21.2.3因式分解法
21.2.3 因式分解法
因式分解，得 r 5 2r r 5 2r 0
于是得 r1 5( 2 1), r2 5( 2 1) （舍去）.
答：小圆形场地的半径是 （ 5 2 1）m
概念
因
式
分
原理
解
法
步骤
将方程左边因式分解，右边=0 因式分解的常用方法有： ma+mb+mc=m(a+b+c)； a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).
如果a ·b=0，那么 a=0或b=0
右化零 左分解 两因式 各求解
谢 谢 观 看！
思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法来解 方程①？
21.2.3 因式分解法
10x-4.9x2 =0
因式分解
x(10-4.9x) =0
两个因式乘积为 0，说明什么？
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
x =0 或 10-4.9x=0 降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
(3)3 x2 6 x 3 解：化为一般式为
x2－2x+1 = 0.
因式分解，得
x 12 0
有 x－1= 0 或 x－1= 0， x1 = x2 = 1.
可以试用多种 方法解本例中的几 个方程.
21.2.3 因式分解法
基本思路
将二次方程化为一次方程，即降次
直接开平 方法
用平方根的意义直接进行降次
因式分解法的基本步骤： 一移——方程的右边=0; 二分——方程的左边因式分解; 三化——方程化为两个一元一次方程; 四解—因式分解法
九年级数学上册(人教版)21.2.3解一元二次方程(因式分解法)优秀教学案例
一、案例背景
在我国九年级数学上册的教学中，一元二次方程是学生需要掌握的重要知识点。人教版教材21.2.3节主要介绍了利用因式分解法解一元二次方程。针对此部分内容，本教学案例旨在通过实际问题的引入，激发学生的兴趣，引导学生运用因式分解法解决一元二次方程，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.在小组合作过程中，鼓励学生积极表达自己的观点，学会倾听他人的意见，形成良好的沟通与协作。
4.教师巡回指导，给予每个小组个性化的帮助，确保合作学习的顺利进行。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将重视学生的反思与评价，以促进学生自我成长。具体措施如下：
1.鼓励学生在解题过程中进行自我反思，总结经验教训，提高解题能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学开始时，我将以学生熟悉的实际情景引入新课，例如：“同学们，你们在体育课上是否尝试过投篮？如果想要将篮球投入篮筐，除了掌握投篮的力度外，还需要考虑什么因素呢？”通过这个问题，引导学生思考投篮角度与成功的关系。
2.接着，我会提出一个与一元二次方程相关的问题：“假设我们要求解最佳的投篮角度，使得篮球在空中的轨迹形成一个抛物线。我们可以通过什么数学方法来解决这个问题呢？”由此引出一元二次方程的概念。
5.针对不同学生的学习情况，给予个性化指导，帮助学生找到适合自己的学习方法。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、勇于探索的精神，激发学生的学习内驱力。
2.培养学生面对困难时，保持积极的心态，敢于挑战自我，不断进取。
3.培养学生的团队意识，学会在合作中尊重他人，分享成功与快乐。
4.通过数学学习，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
人教版九年级数学上册21.2.3一元二次方程的解法(因式分解法)优秀教学案例
本节课的教学目标是培养学生的问题解决能力和团队合作精神。学生需要通过自主学习、合作交流等方式，掌握一元二次方程的因式分解法，并能够运用该方法解决实际问题。
为了实现这一目标，我将在教学中采用启发式教学方法，引导学生主动探究一元二次方程的解法，鼓励学生发表自己的观点和思考，培养学生的创新意识和批判性思维。同时，我还将通过小组合作、讨论等方式，培养学生的团队合作精神，使学生在交流中互相学习，共同提高。
（四）反思与评价
反思与评价是本节课的重要教学策略。我通过引导学生进行自我反思和评价，培养学生的自我监控和反思能力，提高学生的学习效果。
在教学过程中，我可以引导学生对自己的学习过程进行反思，思考自己在解决问题过程中的优点和不足，总结经验教训，提高解题能力。同时，我还可以组织学生进行互评和小组评价，让学生从不同角度获得反馈和建议，促进学生的全面发展。通过反思与评价，学生可以更好地了解自己的学习情况，优化学习方法，提高学习效果。
（二）讲授新知
讲授新知是学生掌握知识的关键环节。我通过生动的语言、清晰的讲解和形象的图示，引导学生理解和掌握一元二次方程的因式分解法。
首先，我会讲解一元二次方程的基本概念，包括方程的定义、形式以及解的概念。然后，我会介绍因式分解法的原理和步骤，通过具体的例题演示因式分解法的应用过程。在讲解过程中，我会注意引导学生思考和探究，鼓励学生提出问题和观点，培养学生的创新意识和批判性思维。
2.问题导向引导学生深入思考：我通过提出一系列递进式的问题，引导学生从一元二次方程的基本概念入手，逐步深入到因式分解法的原理和应用。这种问题导向的教学方法激发了学生的思考和探究欲望，培养了学生的创新意识和批判性思维。
3.小组合作促进学生互动交流：我将学生分成若干小组，让学生在小组合作和讨论中共同解决问题。通过小组合作，学生不仅可以相互学习，还可以培养团队合作精神和沟通能力，提高解决问题的能力。
九年级上册数学人教版21.2.3 解一元二次方程-因式分解法
学科
初中数学
主备人
节次
第 周
第 节
课题
21.2.3 解一元二次方程-因式分解法
课时
1
课型
新授课
教学目标
1.能用因式分解法解一些一元二次方程；
2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
教学重点
能用因式分解法解一些一元二次方程.
