍二次函数在数学和实际问题中的应用。
1. 最值问题由于二次函数在顶点处取得极值，因此可以用来解决许多最值问题。
比如，给定一定长度的材料，如何构造一个矩形使得其面积最大或最小；给定一定面积的围栏，如何构造一个矩形使得其周长最小或最大等问题都可以通过二次函数来解决。
2. 弹射问题在物理学中，弹射问题是二次函数的一个典型应用。
当我们研究一个物体在空中受到重力作用时的运动轨迹时，可以通过二次函数来描述物体的垂直位移与时间的关系。
中考重点二次函数的性质与应用
中考重点二次函数的性质与应用中考重点：二次函数的性质与应用二次函数是初中数学中的重要内容之一，它在中考中的考查频率较高。
掌握二次函数的性质与应用，能够帮助我们解决与二次函数相关的问题，提高解题能力。
本文将重点讨论二次函数的性质和应用，探索其在数学中的作用。
一、二次函数的定义及一般式表示二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，b决定了函数的对称轴位置，c表示函数与y轴的交点。
二次函数的一般式表示形式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
一般式可以转化为顶点式表示或者因式分解式表示，从而更方便地研究二次函数的性质。
二、二次函数的性质1. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称。
对称轴的表示为x = -b / (2a)，在二次函数图像上即为顶点的横坐标。
2. 开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
3. 极值点与最值：二次函数的极值点即顶点，其横坐标为-x / (2a)，纵坐标为f(-x /(2a))。
当a>0时，二次函数的最小值为f(-x / (2a))；当a<0时，二次函数的最大值为f(-x / (2a))。
4. 零点：二次函数与x轴的交点称为零点，可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来确定。
二次函数有两个零点时称为有两个实根，有一个零点时称为有一个实根，没有实根时称为无实根。
三、二次函数的应用1. 求解问题：二次函数常常用于求解与平面图形有关的问题。
例如，已知抛物线y = ax² + bx + c与x轴交于A、B两点，求抛物线经过的最高点的坐标。
通过求解顶点坐标可以得到问题的解。
2. 最值问题：二次函数能够用于解决最值问题。
例如，已知二次函数y = ax² + bx + c，在一定范围内求函数的最值。
二次函数的性质与计算
二次函数的性质与计算二次函数是一种常见的数学函数，其表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
本文将介绍二次函数的性质以及相关计算方法。
一、二次函数的性质1. 函数图像：二次函数的图像通常为抛物线形状，开口的方向取决于a的正负。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
此外，图像在x轴上的交点称为根，也是二次方程的解。
2. 零点：二次函数的零点即方程f(x) = ax^2 + bx + c = 0的解，可以通过求解二次方程来确定零点。
常见的求解方法有配方法、因式分解和求根公式（一般式）。
a) 配方法：当二次函数的a、b、c均为整数且a ≠ 0时，可以通过配方法求解方程。
具体步骤如下：i. 将二次函数写成完全平方的形式，即将f(x) = ax^2 + bx + c 的右侧转化为(a(x + p)^2 + q)，其中p和q为待定常数。
ii. 比较完全平方形式与原方程的系数，解出p和q。
iii. 将完全平方形式展开并与方程进行比较，得到方程的解。
b) 因式分解：当二次函数的a、b、c均为整数且a ≠ 0时，可以尝试将方程进行因式分解。
具体步骤如下：i. 将二次函数写成(a(x + p)(x + q))的形式，其中p和q为待定常数。
ii. 比较因式分解形式与原方程的系数，解出p和q。
iii. 将因式分解形式展开并与方程进行比较，得到方程的解。
c) 求根公式（一般式）：当二次函数的a、b、c为实数且a ≠ 0时，可以利用求根公式求解方程。
一般式求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)通过代入系数a、b、c的值，可以计算出方程的解。
3. 顶点：二次函数的顶点是抛物线的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
顶点的横坐标为x = -b / (2a)，纵坐标为f(-b / (2a))。
4. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。
二次函数的概念与性质
二次函数的概念与性质二次函数是代数学中重要的一类函数，具有许多特殊的性质和应用。
本文将介绍二次函数的概念、性质以及一些实际问题中的应用。
一、二次函数的定义与表达式二次函数是指具有以下形式的函数：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是任意实数，a≠0。
在二次函数的定义中，x^2 称为二次项，x 称为一次项，c 称为常数项。
a、b、c 的取值决定了二次函数的不同特征和图像。
二、二次函数的性质1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数 a 的正负决定。
当a>0 时，开口向上；当 a<0 时，开口向下。
