惠州市2011届高三第三次调研考试数学(理科)试题及答案

惠州市2011届高三第三次调研考试数学试题(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式： 2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅⋅+-． 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数12z i=+对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2.已知条件:1p x ≤，条件1:1q x<，则q p ⌝是成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 3. 某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) A.y ＝2x －2 B.y ＝(12)x C.y ＝log 2x D.y ＝12(x 2－1)4. 右图是2010年在惠州市举行的全省运动会上，七位评委为某跳水比赛项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩 数据的平均数和方差分别为（ ）A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，45. 若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是 ( )8 9 4 4 6 4 7 37 9俯视图侧视图A ．5B ．6C ．7D ．86. 若直线ax ＋by ＋1＝0(a 、b >0)过圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋4b 的最小值为( )A ．8B ．12C ．16D ．207. 已知整数以按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,58. 在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数222()2πf x x ax b =+-+有零点的概率为（ ）A ．1-8π B ．1-4π C ．1- 2π D ．1-34π 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9.一简单组合体的三视图及尺寸 如右图示（ 单位：ｃｍ）则该组合体的表面积为 _______ 2cm ．10.已知△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标依次是A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC 边上的高为AD ，则AD →的坐标是：_______．11.在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中， x 的一次项系数是10-，则实数a 的值为 ．12. 给出如图所示的程序框图，那么输出的数是________． 13. 已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r（用的面积表示ABC S ABC ∆∆），则ABC S ∆)(21c b a r ++=； 类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积=-BCD A V ．NM CABO（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分） 14.（坐标系与参数方程选做）在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ． 15.（几何证明选讲选做题）如图，点B 在⊙O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ， 45BNA ∠= ，若⊙O的半径为，则MN 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,,)2A x ωϕπ>><∈R 的图象的一部分如下图所示.(1)求函数()f x 的解析式;(2)当2[6,]3x ∈--时,求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值及相应的x 的值.17.（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和. （1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； （2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）.求随机变量X 的分布列和数学期望18.（本题满分14分）2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 211-=n b ()*∈N n .FE DCBA GFDECBA(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S .19.（本题满分14分）已知梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =2π，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF∥BC，AE = x ，G 是BC 的中点．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）. （1）当x=2时，求证：BD⊥EG ；（2）若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ， 求()f x 的最大值；（3）当()f x 取得最大值时，求二面角D-BF-C 的余弦值．20.（本题满分14分）已知椭圆C ：)0( 12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，过坐标原点O 且斜率为21的直线l 与C 相交于A 、B ，102||=AB ．⑴求a 、b 的值；⑵若动圆1)(22=+-y m x 与椭圆C 和直线 l 都没有公共点，试求m 的取值范围．21.（本题满分14分）已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ,1263)(2++=x x x g ,和直线m ：9+=kx y . 又0)1(=-'f . (1)求a 的值；(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线()y f x =的切线，又是()y g x =的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由.(3)如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围.惠州市2011届高三第三次调研考试数学试题(理科）答案一1．【解析】答案：D z ＝12＋i ＝2－i (2＋i )(2－i )＝25－15i .故选D. 2．【解析】B ⌝p ：1x >，q ：110x x<⇔<或1x >，故q 是⌝p 成立的必要不充分条件，故选B.3．【解析】选D 直线是均匀的，故选项A 不是；指数函数1()2x y =是单调递减的，也不符合要 求；对数函数12log y x =的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D 中，基本符合要求. 4．【解析】C 去掉最高分和最低分后，所剩分数为84，84，86，84，87，可以计算得平均数和方差.5．【解析】答案：C 依题意及面积公式S ＝12bcsinA ，得103＝12bcsin60°，得bc ＝40.又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a ，由余弦定理得：222220222222cos 2cos60()3(20)120a b c bc A b c bc b c bc b c bc a =+-=+-=+-=+-=--，故a 解得a ＝7.6．【解析】答案：C 由题意知，圆心坐标为(－4，－1)，由于直线过圆心，所以4a ＋b ＝1，从而1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(4a ＋b)＝8＋b a ＋16ab ≥8＋2×4＝16(当且仅当b ＝4a 时取“＝”)．7．【解析】C ； 根据题中规律，有()1,1为第1项，()1,2为第2项，()1,3为第4项，…，()5,11为第56项，因此第60项为()5,7．8．【解析】B ；若使函数有零点，必须必须()()22224π0a b ∆=--+≥，即222πa b +≥．在坐标轴上将,a b 的取值范围标出，有如图所示当,a b 满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分．于是概率为321144πππ-=-．二.填空题（本大题每小题5分，共30分，把答案填在题后的横线上）9．12800 10．(－1,2) 11．1 12．750013．)1(3ABC ABD ACD BCD R S S S S ∆∆∆∆+++ 14．215．29．【解析】该组合体的表面积为：222212800S S S cm ++侧视图主视图俯视图＝。

10．【解析】设D (x ，y )，则AD →＝()x －2，y ＋1， BD →＝()x －3，y －2，BC →＝()－6，－3，∵AD →⊥BC →，BD →∥BC →，∴⎩⎨⎧－6()x －2－3()y ＋1＝0－3()x －3＋6()y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，所以AD →＝()－1，2.答案：(－1,2)11．【解析】1；由二项式定理，()()5210355C C rrr rrr r a T xa x x --⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭． 当1031r -=时，3r =，于是x 的系数为()3335C 10a a -=-，从而1a =． 12．【解析】由题知，s ＝3×1＋3×3＋3×5＋…＋3×99＝7500.13．【解析】：连接内切球球心与各点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R ，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积。