教学难点
能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.
3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.
4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
第五步：
师友反馈
环节1：师友检测
1.用公式法解下列方程：
环节2：教师评价
一、本节课最佳师友是…
二、
二、课后作业
必做：
选做：
板书设计
教学后记
课 堂 教 学 设 计
教学环节
教学过程
二次备课
第一步：
交流预习
环节1：教师提问
1、什么是一元二次方程
2、一元二次方程的一般形式是什么吗？
3、二次项、一次项、常数项分别是什么？
环节2:师友释疑
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
(1)解：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0m，
即10x－4.9x2＝0.
思考：除了配方法或公式法之外，能找到更简单的方法吗？
第二步：
互助探究
环节1:师友探究
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法 教学设计2
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计2一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册第21章第2节的一个重点内容。
这一部分内容主要让学生掌握因式分解的方法和技巧，并能够运用因式分解法解决实际问题。
因式分解法是解决一元二次方程、不等式以及二次函数等问题的关键，对于学生来说，掌握因式分解法对于提高他们的数学解题能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于一元二次方程、不等式等概念有一定的了解。
但是，因式分解法作为一种解题方法，学生可能还没有完全掌握其背后的原理和应用技巧。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解因式分解法的原理，并通过大量的练习让学生熟练运用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解法的基本概念和操作方法，能够运用因式分解法解决实际问题。
2.过程与方法：通过引导学生的自主探究和合作交流，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习意识和团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法的基本概念和操作方法。
2.难点：如何引导学生理解和掌握因式分解法的原理，以及如何灵活运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
2.案例分析法：通过具体的例题，让学生了解因式分解法的应用，培养学生解决问题的能力。
3.合作交流法：学生进行小组讨论，促进学生之间的互动和合作，提高学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.教材和教辅：准备人教版九年级数学上册教材和相关教辅资料。
2.课件和多媒体设备：制作因式分解法的课件，准备相关的多媒体教学资源。
3.练习题：准备因式分解法的练习题，以便在课堂上进行操练和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个实际问题，引导学生思考如何解决，从而引出因式分解法的重要性。
2.呈现（10分钟）讲解因式分解法的定义和基本原理，通过具体的例题展示因式分解法的操作步骤和技巧。
人教版九年级上 21.2.3 因式分解法(包含答案)
21.2.3因式分解法知识要点：1.把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法．2.因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式、完全平方公式以及十字相乘法等；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程，即可得到原方程的解1．方程x （x +2）＝﹣x （x +2）的根是（ ）A ．x 1＝0，x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝﹣2C ．x ＝0D ．x ＝2 【答案】B2．若实数x ，y 满足()()2222x y 3x y -30+++=，则22x y +的值为( )A ．3或-3B ．3C ．-3D ．1 【答案】B3．方程)1)(14()1)(13(--=-+x x x x 的解是（ ） A ．121,0x x ==B ．121,2x x =-=C ．121,2x x ==D ．无解【答案】C 4．方程20x x -=的根是（ ）A ．1x =B ．120x x ==C ．121x x ==D ．10x =，21x =【答案】D 5．已知2x =-是关于x 的一元二次方程22502x x a --=的一个根，则a 的值为（ ） A ．3± B ．3- C ．3D ．1或1- 【答案】A6．若关于 x 的方程 250x x k -+= 的一个根是0，则另一个根是（） A ．1B ．－1C ．5D ．12【答案】C7．一元二次方程 (1)x x x -= 的解是（ ）A ．1或－1B ．2C ．0或2D ．0【答案】C8．2(3)5(3)x x x --- 因式分解结果为（ ）A ．221115x x -+B ．(5)(23)x x --C ．(25)(3)x x +-D ．(25)(3)x x --【答案】D9．将4个数 a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义 a bad bc c d =-，上述记号就叫做2阶行列式．若11611x x x x +-=-+，则x 的值为（ ）.A ．BC ．2±D ．2【答案】A10．三角形一边长为 10，另两边长是方程 214480x x -+= 的两实根，则这是一个（ ）. A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形【答案】A11．若(x 2＋y 2)2－5(x 2＋y 2)－6＝0，则x 2＋y 2＝_____________．【答案】612．一小球以15 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h ＝15t －5t 2，则小球经过____s 达到10 m 高．【答案】1或213．已知2215500(0)x xy y xy -+=≠，则x y 的值是_____________． 【答案】5或1014．对于实数a ，b ，我们定义一种运算“※”为：a ※b=a 2-ab ，例如：1※3=12-1×3.若x ※4=0，则_____【答案】x=0或4.15．解方程：(1)(2)4x x -+=【答案】x 1=2，x 2=-3．16．若2222()(2)80x y x y ++--=，求22xy +的值．【答案】417．用因式分解法解下列方程：（1）23(5)2(5)x x -=-；（补全解题过程） 解：原方程可变形为23(5)2(5)0x x ---=，分解因式，得______________________________．∴50x -=，或1330x -=．∴15=x ，2133x =． （2）24410x x -+=．【答案】（1）(5)(133)0x x --=；（2）1212x x ==。