2. 最值点：二次函数的最值点是函数的极值点，在坐标系内可以表示为 (h, k)。
当 a>0 时，二次函数的最值点为函数的最小值；当 a<0 时，二次函数的最值点为函数的最大值。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的中心轴线，可以表示为x = h，其中 h 为函数的横坐标均值。
4. 零点：二次函数的零点是函数与 x 轴相交的点，也就是函数值等于零的 x 坐标。
二次函数的零点可以有 0、1 或 2 个。
三、二次函数的图像与变换1. 标准型图像：当 a=1 时，二次函数的标准型表达式为 f(x) = x^2。
这种情况下，函数图像为以原点为顶点的开口向上的抛物线。
2. 变换与平移：通过调整常数项 c 可以对二次函数进行平移。
当c>0 时，函数图像向上平移；当 c<0 时，函数图像向下平移。
同时，二次函数的图像也可以通过改变 a 和 b 的值进行水平或垂直方向的拉伸或压缩。
四、二次函数的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用，其中一些常见的应用包括：1. 物体的抛体运动：二次函数可以描述物体在重力作用下的抛体运动。
其中，抛体的高度随时间的变化符合二次函数的规律。
2. 金融领域：二次函数可以描述利润、成本等与产量、销量之间的关系。
通过分析二次函数的图像和性质，可以帮助优化经济决策和策划。
二次函数的性质知识点
二次函数的性质知识点二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在代数学和几何学中都有广泛应用。
了解二次函数的性质是理解和掌握这一概念的关键，下面将介绍二次函数的一些基本性质知识点。
1. 二次函数的定义二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。
2. 顶点二次函数的图像是一个抛物线，其中的最高点或最低点称为顶点。
二次函数的顶点坐标可通过公式x = -b/2a和y = f(-b/2a)求得。
3. 对称轴二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称，这条直线称为对称轴。
对称轴的方程可通过公式x = -b/2a求得。
4. 开口方向当二次函数的参数a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
5. 零点和方程二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可以通过解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得。
一元二次方程的解法可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法。
6. 判别式对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，判别式D = b^2 - 4ac可以用来判断方程的根的情况：- 当D > 0时，方程有两个不相等的实根；- 当D = 0时，方程有两个相等的实根；- 当D < 0时，方程无实根，但有两个共轭复根。
7. 函数的增减性和极值点二次函数的增减性与a的正负有关。
当a > 0时，函数在对称轴左侧增大，右侧减小；当a < 0时，函数在对称轴左侧减小，右侧增大。
函数的极值点即为顶点。
8. 函数的图像与平移通过调整二次函数的参数，可以实现图像的平移。
参数a决定抛物线的开口方向，参数b决定了对称轴的位置，参数c则决定了抛物线的顶点位置。
9. 辅助线与焦点二次函数的图像与抛物线相关的辅助线包括准线、焦点和准线上的直径。
焦点的横坐标是对称轴上顶点的横坐标的一半，纵坐标可以根据参数a的值求得。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。
二次函数是一种重要的函数类型，在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的性质与应用。
一、二次函数的基本性质1. 解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别代表函数的系数。
a控制开口方向和开口程度，正值使函数开口向上，负值使函数开口向下；b决定了函数的对称轴位置，对称轴的横坐标为-x/b；c是函数的常数项，表示函数与y轴的交点y=c。
2. 零点：二次函数的零点是使f(x) = 0的横坐标值。
一般情况下，二次函数有两个零点，可以用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)求得。
3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点。
顶点的横坐标为-x/b，纵坐标为f(-b/2a)。
对于a > 0，函数的图像开口向上，顶点是最低点；对于a < 0，函数的图像开口向下，顶点是最高点。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负决定。
当a > 0时，函数图像开口向上；当a < 0时，函数图像开口向下。
2. 开口程度：a的绝对值越大，函数图像开口越窄；a的绝对值越小，函数图像开口越宽。
当|a| < 1时，函数图像会比较平缓；当|a| > 1时，函数图像则会比较陡峭。
三、二次函数的应用1. 最值问题：通过观察二次函数的开口方向和顶点，我们可以判断函数的最值。
对于开口向上的函数，最小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的函数，最大值为顶点的纵坐标。