答案:)1(3ABC ABD ACD BCD R S S S S ∆∆∆∆+++14．【解析】2直角坐标方程 x+y ﹣2=0，d=215．【解析】∵45BNA ∠= ∴90BOA ∠=,∵OM=2,BO=∴BM=4,∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本题满分12分）解:(1)由图像知2A =,2284T T ωπ=⇒==,∴4ωπ=,得()2sin()4f x x ϕπ=+. 由对应点得当1x =时,1424ϕϕπππ⨯+=⇒=.∴()2sin()44f x x ππ=+;……………5分(2)2sin()2sin[(2)]2sin()2cos()44444444y x x x x ππππππππ=++++=+++=sin()424x x πππ+=,……………9分∵2[6,]3x ∈--,∴3[,]426x πππ∈--,………………10分 ∴当46x ππ=-,即23x =-时,y当4x π=-π,即4x =-时,y的最小值-.………………12分17．（本题满分12分）解：设指针落在A,B,C 区域分别记为事件A,B,C.则111(),(),()632P A P B P C ===. ………………3分（1）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.111()()632P P A P B ∴=+=+=………………6分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12. （2）由题意得，该顾客可转动转盘2次. 随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120.………………7分111(0);224111(30)2;23311115(60)2;263318111(90)2;369111(120).6636P X P X P X P X P X ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯= ………………10分所以，随机变量X 的分布列为：其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………13分18．（本题满分14分）解：(1)由27,125252==+a a a a .且0>d 得9,352==a a …………… 2分2325=-=∴a a d ,11=a ()*∈-=∴N n n a n 12 …………… 4分 在n n b T 211-=中,令,1=n 得.321=b 当2≥n 时,T n =,211n b -11211---=n n b T ,两式相减得n n n b b b 21211-=-,()2311≥=∴-n b b n n …………… 6分 ()*-∈=⎪⎭⎫⎝⎛=∴N n b nn n 3231321. …………… 8分 (2)()nn n n n c 3243212-=⋅-=, ……………… 9分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=∴n n n S 312353331232 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+++=+132312332333123n nn n n S , …………… 10分⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=∴+132312313131231232n n n n S =2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎪⎭⎫⎝⎛-⨯++-1131231131191231n n n=11344343123131312+++-=⎪⎭⎫⎝⎛---+n n n n n , ………………13分 …………12分nn n S 3222+-=∴ …………… 14分 19．（本题满分14分）（1）方法一：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，,2,//π=∠AEF AD EF∴AE ⊥EF ，∴AE ⊥平面EBCF ，AE ⊥EF ，AE ⊥BE ， 又BE ⊥EF ，故可如图建立空间坐标系E-xy z ．2,2=∴=EB EA ，又G 为BC 的中点，BC=4， 2=∴BG ．则A （0，0，2），B （2，0，0），G （2，2，0），D （0，2，2），E （0，0，0），BD =（－2，2，2），EG = （2，2，0），BD EG ⋅=（－2，2，2） （2，2，0）＝0，∴BD EG ⊥．………………4分方法二：作DH ⊥EF 于H ，连BH ，GH ，由平面AEFD ⊥平面EBCF 知：DH ⊥平面EBCF ， 而EG ⊂平面EBCF ，故EG ⊥DH ．AEHD EF AD DH AE EF AE EBC AEH BC EF ∴∴⊥∴=∠=∠∴,//.//,,2,// π为平行四边形，,,//,2BC EH BC EH AD EH =∴==∴且2,2===∠BC BE EBC π，∴四边形BGHE 为正方形，∴EG ⊥BH ，BH ⋂DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH ，而BD ⊂平面DBH ，∴ EG ⊥BD ．………4分 （或者直接利用三垂线定理得出结果）（2）∵AD ∥面BFC ，GFDECBAHy所以 ()f x =BCF D V -=V A-BFC ＝AE S BCF ⨯⨯∆31x x )4(42131-⨯⨯= 2288(2)333x =--+≤，即2x =时()f x 有最大值为83． ………8分（3）设平面DBF 的法向量为1(,,)n x y z =，∵AE=2， B （2，0，0），D （0，2，2），F （0，3，0），∴(2,3,0),BF =- ………10分BD =（－2，2，2），则 110n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 即(,,)(2,2,2)0(,,)(2,3,0)0x y z x y z -=⎧⎨-=⎩，2220230 x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩取3,2,1x y z ===，∴1(3,2,1)n =BCF AE 面⊥ ，∴面BCF 一个法向量为2(0,0,1)n =，………12分 则cos<12,n n>=121214||||n n n n =，………13分 由于所求二面角D-BF-C．………14分 20．（本题满分14分） ⑴依题意， l ：2xy =……1分，不妨设设) , 2(t t A 、) , 2(t t B --（0>t ）……2分， 由102||=AB 得40202=t ，2=t ……3分，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+23 1282222a b a ac b a ……5分，解得4=a ，2=b ……6分．H _ EMFD BACG⑵由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+1)( 14162222y m x y x 消去y 得01248322=++-m mx x ……7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当014416)124(34)8(222<-=+⨯⨯--=∆m m m 或5||>m ……9分，解得3||<m 或5||>m ……10分。