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法 教学设计1
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计1一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册第21章第2节的内容，它是解决一元二次方程的一种重要方法。
因式分解法不仅可以帮助学生更好地理解一元二次方程的解法，还可以提高他们解决实际问题的能力。
本节课的内容包括因式分解法的概念、方法和步骤，以及如何应用因式分解法解决实际问题。
通过本节课的学习，学生应该能够掌握因式分解法的原理，并能够灵活运用它来解决一元二次方程。
二. 学情分析在开始本节课的学习之前，学生已经学习了一元二次方程的基本概念和解法，他们对一元二次方程有一定的了解。
然而，因式分解法作为一种特殊的解法，学生可能还没有完全理解和掌握。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答他们的疑问，并引导他们积极参与课堂讨论。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解因式分解法的概念，掌握因式分解法的步骤，并能够运用因式分解法解决一元二次方程。
2.过程与方法目标：学生通过自主学习和合作交流，培养解决问题的能力和团队合作精神。
3.情感态度与价值观目标：学生通过对因式分解法的学习，增强对数学的兴趣和自信心，培养良好的学习习惯。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法的概念、方法和步骤。
2.难点：如何灵活运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
2.案例分析法：教师通过分析典型例题，引导学生理解和掌握因式分解法。
3.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教材：人教版九年级数学上册。
2.教学多媒体设备：电脑、投影仪、黑板等。
3.练习题：针对本节课内容的练习题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出问题，引导学生回顾一元二次方程的基本概念和解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，介绍因式分解法的概念、方法和步骤，让学生初步了解因式分解法。
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法 教学设计
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册第21章第2节的一个知识点。
通过学习因式分解法，学生能够理解并掌握因式分解的概念，能够运用因式分解法解决一些实际问题。
本节课的内容包括因式分解的定义、因式分解的方法以及因式分解的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对代数运算有一定的了解。
但是，因式分解法是一个较为抽象的概念，学生可能对其理解起来有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际例子来理解因式分解的概念和方法，并通过练习来巩固所学知识。
三. 教学目标1.理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法。
2.能够运用因式分解法解决一些实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.因式分解的概念和方法。
2.运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过实际例子引导学生理解因式分解的概念和方法，通过案例教学法让学生通过解决实际问题来运用因式分解法，通过小组合作法让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学PPT，包括因式分解的定义、方法和应用的讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入因式分解的概念，例如：“已知一个数的平方减去这个数等于10，求这个数。
”引导学生思考如何解决这个问题，从而引出因式分解的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT讲解因式分解的定义和方法，包括提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法等。
通过具体的例子来解释每种方法的运用。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组选择一个因式分解的方法，根据PPT上的例子，自己尝试解决一个问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，巩固因式分解的方法。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
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《因式分解法》教案
教学目标
通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解.
教学重点、难点
用因式分解法解某些一元二次方程.
教学过程
一、引入
思考：对于方程210 4.90x x -= ①
除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？
方程①的右边为0，左边可以分解因式，得
(10 4.9)0x x -=.
于是得0x =或10 4.90x -=，
121000, 2.0449
x x ==≈. 上述解中，2 2.04x ≈表示物体约在2.04s 是落回地面，而10x =表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0m .
二、新课
1、因式分解法
讨论：以上解方程①的方法是如何使二次方程降为一次的？
定义：对于一元二次方程，一边是0，另一边化为两个一次因式的积，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2、用因式分解法解一元二次方程
例1、解下列方程：
(1)23100x x --= (2)(3)(1)5x x +-=
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程左边分解为两个一次因式乘积；
(3)令每个因式分别为0；得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
例2、解下列方程：
(1)232x x = (2)221352244
x x x x --
=-+
(3)2(31)50x +-= (4)3(2)510x x x +=+
(5)2(10x x += (6)2(10x x -+=
注意：方程(1)的两边不能同时除以x ；方程(2)应先化为一般式；方程(3)、(4)两边不要展开，直接分解因式. 小结
1、因式分解法的概念；
2、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤.。