这在实际问题中有很多应用，例如优化问题、成本最小化等。
2. 运动问题：二次函数可以用来描述某些运动的轨迹。
例如，一个物体从某个高度落下，忽略空气阻力的影响，可以用二次函数表示物体的高度随时间的变化。
通过求解函数的零点和顶点，可以确定物体的落地时间和最高高度。
二次函数的性质和应用
二次函数的性质和应用二次函数是一种常见的函数形式，在数学中具有重要的地位。
本文将讨论二次函数的性质和应用，希望能帮助读者更好地理解这种函数形式。
一、二次函数的定义和基本性质二次函数的标准形式为f（x）=ax²+bx+c，其中a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
它的图象是一个开口向上或向下的抛物线。
1. 对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，它的方程式为x=-b/2a。
对称轴把图象分成两个对称的部分。
2. 零点：一个二次函数可以有两个、一个或零个零点。
其中，零点是函数的根，即f（x）=0的解。
3. 最值和顶点：当a>0时，f（x）的最小值为y=c-b²/4a，它位于对称轴上，称为抛物线的最小值。
当a<0时，f（x）的最大值为y=c-b²/4a，它位于对称轴上，称为抛物线的最大值。
最小值或最大值统称为顶点。
4. 函数的增减性：当a>0时，如果x₁<x₂，则f（x₁）<f（x₂）。
当a<0时，如果x₁<x₂，则f（x₁）>f（x₂）。
二、二次函数的应用1. 抛物线的运动学应用：抛物线可以描述物体的抛体运动轨迹，因此它在物理学中经常被使用。
例如，在高尔夫球运动中，运动员需要考虑到地面的摩擦力和空气的阻力等因素，以确定击球的位置和力度。
抛物线方程可以帮助运动员做出更精确的计算，从而提高得分率。
2. 光学应用：抛物线的形状与光的传播有关。
例如，抛物面反射镜常用于望远镜、卫星通信等光学领域中，因为它可以使光线以特定的角度集中在一个点上，从而使视野更宽广。
3. 非线性回归分析：在生物统计学、社会科学、经济学和金融学等领域中，二次函数经常被用于分析非线性回归方程。
非线性回归是指，回归方程中包含二次函数或更高次的函数。
例如，经济学家常用二次函数分析消费者的支出模式，这会帮助他们预测市场的需求变化。
4. 工程应用：二次函数也可以用于工程领域中的计算。
二次函数总结
二次函数总结二次函数是数学中一种常见且重要的函数形式。
它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于零。
二次函数是一个拱形曲线，它在数学、物理和经济等领域都有广泛的应用。
在本文中，将对二次函数的性质、图像、方程以及实际问题中的应用进行总结和探讨。
一、二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最基本的是二次项的系数a 决定了函数的开口方向。
当a大于零时，二次函数的图像开口向上，形成一个U型；当a小于零时，二次函数的图像开口向下，形成一个倒U型。
另一个重要性质是二次函数的对称轴与顶点。
对称轴是函数图像上对称的线，它通过顶点，并且与x轴垂直。
顶点是二次函数图像的最低点或最高点，它的横坐标可以通过-b/2a来确定。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个拱形曲线，其形状由a的正负决定。
当a大于零时，图像开口向上，当a小于零时，图像开口向下。
图像的形状还与常数b和c的取值相关。
常数b决定了图像在x方向上的平移，即左右移动；常数c决定了图像在y方向上的平移，即上下移动。
通过改变这些常数的取值，可以使图像的位置和形状发生变化，从而满足不同的条件。
三、二次函数的方程解二次函数的方程是一个重要的应用技巧，因为它可以帮助我们找到函数图像与坐标轴的交点。
二次函数的方程可以通过将f(x)设置为零来表示，即ax^2 + bx + c = 0。
解这个方程可以使用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，也称为二次方程的根式解。
这个解式给出了二次函数与x轴的交点的横坐标。
方程的解有三种情况：当Δ = b^2 - 4ac大于零时，方程有两个不同的实数解；当Δ等于零时，方程有一个实数解；当Δ小于零时，方程没有实数解。
四、二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。
其中一个常见的应用是抛物线的运动模型。
当我们抛出一个物体时，它的运动轨迹可以用二次函数来描述。
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开口向上 开口向下 直线2b x a =-
直线2b x a
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C 、2
52,02121<<<<-
x x D 、22
3
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21121<<-<<-x x 二、二次函数图象的特征与a ，b ，c 及24b ac -的符号之间的关系
【例1】如图是二次函数2
y ax bx c =++图象的一部分，以下命题：①0a b c ++=；②2b a >；③a 20
ax bx c ++=的两根分别为－3和1；④20a b c -+>。
其中正确的命题是__________。
【例2】如图二次函数2
y ax bx c =++的图象中，以下结论：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；
⑤40c b ->，其中正确的命题是__________。
【例3】下列命题中，正确的是是__________。
①若0a b c ++=，则2
40b ac -<；
②若23b a c =+，则一元二次方程2
0ax bx c ++=有两个不相等的实数根；
③若240b ac ->，则二次函数2
y ax bx c =++的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
④若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根． 三、二次函数图象的平移
抛物线2
y ax =与()2y a x h =-，2
y ax k =+，()2
y a x h k =-+中a 相同，则图象的________和大小都相同，
只是位置不同。
它们之间的平移关系如下：
【例1】二次函数2
241y x x =-++的图象怎样平移得到2
2y x =-的图象( )
A 、向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B 、向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D 、向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【例2】将二次函数2
22y x x =-++的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的图象
的解析式为______ _ ___。
【例3】已知二次函数c bx x y ++=2的图象与y 轴交于点A(0，－6)，与x 轴的一个交点坐标是B(－2，0)。
⑴求二次函数的关系式，并写出顶点坐标； ⑵将二次函数图象沿x 轴向左平移5
2
个单位长度，求所得图象对应的函数关系式。
四、待定系数法求二次函数解析式
1、设一般式：()20y ax bx c a =++≠
2、设交点式：()()()120y a x x x x a =--≠
3、设顶点式：()()2
0y a x h k a =-+≠
【例1】如图，二次函数2
y x bx c =-++的图象经过A(－2，－1)，B(0，7)两点。
⑴求该抛物线的解析式及对称轴； ⑵当x 为何值时，y ＞0？
⑶在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C 、D 两点(点C 在对称轴的左侧)，过点C 、D 作x 轴的垂线，垂足分别为F 、E.当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标。
【例2】已知抛物线2
y ax bx c =++经过点A(－1，0)，且经过直线3y x =-与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C 。
⑴求抛物线的解析式； ⑵求抛物线的顶点坐标；
⑶若点M 在第四象限内的抛物线上，且OM ⊥BC ，垂足为D ，求点M 的坐标。
五、二次函数的实际应用
【例1】某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售。
当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，
可获得利润()2
16041100
P x =-
-+万元。
当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的，该特产既在本地销售，也在外地销售。
在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润()()2
992941001001601005
Q x x =--+-+ 万元。
⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；
⑵若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；
【例2】某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如
下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)。
根据图象提供的信息解答下面问题：
【课堂练习】
1、抛物线2
65y x x =-+的顶点坐标为( )
A 、(3，－4)
B 、(3，4)
C 、(－3，－4)
D 、(－3，4) 2、由二次函数()2
231y x =-+，可知( )
A 、其图象的开口向下
B 、其图象的对称轴为直线3x =-
C 、其最小值为1
D 、当x ＜3时，y 随x 的增大而增大 3、已知函数()2321y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )
A 、4k <
B 、4k ≤
C 、43k k <≠且
D 、43k k ≤≠且 4、抛物线2
y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 … y
…
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是__________。
①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)； ②函数2
y ax bx c =++的最大值为6；。